smo چند کاناله با خرابی. QS با شکست و کمک متقابل کامل برای جریان های دلخواه

UDC 519.248:656.71

مدل سیستم صف با جریان های غیر ثابت و کمک متقابل جزئی بین کانال ها

© 2011 V. A. Romanenko

دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام آکادمیسین S.P. Korolev (ملی دانشگاه تحقیقاتی)

یک مدل پویا از یک سیستم چند کاناله توضیح داده شده است در صفبا جریان های غیر ثابت، انتظار در یک صف با طول محدود و کمک متقابل جزئی کانال ها، بیان شده در امکان سرویس دهی همزمان یک درخواست توسط دو کانال. عباراتی برای ویژگی های احتمالی-زمان اصلی سیستم داده شده است. نتایج مدل سازی عملکرد یک فرودگاه هاب به عنوان نمونه ای از سیستم مورد بررسی شرح داده شده است.

سیستم نوبت دهی، جریان غیر ثابت، کمک متقابل بین کانال ها، فرودگاه هاب.

معرفی

ما یک سیستم صف چند کاناله (QS) را با انتظار در یک صف با طول محدود در نظر می گیریم. یکی از ویژگی های QS مورد بررسی، کمک متقابل جزئی بین کانال ها است که در امکان استفاده همزمان از دو کانال برای سرویس دهی یک درخواست بیان می شود. ترکیب تلاش های کانال ها به طور کلی منجر به کاهش میانگین زمان سرویس می شود. فرض بر این است که QS یک جریان پواسون غیر ثابت از برنامه ها را دریافت می کند. مدت زمان سرویس دهی به برنامه بستگی به زمان دارد.

یک نمونه معمولی از QS که دارای ویژگی های ذکر شده است، سیستم خدمات حمل و نقل فرودگاهی است. استفاده همزمان از چندین (معمولاً دو) تسهیلات (خروج ورود، تانکرهای سوخت هوانوردی، وسایل نقلیه ویژه و غیره) برای سرویس دهی یک پرواز توسط برنامه های فناوری خدمات فرودگاهی هواپیماهای بزرگ (AC) پیش بینی شده است. در عین حال، نیاز به بهبود کیفیت و کاهش مدت خدمات حمل و نقل زمینی، که به ویژه برای فرودگاه های بزرگ مهم است، منجر به این واقعیت می شود که سهم عملیات انجام شده توسط یک، بلکه با چندین (دو) وسیله است. افزایش می یابد.

این با افزایش مقیاس فرودگاه افزایش می یابد. مدل شرح داده شده در مقاله برای حل مشکلات تجزیه و تحلیل و بهینه سازی عملکرد مجتمع های تولیدی فرودگاه های هاب (هاب ها) ایجاد شده است که با اشباع امکانات حمل و نقل زمینی با جریان غیر ثابت مسافر، هواپیما و محموله مشخص می شود. نوسانات در شدت خدمات آنها.

توضیحات کلیمدل ها

این مدل برای تعیین وابستگی‌های زمانی ویژگی‌های احتمالی یک سیستم QS حاوی کانال‌های سرویس دهی N در نظر گرفته شده است. تعداد برنامه های کاربردی در QS نباید بیشتر از K باشد، که ممکن است به دلیل محدودیت های فنی در تعداد مکان های پارک هواپیما در فرودگاه، ظرفیت ترمینال یا مجتمع بار و غیره باشد. تعداد کانال های اختصاص داده شده برای سرویس دهی یک درخواست می تواند 1 یا 2 کانال باشد. اگر حداقل دو کانال رایگان وجود داشته باشد، درخواست دریافت شده با احتمال معین برای سرویس دهی قرض گرفته می شود.

یکی از آنها و - با احتمال y2 = 1 - y1 - هر دو کانال. اگر در زمان دریافت درخواست برای سرویس دهی، QS فقط یک کانال رایگان داشته باشد، در هر صورت این برنامه در دسترس را اشغال می کند.

تنها کانال اگر هیچ کانال خالی وجود نداشته باشد، یک درخواست تازه وارد شده در صف قرار می گیرد و در انتظار سرویس است. اگر تعداد برنامه های موجود در صف K-N باشد، برنامه تازه وارد QS را بدون سرویس رها می کند. احتمال چنین اتفاقی باید کم باشد.

ورودی QS یک جریان پواسون (نه لزوما ثابت) از برنامه ها را دریافت می کند

با شدت l(t). فرض بر این است که مدت زمان سرویس دهی یک درخواست توسط یک کانال Tobsl1 (t) و دو -

Tobsl 2 (t) توابع تصادفی زمان (فرایندهای تصادفی) با توزیع نمایی هستند.

شدت خدمات برنامه

یک کانال ^ (t) و به طور همزمان دو کانال m 2 (t) به عنوان تعریف می شوند

mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1، m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1،

جایی که Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)]، Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]

میانگین زمان سرویس دهی به درخواست به ترتیب توسط یک کانال و دو کانال.

رابطه بین کمیت های m1 (t) و m 2 (t) با رابطه داده می شود

m2 (t) = ^m1 (t) ،

که در آن 9 ضریبی است که افزایش نسبی در شدت سرویس را هنگام استفاده از دو کانال در نظر می گیرد.

در عمل، رابطه بین تعداد وجوه جمع‌آوری‌شده و شدت خدمات کاملاً پیچیده است که با ویژگی‌های عملیات خدماتی مورد نظر تعیین می‌شود. برای عملیاتی که مدت آن به حجم کار انجام شده مربوط می شود (به عنوان مثال، سوخت گیری هواپیما با سوخت جت با استفاده از تانکر سوخت جت، سوار یا پیاده شدن مسافران از هواپیما و غیره)، وابستگی شدت سرویس به تعداد کانال‌ها مستقیماً متناسب است، اما به دلیل زمان مورد نیاز برای آماده‌سازی کاملاً چنین نیست

اما عملیات نهایی که تحت تأثیر تعداد وجوه قرار نمی گیرد. برای چنین عملیاتی، 2 پوند. برای تعدادی از عملیات، وابستگی مدت زمان اجرا به تعداد وسایل یا مجریان کمتر مشخص است (به عنوان مثال، چک کردن یا قبل از پرواز

غربالگری مسافران). در این مورد در »1.

در یک لحظه دلخواه از زمان I، QS در نظر گرفته شده می تواند در یکی از حالت های گسسته L+1 باشد - B0، ...،

لعنتی انتقال از حالت به حالت می تواند در هر زمانی رخ دهد. احتمال اینکه در زمان من QS در حالت باشد

شرط عادی سازی 2 р () =1 دانستن-

تجزیه و تحلیل احتمالات P0 (/)، PX (t)،...، Pb (t) به شخص اجازه می دهد تا ویژگی های مجازی (آنی) مهم QS مانند طول متوسط ​​صف، میانگین تعداد کانال های شلوغ را تعیین کند. میانگین تعداد درخواست های موجود در QS و غیره

احتمالات حالت های p(t) با حل سیستم پیدا می شود معادلات دیفرانسیلکولموگروف، در نمای کلیبه عنوان نوشته شده است

=Ё jp(t)P /(t)-P،(t)Z (t).،

r = 0،1،...،b،

جایی که<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

که در آن P(/; At) احتمال این است که QS که در لحظه t در حالت B قرار داشت، برای

زمان در از آن به حالت خواهد رفت

برای کامپایل معادلات کولموگروف، از نمودار حالت برچسب دار QS استفاده می شود. در آن، شدت های مربوط به f بالای فلش های منتهی به B. به B قرار می گیرند. مجموع همه جریان های احتمالی که از یک حالت معین به حالت های دیگر می روند.

برای ایجاد یک نمودار، یک سیستم نماد سه شاخص معرفی شده است، که در آن وضعیت QS مورد بررسی در یک نقطه دلخواه از زمان با سه پارامتر مشخص می شود: تعداد کانال های اشغال شده n (n = 0,1،.. .,^)، تعداد درخواست های ارائه شده k (k = 0,1,...,^) و در انتظار سرویس t (t = 0,1,...,^ - N).

در شکل شکل 1 یک نمودار وضعیت برچسب دار را نشان می دهد که با استفاده از قوانین توضیح داده شده در بالا و نمادهای معرفی شده برای یک QS انتخاب شده به عنوان یک مثال ساده جمع آوری شده است.

به منظور صرفه جویی در فضا، در نمودار و در سیستم متناظر معادلات کلموگروف که در زیر آورده شده است، تعیین وابستگی تابعی به زمان شدتهای 1، m1، m2 و احتمالات حالتها حذف شده است.

^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210،

= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +

2t1R220 + t2 R320،

LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +

Т1Р320 + 2 ^2Р420،

LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1 ریو +

3 t1Р330 + ^2Р430،

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +

LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30، ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40،

^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +

+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31،

LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +

+^2YaP320 + t1P531،

LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +

5^1р50 + t2р41،

LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +

+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532،

LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +

LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +

5t1R551 + t2R542،

LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +

LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531،

LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552،

lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541،

Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.

اگر در لحظه t = 0 هیچ درخواستی در QS وجود ندارد، پس شرایط اولیهدر فرم نوشته خواهد شد

P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.

حل سیستم های با ابعاد بزرگ مانند (1)، (2)، با مقادیر متغیر 1(^، mDO، m2(0) تنها با روش های عددی با استفاده از رایانه امکان پذیر است.

برنج. 1. نمودار حالت QS

ساخت مدل QS

مطابق با رویکرد الگوریتمی، ما تکنیکی را برای تبدیل یک سیستم معادلات کولموگروف با ابعاد دلخواه به شکلی مناسب برای محاسبات کامپیوتری در نظر خواهیم گرفت. به منظور ساده سازی ضبط، به جای یک سیستم سه گانه، از یک سیستم دوگانه نشانه گذاری حالات QS استفاده می کنیم، که در آن r تعداد کانال های اشغال شده با سرویس دهی به اضافه طول صف است،] تعداد برنامه های کاربردی در QS است. . رابطه بین سیستم های نشانه گذاری با وابستگی ها بیان می شود:

r = n + m، r = 0.1، ...، K;

] = k + m، ] = 0.1،...، K.

هیچ حالتی از مجموعه رسمی قابل تحقق نیست

B. (r = 0.1،...،K؛ ] = 0.1،...،K). به خصوص،

در چارچوب مدل توصیف شده، حالت هایی غیرممکن است که در آن دو یا چند درخواست به طور همزمان توسط یک سرویس ارائه شوند.

کانال، یعنی R. (t) = 0 اگر ] > r مجموعه حالت های مجاز QS را با نماد 8 نشان دهیم. دولت B. وجود دارد، و

احتمال متناظر آن P. ^)

اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد ممکن است غیر صفر باشد:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

y] + H - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

r = 0.1،...،K; ] = 0.1،...،K،

که در آن Х حداکثر تعداد حالت‌ها با تعداد کانال‌های سرویس دهی متفاوت برای تعداد معینی از درخواست‌ها است که توسط فرمول تعیین می‌شود.

در اینجا پرانتزها عملیات دور انداختن قسمت کسری را نشان می دهند. مثلا،

با قضاوت در نمودار وضعیت نشان داده شده در شکل. 1، دو درخواست را می توان توسط دو، سه یا چهار کانال ارائه کرد. بنابراین، در مثالی که در بالا بحث شد

H = 5 - = 5 - 2 = 3.

برای اجرای محاسبات کامپیوتری با استفاده از یک سیستم معادلات کولموگروف با ابعاد دلخواه، معادلات آن باید به شکلی جهانی کاهش یابد که اجازه می دهد هر معادله ای نوشته شود. برای ایجاد چنین فرمی، قطعه ای از گراف حالت را در نظر بگیرید که یک حالت دلخواه B] را به همراه موارد پیشرو از آن نمایش می دهد.

پیکان های شدت همانطور که در شکل نشان داده شده است، اجازه دهید با اعداد رومی حالت های همسایه را که مستقیماً با B. مرتبط هستند نشان دهیم. 2.

برای هر حالت B. (g = 0.1،...،K؛ ] = 0.1،...،K)، به طوری که B. e 8، در زمان t مقادیر

p^)، p(t)، p.^)، p(t) قبول کنید

مقادیر مختلف (از جمله مقادیر برابر با صفر). با این حال، ساختار معادله

(3) بدون تغییر باقی می ماند، که به آن اجازه می دهد تا برای اجرای کامپیوتری یک سیستم معادلات کولموگروف با ابعاد دلخواه استفاده شود.

شدت های fr (t)، (р. (t)، تمایل به انتقال QS به حالت هایی با مقادیر زیاد r و ]، در صورت امکان وجود چنین حالت هایی، بر اساس تعدادی از شرایط به شرح زیر تعیین می شود. :

o.. ї a or

°(,-+1)0"+1) ї 8'

0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,

o(i+1)(.+1)- 8 or

°(.+2)а+1)ї 8

O(.+1)(V+1) - 8'

برنج. 2. قطعه گراف حالت QS

با در نظر گرفتن حضور کشورهای همسایه نسبت به B، معادله B به صورت زیر نوشته می شود:

-£ = -[P () + P () + P. () +

Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +

Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +

Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +

РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().

О(.+1)(.+1)ї 8 یا і > N - 2

Y2X(i)، اگر

I(i+1)(.+1) - 8>

O(i+2)(.+1) - 8 ' i £ N - 2,

О(і+1)(.+1)ї 8’

O(i+2)(.+1) - 8'

r = 0.1،...،k، . = 0.1، ...، k.

شدت رودخانه ()، p..11 ()، انتقال QS از حالت B-. در ایالت ها

با مقادیر کوچکتر g و. (اگر وجود چنین حالت هایی امکان پذیر باشد)، مستقیماً با تعداد کانال های درگیر متناسب هستند، به درخواست های انواع مختلفی که در QS قرار دارند (یک یا دو کانال برای سرویس دهی را اشغال می کنند). گروهی متشکل از دو کانال که درگیر سرویس دهی به یک درخواست از نوع مربوطه هستند، می توانند به عنوان یک کانال در نظر گرفته شوند. بنابراین در حالت کلی

p () = kdM1 () ، R. () = ky2^2 () ،

که در آن k.1 تعداد درخواست‌هایی است که یک کانال را اشغال می‌کنند که توسط QS در حالت B ارائه می‌شود. k تعداد درخواست هایی است که هر کدام دو کانال را اشغال می کنند که توسط QS در حالت B ارائه می شود.

از طریق g و. این مقادیر به صورت زیر تعیین می شود:

G2. - g اگر g< N,

y1 [N - 2 (r - .)، اگر r > N، (4)

به! 2 = گرم - . .

با در نظر گرفتن محدودیت در امکان وجود حالت های بیان برای

p()، R.() فرم دارند

^B(g-1)(L) e 8،

شاخص های اثربخشی عملکرد QS

مدل توصیف شده به ما امکان می دهد وابستگی های زمانی شاخص های زیر را از بازده عملیاتی QS در نظر گرفته را تعیین کنیم.

میانگین طول صف:

can ()=22(g-p) R ().

میانگین تعداد کانال های شلوغ:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی برای CMO:

m، ()=22.R. ().

احتمال انکار خدمات:

Є, ()= 2 Р- ().

توزیع زمان انتظار مجازی توسط برنامه قابل دریافت است

سرویس Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

قبلا. اگر یک کانال رایگان (یا چندین کانال رایگان) وجود داشته باشد، احتمال Рк=0 (t) خدمات فوری یک درخواست دریافتی وجود دارد.

B(g-1)(.-1) 8 پوند،

r = 0.1،...،K، . = 0.1، ...، K.

R. () ° 0، اگر B. £ 8.

با در نظر گرفتن احتمال خرابی، مقدار مورد نظر تابع توزیع Ж(х^) به صورت تعیین می شود

F (x-‘)=(--o(t)

EEZH M (،)) ()

Ru()° 0 اگر °y. 8.

در اینجا Ж (х,т| (і,./)) یک تابع شرطی است

توزیع زمان انتظار برای یک درخواست خاص، مشروط بر اینکه در زمان ورود T، QS را در حالت y پیدا کند.

در QS مورد بررسی، زمان انتظار برای سرویس توسط یک درخواست ورودی نه تنها به تعداد درخواست‌های موجود در QS، بلکه به توزیع کانال‌ها بین سرویس‌دهی گروهی و فردی درخواست‌های موجود بستگی دارد. اگر کمک متقابل بین کانال ها وجود نداشت، QS مورد بررسی یک QS سنتی با انتظار در یک صف با طول محدود خواهد بود، که برای آن کل زمان انتظار برای شروع سرویس توسط ادعایی که از چندین ادعای دیگر در صف سبقت می گیرد. در زمان ورود، توزیع ارلنگ E,^) (X) خواهد داشت.

در اینجا فوق اسکریپت حاوی شدت درخواست های سرویس دهی توسط تمام کانال های N است که در حضور یک صف کار می کنند. زیرنویس ترتیب توزیع طبق قانون ارلنگ است. در QS در نظر گرفته شده در اینجا، قانون توصیف شده فقط برای درخواست هایی معتبر است که در ایالت هایی که همه کانال ها مشغول هستند، وارد QS شده اند و همه آنها یک درخواست را ارائه می دهند. برای این حالت ها می توانیم بنویسیم

F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).

اجازه دهید تابع توزیع قانون ارلان تعمیم یافته را به صورت E^”^1 (x) نشان دهیم

ha، دارای ترتیب 2"r - 1، که در آن ag عدد است

متغیرهای تصادفی بر روی آنها توزیع شده است

قانون نمایی با پارامتر y. با

با استفاده از نماد معرفی شده، عباراتی را برای تابع توزیع زمان انتظار در حالت های دیگر می نویسیم. در مقایسه با (5)، این عبارات شکل پیچیده تری دارند که در پیاده سازی نرم افزاری آنها اختلالی ایجاد نمی کند. علاوه بر این، به عنوان مثال، آنها فقط برای سه حالت اول اشغال کامل کانال ها با استفاده از نمایه سازی سه نویسه قبلاً معرفی شده ارائه می شوند:

F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =

= (x)، 0 £ گرم £ روز،

کجا و. = kLt (t)+ku 2M2 (t)؛

Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =

N ^ ^ - g) کیلومتر (T)

F (x,t| - g, 2))

N ^).(N - g) کیلومتر(t)

E/^(t)،(t-g) ■я(t)،(t-g+l)

(N)، (N - g) ktM(T)

EI-)(t-g)(x) +

^).(N - g) eH^) (x)

میانگین زمان انتظار مجازی برای برنامه Toz () به صورت عددی تعیین می شود

هویت (T) = | ^Х (x,T) .

توزیع زمان سرویس مجازی برای یک درخواست انتخابی خودسرانه Tobsl ^) نیز می تواند تعیین شود.

از آنجایی که تغییر Tobsl (t) در QS در نظر گرفته شده یک فرآیند تصادفی است که مخلوطی از دو فرآیند تصادفی TobsL1 ^) و TobsL2 ^) به صورت نمایی توزیع شده است، پس توزیع

V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k,.YR(t)

R.. ^) ° 0، اگر 8. £ 8.

در اینجا V (x^| (r,.)) تابع توزیع مشروط زمان سرویس یک درخواست خاص است، مشروط بر اینکه در زمان رسیدن آن QS را در حالت پیدا کند.

اگر در زمان شروع سرویس یک برنامه، QS در حالتی باشد که در آن سرویس دهی گروهی و انفرادی امکان پذیر باشد، در این صورت زمان سرویس ترکیبی از دو برنامه کاربردی است.

انتقال به سرویس گروهی - در صورت امکان شرط (شکل 2). بنابراین ما داریم:

U(M(i--/")) =

y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x)،

I О(і+2)(]+1) ї 8، О(і+1)(.+1) - 8،

"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)

i = 0.1،...،N -1، i = 0.1،...،N -1.

از آنجایی که در صورت عدم وجود دو کانال رایگان، هر درخواستی توسط یک کانال ارائه می شود، پس احتمال واقعی ^) تخصیص یک کانال است.

det بزرگتر از یک تابع V داده شده است uv ^) به صورت تعریف شده است

EEU O", "r(t)

R. (t) ° 0، اگر R. ї 8.

در اینجا y1(r,.) احتمال تخصیص یک دستگاه برای سرویس دهی به درخواست دریافت شده توسط QS در حالت است:

O(i+1)(.+1) - 8، O(i

2)(}+1) -2)(!+1)

مدت زمان: Tobsl1 (t) و Tobsl2 (t)، dis- i = 0.1...، K -1، . = 0.1 ...، K -1.

به ترتیب با پارامترهای ^1 (t) و ^2 (t) محدود شده است. اگر در

در این مرحله، امکان تخصیص دو کانال وجود ندارد، سپس زمان سرویس دهی به درخواست به صورت تصاعدی با پارامتر توزیع می شود.

t (t). هنگامی که یک درخواست به کانال های سرویس دهی در حالت B نزدیک می شود، انتقال به خدمات فردی زمانی مجاز است که

وجود امکان حالت I(

میانگین مدت زمان سرویس دهی به درخواستی که در آن زمان در QS گنجانده شده است

T را می توان از طریق uv (T) به صورت تعریف کرد

Tbl (t) = uf (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).

توزیع زمان مجازی صرف شده توسط یک برنامه کاربردی در QS

و (x,t)= P (Tpreb (t)< х)

با استفاده از عبارات به دست آمده قبلی برای توابع توزیع زمان انتظار و زمان سرویس - = تعیین می شود

وانیا مثل من

2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +

EEi M))рї(t)

و (x,t| (^ .)) =

1 - e-M1(t)x

y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e

(1 - e ^t(t)x)،

О(і+1)(.+1) - 8، О(і+ 2)(.+1) ї 8’

О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,

r = 0.1،...^-1، . = 0'l'...'N-1.

برای حالت های دیگر، فرمول های تابع توزیع شرطی با قیاس با فرمول های برای نوشته می شوند

Ж (х^| (п,к,т)) با استفاده از نمایه سازی سه نویسه. در زیر برای سه حالت اول اشغال کامل کانال آورده شده است:

در زمان ورود، صف وجود ندارد، اما همه کانال ها مشغول هستند:

و (x^| (n,k,t)) = و (x^| (NN - g,0)) =

(x)، 0 £ گرم £ d;

تا زمانی که یک برنامه وارد می شود، یک برنامه در صف وجود دارد:

R. (t) ° 0، اگر R. ї 8.

در اینجا و (x^| (r,.)) تابع توزیع شرطی زمان صرف شده در QS یک درخواست است، مشروط بر اینکه در لحظه ورود آن سیستم را در وضعیت پیدا کند.

برای ایالت هایی با کانال های رایگان، زمان اقامت در QS با زمان خدمات همزمان است:

تا زمانی که یک برنامه وارد می شود، دو برنامه در صف وجود دارد:

و (x,t | (t,t - ^2))

(t)(t^)H (t)(t^+1)

(t) (t - g) ktsM (t)

(t) (t - g) KtsM (t)

میانگین زمان مجازی ماندن یک برنامه کاربردی در QS به صورت تعریف شده است

Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).

نمونه ای از استفاده از مدل QS

عملکرد روزانه مجتمع تولید یکی از فرودگاه‌های مرکز منطقه‌ای اروپای شرقی هنگام انجام یک عملیات فن‌آوری جداگانه برای سرویس‌دهی به هواپیماهای ورودی شبیه‌سازی می‌شود. به عنوان داده های اولیه برای مدل سازی، وابستگی های زمانی میانگین شدت جریان هواپیمای ورودی

برای سرویس، i(t) و شدت

سرویس دهی به هواپیما با یک وسیله t1 (t) .

همانطور که از داده های ساخته شده به شرح زیر است

نمودار وابستگی وب سایت فرودگاه i(t)

(شکل 3a)، عرضه BC با ناهمواری قابل توجهی مشخص می شود: در طول روز، چهار حداکثر شدت مشاهده می شود که مربوط به چهار "موج" است.

us" ورود و خروج پرواز. مقادیر پیک 1 (t) برای "امواج" اصلی به 25-30 VS / ساعت می رسد.

در شکل 3 و همچنین نموداری از وابستگی t (t) را نمایش می دهد. فرض بر این است که نه

فقط شدت جریان هواپیما و همچنین شدت سرویس آنها تابع زمان است و به فاز "موج" بستگی دارد. واقعیت این است که برای کاهش میانگین زمان انتقال مسافران، برنامه فرودگاه هاب به گونه ای طراحی شده است که "موج" با ورود هواپیماهای مسافربری بزرگ آغاز می شود که تعمیر و نگهداری آنها نیاز به مقدار زیادی دارد. زمان، و با ورود هواپیماهای کوچک تکمیل می شود. در مثال، فرض بر این است که میانگین مدت یک عملیات با یک ابزار، که 20 دقیقه برای بیشتر مدت روز است، در مرحله اولیه "موج" به 25 دقیقه افزایش می یابد. و کاهش می یابد مرحله نهاییتا 15 دقیقه بنابراین، چهار بازه با

کاهش سطح t (t) در شکل. 3a مربوط به مراحل اولیه "امواج" است، زمانی که ورود هواپیماهای بزرگ غالب است. به نوبه خود، چهار بازه افزایش

سطح t^) در فینال قرار می گیرند

فازهای "موج" با غلبه هواپیماهای کوچک.

در زیر نتایج شبیه سازی را شرح می دهیم که به ما امکان می دهد کارایی سیستم را ارزیابی کنیم. در شکل 3b-3d وابستگی های زمانی مقادیر متوسط ​​تعداد کانال های اشغال شده Nz ^) را نشان می دهد.

تعداد کل درخواست ها در سامانه وزارت بهداشت ^) و

طول صف Moz (7) برای دو مقدار احتمال محدود کننده n1 = 0 و n1 = 1 با مشخصات طراحی زیر به دست آمده است: N = 10. K = 40; در = 1.75. با قضاوت در نمودار وابستگی Nз (t)

(شکل 3b)، در بیشتر بازه زمانی روزانه، اشغال کانال های سرویس دهی سیستم کم می ماند، که نتیجه ورودی غیر ثابت است.

جریان هواپیماها بار بالا (60-80٪) فقط در "موج" دوم ورود و خروج حاصل می شود و گزینه n1 = 0 در مقادیر بزرگ 1 (t) باعث بار بیشتر بر روی سیستم و در مقادیر کوچک می شود. از 1 (t) - کمتر

در مقایسه با گزینه n1 = 1. علاوه بر این، به عنوان

مدل سازی نشان داد که احتمال شکست در سیستم مورد بررسی برای هر دو گزینه ناچیز است.

مقایسه نمودارهای وابستگی

M3 ^) و Mozh ^) (به ترتیب شکل 3c و 3d) به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که در QS با n1 = 0 به طور متوسط ​​درخواست های کمتری وجود دارد و انتظار می رود درخواست های بیشتری نسبت به n1 = 1 ارائه شود. این تناقض با این واقعیت توضیح داده می شود که هر برنامه ای که توسط QS دریافت می شود، که در حالت n1 = 0 دو می گیرد.

کانال، کانال‌های رایگان کمتری را برای درخواست‌های پس از آن باقی می‌گذارد و آنها را مجبور می‌کند تا صف بزرگ‌تری نسبت به مورد مورد نظر ایجاد کنند.

n1 = 1. در عین حال، استفاده گروهی از کانال ها، کاهش زمان سرویس، باعث کاهش تعداد کل برنامه های در حال ارائه و در انتظار سرویس می شود. بنابراین، در مثال مورد بررسی، میانگین زمان خدمات در طول روز است

برای گزینه p1 = 1 20 دقیقه است و برای

گزینه p1 = 0 - 11.7 دقیقه.

مدل مورد بحث در بالا حل مشکلات مربوط به جستجوی مدیریت بهینه کیفیت خدمات حمل و نقل را ممکن می سازد. در شکل 3d, 3f برخی از نتایج حل این نوع مسئله را نشان می دهد که معنای آن با استفاده از مثال فرودگاه مورد بررسی بیشتر توضیح داده شده است.

متوسط ​​طول صف، که حتی در زمان اوج بار کوچک است، و در مثال مورد بررسی از 0.6 هواپیما تجاوز نمی کند (شکل 3d)، تضمین نمی کند که برای اکثریت قریب به اتفاق هواپیماها زمان انتظار در صف قابل قبول باشد. متوسط ​​زمان انتظار پایین با میانگین زمان رضایت بخش برای تکمیل یک عملیات خدماتی

این همچنین امکان توقف غیرقابل قبول طولانی مدت در طول تعمیر و نگهداری هواپیماهای جداگانه را رد نمی کند. بیایید مثالی را در نظر بگیریم که کیفیت خدمات فرودگاهی هم برای اطمینان از مقادیر رضایت بخش برای زمان انتظار برای خدمات و هم برای زمان صرف شده در سیستم، مشمول الزامات است. ما فرض می کنیم که بیش از 90 درصد هواپیماها باید برای تعمیر و نگهداری کمتر از 40 دقیقه بیکار باشند و زمان انتظار برای تعمیر و نگهداری برای همان نسبت هواپیما باید کمتر از 5 دقیقه باشد. با استفاده از نماد معرفی شده در بالا، این الزامات برای کیفیت خدمات فرودگاهی به صورت نابرابری نوشته می شود:

P (Tpreb (t)< 40мин)>09، P (هویت (t)< 5мин)> 09

در شکل 3d، 3f وابستگی زمانی احتمالات P را نشان می دهد (Tpreb (/)< 40мин)

و P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 دقیقه از ابتدای روز مدل مطابق با دومین "موج" ورود.

همانطور که از شکل ها مشخص است، گزینه n1 = 1 نیست

قابلیت اطمینان محاسبه شده را از نظر زمان سرویس ارائه می دهد: نیاز به زمان سرویس مشخص شده توسط شرایط

P (Tpreb (t)< 40мин)>09، فقط در یک دوره کوتاه 530560 دقیقه انجام می شود، مربوط به ورود کوچک

آفتاب. به نوبه خود، گزینه n1 = 0 قابلیت اطمینان محاسبه شده را از نظر زمان انتظار در صف ارائه نمی دهد: در فاصله زمانی ورود هواپیماهای بزرگ (500-510 دقیقه).

برنج. 3. نتایج شبیه سازی 262

شرط P برآورده شده است (Iz(t)< 5мин) > 0.9.

همانطور که مدل سازی نشان داده است، راه برون رفت از این وضعیت ممکن است انتخاب باشد

سازش گزینه y1 » 0.2. در عمل، این گزینه به این معنی است که برای خدمات فرودگاهی باید هر کدام دو بودجه برای خدمات رسانی نه به همه هواپیماها، بلکه فقط آنهایی که بر اساس معیار خاصی انتخاب شده اند، تخصیص یابد، به عنوان مثال،

ظرفیت مسافر در اینجا y1 نقش بازی می کند

پارامتری که به شما امکان می دهد شاخص های عملکرد QS را کنترل کنید: زمان انتظار برای یک برنامه در صف و زمان ماندن برنامه در QS یا زمان سرویس.

بنابراین، سیستم در نظر گرفته شده، که از یک یا دو کانال به طور همزمان برای سرویس دهی به درخواست استفاده می کند، یک مورد خاص، اما عملا قابل توجه از یک QS با

کمک متقابل کانال ها استفاده از یک مدل پویا از چنین QS به فرد اجازه می دهد تا بهینه سازی های مختلف، از جمله چند معیاره، مشکلات مرتبط با مدیریت نه تنها تعداد کل وجوه، بلکه همچنین کمک متقابل آنها را مطرح و حل کند. مشکلاتی از این دست به ویژه برای فرودگاه‌های هاب که از امکانات خدماتی اشباع شده‌اند، با جریان‌های پروازی غیر ثابت و شدت خدمات نوسانی، مرتبط است. بنابراین، مدل QS در نظر گرفته شده ابزاری برای تجزیه و تحلیل و بهینه سازی پارامترهای چنین کلاس امیدوار کننده ای از فرودگاه ها به عنوان هاب است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. بوچاروف، پ.پ. تئوری صف [متن] / P.P. بوچاروف، A.V. Pe-chinkin. - M.: انتشارات RUDN، 1995. - 529 ص.

مدل سیستم نوبت دهی با جریان های غیر ثابت و کمک متقابل جزئی بین کانال ها

© 2011 V. A. Romanenko

دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام آکادمیک S. P. Korolyov (دانشگاه تحقیقات ملی)

یک مدل پویا از سیستم صف چند کاناله با جریان‌های غیر ثابت، انتظار در یک صف با طول محدود و کمک متقابل جزئی کانال‌ها که در فرصت خدمات همزمان مشتری توسط دو کانال بیان می‌شود. عباراتی برای مشخصه های اولیه احتمال-زمان سیستم داده شده است. نتایج مدل سازی عملکرد یک فرودگاه هاب به عنوان نمونه ای از سیستم مورد بحث قرار می گیرد.

سیستم نوبت دهی، جریان غیر ثابت، کمک متقابل بین کانال ها، فرودگاه هاب.

اطلاعاتی در مورد نویسنده ولادیمیر آلکسیویچ روماننکو، کاندیدای علوم فنی، دانشیار، دانشجوی دکتری گروه سازمان و مدیریت حمل و نقل حمل و نقل، دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام آکادمیسین S.P. Korolev (دانشگاه تحقیقاتی ملی). پست الکترونیک: [ایمیل محافظت شده]. حوزه علایق علمی: بهینه سازی و مدل سازی سیستم خدمات حمل و نقل یک فرودگاه هاب.

روماننکو ولادیمیر الکسیویچ، کاندیدای علوم فنی، دانشیار، مدرک دکتری در بخش سازماندهی و مدیریت حمل و نقل، دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام آکادمیسین S. P Korolyov (دانشگاه تحقیقاتی ملی: vla_rom@mail). حوزه تحقیق: بهینه سازی و شبیه سازی یک سیستم خدمات حمل و نقل فرودگاهی هاب.

تا به حال، ما فقط چنین QS هایی را در نظر گرفته ایم که در آن هر درخواست تنها توسط یک کانال قابل ارائه است. کانال های اشغال نشده نمی توانند به افراد مشغول در سرویس دهی کمک کنند.

به طور کلی، همیشه اینطور نیست: سیستم های صف وجود دارند که در آن یک درخواست می تواند به طور همزمان توسط دو یا چند کانال ارائه شود. به عنوان مثال، همان دستگاه خراب می تواند توسط دو کارگر در یک زمان سرویس شود. چنین "کمک متقابل" بین کانال ها می تواند در هر دو QS باز و بسته انجام شود.

هنگام در نظر گرفتن QS با کمک متقابل متقابل، دو عامل وجود دارد که باید در نظر گرفته شود:

1. سرعت سرویس دهی یک برنامه زمانی که نه یک، بلکه چندین کانال به طور همزمان روی آن کار می کنند چقدر است؟

2. "انضباط کمک متقابل" چیست، یعنی چه زمانی و چگونه چندین کانال خدمات یکسانی را انجام می دهند؟

ابتدا به سوال اول نگاه می کنیم. طبیعی است که فرض کنیم اگر نه یک کانال، بلکه چندین کانال برای سرویس دهی به یک برنامه کاربردی کار می کنند، شدت جریان سرویس با افزایش k کاهش نمی یابد، یعنی مقداری تابع غیرکاهشی از تعداد k کارکرد را نشان می دهد. کانال ها اجازه دهید این تابع را نشان دهیم یک شکل ممکن از تابع در شکل نشان داده شده است. 5.11.

بدیهی است که افزایش نامحدود در تعداد کانال هایی که به طور همزمان کار می کنند همیشه منجر به افزایش متناسب در سرعت سرویس نمی شود. طبیعی تر است که فرض کنیم در یک مقدار بحرانی خاص، افزایش بیشتر در تعداد کانال های شلوغ دیگر شدت سرویس را افزایش نمی دهد.

برای تجزیه و تحلیل عملکرد یک QS با کمک متقابل بین کانال ها، ابتدا باید نوع عملکرد را تنظیم کرد.

ساده ترین مورد برای مطالعه، زمانی است که تابع به نسبت k افزایش یابد و ثابت و مساوی بماند (شکل 5.12 را ببینید). اگر مجموع کانال هایی که می توانند به یکدیگر کمک کنند بیشتر نباشد

اجازه دهید اکنون به سؤال دوم بپردازیم: نظم و انضباط کمک متقابل. ما ساده ترین مورد این رشته را «همه به عنوان یک» می نامیم. این بدان معنی است که وقتی یک درخواست ظاهر می شود، همه کانال ها به یکباره سرویس دهی به آن را آغاز می کنند و تا پایان سرویس دهی به این درخواست مشغول می مانند. سپس همه کانال ها به سرویس دهی به درخواست دیگری (در صورت وجود) یا منتظر ظاهر شدن آن می مانند و غیره. بدیهی است که در این حالت همه کانال ها به صورت یکجا کار می کنند، QS تبدیل به یک کانال می شود اما با سرویس بالاتر. شدت.

این سوال مطرح می شود: آیا ارائه چنین کمک های متقابل بین کانال ها سودآور است یا زیان آور؟ پاسخ به این سوال بستگی به این دارد که شدت جریان درخواست ها چیست، چه نوع عملکردی، چه نوع QS (با خرابی، با یک صف)، چه مقدار به عنوان مشخصه کارایی خدمات انتخاب شده است.

مثال 1. یک QS سه کاناله با خرابی وجود دارد: شدت جریان برنامه‌ها (برنامه‌ها در دقیقه)، میانگین زمان سرویس دهی به یک درخواست توسط یک کانال (دقیقه)، عملکرد. از نقطه نظر توان عملیاتی QS برای معرفی کمک متقابل بین کانال های نوع "همه به عنوان یک"؟ آیا این از نظر کاهش میانگین زمان ماندن یک برنامه در سیستم مفید است؟

راه حل الف. بدون کمک متقابل

با استفاده از فرمول های Erlang (به بند 4 مراجعه کنید) داریم:

ظرفیت نسبی QS؛

توان عملیاتی مطلق:

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در QS به عنوان احتمال پذیرفته شدن برنامه برای سرویس ضرب در میانگین زمان سرویس یافت می شود:

Gsist (دقیقه).

ما نباید فراموش کنیم که این زمان متوسط ​​برای همه برنامه‌ها اعمال می‌شود - چه سرویس‌دهی شده و چه بدون سرویس، ممکن است به میانگین زمانی که یک برنامه سرویس‌دهی شده در سیستم می‌ماند نیز علاقه مند باشیم. این زمان برابر است با:

6. با کمک متقابل.

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در CMO:

میانگین زمان صرف شده توسط یک برنامه کاربردی در CMO:

بنابراین، در حضور کمک های متقابل "همه به عنوان یک"، توان عملیاتی QS به طور قابل توجهی کاهش یافته است. این با افزایش احتمال رد توضیح داده می شود: در حالی که همه کانال ها مشغول سرویس دهی به یک درخواست هستند، ممکن است درخواست های دیگری وارد شوند و طبیعتاً رد شوند. در مورد میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در CMO صرف می کند، همانطور که انتظار می رود، کاهش یافته است. اگر به دلایلی تلاش کنیم تا زمانی که یک برنامه کاربردی در QS می گذراند به طور کامل کاهش دهیم (مثلاً اگر ماندن در QS برای برنامه خطرناک باشد)، ممکن است به نظر برسد که علیرغم کاهش توان عملیاتی، ترکیب سه کانال در یک کانال هنوز مفید است.

اکنون اجازه دهید تأثیر کمک های متقابل از نوع "همه به عنوان یک" را بر کار QS با انتظار در نظر بگیریم. برای سادگی، ما فقط مورد یک صف نامحدود را در نظر می گیریم. طبیعتاً در این حالت هیچ تأثیری از کمک متقابل بر روی توان عملیاتی QS وجود نخواهد داشت ، زیرا تحت هر شرایطی کلیه درخواست های دریافتی سرویس می شوند. این سؤال در مورد تأثیر کمک متقابل بر ویژگی های انتظار مطرح می شود: میانگین طول صف، میانگین زمان انتظار، متوسط ​​زمان صرف شده در خدمات.

بر اساس فرمول های (6.13)، (6.14) § 6 برای خدمات بدون کمک متقابل، میانگین تعداد درخواست ها در صف خواهد بود.

میانگین زمان انتظار:

و میانگین زمان اقامت در سیستم:

اگر از کمک متقابل از نوع "همه به عنوان یک" استفاده شود، سیستم به عنوان یک کانال با پارامترها کار می کند.

و ویژگی های آن با فرمول های (5.14)، (5.15) § 5 تعیین می شود:

مثال 2. یک QS سه کاناله با یک صف نامحدود وجود دارد. شدت جریان برنامه‌ها (برنامه‌های کاربردی در دقیقه)، میانگین زمان سرویس عملکرد معنی مفید:

میانگین طول صف،

میانگین زمان انتظار برای خدمات،

میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در CMO می ماند

کمک متقابل بین کانال هایی مانند "همه به عنوان یک" را معرفی کنید؟

راه حل الف. بدون کمک متقابل

طبق فرمول های (9.1) - (9.4) داریم

(3-2)

ب با کمک متقابل

با استفاده از فرمول های (9.5) - (9.7) پیدا می کنیم؛

بنابراین، میانگین طول صف و میانگین زمان انتظار در صف در صورت کمک متقابل بیشتر است، اما میانگین زمان ماندن یک برنامه در سیستم کمتر است.

از مثال های در نظر گرفته شده مشخص می شود که کمک متقابل بین نوع پول نقد "همه به عنوان یک"، به عنوان یک قاعده، به افزایش کارایی خدمات کمک نمی کند: مدت زمان ماندن درخواست در سیستم خدمات کاهش می یابد، اما سایر ویژگی های خدمات بدتر می شوند.

بنابراین، تغییر رشته خدمات به گونه ای مطلوب است که کمک های متقابل بین کانال ها در پذیرش درخواست های جدید برای سرویس در صورت ظاهر شدن در حالی که همه کانال ها مشغول هستند، تداخلی ایجاد نکند.

اجازه دهید نوع زیر را از کمک متقابل "کمک متقابل یکنواخت" بنامیم. اگر درخواستی در زمانی برسد که همه کانال‌ها رایگان هستند، همه کانال‌ها برای سرویس دهی آن پذیرفته می‌شوند. اگر در زمان سرویس دهی یک برنامه کاربردی دیگر وارد شود، برخی از کانال ها به سرویس دهی آن تغییر می کنند. اگر در حین سرویس دهی این دو درخواست، درخواست دیگری وارد شود، برخی از کانال ها به سرویس دهی آن و غیره روی بیاورند تا زمانی که همه کانال ها اشغال شوند. اگر اینطور باشد، درخواست تازه وارد شده رد می شود (در QS با امتناع) یا در یک صف قرار می گیرد (در QS با انتظار).

با استفاده از این رشته کمک متقابل، درخواست تنها زمانی رد می شود یا در صف قرار می گیرد که امکان سرویس دهی به آن وجود نداشته باشد. در مورد "از کار افتادن" کانال ها، در این شرایط حداقل است: اگر حداقل یک درخواست در سیستم وجود داشته باشد، همه کانال ها کار می کنند.

در بالا ذکر کردیم که وقتی یک درخواست جدید ظاهر می‌شود، برخی از کانال‌های شلوغ آزاد می‌شوند و به سرویس درخواست تازه وارد می‌روند. چه بخشی؟ به نوع تابع بستگی دارد که شکل یک رابطه خطی داشته باشد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 5.12، و مهم نیست که چه بخشی از کانال ها برای ارائه درخواست تازه دریافت شده اختصاص داده شده است، تا زمانی که همه کانال ها اشغال شده باشند (در این صورت شدت کل سرویس ها برای هر توزیع کانال بین درخواست ها برابر خواهد بود). همانطور که در شکل نشان داده شده است، می توان ثابت کرد که اگر منحنی به سمت بالا محدب باشد. 5.11، پس باید کانال ها را بین درخواست ها تا حد امکان به طور مساوی توزیع کنید.

بیایید عملکرد یک کانال QS با کمک متقابل "یکنواخت" بین کانال ها را در نظر بگیریم.

فرمول بندی مسئله.در ورودی nکانال QS ساده ترین جریان درخواست ها را با چگالی λ دریافت می کند. چگالی ساده ترین جریان سرویس برای هر کانال μ است. اگر درخواست دریافت شده برای سرویس، همه کانال‌ها را رایگان بیابد، برای سرویس پذیرفته می‌شود و به طور همزمان سرویس می‌شود. ل کانال ها ( ل < n). در این حالت، جریان خدمات برای یک برنامه دارای شدت خواهد بود ل.

اگر یک درخواست دریافت شده برای سرویس، یک درخواست را در سیستم پیدا کند، پس چه زمانی n ≥ 2لدرخواستی که به تازگی وارد شده برای سرویس پذیرفته می شود و به طور همزمان سرویس می شود لکانال ها

اگر درخواست دریافت خدمات در سیستم ثبت شود منبرنامه های کاربردی ( من= 0.1، ...)، در حالی که ( من+ 1)ل≤ n، سپس اپلیکیشن دریافتی سرویس می شود لکانال هایی با عملکرد کلی ل. اگر یک برنامه جدید دریافت شده در سیستم گرفتار شود jبرنامه ها و در عین حال دو نابرابری به طور مشترک برآورده می شوند: j + 1)ل > nو j < n، سپس درخواست برای خدمت پذیرفته می شود. در این صورت می توان به برخی از اپلیکیشن ها سرویس داد لکانال ها، قسمت دیگر کوچکتر از ل, تعداد کانال ها، اما همه مشغول سرویس دهی خواهند بود nکانال هایی که به طور تصادفی بین برنامه ها توزیع می شوند. اگر یک برنامه جدید دریافت شده در سیستم گرفتار شود nپس از آن رد می شود و سرویس داده نخواهد شد. درخواست دریافت شده برای سرویس دهی تا تکمیل سرویس می شود (برنامه های "بیمار").

نمودار وضعیت چنین سیستمی در شکل نشان داده شده است. 3.8.

برنج. 3.8. نمودار وضعیت های QS با خرابی و جزئی

کمک متقابل بین کانال ها

توجه داشته باشید که نمودار وضعیت سیستم تا حالت ایکس ساعتتا علامت گذاری پارامترهای جریان، با نمودار وضعیت یک سیستم صف کلاسیک با خرابی مطابقت دارد، که در شکل نشان داده شده است. 3.6.

از این رو،

(من = 0, 1, ..., ساعت).

نمودار وضعیت سیستم که از حالت شروع می شود ایکس ساعتو به دولت ختم می شود ایکس n، تا نماد منطبق است با نمودار وضعیت یک QS با کمک متقابل کامل نشان داده شده در شکل. 3.7. بدین ترتیب،

.

اجازه دهید نماد λ / را معرفی کنیم لμ = ρ ل ; λ / nμ = χ، سپس

با در نظر گرفتن شرایط نرمال شده، به دست می آوریم

برای کوتاه کردن بیشتر نمادها، نماد را معرفی می کنیم

بیایید ویژگی های سیستم را پیدا کنیم.

احتمال درخواست خدمات

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم است

میانگین تعداد کانال های شلوغ

.

احتمال اینکه یک کانال خاص مشغول باشد

.

احتمال اشغال تمام کانال های سیستم

3.4.4. سیستم های صف با شکست و جریان های ناهمگن

فرمول بندی مسئله.در ورودی nسیستم QS کانالی ساده ترین جریان ناهمگن را با شدت کل λ Σ دریافت می کند و

λ Σ = ,

جایی که λ من- شدت کاربردها در منمنبع هفتم

از آنجایی که جریان درخواست‌ها به‌عنوان برهم‌نهی الزامات از منابع مختلف در نظر گرفته می‌شود، جریان ترکیبی با دقت کافی برای تمرین می‌تواند پواسون در نظر گرفته شود. ن = 5...20 و λ من ≈ λ من +1 (من1,ن). شدت سرویس یک دستگاه بر اساس یک قانون نمایی توزیع شده و برابر با μ = 1 / است. تی. دستگاه‌های سرویس‌دهی برای سرویس‌دهی یک درخواست به‌صورت سری متصل می‌شوند، که معادل افزایش زمان سرویس به تعداد دفعاتی است که تعداد دستگاه‌ها برای سرویس‌دهی ترکیب می‌شوند:

تی obs = kt، μ obs = 1 / kt = μ/ ک,

جایی که تی obs – درخواست زمان سرویس دهی؛ ک- تعداد دستگاه های خدماتی؛ μ obs - شدت سرویس درخواست.

در چارچوب مفروضات اتخاذ شده در فصل 2، ما وضعیت QS را به عنوان یک بردار نشان می دهیم که در آن ک متر- تعداد برنامه های موجود در سیستم که هر کدام سرویس می شوند متردستگاه ها؛ L = qحداکثر - q min +1 - تعداد جریان های ورودی.

سپس تعداد دستگاه های اشغال شده و آزاد ( nزان ( ),n sv ( )) قادر است به صورت زیر تعریف می شود:

از ایالت سیستم می تواند به هر حالت دیگری برود . از آنجایی که سیستم عمل می کند Lجریان های ورودی، پس از هر حالت به طور بالقوه امکان پذیر است Lانتقال های مستقیم با این حال، به دلیل محدودیت منابع سیستم، همه این انتقال ها امکان پذیر نیستند. اجازه دهید SMO در یک وضعیت باشد و درخواستی خواستار می رسد متردستگاه ها اگر متر≤ n sv ( ، سپس درخواست برای سرویس پذیرفته می شود و سیستم به حالتی با شدت λ می رود متر. اگر برنامه به دستگاه‌های بیشتری از آنچه در دسترس است نیاز داشته باشد، خدمات آن رد می‌شود و QS در حالت باقی می‌ماند. . اگه میتونی برنامه های مورد نیاز وجود دارد متردستگاه ها، سپس هر یک از آنها با شدت  سرویس می شوند متر، و شدت کلی خدمات رسانی به چنین درخواست هایی (μ متر) به عنوان μ تعریف می شود متر = ک متر μ / متر. هنگامی که سرویس یکی از درخواست ها تکمیل می شود، سیستم به حالتی می رود که در آن مختصات مربوطه دارای مقداری است که یک مقدار کمتر از حالت است. ,=، یعنی انتقال معکوس رخ خواهد داد. در شکل 3.9 نمونه ای از مدل برداری یک QS برای را نشان می دهد n = 3, L = 3, qدقیقه = 1، qحداکثر = 3، پ(متر) = 1/3، λ Σ = λ، شدت نگهداری دستگاه – μ.

برنج. 3.9. نمونه ای از نمودار یک مدل برداری از یک QS با خرابی سرویس

بنابراین هر ایالت با تعداد برنامه های سرویس شده از یک نوع مشخص مشخص می شود. مثلا در یک ایالت
یک درخواست توسط یک دستگاه و یک درخواست توسط دو دستگاه ارائه می شود. در این حالت، همه دستگاه ها مشغول هستند، بنابراین، تنها انتقال معکوس امکان پذیر است (رسیدن هر درخواست در این حالت منجر به انکار سرویس می شود). اگر سرویس یک درخواست نوع اول زودتر به پایان رسیده باشد، سیستم وارد حالت می شود (0،1،0) با شدت μ، اما اگر سرویس درخواست نوع دوم زودتر به پایان رسیده باشد، سیستم به حالت خواهد رفت. (0،1،0) با شدت μ/2.

بر اساس نمودار حالت با شدت های انتقال رسم شده، یک سیستم معادلات جبری خطی تدوین شده است. از حل این معادلات احتمالات به دست می آید آر() که توسط آن ویژگی های QS تعیین می شود.

یافتن را در نظر بگیرید آر otk (احتمال انکار سرویس).

,

جایی که اس- تعداد حالت های نمودار مدل QS برداری. آر() احتمال قرار گرفتن سیستم در حالت است .

تعداد ایالت ها به شرح زیر تعیین می شود:

, (3.22)

;

اجازه دهید تعداد حالت های مدل QS برداری را مطابق (3.22) برای مثال نشان داده شده در شکل تعیین کنیم. 3.9.

.

از این رو، اس = 1 + 5 + 1 = 7.

برای پیاده سازی الزامات واقعی برای دستگاه های خدماتی، تعداد کافی از n (40، ...، 50)، و درخواست‌ها برای تعداد دستگاه‌های خدمت‌رسان در یک برنامه کاربردی در محدوده 8 تا 16 قرار دارند. با چنین نسبتی از ابزارها و درخواست ها، روش پیشنهادی برای یافتن احتمالات بسیار دشوار می شود، زیرا مدل برداری QS دارای تعداد زیادی حالت است اس(50) = 1790, اس(60) = 4676, اس(70) = 11075 و اندازه ماتریس ضرایب سیستم معادلات جبری متناسب با مربع است. اس، که به مقدار زیادی حافظه کامپیوتر و زمان قابل توجهی کامپیوتر نیاز دارد. تمایل به کاهش مقدار محاسبات، جستجو برای قابلیت‌های محاسباتی مکرر را تحریک کرد آر() بر اساس اشکال ضربی نمایش احتمالات حالت. مقاله روشی برای محاسبه ارائه می دهد آر():

(3.23)

استفاده از معیار هم ارزی توازن کلی و جزئی زنجیره های مارکوف پیشنهاد شده در کار به ما این امکان را می دهد که ابعاد مسئله را کاهش دهیم و با استفاده از تکرار محاسبات، محاسبات را بر روی یک کامپیوتر با توان متوسط ​​انجام دهیم. علاوه بر این، ممکن است:

- انجام محاسبات برای هر مقدار n;

- افزایش سرعت محاسبات و کاهش هزینه های زمان ماشین.

سایر مشخصات سیستم را می توان به روشی مشابه تعیین کرد.

اجازه دهید یک سیستم صف چند کاناله (در مجموع n کانال) را در نظر بگیریم که درخواست هایی با شدت λ دریافت می کند و با شدت μ سرویس می شود. درخواستی که به سیستم می رسد در صورتی سرویس می شود که حداقل یک کانال رایگان باشد. اگر همه کانال ها مشغول باشند، درخواست بعدی دریافت شده به سیستم رد شده و از QS خارج می شود. اجازه دهید حالت های سیستم را با تعداد کانال های اشغال شده شماره گذاری کنیم:

• اس 0 - همه کانال ها رایگان هستند.
• اس 1 - یک کانال مشغول است.
• اس 2 - دو کانال اشغال شده است.
• اسک- مشغول ککانال ها؛
• اسn- همه کانال ها مشغول هستند.

واضح است که سیستم تحت تأثیر جریان ورودی درخواست ها از حالتی به حالت دیگر حرکت می کند. بیایید یک نمودار حالت برای این سیستم صف بسازیم.

برنج. 7.24
شکل 6.24 نمودار حالتی را نشان می دهد که در آن اسمن- شماره کانال؛ λ - شدت درخواست های دریافت شده؛ μ - بر این اساس، شدت درخواست های خدمات. درخواست ها با شدت ثابت وارد سیستم صف می شوند و به تدریج کانال ها را یکی پس از دیگری اشغال می کنند. هنگامی که همه کانال ها مشغول هستند، درخواست بعدی که به QS می رسد رد می شود و سیستم را ترک می کند.
اجازه دهید شدت جریان‌های رویدادی را که سیستم را از حالتی به حالت دیگر منتقل می‌کنند، هنگام حرکت از چپ به راست و از راست به چپ در امتداد نمودار حالت تعیین کنیم.
مثلاً اجازه دهید سیستم در حالت باشد اس 1، یعنی یک کانال مشغول است، زیرا یک درخواست در ورودی آن وجود دارد. به محض تکمیل سرویس درخواست، سیستم وارد حالت حالت می شود اس 0 .
به عنوان مثال، اگر دو کانال مشغول باشند، جریان سرویسی که سیستم را از وضعیت منتقل می کند اس 2 در حالت اس 1 دو برابر شدیدتر خواهد بود: 2-μ. بر این اساس، اگر مشغول است ککانال ها، شدت k-μ است.

فرآیند نگهداری یک فرآیند مرگ و تولید مثل است. معادلات کولموگروف برای این مورد خاص به شکل زیر خواهد بود:

(7.25)
معادلات (7.25) نامیده می شوند معادلات ارلنگ .
به منظور یافتن مقادیر احتمال حالت ها آر 0 , آر 1 , …, آرn، تعیین شرایط اولیه ضروری است:
– آر 0 (0) = 1، یعنی یک درخواست در ورودی سیستم وجود دارد.
– آر 1 (0) = آر 2 (0) = … = آرn(0) = 0، یعنی در لحظه اولیه زمانی که سیستم آزاد است.
با ادغام سیستم معادلات دیفرانسیل (7.25)، مقادیر احتمالات حالت را بدست می آوریم. آر 0 (تی), آر 1 (تی), … آرn(تی).
اما ما بیشتر به احتمالات محدود کننده ایالت ها علاقه مندیم. به صورت t → ∞ و با استفاده از فرمول به دست آمده هنگام در نظر گرفتن فرآیند مرگ و تولید مثل، جوابی برای سیستم معادلات (7.25) به دست می آوریم:

(7.26)
در این فرمول ها نسبت شدت λ / μ تعیین جریان برنامه ها راحت است ρ .این کمیت نامیده می شود با توجه به شدت جریان برنامه ها،یعنی میانگین تعداد برنامه های وارد شده به QS در طول متوسط ​​زمان سرویس دهی به یک برنامه.

با در نظر گرفتن نماد انجام شده، سیستم معادلات (7.26) به شکل زیر خواهد بود:

(7.27)
این فرمول ها برای محاسبه احتمالات حاشیه ای نامیده می شوند فرمول های ارلنگ .
با دانستن تمام احتمالات حالت های QS، ویژگی های بازده QS، یعنی توان عملیاتی مطلق را پیدا خواهیم کرد. آ، توان نسبی سو احتمال شکست آرباز کن
درخواست دریافت شده توسط سیستم در صورتی که تمام کانال ها را اشغال کند رد می شود:

.
احتمال اینکه درخواست برای خدمات پذیرفته شود:

س = 1 – آرباز کن،
جایی که س- میانگین سهم برنامه های دریافت شده توسط سیستم، یا میانگین تعداد برنامه های سرویس دهی شده توسط QS در واحد زمان، تقسیم بر میانگین تعداد برنامه های دریافت شده در این مدت:

A=λ·Q=λ·(1-P باز)
علاوه بر این، یکی از مهم ترین ویژگی های یک QS با خرابی است میانگین تعداد کانال های شلوغ. که در n- کانال QS با خرابی، این تعداد با میانگین تعداد برنامه های کاربردی در QS مطابقت دارد.
میانگین تعداد درخواست‌های k را می‌توان مستقیماً از طریق احتمالات حالت‌های P 0، P 1، ...، P n محاسبه کرد:

,
یعنی ما انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا می کنیم که مقداری از 0 تا nبا احتمالات آر 0 , آر 1 , …, آرn.
بیان مقدار k از طریق ظرفیت مطلق QS، یعنی. A. مقدار A میانگین تعداد برنامه هایی است که توسط سیستم در واحد زمان سرویس می شوند. یک کانال شلوغ به ازای هر واحد زمان، μ درخواست ها را ارائه می دهد، سپس میانگین تعداد کانال های شلوغ را ارائه می دهد

در اکثریت قریب به اتفاق موارد، در عمل، سیستم نوبت دهی چند کاناله است، یعنی می توان چندین درخواست را به صورت موازی انجام داد و بنابراین، , مدل هایی با کانال های سرویس(که در آن تعداد کانال های خدمات n>1) بدون شک مورد توجه هستند.
فرآیند صف توصیف شده توسط این مدل با شدت جریان ورودی λ مشخص می شود و نه بیشتر از nمشتریان (برنامه های کاربردی). میانگین مدت زمان سرویس دهی یک درخواست 1/μ است. حالت عملکرد یک کانال سرویس دهی خاص بر حالت عملکرد کانال های سرویس دهی دیگر سیستم تأثیر نمی گذارد و مدت زمان سرویس دهی برای هر کانال است. متغیر تصادفی، مشمول قانون توزیع نمایی. هدف نهایی استفاده از کانال‌های سرویس متصل موازی افزایش (در مقایسه با سیستم تک کاناله) سرعت درخواست‌های سرویس با سرویس‌دهی همزمان است. nمشتریان
راه حل ثابت سیستم به شکل زیر است:
;
جایی که، .
فرمول های محاسبه احتمالات نامیده می شوند فرمول های ارلنگ
اجازه دهید ویژگی های احتمالی عملکرد یک QS چند کاناله با خرابی در حالت ثابت را تعیین کنیم:
احتمال شکست:
.
از آنجایی که درخواست در زمانی که تمام کانال ها مشغول هستند، رد می شود. اندازه R باز استکامل بودن سرویس جریان ورودی را مشخص می کند.
احتمال اینکه درخواست برای خدمت پذیرفته شود(معروف به ظرفیت نسبی سیستم) مکمل است R باز استبه یک:
.
توان عملیاتی مطلق

میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس() به شرح زیر:

مقدار درجه بارگذاری QS را مشخص می کند.
مثال. اجازه دهید nکانال QS یک مرکز کامپیوتری (CC) با سه ( n=3) رایانه های شخصی قابل تعویض برای حل مشکلات ورودی. جریان وظایفی که به مرکز کامپیوتر می رسد دارای شدت λ=1 وظیفه در ساعت است. میانگین مدت زمان سرویس t حدود 1.8 ساعت است.
شما باید مقادیر را محاسبه کنید:
- احتمال تعداد کانال های CC اشغال شده؛
- احتمال امتناع از ارائه یک برنامه؛
- ظرفیت نسبی مرکز کامپیوتر؛
- ظرفیت مطلق مرکز کامپیوتر؛
- میانگین تعداد رایانه های شخصی اشغال شده در مرکز کامپیوتر.
تعیین کنید که چه تعداد رایانه شخصی اضافی باید خریداری شود تا توان عملیاتی مرکز رایانه را 2 برابر افزایش دهید.
راه حل.
بیایید پارامتر جریان سرویس μ را تعریف کنیم:
.
کاهش شدت جریان برنامه ها
.
ما با استفاده از فرمول های Erlang احتمالات محدود کننده حالت ها را پیدا می کنیم:

احتمال امتناع از سرویس یک برنامه
.
ظرفیت نسبی مرکز کامپیوتر
.
ظرفیت مطلق CC:
.
میانگین تعداد کانال های اشغال شده - PC

بنابراین، در حالت عملکرد ثابت QS، به طور متوسط، 1.5 رایانه از سه رایانه اشغال می شود - یک و نیم باقی مانده بیکار خواهند بود. کار CC در نظر گرفته شده را به سختی می توان رضایت بخش در نظر گرفت، زیرا مرکز به طور متوسط ​​در 18٪ موارد درخواست خدمات ارائه نمی دهد (P 3 = 0.180). بدیهی است که ظرفیت مرکز کامپیوتر برای λ و μ داده شده تنها با افزایش تعداد رایانه های شخصی قابل افزایش است.
اجازه دهید تعیین کنیم که کامپیوتر چقدر باید استفاده شود تا تعداد برنامه های کاربردی دریافت نشده در CC را 10 برابر کاهش دهیم، یعنی. به طوری که احتمال شکست در حل مسائل از 0.0180 بیشتر نشود. برای این کار از فرمول احتمال شکست استفاده می کنیم:

بیایید جدول زیر را ایجاد کنیم:

n
پ 0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P باز شود	0,673	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

با تجزیه و تحلیل داده های جدول، لازم به ذکر است که گسترش تعداد کانال های رایانه در مقادیر داده شده λ و μ به 6 واحد رایانه شخصی، رضایت درخواست ها برای حل مشکلات را تا 99.22٪ تضمین می کند، زیرا با n= 6 احتمال انکار سرویس ( R باز است) 0.0078 است.