در ریاضیات عالی، مفهومی به عنوان ماتریس جابجا شده مورد مطالعه قرار می گیرد. لازم به ذکر است: بسیاری از مردم فکر می کنند که این موضوع نسبتاً پیچیده ای است که تسلط بر آن غیرممکن است. با این حال، اینطور نیست. به منظور درک دقیقا چگونه چنین است جراحی آسان، فقط باید کمی با مفهوم اصلی - ماتریس آشنا شوید. هر دانش آموزی می تواند موضوع را درک کند اگر برای مطالعه آن وقت بگذارد.

ماتریس چیست؟

ماتریس ها در ریاضیات بسیار رایج هستند. لازم به ذکر است که در علوم کامپیوتر نیز یافت می شوند. با تشکر از آنها و با کمک آنها، برنامه نویسی و ایجاد نرم افزار آسان است.

ماتریس چیست؟ این جدولی است که عناصر در آن قرار می گیرند. باید ظاهری مستطیلی داشته باشد. به زبان ساده، ماتریس جدولی از اعداد است. با استفاده از حروف بزرگ مشخص می شود حروف لاتین. می تواند مستطیل یا مربع باشد. همچنین ردیف ها و ستون های جداگانه ای وجود دارد که به آنها بردار می گویند. چنین ماتریس هایی فقط یک خط اعداد را دریافت می کنند. برای اینکه بفهمید یک جدول چقدر بزرگ است، باید به تعداد سطرها و ستون ها توجه کنید. اولی با حرف m و دومی با n نشان داده می شود.

شما قطعا باید بفهمید که مورب ماتریس چیست. یک طرف و یک اصلی وجود دارد. دوم آن نوار اعدادی است که از چپ به راست از عنصر اول تا آخرین عنصر می رود. در این حالت خط کناری از راست به چپ خواهد بود.

با ماتریس ها می توانید تقریباً همه ساده ترین عملیات های حسابی را انجام دهید، یعنی جمع، تفریق، ضرب با یکدیگر و به طور جداگانه با عدد. آنها همچنین می توانند منتقل شوند.

فرآیند انتقال

ماتریس جابه‌جایی، ماتریسی است که در آن سطرها و ستون‌ها با هم عوض می‌شوند. این کار به راحتی ممکن انجام می شود. با علامت A با T (A T) نشان داده می شود. اصولاً باید گفت که در ریاضیات عالی این یکی از ساده ترین عملیات روی ماتریس ها است. اندازه جدول حفظ می شود. به چنین ماتریسی جابجایی می گویند.

خواص ماتریس های جابجا شده

برای انجام صحیح فرآیند جابجایی، لازم است بدانیم که چه ویژگی هایی از این عملیات وجود دارد.

• برای هر جدول جابجا شده باید یک ماتریس اصلی وجود داشته باشد. عوامل تعیین کننده آنها باید با یکدیگر برابر باشند.
• اگر یک واحد اسکالر وجود داشته باشد، هنگام انجام این عملیات می توان آن را خارج کرد.
• هنگامی که یک ماتریس دو بار جابجا شود، برابر با ماتریس اصلی خواهد بود.
• اگر دو جدول تا شده را با ستون ها و ردیف های جابجا شده با مجموع عناصری که این عملیات روی آنها انجام شده است مقایسه کنید، آنها یکسان خواهند بود.
• آخرین ویژگی این است که اگر جداول ضرب شده را با یکدیگر جابه‌جا کنید، مقدار باید برابر با نتایج حاصل از ضرب ماتریس‌های جابجا شده به ترتیب معکوس باشد.

چرا جابجایی؟

یک ماتریس در ریاضیات برای حل مسائل خاصی با آن ضروری است. برخی از آنها نیاز به محاسبه جدول معکوس دارند. برای این کار باید یک عامل تعیین کننده پیدا کنید. در مرحله بعد، عناصر ماتریس آینده محاسبه می شوند، سپس آنها منتقل می شوند. تنها چیزی که باقی می ماند یافتن جدول مستقیم معکوس است. می توان گفت که در چنین مسائلی باید X را پیدا کنید و این کار با کمک دانش اولیه تئوری معادلات بسیار آسان است.

نتایج

این مقاله به بررسی چیستی ماتریس جابجایی پرداخته است. این موضوع برای مهندسین آینده که نیاز به محاسبه صحیح ساختارهای پیچیده دارند مفید خواهد بود. گاهی اوقات حل ماتریس آنقدرها هم آسان نیست، شما باید مغز خود را درگیر کنید. اما در درس ریاضی دانش آموزی این عمل به آسان ترین شکل ممکن و بدون هیچ تلاشی انجام می شود.

این عملیات روی ماتریس ها خطی نیستند.

تعریف. جابجا شدماتریس برای ماتریس اندازه
ماتریس اندازه نامیده می شود
، بدست آمده از جایگزینی تمام سطرهای آن با ستون هایی با شماره سریال یکسان.

یعنی اگر =
، آن
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

مثال.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

تعریف. اگر =، سپس ماتریس آتماس گرفت متقارن.

همه ماتریس های مورب متقارن هستند، زیرا عناصر آنها با قطر اصلی برابر هستند.

بدیهی است که ویژگی های زیر عملیات انتقال معتبر است:

تعریف. اجازه دهید =
- ماتریس اندازه
,=
- ماتریس اندازه
. محصول این ماتریس ها
- ماتریس =
اندازه
که عناصر آن با فرمول محاسبه می شوند:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

یعنی عنصر خط هفتم و ستون ماتریس ام برابر با مجموع حاصل از عناصر مربوطه سطر هفتم ماتریس و ستون ماتریس ام .

مثال.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

کار کنید
- وجود ندارد.

ویژگی های عملیات ضرب ماتریس

1.
، حتی اگر هر دو محصول تعریف شده باشند.

مثال.
,

، با اينكه

تعریف. ماتریس ها و نامیده می شوند قابل تغییر، اگر
، در غیر این صورت و نامیده می شوند غیر قابل تغییر

از تعریف به دست می‌آید که فقط ماتریس‌های مربعی با اندازه یکسان می‌توانند تغییرپذیر باشند.

مثال.

ماتریس ها و قابل تغییر

به این معنا که
,

به معنای، و - ماتریس های جایگشت

به طور کلی، ماتریس هویت با هر ماتریس مربعی با همان ترتیب و برای هر ماتریسی جابجا می شود.
. این یک ویژگی ماتریسی است توضیح می دهد که چرا به آن واحد می گویند: هنگام ضرب اعداد، عدد 1 این ویژگی را دارد.

اگر محصولات مربوطه تعریف شده باشند، آنگاه:

5.

مثال.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

اظهار نظر. عناصر ماتریس می توانند نه تنها اعداد، بلکه توابع نیز باشند. چنین ماتریسی نامیده می شود کاربردی

مثال.

عوامل تعیین کننده و خواص آنها

هر ماتریس مربع می تواند طبق قوانین خاصی با عدد معینی مرتبط شود که به آن دترمینان می گویند.

یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید:

تعیین کننده آن عددی است که به صورت زیر نوشته و محاسبه می شود:

(1.1)

چنین تعیین کننده ای نامیده می شود تعیین کننده مرتبه دومو شاید

متفاوت تعیین شود:
یا
.

تعیین کننده مرتبه سومعدد مربوط به یک ماتریس مربع است
، که طبق قانون محاسبه می شود:

این قانون برای محاسبه دترمینان مرتبه سوم قانون مثلث نامیده می شود و می تواند به صورت شماتیک به صورت زیر نمایش داده شود:

مثال.
;

اگر ستون اول و سپس ستون دوم را به سمت راست تعیین کننده اختصاص دهیم، قانون مثلث قابل تغییر است:

ابتدا اعداد مورب اصلی و دو مورب موازی با آن ضرب می شوند سپس اعداد مورب دیگر (ضلع) و موازی با آن ضرب می شوند. مجموع محصولات باقی مانده از مجموع سه محصول اول کسر می شود.

با گروه بندی عبارات در (1.2) و استفاده از (1.1)، توجه می کنیم که

(1.3)

یعنی هنگام محاسبه دترمینان مرتبه سوم از دترمینان مرتبه دوم استفاده می شود و
تعیین کننده ماتریسی است که از با خط کشیدن یک عنصر (به طور دقیق تر، ردیف اول و ستون اول، که در تقاطع آنها وجود دارد ),
- با خط زدن یک عنصر ,
- عنصر .

تعریف. جزئی اضافی
عنصر ماتریس مربع تعیین کننده ماتریس به دست آمده از است با خط زدن -خط و ستون هفتم

مثال.

تعریف. متمم جبریعنصر ماتریس مربع شماره تماس گرفت
.

مثال.

برای ماتریس :

برای ماتریس :
و غیره

بنابراین، با در نظر گرفتن تعاریف فرموله شده، (1.3) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

اکنون به سراغ حالت کلی می رویم.

تعریف. تعیین کنندهماتریس مربع سفارش عددی است که به صورت زیر نوشته و محاسبه می شود:

(1.4)

برابری (1.4) نامیده می شود بسط تعیین کننده به عناصر اولی خطوط. در این فرمول، متمم های جبری به عنوان تعیین کننده محاسبه می شوند
- مرتبه بنابراین، هنگام محاسبه تعیین کننده مرتبه 4 با استفاده از فرمول (1.4)، به طور کلی لازم است که 4 تعیین کننده مرتبه 3 محاسبه شود. هنگام محاسبه یک تعیین کننده مرتبه 5 - 5 تعیین کننده مرتبه 4 و غیره. با این حال، اگر برای مثال، در تعیین کننده مرتبه 4، خط اول شامل 3 عنصر صفر باشد، در فرمول (1.4) فقط یک جمله غیر صفر باقی می ماند.

مثال.

بیایید در نظر بگیریم (بدون مدرک) خواص عوامل تعیین کننده:

تعیین کننده را می توان به عناصر ستون اول گسترش داد:

مثال.

اظهار نظر. مثال های در نظر گرفته شده به ما امکان می دهد نتیجه گیری کنیم: تعیین کننده یک ماتریس مثلثی برابر است با حاصل ضرب عناصر قطر اصلی.

نتیجه این است که سطرها و ستون های تعیین کننده برابر هستند.

از اینجا، به طور خاص، نتیجه می شود که عامل مشترک هر رشته (ستون) را می توان فراتر از علامت تعیین کننده بیرون آورد. همچنین تعیین کننده ای که ردیف صفر یا ستون صفر دارد برابر با صفر است.

برابری (1.6) نامیده می شود خط هفتم

برابری (1.7) نامیده می شود بسط تعیین کننده به عناصر ستون هفتم

مجموع حاصلضرب تمام عناصر یک ردیف (ستون) معین توسط

مکمل های جبری عناصر متناظر یک ردیف دیگر

(ستون) برابر صفر است یعنی وقتی
و
در
.

مثال.
، از آنجایی که عناصر ردیف اول و دوم این تعیین کننده به ترتیب متناسب هستند (خاصیت 6).

ویژگی 9 به ویژه اغلب هنگام محاسبه دترمینال ها استفاده می شود، زیرا به هر تعیین کننده اجازه می دهد تا یک ردیف یا ستون را به دست آورد که در آن همه عناصر به جز یک برابر با صفر هستند.

مثال.

هنگام کار با ماتریس ها، گاهی اوقات لازم است آنها را جابجا کنید، یعنی بگویید به زبان ساده، حجم معاملات. البته، شما می توانید داده ها را به صورت دستی وارد کنید، اما اکسل راه های مختلفی را برای انجام این کار آسان تر و سریع تر ارائه می دهد. بیایید با جزئیات به آنها نگاه کنیم.

جابجایی ماتریس فرآیند مبادله ستون ها و سطرها است. اکسل دو گزینه برای جابجایی دارد: استفاده از تابع TRANSSPو با استفاده از ابزار مخصوص insert. بیایید هر یک از این گزینه ها را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

روش 1: عملگر TRANSPOSE

تابع TRANSSPمتعلق به دسته اپراتورها است "پیوندها و آرایه ها". ویژگی این است که مانند سایر توابع که با آرایه ها کار می کنند، نتیجه خروجی محتویات سلول نیست، بلکه کل آرایه داده است. سینتکس تابع بسیار ساده است و به شکل زیر است:

TRANSP(آرایه)

یعنی تنها آرگومان این عملگر ارجاع به آرایه است، در مورد ما ماتریسی که باید تبدیل شود.

بیایید ببینیم که چگونه می توان این تابع را با استفاده از یک مثال با یک ماتریس واقعی اعمال کرد.

1. یک سلول خالی روی صفحه انتخاب می کنیم که قصد داریم بالاترین سلول سمت چپ ماتریس تبدیل شده را بسازیم. در مرحله بعد، روی نماد کلیک کنید "درج تابع"، که در نزدیکی نوار فرمول قرار دارد.



2. راه اندازی در حال انجام است Function Wizards. دسته را در آن باز کنید "پیوندها و آرایه ها"یا "فهرست الفبای کامل". پس از پیدا کردن نام "TRANSP"، آن را انتخاب کرده و روی دکمه کلیک کنید "خوب".



3. پنجره آرگومان های تابع باز می شود TRANSSP. تنها آرگومان این عملگر مربوط به فیلد است "آرایه". شما باید مختصات ماتریسی را که باید برگردانده شود وارد کنید. برای انجام این کار، مکان نما را در فیلد قرار دهید و با نگه داشتن دکمه سمت چپ ماوس، کل محدوده ماتریس روی برگه را انتخاب کنید. پس از نمایش آدرس ناحیه در پنجره آرگومان ها، روی دکمه کلیک کنید "خوب".



4. اما همانطور که می بینیم در سلولی که برای نمایش نتیجه در نظر گرفته شده است مقدار نادرستی به شکل خطا نمایش داده می شود. "#ارزش!". این به دلیل نحوه کار عملگرهای آرایه است. برای تصحیح این خطا، محدوده ای از سلول ها را انتخاب کنید که تعداد سطرها باید با تعداد ستون های ماتریس اصلی و تعداد ستون ها برابر با تعداد سطرها باشد. چنین مکاتباتی برای نمایش صحیح نتیجه بسیار مهم است. در این مورد، سلول حاوی عبارت "#ارزش!"باید سلول سمت چپ بالای آرایه انتخاب شده باشد و از این سلول است که با پایین نگه داشتن دکمه سمت چپ ماوس، روند انتخاب باید آغاز شود. پس از انتخاب، مکان نما را بلافاصله بعد از عبارت عملگر در نوار فرمول قرار دهید TRANSSP، که باید در آن ظاهر شود. پس از این، برای انجام محاسبه، باید دکمه را فشار دهید وارد، همانطور که در فرمول های معمولی مرسوم است، و ترکیب را شماره گیری کنید Ctrl+Shift+Enter.



5. پس از این اقدامات، ماتریس همانطور که ما نیاز داشتیم نمایش داده شد، یعنی به شکل جابجایی. اما مشکل دیگری وجود دارد. واقعیت این است که اکنون ماتریس جدید یک آرایه است که توسط فرمولی به هم مرتبط شده است که قابل تغییر نیست. هنگامی که سعی می کنید هر تغییری در محتوای ماتریس ایجاد کنید، یک خطا ظاهر می شود. برخی از کاربران از این وضعیت کاملا راضی هستند، زیرا آنها قصد ندارند تغییراتی در آرایه ایجاد کنند، اما برخی دیگر به ماتریسی نیاز دارند که بتوانند به طور کامل با آن کار کنند.

   برطرف كردن این مشکل، کل محدوده انتقال یافته را انتخاب کنید. حرکت به برگه "خانه"روی نماد کلیک کنید "کپی 🀄"، که روی روبان در گروه قرار دارد "کلیپ بورد". به جای عمل مشخص شده، پس از انتخاب، می توانید یک میانبر استاندارد صفحه کلید برای کپی تنظیم کنید Ctrl+C.



6. سپس، بدون حذف انتخاب از محدوده انتقال، بر روی آن راست کلیک کنید. در منوی زمینه در گروه "درج گزینه ها"روی نماد کلیک کنید "ارزش های"، که شبیه یک پیکتوگرام است که اعداد را نشان می دهد.

   

   به دنبال این، فرمول آرایه TRANSSPحذف می شود و فقط یک مقدار در سلول ها باقی می ماند که می توان با آن به همان روشی که با ماتریس اصلی کار کرد.

روش 2: انتقال ماتریس با استفاده از Paste Special

علاوه بر این، ماتریس را می توان با استفاده از یک آیتم منوی زمینه به نام جابجا کرد "درج ویژه".

پس از این مراحل، فقط ماتریس تبدیل شده روی صفحه باقی می ماند.

با همان دو روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، می توانید نه تنها ماتریس ها، بلکه جداول کامل را نیز به اکسل منتقل کنید. روش تقریباً یکسان خواهد بود.

بنابراین، متوجه شدیم که در اکسل، ماتریس را می توان به دو روش جابجا کرد، یعنی با جابجایی ستون ها و ردیف ها، ماتریس را برگرداند. اولین گزینه شامل استفاده از تابع است TRANSSPو دومی Paste Special Tools است. به طور کلی، نتیجه نهایی به دست آمده در هنگام استفاده از هر دوی این روش ها تفاوتی ندارد. هر دو روش تقریباً در هر شرایطی کار می کنند. بنابراین هنگام انتخاب گزینه تبدیل، ترجیحات شخصی یک کاربر خاص برجسته می شود. یعنی کدام یک از این روش ها برای شخص شما راحت تر است، از آن استفاده کنید.

جابجایی ماتریس ها

جابجایی ماتریسجایگزینی ردیف‌های یک ماتریس با ستون‌های آن در حالی که ترتیب آن‌ها حفظ می‌شود (یا همان‌طور است، جایگزینی ستون‌های یک ماتریس با ردیف‌های آن) نامیده می‌شود.

اجازه دهید ماتریس اصلی داده شود آ:

سپس، طبق تعریف، ماتریس جابجا شده آ"دارای فرم:

شکل کوتاه شده علامت گذاری برای عملیات جابجایی یک ماتریس: ماتریس جابجا شده اغلب نشان داده می شود

مثال 3. اجازه دهید ماتریس ها داده شوند الف و ب:

سپس ماتریس های جابجا شده مربوطه به شکل زیر هستند:

به راحتی می توان به دو الگوی عملیات جابجایی ماتریس توجه کرد.

1. یک ماتریس دو بار جابجا شده برابر با ماتریس اصلی است:

2. هنگام جابجایی ماتریس های مربعی، عناصر واقع در مورب اصلی موقعیت خود را تغییر نمی دهند، یعنی. مورب اصلی یک ماتریس مربع هنگام جابجایی تغییر نمی کند.

ضرب ماتریس

ضرب ماتریس عملیات خاصی است که اساس جبر ماتریسی را تشکیل می دهد. سطرها و ستون های ماتریس ها را می توان به عنوان بردارهای سطر و ستون با ابعاد مناسب در نظر گرفت. به عبارت دیگر، هر ماتریسی را می توان به عنوان مجموعه ای از بردارهای ردیف یا بردار ستون تفسیر کرد.

بگذارید دو ماتریس داده شود: آ- اندازه تیایکس پو که در- اندازه p x k.ما ماتریس را در نظر خواهیم گرفت آبه عنوان یک کلیت تیبردارهای ردیف آ)ابعاد پهر کدام و ماتریس که در -به عنوان یک کلیت بهبردارهای ستونی b Jtحاوی هر کدام پهر کدام را مختصات می کند:

بردارهای ردیف ماتریسی آو بردارهای ستون ماتریس که دردر نماد این ماتریس ها (2.7) نشان داده شده است. طول ردیف ماتریس آبرابر با ارتفاع ستون ماتریس است که درو بنابراین حاصل ضرب اسکالر این بردارها منطقی است.

تعریف 3. حاصلضرب ماتریس ها آو که درماتریس C نامیده می شود که عناصر آن سوبرابر با حاصل ضربات اسکالر بردارهای ردیف هستند آ (ماتریس ها آبه بردارهای ستونی bjماتریس ها که در:

محصول ماتریس ها آو که در- ماتریس C - دارای اندازه است تیایکس به، از آنجایی که طول l بردارهای ردیف و بردارهای ستون هنگام جمع کردن ضربات مختصات این بردارها در محصولات اسکالر آنها ناپدید می شود، همانطور که در فرمول (2.8) نشان داده شده است. بنابراین، برای محاسبه عناصر ردیف اول ماتریس C، لازم است که به صورت متوالی حاصل ضربات اسکالر ردیف اول ماتریس را بدست آوریم. آبه تمام ستون های ماتریس که درسطر دوم ماتریس C به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردار ردیف دوم ماتریس به دست می آید. آبه تمام بردارهای ستون ماتریس که در، و غیره. برای راحتی به خاطر سپردن اندازه حاصلضرب ماتریس ها، باید حاصل تقسیم اندازه های ماتریس های عامل را تقسیم کنید: -، سپس اعداد باقی مانده در رابطه، اندازه حاصل را نشان می دهند. به

dsnia، t.s. اندازه ماتریس C برابر است تیایکس به.

در عملیات ضرب ماتریس وجود دارد ویژگی مشخصه: حاصل ضرب ماتریس ها آو که دراگر تعداد ستون‌ها در آن باشد منطقی است آبرابر با تعداد خطوط در که در.سپس اگر الف و ب -ماتریس های مستطیلی، سپس حاصلضرب که درو آدیگر منطقی نخواهد بود، زیرا محصولات اسکالر که عناصر ماتریس مربوطه را تشکیل می‌دهند باید بردارهایی با همان تعداد مختصات را شامل شوند.

اگر ماتریس ها آو که درمربع، اندازه l x l، به عنوان حاصل ضرب ماتریس ها معنا دارد AB،و حاصل ضرب ماتریس ها VA،و اندازه این ماتریس ها با فاکتورهای اصلی یکسان است. در این حالت، در حالت کلی ضرب ماتریس، قاعده جایگشت (جابه‌جایی) رعایت نمی‌شود، یعنی. AB * BA.

بیایید به مثال هایی از ضرب ماتریس نگاه کنیم.

از آنجایی که تعداد ستون های ماتریس آبرابر با تعداد ردیف های ماتریس است که در،حاصل ضرب ماتریس ها ABمعنی دارد. با استفاده از فرمول (2.8)، ماتریسی به اندازه 3x2 در محصول بدست می آوریم:

کار کنید VAمعنی ندارد، زیرا تعداد ستون های ماتریس است که دربا تعداد ردیف های ماتریس مطابقت ندارد آ.

در اینجا ما محصولات ماتریسی را پیدا می کنیم ABو VA:

همانطور که از نتایج مشاهده می شود، ماتریس محصول به ترتیب ماتریس های محصول بستگی دارد. در هر دو مورد، محصولات ماتریس به اندازه فاکتورهای اصلی هستند: 2x2.

در این مورد ماتریس که دریک بردار ستونی است، i.e. یک ماتریس با سه ردیف و یک ستون. به طور کلی، بردارها موارد خاصی از ماتریس ها هستند: یک بردار ردیفی با طول پیک ماتریس با یک ردیف است و پستون ها و بردار ستون ارتفاع پ- ماتریس با پردیف و یک ستون اندازه ماتریس های داده شده به ترتیب 2×3 و 3×I است، بنابراین حاصلضرب این ماتریس ها تعریف می شود. ما داریم

این محصول یک ماتریس به اندازه 2×1 یا یک بردار ستونی با ارتفاع 2 تولید می کند.

با ضرب متوالی ماتریس ها متوجه می شویم:

ویژگی های حاصلضرب ماتریس ها اجازه دهید الف، بو C ماتریس هایی با اندازه های مناسب هستند (به طوری که محصولات ماتریس را می توان تعیین کرد)، و a یک عدد واقعی است. سپس خواص زیر حاصل ضرب ماتریس ها برقرار است:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) ج A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ ج) = AB + AC؛
• 4) الف (AB) = (aA)B = A(aB).

مفهوم ماتریس هویت Eدر بند 2.1.1 معرفی شد. به راحتی می توان فهمید که در جبر ماتریسی نقش واحد را ایفا می کند، یعنی. می‌توانیم دو ویژگی دیگر مرتبط با ضرب در این ماتریس را در سمت چپ و راست یادداشت کنیم:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = آ.

به عبارت دیگر، حاصلضرب هر ماتریسی توسط ماتریس هویت، اگر منطقی باشد، ماتریس اصلی را تغییر نمی‌دهد.

برای جابجایی یک ماتریس، باید سطرهای ماتریس را در ستون بنویسید.

اگر، پس ماتریس جابجا شده است

اگر پس از آن

تمرین 1.پیدا کردن

1. تعیین کننده های ماتریس مربع

برای ماتریس های مربع، عددی معرفی می شود که به آن دترمینان می گویند.

برای ماتریس های مرتبه دوم (بعد) دترمینان با فرمول داده می شود:

به عنوان مثال، برای یک ماتریس، تعیین کننده آن است

مثال . محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس ها

برای ماتریس های مربع درجه سوم (بعد) یک قانون "مثلث" وجود دارد: در شکل، خط نقطه چین به معنای ضرب اعدادی است که خط نقطه چین از آنها می گذرد. سه عدد اول باید جمع شوند، سه عدد بعدی باید کم شوند.

مثال. تعیین کننده را محاسبه کنید.

برای ارائه یک تعریف کلی از یک تعیین کننده، لازم است مفهوم جزئی و متمم جبری را معرفی کنیم.

جزئیعنصر ماتریس تعیین کننده ای نامیده می شود که با خط زدن - آن سطر و - آن ستون به دست می آید.

مثال.بیایید چند فرعی از ماتریس A پیدا کنیم.

متمم جبریعنصر عدد نامیده می شود.

به این معنی که اگر مجموع شاخص ها زوج باشد، تفاوتی با هم ندارند. اگر مجموع شاخص ها فرد باشد، آنها فقط در علامت تفاوت دارند.

برای مثال قبلی

تعیین کننده ماتریسمجموع حاصل از عناصر یک رشته معین است

(ستون) به متمم های جبری آنها. بیایید این تعریف را روی یک ماتریس مرتبه سوم در نظر بگیریم.

ورودی اول بسط دترمینان در سطر اول، دومی بسط ستون دوم و آخری بسط سطر سوم نامیده می شود. در مجموع، چنین بسط هایی را می توان شش بار نوشت.

مثال. تعیین کننده را با استفاده از قانون "مثلث" محاسبه کنید و آن را در امتداد ردیف اول، سپس در امتداد ستون سوم، سپس در امتداد ردیف دوم گسترش دهید.

بیایید تعیین کننده را در امتداد خط اول گسترش دهیم:

بیایید تعیین کننده را در ستون سوم گسترش دهیم:

بیایید تعیین کننده را در خط دوم گسترش دهیم:

توجه داشته باشید که هر چه تعداد صفر بیشتر باشد، محاسبات ساده‌تر است. به عنوان مثال، با گسترش ستون اول، دریافت می کنیم

در میان ویژگی های تعیین کننده ها، خاصیتی وجود دارد که به شما امکان می دهد صفرها را دریافت کنید، یعنی:

اگر عناصر یک ردیف دیگر (ستون) را به عناصر یک ردیف خاص (ستون)، ضرب در یک عدد غیر صفر اضافه کنید، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

بیایید همان دترمینال را بگیریم و مثلاً در خط اول صفرها را بدست آوریم.

عوامل تعیین کننده مرتبه های بالاتر نیز به همین ترتیب محاسبه می شوند.

وظیفه 2.تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید:

1) پخش شدن روی هر سطر یا هر ستون

2) قبلاً صفرها را دریافت کرده باشید

برای مثال در ستون دوم یک صفر اضافی دریافت می کنیم. برای انجام این کار، عناصر خط دوم را در -1 ضرب کنید و آنها را به خط چهارم اضافه کنید:

1. حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر نشان خواهیم داد.

وظیفه 2.سیستم معادلات را حل کنید.

ما باید چهار عامل تعیین کننده را محاسبه کنیم. اولی اصلی نامیده می شود و از ضرایبی برای مجهولات تشکیل شده است:

توجه داشته باشید که اگر، سیستم را نمی توان با روش کرامر حل کرد.

سه عامل تعیین‌کننده باقی‌مانده با، نشان داده می‌شوند و با جایگزین کردن ستون مربوطه با ستونی از سمت راست به دست می‌آیند.

ما پیدا می کنیم. برای انجام این کار، ستون اول در تعیین کننده اصلی را به ستونی از سمت راست تغییر دهید:

ما پیدا می کنیم. برای انجام این کار، ستون دوم در تعیین کننده اصلی را به ستونی از سمت راست تغییر دهید:

ما پیدا می کنیم. برای انجام این کار، ستون سوم در تعیین کننده اصلی را به ستونی از سمت راست تغییر دهید:

ما راه حل سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می کنیم: , ,

بنابراین، راه حل برای سیستم،

بیایید برای انجام این کار یک بررسی انجام دهیم، ما جواب پیدا شده را در تمام معادلات سیستم جایگزین می کنیم.

1. حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریسی.

اگر یک ماتریس مربع دارای یک تعیین کننده غیر صفر باشد، یک ماتریس معکوس وجود دارد به طوری که . ماتریس ماتریس هویت نامیده می شود و دارای فرم است

ماتریس معکوس با فرمول به دست می آید:

مثال. معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

ابتدا تعیین کننده را محاسبه می کنیم.

یافتن متمم های جبری:

ماتریس معکوس را می نویسیم:

برای بررسی محاسبات، باید مطمئن شوید که .

بگذار سیستم داده شود معادلات خطی:

بیایید نشان دهیم

سپس سیستم معادلات را می توان به صورت ماتریسی به صورت , و از این رو نوشت. فرمول به دست آمده را روش ماتریسی حل سیستم می نامند.

وظیفه 3.سیستم را با استفاده از روش ماتریس حل کنید.

لازم است ماتریس سیستم را بنویسیم، معکوس آن را پیدا کنیم و سپس آن را در ستون سمت راست ضرب کنیم.

ما قبلاً ماتریس معکوس را در مثال قبلی پیدا کرده ایم، به این معنی که می توانیم یک راه حل پیدا کنیم:

1. حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش گاوس.

روش کرامر و روش ماتریسی فقط برای سیستم های درجه دوم استفاده می شود (تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است) و تعیین کننده نباید برابر با صفر باشد. اگر تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد و یا تعیین کننده سیستم صفر باشد، از روش گاوسی استفاده می شود. از روش گاوسی می توان برای حل هر سیستمی استفاده کرد.

و بیایید آن را در معادله اول جایگزین کنیم:

وظیفه 5.یک سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

بر اساس ماتریس به دست آمده، سیستم را بازیابی می کنیم:

ما یک راه حل پیدا می کنیم: