Svojstva matematičkog očekivanja. Svojstva matematičkog očekivanja Kako pronaći matematičko očekivanje slučajne varijable
– broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Sasvim je jasno da taj broj nije unaprijed poznat, a sljedećih desetero rođene djece može uključivati:
Ili dečki - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo tjelesnog odgoja:
– daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
To ni sportski majstor ne može predvidjeti :)
Međutim, vaše hipoteze?
2) Kontinuirana slučajna varijabla – prihvaća svi numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.
Bilješka : V obrazovna literatura popularne kratice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, zatim - stalan.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo Dopisivanje između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerojatnosti. Najčešće je zakon napisan u tablici: 
Termin se dosta često koristi red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se držati "zakona".
A sada vrlo važna točka: budući da je slučajna varijabla Obavezno prihvatit će jedna od vrijednosti, tada se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbroj vjerojatnosti njihove pojave jednak je jedinici:
ili, ako je napisano sažeto:
Tako, na primjer, zakon distribucije vjerojatnosti bodova bačenih na kockicu ima sljedeći oblik: 
Bez komentara.
Možda ste pod dojmom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo "dobre" cjelobrojne vrijednosti. Otklonimo iluziju - oni mogu biti bilo što:
Primjer 1
Neka igra ima sljedeći pobjednički zakon raspodjele: 
...vjerojatno ste dugo sanjali takve zadatke :) Odat ću vam tajnu - i ja. Pogotovo nakon što sam završio s radom teorija polja.
Riješenje: budući da slučajna varijabla može poprimiti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak jedan: 
Razotkrivanje “partizana”: 
– dakle, vjerojatnost dobitka konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: to je ono u što smo se trebali uvjeriti.
Odgovor:
Nije rijetkost da sami trebate izraditi zakon o raspodjeli. Za ovo koriste klasična definicija vjerojatnosti, teoremi množenja/zbrajanja za vjerojatnosti događaja i drugi čips tervera:
Primjer 2
Kutija sadrži 50 srećki, od kojih je 12 dobitnih, od kojih 2 osvajaju po 1000 rubalja, a ostale po 100 rubalja. Napravite zakon raspodjele slučajne varijable - veličine dobitka, ako je iz kutije slučajno izvučen jedan listić.
Riješenje: kao što ste primijetili, vrijednosti slučajne varijable obično se stavljaju uzlaznim redoslijedom. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubljama.
Takvih je listića ukupno 50 - 12 = 38, a prema klasična definicija:
– vjerojatnost da će nasumično izvučeni listić biti gubitnik.
U drugim slučajevima sve je jednostavno. Vjerojatnost dobitka u rubljama je:
Provjerite: – a ovo je posebno ugodan trenutak takvih zadataka!
Odgovor: željeni zakon raspodjele dobitaka: 
Sljedeći zadatak rješavate sami:
Primjer 3
Vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu je . Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
...znala sam da ti nedostaje :) Da se podsjetimo teoremi množenja i zbrajanja. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi može biti korisno (a ponekad i korisnije) znati samo neke od njih numeričke karakteristike .
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo je prosječna očekivana vrijednost kada se testiranje ponavlja više puta. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima 
odnosno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj proizvoda sve njegove vrijednosti na odgovarajuće vjerojatnosti:
ili sažeto: 
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova bačenih na kockici:
Prisjetimo se sada naše hipotetske igre: 
Postavlja se pitanje je li uopće isplativo igrati ovu igru? ...tko ima dojmove? Dakle, ne možete to reći "na brzinu"! Ali na ovo se pitanje može lako odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u biti - prosječne težine po vjerojatnosti dobitka:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte svojim dojmovima - vjerujte brojkama!
Da, ovdje možete pobijediti 10, pa čak i 20-30 puta zaredom, ali dugoročno nas čeka neizbježna propast. I ne bih vam savjetovao da igrate takve igre :) Pa, možda samo Za zabavu.
Iz svega navedenog proizlazi da matematičko očekivanje više nije SLUČAJNA vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
Primjer 4
Gospodin X igra europski rulet sljedeći sustav: stalno kladite 100 rubalja na "crveno". Napravite zakon raspodjele slučajne varijable - njezinog dobitka. Izračunajte matematičko očekivanje dobitka i zaokružite ga na najbližu kopejku. Koliko prosjek Gubi li igrač za svaku uloženu stotku?
Referenca : Europski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor (“nula”). Ako se pojavi "crveno", igraču se isplaćuje dvostruki ulog, inače ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sustavi ruleta za koje možete izraditi vlastite tablice vjerojatnosti. Ali to je slučaj kada nam ne trebaju nikakvi zakoni distribucije i tablice, jer je sigurno utvrđeno da će matematičko očekivanje igrača biti potpuno isto. Jedina stvar koja se mijenja od sustava do sustava je
Najviše puni opis slučajna varijabla je njezin zakon raspodjele. Međutim, to nije uvijek poznato iu tim se slučajevima mora zadovoljiti s manje informacija. Takve informacije mogu uključivati: raspon promjene slučajne varijable, njenu najveću (najmanju) vrijednost, neke druge karakteristike koje opisuju slučajnu varijablu nekim sažeto rečeno. Sve te veličine nazivaju se numeričke karakteristike nasumična varijabla. Obično su to neki neslučajan brojevi koji na neki način karakteriziraju slučajnu varijablu. Glavna svrha numeričkih karakteristika je da u sažetom obliku izraze najznačajnija obilježja pojedine distribucije.
Najjednostavnija numerička karakteristika slučajne varijable x nazvao ju je očekivana vrijednost:
M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Ovdje x 1, x 2, …, x n– moguće vrijednosti slučajne varijable x, A str 1, str 2, …, r n– njihove vjerojatnosti.
Primjer 1. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable ako je poznat njen zakon distribucije:
Riješenje. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Primjer 2. Nađite matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja A u jednom pokušaju, ako je vjerojatnost ovog događaja jednaka R.
Riješenje. Ako x– broj pojavljivanja događaja A u jednom testu, onda, očito, zakon raspodjele x ima oblik:
Zatim M(X)=0×(1–r)+1×r=r.
Dakle: matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom pokušaju jednako je njegovoj vjerojatnosti.
Probabilističko značenje matematičkog očekivanja
Neka se proizvodi n testovi u kojima slučajna varijabla x prihvaćeno m 1 puta vrijednost x 1, m 2 puta vrijednost x 2, …, m k puta vrijednost x k. Zatim zbroj svih vrijednosti u n testovi jednaki su:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Nađimo aritmetičku sredinu svih vrijednosti koje uzima slučajna varijabla:
Vrijednosti – relativne učestalosti pojavljivanja vrijednosti x i (i=1, …, k). Ako n dovoljno velik (n®¥), onda su te frekvencije približno jednake vjerojatnostima: . Ali onda
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Dakle, matematičko očekivanje je približno jednako (što točnije, to veći broj testovi) aritmetička sredina opaženih vrijednosti slučajne varijable. To je vjerojatnosno značenje matematičkog očekivanja.
Svojstva matematičkog očekivanja
1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti.
M(C)=C×1=C.
2. Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja
M(CX)=C×M(X).
Dokaz. Neka zakon raspodjele x dato tablicom:
Zatim slučajna varijabla CX uzima vrijednosti Cx 1, Cx 2, …, Sh n s istim vjerojatnostima, tj. zakon raspodjele CX ima oblik:
M(SH)=Sh 1 ×r 1 +Sh 2 ×r 2 +…+Sh n ×p n =
=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. Matematičko očekivanje umnoška dviju neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Ova tvrdnja je dana bez dokaza (dokaz se temelji na definiciji matematičkog očekivanja).
Posljedica. Matematičko očekivanje umnoška više međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja.
Konkretno, za tri neovisne slučajne varijable
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Primjer. Nađite matematičko očekivanje umnoška broja bodova koji se mogu pojaviti pri bacanju dviju kockica.
Riješenje. Neka X i– broj bodova po ja th kosti. To mogu biti brojevi 1 , 2 , …, 6 s vjerojatnostima. Zatim
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Neka X=X 1 × X 2. Zatim
M(X)=M(X 1)×M(X 2)= =12,25.
4. Matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli (neovisnih ili zavisnih) jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Ovo svojstvo je generalizirano na slučaj proizvoljnog broja članova.
Primjer. Ispaljuju se 3 hica s vjerojatnošću da će pogoditi metu jednaku p 1 =0,4, p2 =0,3 I p3 =0,6. Nađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka.
Riješenje. Neka X i– broj pogodaka na ja-th hitac. Zatim
M(H i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Tako,
M(X 1 +X 2 +X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.
Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajne varijable X zadane na diskretnom prostoru vjerojatnosti je broj m =M[X]=∑x i p i ako niz apsolutno konvergira.
Svrha usluge. Korištenje online usluge izračunavaju se matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija(vidi primjer). Osim toga, iscrtava se graf funkcije distribucije F(X).
Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable
- Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samo sebi: M[C]=C, C – konstanta;
- M=C M[X]
- Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: M=M[X]+M[Y]
- Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: M=M[X] M[Y] , ako su X i Y neovisni.
Disperzijska svojstva
- Varijanca konstantne vrijednosti je nula: D(c)=0.
- Konstantni faktor se može izvaditi ispod predznaka disperzije tako da se kvadrira: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada je varijanca zbroja jednaka zbroju varijanci: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ako su slučajne varijable X i Y ovisne: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Za disperziju vrijedi sljedeća računska formula:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Primjer. Poznata su matematička očekivanja i varijance dviju neovisnih slučajnih varijabli X i Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable Z=9X-8Y+7.
Riješenje. Na temelju svojstava matematičkog očekivanja: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na temelju svojstava disperzije: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritam za izračun matematičkog očekivanja
Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se prenumerirati prirodnim brojevima; Svakoj vrijednosti dodijelite vjerojatnost različitu od nule.- Množimo parove jedan po jedan: x i s p i .
- Dodajte umnožak svakog para x i p i .
Na primjer, za n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Primjer br. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematičko očekivanje nalazimo pomoću formule m = ∑x i p i .
Očekivanje M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varijancu nalazimo pomoću formule d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varijanca D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardna devijacija σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Primjer br. 2. Diskretna slučajna varijabla ima sljedeći niz distribucije:
| x | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Riješenje. Vrijednost a nalazi se iz relacije: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ili 0,24=3 a , odakle je a = 0,08
Primjer br. 3. Odredite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable ako je poznata njezina varijanca i x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Riješenje.
Ovdje trebate izraditi formulu za pronalaženje varijance d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
gdje je očekivanje m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Za naše podatke
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ili -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Prema tome, moramo pronaći korijene jednadžbe, a bit će ih dva.
x 3 =8, x 3 =12
Odaberite onu koja zadovoljava uvjet x 1
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
x 1 =6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 =15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
Bit će tu i zadataka koje ćete sami rješavati, a na koje možete vidjeti odgovore.
Očekivanje i varijanca su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakteriziraju najvažnije značajke distribucije: njen položaj i stupanj raspršenosti. Očekivana vrijednost često se jednostavno naziva prosjekom. nasumična varijabla. Disperzija slučajne varijable - karakteristika disperzije, širenje slučajne varijable o njegovom matematičkom očekivanju.
U mnogim praktičnim problemima, potpuna, iscrpna karakteristika slučajne varijable - zakon distribucije - ili se ne može dobiti ili uopće nije potrebna. U tim je slučajevima ograničeno na približan opis slučajne varijable pomoću numeričkih karakteristika.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Dođimo do koncepta matematičkog očekivanja. Neka je masa neke tvari raspoređena između točaka x-osi x1 , x 2 , ..., x n. Štoviše, svaka materijalna točka ima odgovarajuću masu s vjerojatnošću od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je odabrati jednu točku na apscisnoj osi, karakterizirajući položaj cijelog sustava materijalnih točaka, uzimajući u obzir njihove mase. Prirodno je kao takvu točku uzeti središte mase sustava materijalnih točaka. Ovo je ponderirani prosjek slučajne varijable x, kojoj je apscisa svake točke xja ulazi s “težinom” jednakom odgovarajućoj vjerojatnosti. Ovako dobivena prosječna vrijednost slučajne varijable x naziva se njegovim matematičkim očekivanjem.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerojatnosti tih vrijednosti:
Primjer 1. Organizirana je dobitna lutrija. Postoji 1000 dobitaka, od kojih je 400 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki. 200 - 100 rubalja svaki. i 100 - 200 rubalja svaki. Koliki je prosječni dobitak za nekoga tko kupi jedan listić?
Riješenje. Prosječne dobitke ćemo pronaći ako ukupni iznos dobitaka, koji je 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubalja, podijelimo s 1000 (ukupni iznos dobitaka). Tada dobivamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnih dobitaka može se prikazati u sljedećem obliku:
S druge strane, u ovim uvjetima dobitna veličina je slučajna varijabla, koja može poprimiti vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. s vjerojatnostima jednakim 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Stoga je očekivani prosječni dobitak jednak zbroju umnožaka veličine dobitaka i vjerojatnosti njihovog dobivanja.
Primjer 2. Izdavač je odlučio objaviti novu knjigu. Knjigu planira prodati za 280 rubalja, od čega će on sam dobiti 200, 50 - knjižara i 30 - autor. U tablici se nalaze podaci o troškovima izdavanja knjige i vjerojatnosti prodaje određenog broja primjeraka knjige.
Pronađite očekivanu dobit izdavača.
Riješenje. Slučajna varijabla “dobit” jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troškova troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Stoga se izdavač suočava s gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tablica sažima očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:
| Broj | Dobit xja | Vjerojatnost strja | xja str ja |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ukupno: | 1,00 | 25000 |
Dakle, dobivamo matematičko očekivanje profita izdavača:
.
Primjer 3. Vjerojatnost pogotka jednim hicem str= 0,2. Odredite potrošnju projektila koji daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednako 5.
Riješenje. Iz iste formule matematičkog očekivanja koju smo do sada koristili, izražavamo x- potrošnja školjke:
.
Primjer 4. Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka s tri hica, ako je vjerojatnost pogotka sa svakim hicem str = 0,4 .
Savjet: pronađite vjerojatnost vrijednosti slučajne varijable prema Bernoullijeva formula .
Svojstva matematičkog očekivanja
Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja.
Svojstvo 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:
Svojstvo 2. Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja:
Svojstvo 3. Matematičko očekivanje zbroja (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbroju (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:
Svojstvo 4. Matematičko očekivanje umnoška slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja:
Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable x smanjiti (povećati) za isti broj S, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:
Kada se ne možete ograničiti samo na matematičko očekivanje
U većini slučajeva samo matematičko očekivanje ne može dovoljno okarakterizirati slučajnu varijablu.
Neka slučajne varijable x I Y dati su sljedećim zakonima raspodjele:
| Značenje x | Vjerojatnost |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Značenje Y | Vjerojatnost |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematička očekivanja ovih veličina su ista – jednaka nuli:
Međutim, obrasci njihove distribucije su različiti. Slučajna vrijednost x može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može poprimiti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plaća ne omogućuje procjenu udjela dobro i slabo plaćenih radnika. Drugim riječima, iz matematičkog očekivanja ne može se prosuditi kolika su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijancu slučajne varijable.
Varijanca diskretne slučajne varijable
Varijanca diskretna slučajna varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:
Standardna devijacija slučajne varijable x aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijance naziva se:
.
Primjer 5. Izračunajte varijance i standardne devijacije slučajnih varijabli x I Y, čiji su zakoni raspodjele dani u gornjim tablicama.
Riješenje. Matematička očekivanja slučajnih varijabli x I Y, kao što je gore utvrđeno, jednaki su nuli. Prema formuli disperzije pri E(x)=E(g)=0 dobivamo:
Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli x I Yšminka
.
Dakle, uz ista matematička očekivanja, varijanca slučajne varijable x vrlo mala, ali slučajna varijabla Y- značajan. To je posljedica razlika u njihovoj distribuciji.
Primjer 6. Investitor ima 4 alternativna investicijska projekta. Tablica sažima očekivani profit u tim projektima s odgovarajućom vjerojatnošću.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju za svaku alternativu.
Riješenje. Pokažimo kako se ove vrijednosti izračunavaju za treću alternativu:
Tablica sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.
Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da dugoročno svi imaju jednake prihode. Standardna devijacija može se tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi veliki rizik odabrat će projekt 1 jer ima najmanju standardnu devijaciju (0). Ukoliko investitor preferira rizik i visoke povrate u kratkom roku, tada će odabrati projekt s najvećom standardnom devijacijom - projekt 4.
Disperzijska svojstva
Predstavimo svojstva disperzije.
Svojstvo 1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula:
Svojstvo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije kvadriranjem:
.
Svojstvo 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata te vrijednosti, od kojeg se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:
,
Gdje 
.
Svojstvo 4. Varijanca zbroja (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbroju (razlici) njihovih varijanci:
Primjer 7. Poznato je da diskretna slučajna varijabla x ima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga poznato je matematičko očekivanje: E(x) = 4 . Pronađite varijancu diskretne slučajne varijable.
Riješenje. Označimo sa str vjerojatnost s kojom slučajna varijabla uzima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerojatnost vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedimo jednadžbu za matematičko očekivanje:
E(x) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,
gdje dobivamo vjerojatnosti: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .
Zakon distribucije slučajne varijable:
| x | −3 | 7 |
| str | 0,3 | 0,7 |
Varijancu ove slučajne varijable izračunavamo pomoću formule iz svojstva 3 disperzije:
D(x) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 8. Diskretna slučajna varijabla x uzima samo dvije vrijednosti. Prihvaća veću od vrijednosti 3 s vjerojatnošću 0,4. Osim toga, poznata je varijanca slučajne varijable D(x) = 6 . Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable.
Primjer 9. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz urne se izvlače 3 kuglice. Broj bijelih kuglica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla x. Nađite matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable.
Riješenje. Slučajna vrijednost x može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerojatnosti mogu se izračunati iz pravilo množenja vjerojatnosti. Zakon distribucije slučajne varijable:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| str | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:
M(x) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varijanca zadane slučajne varijable je:
D(x) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable
Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: središte mase za jediničnu masu kontinuirano raspoređeno na x-osi s gustoćom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, čiji argument funkcije xja naglo se mijenja; za kontinuiranu slučajnu varijablu argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable također je povezano s njezinom prosječnom vrijednošću.
Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijancu kontinuirane slučajne varijable, trebate pronaći određene integrale . Ako je dana funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, tada ona izravno ulazi u integrand. Ako je dana funkcija distribucije vjerojatnosti, tada njezinim diferenciranjem trebate pronaći funkciju gustoće.
Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njezin matematičko očekivanje, označeno sa ili .
Kao što je već poznato, zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, često je zakon raspodjele nepoznat i potrebno se ograničiti na manje informacija. Ponekad je još isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu; takvi se brojevi nazivaju numeričke karakteristike slučajne varijable.
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Matematičko očekivanje približno je jednako srednjoj vrijednosti slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj umnožaka svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti.
Ako je slučajna varijabla karakterizirana konačnim nizom distribucije:
| x | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | str 1 | str 2 | str 3 | … | r str |
zatim matematičko očekivanje M(X) određuje se formulom:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određeno je jednakošću:
gdje je gustoća vjerojatnosti slučajne varijable x.
Primjer 4.7. Nađite matematičko očekivanje broja bodova koji se pojave prilikom bacanja kocke.
Riješenje:
Slučajna vrijednost x poprima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Stvorimo zakon njegove distribucije:
| x | ||||||
| R |
Tada je matematičko očekivanje:
Svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:
M (S) = S.
2. Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja:
M (CX) = CM (X).
3. Matematičko očekivanje umnoška dviju neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X)M(Y).
Primjer 4.8. Nezavisne slučajne varijable x I Y dati su sljedećim zakonima raspodjele:
| x | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable XY.
Riješenje.
Nađimo matematička očekivanja svake od ovih veličina:
Slučajne varijable x I Y neovisno, stoga je potrebno matematičko očekivanje:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Posljedica. Matematičko očekivanje umnoška više međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja.
4. Matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Posljedica. Matematičko očekivanje zbroja nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja članova.
Primjer 4.9. Ispaljuju se 3 hica s vjerojatnošću da će pogoditi metu jednaku str 1 = 0,4; p2= 0,3 i str 3= 0,6. Nađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka.
Riješenje.
Broj pogodaka pri prvom udarcu je slučajna varijabla X 1, koji može imati samo dvije vrijednosti: 1 (pogodak) s vjerojatnošću str 1= 0,4 i 0 (promašaj) s vjerojatnošću q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematičko očekivanje broja pogodaka pri prvom hicu jednako je vjerojatnosti pogotka:
Slično, nalazimo matematička očekivanja broja pogodaka za drugi i treći hitac:
M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.
Ukupan broj pogodaka također je slučajna varijabla koja se sastoji od zbroja pogodaka u svakom od tri hica:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Traženo matematičko očekivanje x Nalazimo ga pomoću teorema o matematičkom očekivanju zbroja.