Nacrtajte graf funkcije x 2 2x. Online grafikoni

Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i na apscisnu os nanesemo vrijednosti argumenta x, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x).

Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih točaka čije apscise pripadaju domeni definiranosti funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka ravnine, koordinata X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).

Na sl. 45 i 46 prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (točan matematička definicija koji je gore dat) i nacrtana krivulja, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (i čak i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio, koji se nalazi u konačnom dijelu avion). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći "graf", a ne "skica grafikona".

Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u domenu definiranja funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebali biste to učiniti. Potrebno je kroz točku apscise x = a nacrtati ravnu crtu paralelnu s ordinatnom osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke će, prema definiciji grafa, biti jednaka fa)(Slika 47).

Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y = x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prihvaća na x = 1.

Za crtanje grafa funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate x,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavnija je metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka. Sastoji se u tome što argument x dati konačan broj vrijednosti - recimo, x 1, x 2, x 3,..., x k i izraditi tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tablica izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući te točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja u više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između željenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.

Primjer 1. Za crtanje grafa funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.

Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako nema dodatnih razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Kako bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

.

Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 točno opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka nepouzdana. Stoga, da bi se nacrtao graf dane funkcije, obično se postupa na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.

Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.

Graf funkcije y = |f(x)|.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo vas kako se to radi. Definiranjem apsolutne vrijednosti broja možemo pisati

To znači da graf funkcije y =|f(x)| može se dobiti iz grafikona, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x) s negativnim koordinatama, trebate konstruirati odgovarajuće točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os x).

Primjer 2. Grafički nacrtajte funkciju y = |x|.

Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na x< 0 (leži ispod osi x) simetrično reflektirana u odnosu na os x. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primjer 3. Grafički nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-os u točkama 0 i 2. U intervalu (0; 2) funkcija uzima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafikona simetrično odražava u odnosu na os apscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x

Graf funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafici funkcija y = f(x) I y = g(x).

Primijetimo da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcije f(x) i g(x).

Neka bodovi (x 0, y 1) I (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. g 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koje točke na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke x n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) I y = g(x).

Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)

Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za iscrtavanje grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim točkama i smjestimo rezultate u tablicu.

Grafikon funkcije vizualni je prikaz ponašanja funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafikoni vam pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete izgraditi grafove mnogih funkcija, a svakoj od njih bit će dana posebna formula. Graf bilo koje funkcije izgrađen je pomoću određenog algoritma (ako ste zaboravili točan postupak crtanja grafa određene funkcije).

Koraci

Grafičko crtanje linearne funkcije

Odredite je li funkcija linearna. Linearna funkcija dana je formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez ikakvih eksponenata, predznaka korijena ili slično. S obzirom na funkciju sličnog tipa, vrlo je jednostavno iscrtati graf takve funkcije. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu za označavanje točke na Y osi. Konstanta (b) je "y" koordinata točke u kojoj graf siječe os Y, to jest, to je točka čija je "x" koordinata jednaka 0. Dakle, ako je x = 0 zamijenjeno formulom. , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je jednaka 5, odnosno točka presjeka s Y osi ima koordinate (0,5). Nacrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.

Pronađite nagib pravca. Jednak je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) uz varijablu “x” postoji faktor 2; stoga je koeficijent nagiba jednak 2. Koeficijent nagiba određuje kut nagiba pravca prema osi X, odnosno što je koeficijent nagiba veći, funkcija brže raste ili opada.

Zapiši nagib kao razlomak. Kutni koeficijent jednak je tangensu kuta nagiba, odnosno omjeru okomite udaljenosti (između dviju točaka na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je okomita udaljenost 2, a vodoravna udaljenost 1. Zapišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ako je nagib negativan, funkcija je opadajuća.

1. Od točke gdje ravna linija siječe Y os, iscrtajte drugu točku koristeći okomite i vodoravne udaljenosti. Grafički prikaz linearne funkcije može se prikazati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka sjecišta s Y osi ima koordinate (0,5); Od ove točke, pomaknite se 2 mjesta prema gore, a zatim 1 mjesto udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.

   Pomoću ravnala nacrtajte ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva grafikon se može iscrtati pomoću dvije točke. Dakle, iscrtali ste linearnu funkciju.

   Ucrtavanje točaka na koordinatnu ravninu

   1. Definirajte funkciju. Funkcija se označava kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivamo domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivamo domenom funkcije. Na primjer, razmotrimo funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2.

      Nacrtajte dvije okomite crte koje se sijeku. Vodoravna linija je os X okomita linija je os Y.

      Označite koordinatne osi. Podijelite svaku os na jednake segmente i numerirajte ih. Sjecište osi je 0. Za X os: pozitivni brojevi se ucrtavaju desno (od 0), a negativni brojevi lijevo. Za Y os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.

      Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x". U našem primjeru je f(x) = x+2. Zamijenite određene x vrijednosti u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće y vrijednosti. Ako je dana složena funkcija, pojednostavite je izdvajanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Nacrtajte točke na koordinatnu ravninu. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na X osi i nacrtajte okomitu liniju (točkastu); pronađite odgovarajuću vrijednost na Y osi i nacrtajte vodoravnu liniju (isprekidana linija). Označite točku sjecišta dviju isprekidanih linija; dakle, iscrtali ste točku na grafikonu.

      Obrišite isprekidane linije. Učinite to nakon što sve točke na grafikonu iscrtate na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je pravac koji prolazi koordinatnim središtem [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .

   Grafički prikaz složene funkcije

   Pronađite nulte točke funkcije. Nule funkcije su vrijednosti varijable x gdje je y = 0, odnosno to su točke u kojima graf siječe X-os Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali one su prve korak u procesu crtanja bilo koje funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, izjednačite je s nulom. Na primjer:

   Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je linija kojoj se graf funkcije približava, ali je nikada ne siječe (to jest, u ovom području funkcija nije definirana, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu točkastom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nazivnik postavite na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru povucite isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete dijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:

“Transformacija funkcija” - klackalica. Pomaknite y os prema gore. Pojačajte glasnoću do kraja i povećat ćete a (amplitudu) vibracija zraka. Pomaknite x-os ulijevo. Ciljevi lekcije. 3 boda. Glazba, muzika. Nacrtajte funkciju i odredite D(f), E(f) i T: Kompresija duž x-osi. Pomaknite y os prema dolje. Dodajte crvenu boju u paletu i smanjite k (frekvenciju) elektromagnetskih oscilacija.

“Funkcije više varijabli” - Izvodnice višeg reda. Funkcija dviju varijabli može se prikazati grafički. Diferencijalni i integralni račun. Unutarnje i rubne točke. Određivanje limesa funkcije 2 varijable. Tečaj matematičke analize. Berman. Limit funkcije 2 varijable. Grafikon funkcije. Teorema. Ograničeno područje.

“Pojam funkcije” - Metode crtanja grafova kvadratne funkcije. Proučavanje različitih načina specificiranja funkcije važna je metodološka tehnika. Značajke proučavanja kvadratnih funkcija. Genetska interpretacija pojma "funkcija". Funkcije i grafovi u školskom kolegiju matematike. Ideja linearne funkcije je istaknuta kada se crta određena linearna funkcija.

"Funkcija teme" - analiza. Potrebno je otkriti ne ono što učenik ne zna, nego ono što on zna. Postavljanje temelja za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na sveučilišta. Sinteza. Ako učenici rade drugačije, onda bi i nastavnik trebao drugačije raditi s njima. Analogija. Generalizacija. Raspodjela zadataka Jedinstvenog državnog ispita po glavnim blokovima sadržaja školskog tečaja matematike.

“Transformacija grafova funkcija” - Ponoviti vrste transformacija grafova. Poveži svaki graf s funkcijom. Simetrija. Cilj lekcije: Izrada grafikona složene funkcije. Pogledajmo primjere transformacija i objasnimo svaku vrstu transformacije. Transformacija grafova funkcija. Istezanje. Učvrstiti konstrukciju grafova funkcija pomoću transformacija grafova elementarnih funkcija.

“Grafovi funkcija” - Vrsta funkcije. Raspon vrijednosti funkcije su sve vrijednosti zavisne varijable y. Graf funkcije je parabola. Graf funkcije je kubna parabola. Graf funkcije je hiperbola. Područje definiranja i područje vrijednosti funkcije. Korelirajte svaki red s njegovom jednadžbom: Domena definicije funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable x.

1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačko-racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija - polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. Neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju apscisi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osi i razvučene duž osi Oy.

Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakcijsko-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riješenje.

Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.

Primjer 3.

Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Riješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.

Neka razlomak bude pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.

Primjer 4.

Grafički nacrtajte funkciju y = 1/x 2 .

Riješenje.

Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku ​​“dijeljenja” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku ​​faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Kako je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviša točka na desnoj polovici grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. To znači da je naša pretpostavka netočna. Pronaći najviše veliki značaj funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveća vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate crtati graf funkcija?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

“Prirodni logaritam” - 0,1. Prirodni logaritmi. 4. Logaritamski pikado. 0,04. 7.121.

“Funkcija snage stupanj 9” - U. Kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n gdje je n zadani prirodni broj. X. Eksponent je paran prirodan broj (2n).

“Kvadratna funkcija” - 1 Definicija kvadratne funkcije 2 Svojstva funkcije 3 Grafovi funkcije 4 Kvadratne nejednadžbe 5 Zaključak. Svojstva: Nejednakosti: Pripremio učenik 8A razreda Andrey Gerlitz. Plan: Grafikon: -Intervali monotonosti za a > 0 za a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Kvadratna funkcija i njen graf” - Rješenje.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-pripada. Kada je a=1, formula y=ax ima oblik.

“Kvadratna funkcija 8. razreda” - 1) Konstruirajte vrh parabole. Crtanje grafa kvadratne funkcije. x. -7. Konstruirajte graf funkcije. Algebra 8. razred Učiteljica 496 Bovina škola T. V. -1. Plan izgradnje. 2) Konstruirajte os simetrije x=-1. g.