U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći izvedenica složena funkcija . Lekcija je logičan nastavak lekcije Kako pronaći izvedenicu?, u kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također smo se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.

U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije – i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati ​​u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze " vanjska funkcija“, “interno” funkcioniraju samo kako bi vam olakšali razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:

U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavni primjeriČini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Za ovo predlažem korištenje sljedeći termin, što se može učiniti mentalno ili u obliku nacrta.

Zamislimo da trebamo kalkulatorom izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Prije svega morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RASPRODAN Kod unutarnjih i vanjskih funkcija vrijeme je da se primijeni pravilo razlikovanja složenih funkcija.

Počnimo odlučivati. Iz razreda Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Konačni rezultat primjene formule izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, morate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli, prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:

Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i zapisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati kao smiješna izopačenost. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo:

Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počnimo odlučivati

Prema pravilu, prvo trebate uzeti derivat vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i pronalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za razlikovanje složene funkcije je sljedeći:

Pod udarom opet imamo složenu funkciju! Ali to je već jednostavnije. Lako je provjeriti da je unutarnja funkcija arkus, a vanjska funkcija stupanj. Prema pravilu za diferenciranje složene funkcije, prvo trebate uzeti derivaciju potencije.

I teorem o izvodu složene funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima u nekoj točki $x_0$ derivaciju $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcija $y=f(u)$ imaju u odgovarajućoj točki $u_0=\varphi (x_0)$ derivaciju $y_(u)"=f"(u)$. Tada će kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ u navedenoj točki također imati derivaciju jednaku umnošku derivacija funkcija $f(u)$ i $\varphi ( x)$:

$$ \lijevo(f(\varphi (x))\desno)"=f_(u)"\lijevo(\varphi (x_0) \desno)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, u kraćem zapisu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima u ovom odjeljku sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Sukladno tome, u svim primjerima derivacija $y"$ je uzeta u odnosu na varijablu $x$. Kako bi se naglasilo da je derivacija uzeta u odnosu na varijablu $x$, $y"_x$ se često piše umjesto $y "$.

Primjeri br. 1, br. 2 i br. 3 prikazuju detaljan postupak za pronalaženje derivacije složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tablice izvoda i ima smisla upoznati se s njim.

Preporučljivo je, nakon proučavanja materijala u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje kako bi čitatelj mogao provjeriti točnost svog rezultata.

Primjer br. 1

Pronađite derivaciju funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći derivaciju složene funkcije $y"$. Budući da je $y=e^(\cos x)$, tada je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Za naći izvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristimo formulu br. 6 iz tablice izvoda. Da bismo koristili formulu br. 6, moramo uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Daljnje rješenje sastoji se u jednostavnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \oznaka (1.1)$$

Sada trebamo pronaći vrijednost izraza $(\cos x)"$. Ponovno se okrećemo tablici izvedenica, birajući iz nje formulu br. 10. Zamjenom $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Sada nastavimo jednakost (1.1), dopunjujući je pronađenim rezultatom:

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Budući da je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti obično se preskaču, zapisujući nalaz izvoda u jednom retku, kao u jednakosti ( 1.3). Dakle, derivacija kompleksne funkcije je pronađena, preostaje samo zapisati odgovor.

Odgovor: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer br. 2

Pronađite derivaciju funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Trebamo izračunati derivaciju $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvući iz predznaka izvedenice:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \oznaka (2.1) $$

Sada se okrenimo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Radi lakšeg odabira željene formule iz tablice izvedenica, predstavit ću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu br. 2, tj. $\lijevo(u^\alpha \desno)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjavanjem jednakosti (2.1) dobivenim rezultatom imamo:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"= 108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \oznaka (2.2) $$

U ovoj situaciji često dolazi do pogreške kada rješavač u prvom koraku izabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umjesto formule $\lijevo(u^\ alfa \desno)"=\alfa\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Stvar je u tome da izvod vanjske funkcije mora biti na prvom mjestu. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da izračunavate vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pri nekoj vrijednosti $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, zatim pomnožiti rezultat s 4, dobivajući $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangens iz ovog rezultata, dobivajući $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim dobiveni broj dižemo na dvanaestu potenciju, dobivajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, tj. dizanje na potenciju 12 bit će vanjska funkcija. I od toga moramo početi pronalaziti izvod, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada trebamo pronaći $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tablice izvedenica, zamjenjujući $u=4\cdot \ln x$ u nju:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Hajdemo malo pojednostaviti dobiveni izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Ostaje pronaći $(4\cdot \ln x)"$. Uzmimo konstantu (tj. 4) iz znaka izvedenice: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Za pronalaženje $(\ln x)"$ koristimo formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Budući da je $x"=1$, tada je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Zamjenom dobivenog rezultata u formulu (2.3) dobivamo:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Podsjetit ću vas da se izvod složene funkcije najčešće nalazi u jednom retku, kao što je zapisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, pri izradi standardnih izračuna odn testovi Uopće nije potrebno tako detaljno opisivati ​​rješenje.

Odgovor: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer br. 3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, lagano transformirajmo funkciju $y$, izražavajući radikal (korijen) kao potenciju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada počnimo s pronalaženjem izvedenice. Budući da je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)" \oznaka (3.1) $$

Upotrijebimo formulu br. 2 iz tablice izvedenica, zamijenivši u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"= \frac(3)(7)\cdot \lijevo( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo jednakost (3.1) koristeći dobiveni rezultat:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \oznaka (3.2) $$

Sada trebamo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za to koristimo formulu br. 9 iz tablice izvedenica, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunivši jednakost (3.2) dobivenim rezultatom imamo:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \oznaka (3.3) $$

Ostaje pronaći $(5\cdot 9^x)"$. Prvo, uzmimo konstantu (broj $5$) izvan znaka izvedenice, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Da biste pronašli derivaciju $(9^x)"$, primijenite formulu br. 5 iz tablice derivacija, zamijenivši u nju $a=9$ i $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Budući da je $x"=1$, tada je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Ponovno se možemo vratiti s potencija na radikale (tj. korijene), pišući $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $\ frac(1)(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Tada će izvod biti napisan u ovom obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Odgovor: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Primjer br. 4

Pokažite da su formule br. 3 i br. 4 tablice izvedenica poseban slučaj formule br. 2 ove tablice.

Formula br. 2 tablice derivacija sadrži derivaciju funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2 dobivamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\oznaka (4.1)$$

Budući da $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tada se jednakost (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \lijevo(\frac(1)(u) \desno)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tablice derivata.

Vratimo se ponovno formuli br. 2 tablice derivata. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\lijevo(u^(\frac(1)(2))\desno)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\oznaka (4.2) $$

Budući da je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tablice izvedenica. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 tablice izvoda dobivene su iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće $\alpha$ vrijednosti.

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas koristan trik: uzimamo eksperimentalno značenje "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti to značenje u "užasan izraz".

1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se bez grešaka:

1) Izvadite kvadratni korijen.

2) Izvedite derivaciju razlike pomoću pravila

3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).

4) Uzmite derivaciju kosinusa.

6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer trebate riješiti sami.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li stvarno - ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Također se možete uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:

Ili ovako:

No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti?

Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatne strukture razlomka:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "užasan" logaritam

Ako g(x) I f(u) – diferencijabilne funkcije njihovih argumenata, odnosno u točkama x I u= g(x), tada je i kompleksna funkcija diferencijabilna u točki x a nalazi se formulom

Tipična pogreška pri rješavanju problema derivacije je mehanički prijenos pravila za diferenciranje jednostavnih funkcija na složene funkcije. Naučimo izbjeći ovu grešku.

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje: izračunajte prirodni logaritam svakog člana u zagradama i potražite zbroj izvedenica:

Točno rješenje: opet određujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je prirodni logaritam izraza u zagradama "jabuka", to jest, funkcija preko srednjeg argumenta u, a izraz u zagradama je “mljeveno meso”, odnosno posredni argument u nezavisnom varijablom x.

Zatim (koristeći formulu 14 iz tablice izvedenica)

U mnogim problemima iz stvarnog života, izraz s logaritmom može biti nešto kompliciraniji, zbog čega postoji lekcija

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje:

Prava odluka. Još jednom određujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je kosinus izraza u zagradama (formula 7 u tablici izvedenica) "jabuka", pripremljena je u modusu 1, koji utječe samo na nju, a izraz u zagradama (izvodnica stupnja je broj 3) u tablici izvedenica) je “mljeveno meso”, priprema se pod načinom 2 koji utječe samo na njega. I kao i uvijek, znakom proizvoda povezujemo dvije izvedenice. Proizlaziti:

Derivacija složene logaritamske funkcije čest je zadatak na kolokvijima, stoga Vam toplo preporučamo da prisustvujete lekciji “Derivacija logaritamske funkcije”.

Prvi primjeri bili su na složenim funkcijama, u kojima je posredni argument na nezavisnoj varijabli bila jednostavna funkcija. Ali u praktičnih zadatakaČesto je potrebno pronaći izvod složene funkcije, gdje je posredni argument ili sam složena funkcija ili sadrži takvu funkciju. Što učiniti u takvim slučajevima? Pronađite izvode takvih funkcija pomoću tablica i pravila diferenciranja. Kada se pronađe derivat posrednog argumenta, on se jednostavno zamijeni na pravo mjesto u formuli. Ispod su dva primjera kako se to radi.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može prikazati kao lanac od tri funkcije

tada bi se njegova derivacija trebala pronaći kao produkt derivacija svake od ovih funkcija:

Mnogi od vaših domaćih zadataka mogu zahtijevati da otvorite svoje vodiče u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije, ne zaboravljajući da u rezultirajućem umnošku derivacija postoji posredni argument u odnosu na nezavisnu varijablu x ne mijenja se:

Pripremamo drugi faktor umnoška i primjenjujemo pravilo za diferenciranje zbroja:

Drugi izraz je korijen, dakle

Stoga smo otkrili da međuargument, koji je zbroj, sadrži složenu funkciju kao jedan od izraza: podizanje na potenciju je složena funkcija, a ono što se podiže na potenciju je međuargument u odnosu na neovisnu varijabla x.

Stoga ponovno primjenjujemo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Stupanj prvog faktora pretvaramo u korijen, a pri diferenciranju drugog faktora ne zaboravimo da je derivacija konstante jednaka nuli:

Sada možemo pronaći derivaciju srednjeg argumenta potrebnog za izračunavanje derivacije složene funkcije koja je potrebna u izjavi problema g:

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Prvo koristimo pravilo za razlikovanje zbroja:

Dobili smo zbroj derivacija dviju složenih funkcija. Pronađimo prvu:

Ovdje je podizanje sinusa na potenciju složena funkcija, a sam sinus je srednji argument za nezavisnu varijablu x. Stoga ćemo usput koristiti pravilo diferenciranja složene funkcije uzimanje faktora iz zagrada :

Sada nalazimo drugi član derivacija funkcije g:

Ovdje je podizanje kosinusa na potenciju složena funkcija f, a sam kosinus je srednji argument u nezavisnoj varijabli x. Poslužimo se opet pravilom za razlikovanje složene funkcije:

Rezultat je tražena derivacija:

Tablica derivacija nekih složenih funkcija

Za složene funkcije, na temelju pravila diferenciranja složene funkcije, formula za derivaciju jednostavne funkcije ima drugačiji oblik.

1. Derivacija složene funkcije potencije, gdje u x
2. Izvedenica korijena izraza
3. Derivacija eksponencijalne funkcije
4. Poseban slučaj eksponencijalne funkcije
5. Derivacija logaritamske funkcije s proizvoljnom pozitivnom bazom A
6. Derivacija složene logaritamske funkcije, gdje je u– diferencijabilna funkcija argumenta x
7. Derivacija sinusa
8. Derivacija kosinusa
9. Derivacija tangente
10. Derivacija kotangensa
11. Derivacija arcsinusa
12. Derivacija ark kosinusa
13. Derivacija arktangensa
14. Derivacija ark kotangensa

Složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku ​​razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo učvrstiti pređeno gradivo, pogledati složenije izvode, a također se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebice s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova je lekcija logično treća, a nakon što je savladate pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav “Gdje drugdje? Dosta je!”, budući da su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. U razredu Derivacija složene funkcije Pogledali smo brojne primjere s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) opisivati ​​primjere u detalje. Stoga ćemo usmeno vježbati pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija :

Kod budućeg proučavanja drugih matanskih tema najčešće nije potreban tako detaljan zapis; pretpostavlja se da student zna pronaći takve izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva X-a?" Ovo bi trebao biti popraćen gotovo trenutnim i pristojnim odgovorom: .

Prvi primjer bit će odmah namijenjen za samostalno rješavanje.

Primjer 1

Pronađi usmeno, jednom radnjom, sljedeće izvedenice, npr.: . Za dovršenje zadatka trebate samo koristiti tablica derivacija elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje nedoumice, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se da nema grešaka...

(1) Izvadite kvadratni korijen.

(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).

(4) Uzmite derivaciju kosinusa.

(5) Uzmite derivaciju logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdublje uklopljenosti .

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer trebate riješiti sami.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li moguće – ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Također možete biti uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:

Ili ovako:

No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatnice frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju izvedenice, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "užasan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Eto zašto prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, najprije se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule izravno tamo. Ako nemate bilježnicu, prepišite ih na list papira, budući da će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se za diferencijaciju predlaže sličan logaritam, uvijek ga je preporučljivo "raščlaniti".

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori su na kraju lekcije.

Logaritamska derivacija

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje: je li moguće u nekim slučajevima umjetno organizirati logaritam? može! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. Što učiniti? Možete redom primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete golemu trokatnicu s kojom uopće ne želite imati posla.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "objese" s obje strane:

Bilješka : jer funkcija može imati negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, koji je prema zadanim postavkama uzet u obzir kompleks značenja. Ali ako u svoj strogosti, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu da.

Sada morate "rastaviti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod prajmom:

Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste se s njom sigurno nositi.

Što je s lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - SAM JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno navedene funkcije). Stoga je logaritam vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao čarolijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tijekom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ogledni dizajn primjera ove vrste nalazi se na kraju lekcije.

Pomoću logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.

Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Power-eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:

U pravilu se na desnoj strani stupanj vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo produkt dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu, prilažemo oba dijela ispod crte:

Daljnje radnje su jednostavne:

Konačno:

Ako neka pretvorba nije posve jasna, molimo ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim će zadacima potencna eksponencijalna funkcija uvijek biti složenija od prikazanog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamsku derivaciju.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - “x” i “logaritam logaritma x” (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod razlikovanja, kao što se sjećamo, bolje je konstantu odmah premjestiti iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :