Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā atrast kompleksas funkcijas atvasinājums. Nodarbība ir loģisks stundas turpinājums Kā atrast atvasinājumu?, kurā apskatījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas - un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es izmantoju neformālus izteicienus " ārējā funkcija", "iekšējā" funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “saplēst gabalos”:

Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.

Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Kad vienkāršus piemērusŠķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Šim nolūkam es iesaku izmantot nākamā tikšanās, ko var izdarīt garīgi vai melnraksta formā.

Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība kalkulatorā (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS Ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu.

Sāksim lemt. No klases Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:

Vispirms atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:

pieraksti to iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas gala rezultāts izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs pierakstām:

Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai pēc tam tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Saskaņā ar formulu vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:

Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās:

Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:

Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:

Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , bet šāds risinājums izskatīsies pēc smieklīgas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , bet daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu:

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos bieži var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā tiek ligzdotas uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:

Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām:

Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sāksim lemt

Saskaņā ar likumu vispirms ir jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:

Zem insulta mums atkal ir sarežģīta funkcija! Bet tas jau ir vienkāršāk. Ir viegli pārbaudīt, vai iekšējā funkcija ir arcsīns, bet ārējā funkcija ir pakāpe. Saskaņā ar noteikumu par sarežģītas funkcijas diferenciāciju vispirms ir jāņem jaudas atvasinājums.

Un teorēma par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, kuras formulējums ir šāds:

Pieņemsim, ka 1) funkcijai $u=\varphi (x)$ kādā brīdī $x_0$ ir atvasinājums $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcijai $y=f(u)$. ir atbilstošajā punktā $u_0=\varphi (x_0)$ atvasinājums $y_(u)"=f"(u)$. Tad kompleksajai funkcijai $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minētajā punktā būs arī atvasinājums, kas vienāds ar funkciju $f(u)$ un $\varphi () atvasinājumu reizinājumu x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

vai īsākā apzīmējumā: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma $y=f(x)$ (t.i., mēs ņemam vērā tikai viena mainīgā $x$ funkcijas). Attiecīgi visos piemēros atvasinājums $y"$ tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$, $y vietā bieži tiek rakstīts $y"_x$. "$.

Piemēri Nr. 1, Nr. 2 un Nr. 3 iezīmē detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.

Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams pāriet uz piemēra Nr.5, Nr.6 un Nr.7 patstāvīgu risināšanu. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $y=e^(\cos x)$ atvasinājumu.

Mums jāatrod kompleksas funkcijas $y"$ atvasinājums. Tā kā $y=e^(\cos x)$, tad $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. atrodam atvasinājumu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ izmantojam formulu Nr. 6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā $u=\cos x$. Tālākais risinājums ir vienkārši aizvietot izteiksmi $\cos x$, nevis $u$ formulā Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Tagad jāatrod izteiksmes $(\cos x)"$ vērtība. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr. 10. Aizvietojot $u=x$ formulā Nr. 10, mēs iegūstam : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Tagad turpināsim vienādību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Tā kā $x"=1$, mēs turpinām vienlīdzību (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Tātad no vienādības (1.3) mums ir: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Protams, skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, atvasinājuma atradumu ierakstot vienā rindā, tāpat kā vienādībā ( 1.3) Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ atvasinājumu.

Mums jāaprēķina atvasinājums $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinātās zīmes:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Tagad pievērsīsimies izteiksmei $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, prezentēšu izteiksmi jautājumu šādā formā: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Aizstāsim $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ un $\alpha=12$ šajā formulā:

Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Šādā situācijā bieži tiek pieļauta kļūda, kad risinātājs pirmajā solī formulas vietā izvēlas formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Lieta ir tāda, ka ārējās funkcijas atvasinājumam jābūt pirmajā vietā. Lai saprastu, kura funkcija būs ārpus izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, iedomājieties, ka aprēķina izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^) vērtību. x)$ ar kādu vērtību $x$. Vispirms aprēķināsiet vērtību $5^x$, pēc tam rezultātu reiziniet ar 4, iegūstot $4\cdot 5^x$. Tagad no šī rezultāta ņemam arktangensu, iegūstot $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tad mēs paaugstinām iegūto skaitli līdz divpadsmitajai pakāpei, iegūstot $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Pēdējā darbība, t.i. paaugstināšana līdz 12 jaudai būs ārēja funkcija. Un tieši no tā mums jāsāk atrast atvasinājumu, kas tika izdarīts vienādībā (2.2).

Tagad mums jāatrod $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 19, aizstājot tajā $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Atliek atrast $(4\cdot \ln x)"$. Izņemsim konstanti (t.i. 4) no atvasinājuma zīmes: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Lai atrastu $(\ln x)"$, mēs izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Tā kā $x"=1$, tad $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk atrodams vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, sagatavojot standarta aprēķinus vai testiem Risinājums nemaz nav jāapraksta tik detalizēti.

Atbilde: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Piemērs Nr.3

Atrodiet $y"$ no funkcijas $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju $y$, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \labais)^(\frac(3)(7))$. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tad:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Izmantosim formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=\sin(5\cdot 9^x)$ un $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Turpināsim vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Tagad mums jāatrod $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Atliek atrast $(5\cdot 9^x)"$. Vispirms ņemsim konstanti (skaitli $5$) ārpus atvasinājuma zīmes, t.i., $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Lai atrastu atvasinājumu $(9^x)"$, izmantojiet atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā $a=9$ un $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Tagad varam turpināt vienlīdzību (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Mēs atkal varam atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i., saknēm), rakstot $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ formā $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Atbilde: $y"=\frac(15\cdot \ln 9) (7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Piemērs Nr.4

Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir šīs tabulas formulas Nr. 2 īpašs gadījums.

Atvasinājumu tabulas formula Nr.2 satur funkcijas $u^\alpha$ atvasinājumu. Formulā Nr. 2 aizstājot $\alpha=-1$, mēs iegūstam:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Tā kā $u^(-1)=\frac(1)(u)$ un $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tad vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tā ir atvasinājumu tabulas formula Nr.3.

Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstāsim to ar $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Tā kā $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ un $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tad vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultātā iegūtā vienādība $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr.3 un Nr.4 iegūtas no formulas Nr.2, aizstājot atbilstošo $\alpha$ vērtību.

Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju ligzdām būs mazāk biedējoši. Šie divi piemēri kādam var šķist sarežģīti, bet, ja jūs tos saprotat (kāds cietīs), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos liksies kā bērnu joks.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams Pa labi IZPROTIET savus ieguldījumus. Gadījumos, kad rodas šaubas, atgādinu noderīgs triks: mēs ņemam, piemēram, “x” eksperimentālo nozīmi un mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aizstāt šo nozīmi ar “briesmīgo izteicienu”.

1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, kas nozīmē, ka summa ir dziļākā iegulšana.

2) Tad jums jāaprēķina logaritms:

4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:

5) Piektajā solī atšķirība:

6) Un visbeidzot, visattālākā funkcija ir kvadrātsakne:

Formula sarežģītas funkcijas diferencēšanai tiek piemēroti apgrieztā secībā, no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:

Šķiet, ka bez kļūdām:

1) Ņem kvadrātsaknes atvasinājumu.

2) Ņemiet starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu

3) Trīskārša atvasinājums ir nulle. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).

4) Ņem kosinusa atvasinājumu.

6) Un visbeidzot mēs ņemam dziļākās iegulšanas atvasinājumu.

Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma skaistumu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs atrisinātu pats.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Padoms: vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produktu diferenciācijas likumu

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko mazāku un jaukāku.
Nereti piemērā tiek parādīts nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Vispirms paskatāmies, vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, tad mēs varētu atvērt iekavas. Bet aplūkotajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.

Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu divreiz

Viltība ir tāda, ka ar “y” mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un ar “ve” apzīmējam logaritmu: . Kāpēc to var izdarīt? Vai tiešām - tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:

Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:

Varat arī sagriezties un kaut ko izlikt iekavās, taču šajā gadījumā labāk ir atstāt atbildi tieši šādā formā - to būs vieglāk pārbaudīt.

Aplūkoto piemēru var atrisināt otrā veidā:

Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs, paraugā tas tiek atrisināts, izmantojot pirmo metodi.

Apskatīsim līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat doties vairākos veidos:

Vai arī šādi:

Bet risinājums tiks uzrakstīts kompaktāk, ja vispirms izmantosim koeficienta diferenciācijas likumu , ņemot visu skaitītāju:

Principā piemērs ir atrisināts, un, ja to atstāj kā ir, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt uzmetumu, lai redzētu, vai atbildi var vienkāršot?

Samazināsim skaitītāja izteiksmi līdz kopsaucējam un atbrīvosimies no daļskaitļa trīsstāvu struktūras:

Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis atvasinājuma atrašanas laikā, bet gan banālu skolas pārveidojumu laikā. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz atvasinājumu “atvest pie prāta”.

Vienkāršāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas metodes, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts “briesmīgais” logaritms

Ja g(x) Un f(u) – to argumentu diferencējamās funkcijas, attiecīgi, punktos x Un u= g(x), tad arī kompleksā funkcija ir diferencējama punktā x un tiek atrasts pēc formulas

Tipiska kļūda, risinot atvasinātās problēmas, ir vienkāršu funkciju diferencēšanas noteikumu mehāniska pārnese uz sarežģītām funkcijām. Mācīsimies izvairīties no šīs kļūdas.

2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Nepareizs risinājums: aprēķiniet katra iekavās esošā vārda naturālo logaritmu un atrodiet atvasinājumu summu:

Pareizs risinājums: atkal nosakām, kur ir “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit iekavās esošās izteiksmes dabiskais logaritms ir “ābols”, tas ir, funkcija pār starpposma argumentu u, un izteiciens iekavās ir “malta gaļa”, tas ir, starparguments u pēc neatkarīga mainīgā x.

Pēc tam (izmantojot 14. formulu no atvasinājumu tabulas)

Daudzās reālās dzīves problēmās izteiksme ar logaritmu var būt nedaudz sarežģītāka, tāpēc ir mācība

3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Nepareizs risinājums:

Pareizs risinājums. Vēlreiz nosakām, kur atrodas “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit izteiksmes kosinuss iekavās (atvasinājumu tabulā 7. formula) ir “ābols”, tas ir sagatavots 1. režīmā, kas ietekmē tikai to, un izteiksme iekavās (pakāpes atvasinājums ir skaitlis 3 atvasinājumu tabulā) ir “maltā gaļa”, to gatavo 2. režīmā, kas ietekmē tikai to. Un kā vienmēr, mēs savienojam divus atvasinājumus ar produkta zīmi. Rezultāts:

Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums ir bieži sastopams uzdevums testos, tāpēc mēs ļoti iesakām apmeklēt nodarbību “Logaritmiskās funkcijas atvasinājums”.

Pirmie piemēri bija par sarežģītām funkcijām, kurās neatkarīgā mainīgā starpposma arguments bija vienkārša funkcija. Bet iekšā praktiski uzdevumi Bieži vien ir jāatrod kompleksas funkcijas atvasinājums, kur starpposma arguments pats par sevi ir sarežģīta funkcija vai satur šādu funkciju. Ko darīt šādos gadījumos? Atrodiet šādu funkciju atvasinājumus, izmantojot tabulas un diferenciācijas noteikumus. Kad tiek atrasts starpposma argumenta atvasinājums, tas vienkārši tiek aizstāts pareizajā formulas vietā. Zemāk ir divi piemēri, kā tas tiek darīts.

Turklāt ir noderīgi zināt sekojošo. Ja sarežģītu funkciju var attēlot kā trīs funkciju ķēdi

tad tā atvasinājums ir jāatrod kā katras šīs funkcijas atvasinājumu reizinājums:

Daudziem mājasdarbu uzdevumiem var būt nepieciešams atvērt rokasgrāmatas jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .

4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, neaizmirstot, ka iegūtajā atvasinājumu produktā ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x nemainās:

Mēs sagatavojam produkta otro koeficientu un piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:

Otrais termins ir sakne, tātad

Tādējādi mēs noskaidrojām, ka starparguments, kas ir summa, satur sarežģītu funkciju kā vienu no terminiem: paaugstināšana līdz jaudai ir sarežģīta funkcija, un tas, kas tiek paaugstināts par spēku, ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo. mainīgs x.

Tāpēc mēs atkal piemērojam sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikumu:

Mēs pārveidojam pirmā faktora pakāpi par sakni, un, diferencējot otro faktoru, neaizmirstiet, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli:

Tagad mēs varam atrast atvasinājumu starpposma argumentam, kas nepieciešams, lai aprēķinātu problēmas priekšrakstā nepieciešamās kompleksās funkcijas atvasinājumu y:

5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Pirmkārt, mēs izmantojam noteikumu summas diferencēšanai:

Mēs ieguvām divu sarežģītu funkciju atvasinājumu summu. Atradīsim pirmo:

Šeit sinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija, un pats sinuss ir starpposma arguments neatkarīgajam mainīgajam. x. Tāpēc mēs izmantosim sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu izņemot faktoru iekavās :

Tagad mēs atrodam funkcijas atvasinājumu otro vārdu y:

Šeit kosinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija f, un pats kosinuss ir starpposma arguments neatkarīgajā mainīgajā x. Atkal izmantosim noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju:

Rezultāts ir nepieciešamais atvasinājums:

Dažu sarežģītu funkciju atvasinājumu tabula

Sarežģītām funkcijām, pamatojoties uz sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, vienkāršas funkcijas atvasinājuma formula iegūst citu formu.

1. Sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājums, kur u x
2. Izteiksmes saknes atvasinājums
3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
4. Eksponenciālās funkcijas īpašs gadījums
5. Logaritmiskas funkcijas atvasinājums ar patvaļīgu pozitīvu bāzi A
6. Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums, kur u– argumenta diferencējamā funkcija x
7.Sinusa atvasinājums
8.Kosinusa atvasinājums
9. Pieskares atvasinājums
10.Kotangensa atvasinājums
11.Arksīna atvasinājums
12.Arka kosinusa atvasinājums
13.Arktangenta atvasinājums
14. Loka kotangensa atvasinājums

Kompleksie atvasinājumi. Logaritmisks atvasinājums.
Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Mēs turpinām uzlabot savu diferenciācijas tehniku. Šajā nodarbībā mēs apkoposim apskatīto materiālu, apskatīsim sarežģītākus atvasinājumus, kā arī iepazīsimies ar jauniem paņēmieniem un trikiem, kā atrast atvasinājumu, jo īpaši ar logaritmisko atvasinājumu.

Tiem lasītājiem, kuriem ir zems sagatavotības līmenis, vajadzētu atsaukties uz rakstu Kā atrast atvasinājumu? Risinājumu piemēri, kas ļaus paaugstināt savas prasmes gandrīz no nulles. Tālāk jums rūpīgi jāizpēta lapa Sarežģītas funkcijas atvasinājums, saprast un atrisināt Visi manis sniegtie piemēri. Šī nodarbība loģiski ir trešā pēc kārtas, un pēc tās apguves jūs pārliecinoši atšķirsit diezgan sarežģītas funkcijas. Nav vēlams ieņemt pozīciju “Kur vēl? Pietiek!”, jo visi piemēri un risinājumi ir ņemti no reāliem testiem un bieži sastopami praksē.

Sāksim ar atkārtošanu. Nodarbībā Sarežģītas funkcijas atvasinājums Mēs apskatījām vairākus piemērus ar detalizētiem komentāriem. Studējot diferenciālrēķinu un citas matemātiskās analīzes nozares, jums būs ļoti bieži jādiferencē, un piemērus ne vienmēr ir ērti (un ne vienmēr nepieciešams) aprakstīt ļoti detalizēti. Tāpēc praktizēsim atvasinājumu atrašanu mutiski. Tam vispiemērotākie “kandidāti” ir visvienkāršāko un sarežģīto funkciju atvasinājumi, piemēram:

Saskaņā ar sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu :

Nākotnē apgūstot citas matāna tēmas, tik detalizēts ieraksts visbiežāk nav nepieciešams, tiek pieņemts, ka students zina, kā autopilotā atrast šādus atvasinājumus. Iedomāsimies, ka pulksten 3 no rīta zvanīja telefons un patīkama balss jautāja: "Kāds ir divu X tangensas atvasinājums?" Tam vajadzētu sekot gandrīz tūlītējai un pieklājīgai atbildei: .

Pirmais piemērs uzreiz būs paredzēts neatkarīgam risinājumam.

1. piemērs

Atrodiet šādus atvasinājumus mutiski, vienā darbībā, piemēram: . Lai pabeigtu uzdevumu, jums tikai jāizmanto elementāru funkciju atvasinājumu tabula(ja vēl neesat to atcerējies). Ja rodas grūtības, iesaku vēlreiz izlasīt nodarbību Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atbildes nodarbības beigās

Kompleksie atvasinājumi

Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju ligzdām būs mazāk biedējoši. Šie divi piemēri kādam var šķist sarežģīti, bet, ja jūs tos saprotat (kāds cietīs), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos liksies kā bērnu joks.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams Pa labi IZPROTIET savus ieguldījumus. Gadījumos, kad rodas šaubas, es atgādinu kādu noderīgu paņēmienu: mēs ņemam, piemēram, eksperimentālo vērtību “x” un mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aizstāt šo vērtību ar “briesmīgo izteiksmi”.

1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, kas nozīmē, ka summa ir dziļākā iegulšana.

2) Tad jums jāaprēķina logaritms:

4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:

5) Piektajā solī atšķirība:

6) Un visbeidzot, visattālākā funkcija ir kvadrātsakne:

Formula sarežģītas funkcijas diferencēšanai tiek piemēroti apgrieztā secībā, no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:

Šķiet, ka kļūdu nav...

(1) Ņem kvadrātsaknes atvasinājumu.

(2) Mēs ņemam starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu

(3) Trīskārša atvasinājums ir nulle. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).

(4) Ņem kosinusa atvasinājumu.

(5) Ņem logaritma atvasinājumu.

(6) Un visbeidzot mēs ņemam dziļākās iegulšanas atvasinājumu.

Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma skaistumu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs atrisinātu pats.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Padoms: vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produktu diferenciācijas likumu

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko mazāku un jaukāku.
Nereti piemērā tiek parādīts nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Vispirms paskatāmies, vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, tad mēs varētu atvērt iekavas. Bet aplūkotajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.

Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu divreiz

Viltība ir tāda, ka ar “y” mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un ar “ve” apzīmējam logaritmu: . Kāpēc to var izdarīt? Vai tiešām – tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:

Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:

Varat arī sagriezties un kaut ko izlikt iekavās, taču šajā gadījumā labāk ir atstāt atbildi tieši šādā formā - to būs vieglāk pārbaudīt.

Aplūkoto piemēru var atrisināt otrā veidā:

Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs, paraugā tas tiek atrisināts, izmantojot pirmo metodi.

Apskatīsim līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat doties vairākos veidos:

Vai arī šādi:

Bet risinājums tiks uzrakstīts kompaktāk, ja vispirms izmantosim koeficienta diferenciācijas likumu , ņemot visu skaitītāju:

Principā piemērs ir atrisināts, un, ja to atstāj kā ir, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt uzmetumu, lai redzētu, vai atbildi var vienkāršot? Reducēsim skaitītāja izteiksmi līdz kopsaucējam un tiksim vaļā no trīsstāvu frakcijas:

Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis atvasinājuma atrašanas laikā, bet gan banālu skolas pārveidojumu laikā. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz atvasinājumu “atvest pie prāta”.

Vienkāršāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas metodes, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts “briesmīgais” logaritms

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat iet garu ceļu, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu:

Bet pats pirmais solis uzreiz iegrimdina jūs izmisumā - jums ir jāņem nepatīkamais atvasinājums no daļskaitļa pakāpes un pēc tam arī no daļdaļas.

Tāpēc pirms tam kā ņemt “sarežģīta” logaritma atvasinājumu, vispirms tas tiek vienkāršots, izmantojot labi zināmas skolas īpašības:

! Ja jums ir piezīmju grāmatiņa, kopējiet šīs formulas tieši tur. Ja jums nav piezīmju grāmatiņas, nokopējiet tos uz papīra lapas, jo pārējie nodarbības piemēri būs ap šīm formulām.

Pašu risinājumu var uzrakstīt apmēram šādi:

Pārveidosim funkciju:

Atvasinājuma atrašana:

Pašas funkcijas iepriekšēja konvertēšana ievērojami vienkāršoja risinājumu. Tādējādi, ja diferencēšanai tiek piedāvāts līdzīgs logaritms, vienmēr ir ieteicams to “izjaukt”.

Un tagad daži vienkārši piemēri, ko varat atrisināt patstāvīgi:

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Visas pārvērtības un atbildes ir nodarbības beigās.

Logaritmisks atvasinājums

Ja logaritmu atvasinājums ir tik salda mūzika, tad rodas jautājums: vai dažos gadījumos ir iespējams logaritmu sakārtot mākslīgi? Var! Un pat nepieciešams.

11. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs nesen aplūkojām līdzīgus piemērus. Ko darīt? Varat secīgi piemērot koeficienta diferenciācijas likumu un pēc tam produkta diferenciācijas likumu. Šīs metodes trūkums ir tāds, ka jūs iegūstat milzīgu trīsstāvu daļu, ar kuru jūs nemaz nevēlaties nodarboties.

Bet teorijā un praksē ir tāda brīnišķīga lieta kā logaritmiskais atvasinājums. Logaritmus var mākslīgi sakārtot, “pakarinot” tos abās pusēs:

Piezīme : jo funkcijai var būt negatīvas vērtības, tad, vispārīgi runājot, jums ir jāizmanto moduļi: , kas diferenciācijas rezultātā izzudīs. Tomēr pieņemams ir arī pašreizējais dizains, kur pēc noklusējuma tas tiek ņemts vērā komplekss nozīmes. Bet, ja visā stingrībā, tad abos gadījumos būtu jāizdara atruna, ka.

Tagad jums pēc iespējas vairāk “jāizjauc” labās puses logaritms (formulas jūsu acu priekšā?). Es aprakstīšu šo procesu ļoti detalizēti:

Sāksim ar diferenciāciju.
Mēs noslēdzam abas daļas zem galvenā:

Labās puses atvasinājums ir diezgan vienkāršs, es to nekomentēšu, jo, lasot šo tekstu, jums ir jāspēj ar to rīkoties pārliecinoši.

Kā ar kreiso pusi?

Kreisajā pusē mums ir sarežģīta funkcija. Es paredzu jautājumu: "Kāpēc, vai zem logaritma ir viens burts "Y"?"

Fakts ir tāds, ka šī “viena burta spēle” - PATS IR FUNKCIJA(ja tas nav īsti skaidrs, skatiet rakstu Netieši norādītas funkcijas atvasinājums). Tāpēc logaritms ir ārēja funkcija, bet “y” ir iekšēja funkcija. Un mēs izmantojam noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju :

Kreisajā pusē, it kā ar burvju mājienu, mums ir atvasinājums. Tālāk, saskaņā ar proporcijas likumu, mēs pārnesam “y” no kreisās puses saucēja uz labās puses augšdaļu:

Un tagad atcerēsimies, par kādu “spēlētāja” funkciju mēs runājām diferenciācijas laikā? Apskatīsim nosacījumu:

Galīgā atbilde:

12. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Šāda veida parauga dizaina paraugs atrodas nodarbības beigās.

Izmantojot logaritmisko atvasinājumu, bija iespējams atrisināt jebkuru no piemēriem Nr. 4-7, cita lieta, ka funkcijas tur ir vienkāršākas, un, iespējams, logaritmiskā atvasinājuma izmantošana nav īpaši pamatota.

Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Mēs vēl neesam apsvēruši šo funkciju. Jaudas eksponenciāla funkcija ir funkcija, kurai gan grāds, gan bāze ir atkarīgi no “x”. Klasisks piemērs, kas jums tiks sniegts jebkurā mācību grāmatā vai lekcijā:

Kā atrast jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu?

Ir nepieciešams izmantot tikko apspriesto paņēmienu - logaritmisko atvasinājumu. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs:

Parasti labajā pusē grāds tiek izņemts no logaritma:

Rezultātā labajā pusē ir divu funkciju reizinājums, kas tiks diferencēts pēc standarta formulas .

Mēs atrodam atvasinājumu; lai to izdarītu, mēs ievietojam abas daļas zem triepieniem:

Turpmākās darbības ir vienkāršas:

Visbeidzot:

Ja kāds pārveidojums nav līdz galam skaidrs, lūdzu, vēlreiz rūpīgi izlasiet piemēra Nr. 11 skaidrojumus.

Praktiskajos uzdevumos jaudas eksponenciālā funkcija vienmēr būs sarežģītāka nekā aplūkotais lekcijas piemērs.

13. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs izmantojam logaritmisko atvasinājumu.

Labajā pusē ir konstante un divu faktoru reizinājums - “x” un “logaritma x logaritms” (zem logaritma ir ligzdots cits logaritms). Atšķirot, kā mēs atceramies, labāk ir nekavējoties pārvietot konstanti no atvasinājuma zīmes, lai tas netraucētu; un, protams, mēs izmantojam pazīstamo noteikumu :