Sarežģītas funkcijas saknes atvasinājums. Atrodiet atvasinājumu: algoritmu un risinājumu piemērus

Uz kuriem mēs pārbaudījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar atvasinājumu sarežģīta funkcijaļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr nākas saskarties, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas - un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “saplēst gabalos”:

Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.

Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Kad vienkāršus piemērusŠķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Šim nolūkam es iesaku izmantot nākamā tikšanās, ko var izdarīt garīgi vai melnraksta formā.

Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība kalkulatorā (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu .

Sāksim lemt. No nodarbības Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:

Vispirms atrast atvasinājumu ārējā funkcija(sinuss), apskatiet elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un ievērojiet, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas rezultāts galīgajā formā tas izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs pierakstām:

Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai pēc tam tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Pēc formulas , vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts Nākamais:

Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās:

Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu atvasinājumu no iekšējā funkcija un nedaudz pielabojiet rezultātu:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:

Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu :

Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , taču šāds risinājums izskatīsies pēc neparastas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , bet daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu :

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos bieži var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā tiek ligzdotas uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:

Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām:

Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sāksim lemt

Saskaņā ar noteikumu Vispirms jums jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad, sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts Nākamais.

Ir doti piemēri atvasinājumu aprēķināšanai, izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.

Saturs

Skatīt arī: Sarežģītas funkcijas atvasinājuma formulas pierādījums

Pamatformulas

Šeit mēs sniedzam piemērus šādu funkciju atvasinājumu aprēķināšanai:
; ; ; ; .

Ja funkciju var attēlot kā sarežģītu funkciju šādā formā:
,
tad tā atvasinājumu nosaka pēc formulas:
.
Tālāk sniegtajos piemēros mēs rakstīsim šo formulu šādi:
.
Kur.
Šeit apakšindeksi vai , kas atrodas zem atvasinājuma zīmes, apzīmē mainīgos, pēc kuriem tiek veikta diferencēšana.

Parasti atvasinājumu tabulās ir doti funkciju atvasinājumi no mainīgā x. Tomēr x ir formāls parametrs. Mainīgo x var aizstāt ar jebkuru citu mainīgo. Tāpēc, atšķirot funkciju no mainīgā, mēs atvasinājumu tabulā vienkārši mainām mainīgo x uz mainīgo u.

Vienkārši piemēri

1. piemērs

Atrodiet sarežģītas funkcijas atvasinājumu
.

Uzrakstīsim doto funkciju līdzvērtīgā formā:
.
Atvasinājumu tabulā mēs atrodam:
;
.

Saskaņā ar kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu mums ir:
.
Šeit .

2. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Mēs izņemam konstanti 5 no atvasinājuma zīmes un no atvasinājumu tabulas atrodam:
.

.
Šeit .

3. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Mēs izņemam konstanti -1 atvasinājuma zīmei un no atvasinājumu tabulas atrodam:
;
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.

Mēs izmantojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu:
.
Šeit .

Sarežģītāki piemēri

Sarežģītākos piemēros mēs vairākas reizes piemērojam sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu. Šajā gadījumā mēs aprēķinām atvasinājumu no beigām. Tas ir, mēs sadalām funkciju tā sastāvdaļās un atrodam vienkāršāko daļu atvasinājumus, izmantojot atvasinājumu tabula. Mēs arī lietojam summas diferencēšanas noteikumi, produkti un frakcijas. Pēc tam veicam aizvietojumus un pielietojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.

4. piemērs

Atrodiet atvasinājumu
.

Izvēlēsimies vienkāršāko formulas daļu un atradīsim tās atvasinājumu. .

.
Šeit mēs esam izmantojuši apzīmējumu
.

Mēs atrodam sākotnējās funkcijas nākamās daļas atvasinājumu, izmantojot iegūtos rezultātus. Mēs piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:
.

Atkal piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu.

.
Šeit .

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
.

Izvēlēsimies vienkāršāko formulas daļu un atradīsim tās atvasinājumu no atvasinājumu tabulas. .

Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu.
.
Šeit
.

Atšķirsim nākamo daļu, izmantojot iegūtos rezultātus.
.
Šeit
.

Atšķirsim nākamo daļu.

.
Šeit
.

Tagad mēs atrodam vajadzīgās funkcijas atvasinājumu.

.
Šeit
.

Skatīt arī:

Un teorēma par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, kuras formulējums ir šāds:

Pieņemsim, ka 1) funkcijai $u=\varphi (x)$ kādā brīdī $x_0$ ir atvasinājums $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcijai $y=f(u)$. ir atbilstošajā punktā $u_0=\varphi (x_0)$ atvasinājums $y_(u)"=f"(u)$. Tad kompleksajai funkcijai $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minētajā punktā būs arī atvasinājums, kas vienāds ar funkciju $f(u)$ un $\varphi () atvasinājumu reizinājumu x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

vai īsākā apzīmējumā: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma $y=f(x)$ (t.i., mēs ņemam vērā tikai viena mainīgā $x$ funkcijas). Attiecīgi visos piemēros atvasinājums $y"$ tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$, $y vietā bieži tiek rakstīts $y"_x$. "$.

Piemēri Nr. 1, Nr. 2 un Nr. 3 iezīmē detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.

Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams pāriet uz piemēra Nr.5, Nr.6 un Nr.7 patstāvīgu risināšanu. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $y=e^(\cos x)$ atvasinājumu.

Mums jāatrod kompleksas funkcijas $y"$ atvasinājums. Tā kā $y=e^(\cos x)$, tad $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. atrodam atvasinājumu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ izmantojam formulu Nr. 6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā $u=\cos x$. Tālākais risinājums ir vienkārši aizvietot izteiksmi $\cos x$, nevis $u$ formulā Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Tagad jāatrod izteiksmes $(\cos x)"$ vērtība. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr. 10. Aizvietojot $u=x$ formulā Nr. 10, mēs iegūstam : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Tagad turpināsim vienādību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Tā kā $x"=1$, mēs turpinām vienlīdzību (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Tātad no vienādības (1.3) mums ir: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Protams, skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, atvasinājuma atradumu ierakstot vienā rindā, tāpat kā vienādībā ( 1.3) Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ atvasinājumu.

Mums jāaprēķina atvasinājums $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinātās zīmes:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Tagad pievērsīsimies izteiksmei $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, prezentēšu izteiksmi jautājumu šādā formā: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Aizstāsim $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ un $\alpha=12$ šajā formulā:

Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Šādā situācijā bieži tiek pieļauta kļūda, kad risinātājs pirmajā solī formulas vietā izvēlas formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Lieta ir tāda, ka ārējās funkcijas atvasinājumam jābūt pirmajā vietā. Lai saprastu, kura funkcija būs ārpus izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, iedomājieties, ka aprēķina izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^) vērtību. x)$ ar kādu vērtību $x$. Vispirms aprēķināsiet vērtību $5^x$, pēc tam rezultātu reiziniet ar 4, iegūstot $4\cdot 5^x$. Tagad no šī rezultāta ņemam arktangensu, iegūstot $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tad mēs paaugstinām iegūto skaitli līdz divpadsmitajai pakāpei, iegūstot $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Pēdējā darbība, t.i. paaugstināšana līdz 12 jaudai būs ārēja funkcija. Un tieši no tā mums jāsāk atrast atvasinājumu, kas tika izdarīts vienādībā (2.2).

Tagad mums jāatrod $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 19, aizstājot tajā $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Atliek atrast $(4\cdot \ln x)"$. Izņemsim konstanti (t.i. 4) no atvasinājuma zīmes: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Lai atrastu $(\ln x)"$, mēs izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Tā kā $x"=1$, tad $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk atrodams vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, sagatavojot standarta aprēķinus vai testiem Risinājums nemaz nav jāapraksta tik detalizēti.

Atbilde: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Piemērs Nr.3

Atrodiet $y"$ no funkcijas $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju $y$, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \labais)^(\frac(3)(7))$. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tad:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Izmantosim formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=\sin(5\cdot 9^x)$ un $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Turpināsim vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Tagad mums jāatrod $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Atliek atrast $(5\cdot 9^x)"$. Vispirms ņemsim konstanti (skaitli $5$) ārpus atvasinājuma zīmes, t.i., $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Lai atrastu atvasinājumu $(9^x)"$, izmantojiet atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā $a=9$ un $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Tagad varam turpināt vienlīdzību (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Mēs atkal varam atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i., saknēm), rakstot $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ formā $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Atbilde: $y"=\frac(15\cdot \ln 9) (7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Piemērs Nr.4

Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir šīs tabulas formulas Nr. 2 īpašs gadījums.

Atvasinājumu tabulas formula Nr.2 satur funkcijas $u^\alpha$ atvasinājumu. Formulā Nr. 2 aizstājot $\alpha=-1$, mēs iegūstam:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Tā kā $u^(-1)=\frac(1)(u)$ un $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tad vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tā ir atvasinājumu tabulas formula Nr.3.

Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstāsim to ar $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Tā kā $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ un $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tad vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultātā iegūtā vienādība $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr.3 un Nr.4 iegūtas no formulas Nr.2, aizstājot atbilstošo $\alpha$ vērtību.

Nav gluži pareizi kompleksa tipa funkcijas saukt par terminu “sarežģīta funkcija”. Piemēram, tas izskatās ļoti iespaidīgi, taču šī funkcija atšķirībā no tā nav sarežģīta.

Šajā rakstā mēs sapratīsim sarežģītas funkcijas jēdzienu, uzzināsim, kā to identificēt kā elementāro funkciju daļu, sniegsim formulu tās atvasinājuma atrašanai un detalizēti apsvērsim tipisku piemēru risinājumu.

Risinot piemērus, mēs pastāvīgi izmantosim atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabulu, tāpēc turiet tos acu priekšā.

Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments arī ir funkcija.

No mūsu viedokļa šī definīcija ir visskaidrākā. Parasti to var apzīmēt kā f(g(x)) . Tas nozīmē, ka g(x) ir kā funkcijas f(g(x)) arguments.

Piemēram, lai f ir arktangenta funkcija un g(x) = lnx ir naturālā logaritma funkcija, tad kompleksā funkcija f(g(x)) ir arctan(lnx) . Cits piemērs: f ir paaugstināšanas funkcija līdz ceturtajai pakāpei, un ir vesela racionāla funkcija (sk. ), tad .

Savukārt g(x) var būt arī sarežģīta funkcija. Piemēram, . Parasti šādu izteiksmi var apzīmēt kā . Šeit f ir sinusa funkcija, ir kvadrātsaknes funkcija, - daļēja racionāla funkcija. Ir loģiski pieņemt, ka funkciju ligzdošanas pakāpe var būt jebkurš galīgs naturāls skaitlis.

Bieži var dzirdēt sarežģītu funkciju, ko sauc funkciju sastāvs.

Formula sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai.

Piemērs.

Atrodiet sarežģītas funkcijas atvasinājumu.

Risinājums.

Šajā piemērā f ir kvadrātveida funkcija, un g(x) = 2x+1 – lineārā funkcija.

Šeit ir detalizēts risinājums, izmantojot kompleksās funkcijas atvasinājuma formulu:

Atradīsim šo atvasinājumu, vispirms vienkāršojot sākotnējās funkcijas formu.

Tāpēc

Kā redzat, rezultāti ir vienādi.

Centieties nesajaukt, kura funkcija ir f un kura ir g(x) .

Ilustrēsim to ar piemēru, lai parādītu jūsu uzmanību.

Piemērs.

Atrodiet sarežģītu funkciju atvasinājumus un .

Risinājums.

Pirmajā gadījumā f ir kvadrātveida funkcija un g(x) ir sinusa funkcija, tātad
.

Otrajā gadījumā f ir sinusa funkcija un jaudas funkcija. Tāpēc mēs iegūstam kompleksas funkcijas reizinājuma formulu

Funkcijas atvasinātajai formulai ir forma

Piemērs.

Atšķirt funkciju .

Risinājums.

Šajā piemērā sarežģīto funkciju var nosacīti uzrakstīt kā , kur ir attiecīgi sinusa funkcija, trešā pakāpju funkcija, bāzes e logaritma funkcija, arktangenta funkcija un lineārā funkcija.

Pēc kompleksās funkcijas atvasinājuma formulas

Tagad mēs atrodam

Saliksim kopā iegūtos starprezultātus:

Nav nekā biedējoša, analizējiet sarežģītas funkcijas, piemēram, ligzdotas lelles.

Šīs varētu būt raksta beigas, ja ne viena lieta...

Ieteicams skaidri saprast, kad piemērot diferenciācijas noteikumus un atvasinājumu tabulu un kad piemērot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu..

TAGAD ESIET ĪPAŠI UZMANĪGI. Mēs runāsim par atšķirību starp sarežģītām funkcijām un sarežģītām funkcijām. Jūsu panākumi atvasinājumu atrašanā būs atkarīgi no tā, cik lielā mērā jūs redzat šo atšķirību.

Sāksim ar vienkāršiem piemēriem. Funkcija var uzskatīt par kompleksu: g(x) = tanx , . Tāpēc jūs varat nekavējoties piemērot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu

Un šeit ir funkcija To vairs nevar saukt par sarežģītu.

Šī funkcija ir trīs funkciju, 3tgx un 1, summa. Lai gan - ir sarežģīta funkcija: - jaudas funkcija (kvadrātiskā parabola), un f ir pieskares funkcija. Tāpēc vispirms mēs izmantojam summu diferenciācijas formulu:

Atliek atrast kompleksās funkcijas atvasinājumu:

Tāpēc .

Mēs ceram, ka jūs sapratāt būtību.

Ja skatāmies plašāk, var apgalvot, ka kompleksa tipa funkcijas var būt daļa no kompleksajām funkcijām, bet kompleksās funkcijas var būt kompleksa tipa funkciju sastāvdaļas.

Piemēram, analizēsim funkciju tās sastāvdaļās .

Pirmkārt, šī ir sarežģīta funkcija, ko var attēlot kā , kur f ir 3. bāzes logaritma funkcija un g(x) ir divu funkciju summa Un . Tas ir, .

Otrkārt, tiksim galā ar funkciju h(x) . Tas atspoguļo attiecības ar .

Šī ir divu funkciju summa un , Kur - kompleksa funkcija ar skaitlisko koeficientu 3. - kuba funkcija, - kosinusa funkcija, - lineārā funkcija.

Šī ir divu funkciju un , kur summa - kompleksā funkcija, - eksponenciālā funkcija, - jaudas funkcija.

Tādējādi,.

Trešais, dodieties uz , kas ir sarežģītas funkcijas produkts un visa racionālā funkcija

Kvadrātvērtības funkcija ir logaritma funkcija no e bāzes.

Līdz ar to,.

Apkoposim:

Tagad ir skaidra funkcijas struktūra un ir kļuvis skaidrs, kuras formulas un kādā secībā piemērot to diferencējot.

Sadaļā par funkcijas diferencēšanu (atvasinājuma atrašanu) varat iepazīties ar līdzīgu problēmu risinājumu.