Saimniecības vienādojums pašlaik nav izlemjams. Fermata pēdējā teorēma: Vilsas un Perelmana pierādījums, formulas, aprēķina noteikumi un pilnīgs teorēmas pierādījums

Spriežot pēc vaicājuma "Fermata teorēma - īss pierādījums ", šī matemātiskā problēma patiešām interesē daudzus. Pirmo reizi šo teorēmu Pjērs de Fermats paziņoja 1637. gadā aritmētikas kopijas malā, kur viņš apgalvoja, ka viņam ir tā risinājums, tas ir pārāk liels, lai ietilptu malā.

Pirmais veiksmīgais pierādījums tika publicēts 1995. gadā - tas bija pilnīgs Endrjū Vailesa Fermata teorēmas pierādījums. Tas tika raksturots kā "pārliecinošs progress", un tas noveda Wiles uz 2016. gada Ābela balvu. Salīdzinoši īsi aprakstīts, pierādījās arī Fermata teorēmas pierādījums lielākā daļa modularitātes teorēmas un pavēra jaunas pieejas daudzām citām problēmām un efektīvas metodes modularitātes pieaugums. Šie sasniegumi virzīja matemātiku 100 gadus uz priekšu. Fermata mazās teorēmas pierādījums šodien nav nekas neparasts.

Neatrisināta problēma stimulēja algebriskās skaitļu teorijas attīstību 19. gadsimtā un modularitātes teorēmas pierādījuma meklēšanu 20. gadsimtā. Šī ir viena no ievērojamākajām teorēmām matemātikas vēsturē, un līdz Fermata teorēmas pilnīgam pierādījumam ar dalīšanu tā bija Ginesa rekordu grāmatā kā "vissmagākā matemātiskā problēma", kuras viena no iezīmēm ir tā, ka ir vislielākais neizdevušos pierādījumu skaits.

Vēsture

Pitagora vienādojumam x 2 + y 2 \u003d z 2 ir bezgalīgs skaits pozitīvu veselu skaitļu risinājumu x, y un z. Šie risinājumi ir pazīstami kā Pitagora trīsvienība. Aptuveni 1637. gadā Fermats grāmatas malā rakstīja, ka vispārīgākam vienādojumam an + bn \u003d cn nav dabisku risinājumu, ja n ir vesels skaitlis, kas lielāks par 2. Lai gan pats Fermats apgalvoja, ka ir savas problēmas risinājums, viņš to nedarīja. neatstāj sīkāku informāciju par viņas pierādījumiem. Fermata teorēmas elementārais pierādījums, ko paziņoja tās radītājs, drīzāk bija viņa lielīgais izgudrojums. Lielā franču matemātiķa grāmata tika atklāta 30 gadus pēc viņa nāves. Šis vienādojums, ko sauc par Fermata pēdējo teorēmu, matemātikā palika neatrisināts trīsarpus gadsimtus.

Teorēma galu galā kļuva par vienu no redzamākajām matemātikas neatrisinātajām problēmām. Mēģinājumi to pierādīt izraisīja ievērojamu skaitļu teorijas attīstību, un laika gaitā pēdējā Fermata teorēma kļuva pazīstama kā neatrisināta matemātikas problēma.

Īsa pierādījumu vēsture

Ja n \u003d 4, ko pierādīja pats Fermats, pietiek ar teorēmas pierādīšanu indeksiem n, kas ir galvenie skaitļi. Nākamo divu gadsimtu laikā (1637-1839) minējumi tika pierādīti tikai attiecībā uz 3., 5. un 7. pamatprincipu, lai gan Sofija Žermēna atjaunināja un pierādīja pieeju, kas bija aktuāla visai primātu klasei. 19. gadsimta vidū Ernsts Kummers to pagarināja un pierādīja teorēmu visiem parastajiem primiem, kā rezultātā neregulāros primus parsēja atsevišķi. Balstoties uz Kummera darbu un izmantojot sarežģītu datorzinātni, citi matemātiķi varēja paplašināt teorēmas risinājumu ar mērķi aptvert visus galvenos rādītājus līdz četriem miljoniem, taču visu eksponentu pierādījumi joprojām nebija pieejami (tas nozīmē, ka matemātiķi parasti uzskatīja, ka teorēmas risinājums nav iespējams, ārkārtīgi grūts vai nav sasniedzams ar mūsdienu zināšanām).

Šimuras un Tanijamas darbs

1955. gadā japāņu matemātiķiem Goro Šimuram un Jutakai Tanijamai bija aizdomas, ka pastāv saikne starp eliptiskām līknēm un moduļu formām - divām ļoti atšķirīgām matemātikas jomām. Tajā laikā pazīstama kā Taniyama-Shimura-Weil minējums un (galu galā) kā modularitātes teorēma, tā pastāvēja pati par sevi, bez acīmredzamas saiknes ar Fermat pēdējo teorēmu. Tas pats tika plaši uzskatīts par svarīgu matemātisko teorēmu, taču tika uzskatīts, ka to nav iespējams pierādīt (tāpat kā Fermata teorēmu). Tajā pašā laikā lielās Fermata teorēmas pierādīšana (pēc dalīšanas metodes un sarežģītu matemātisko formulu izmantošanas) tika veikta tikai pusgadsimtu vēlāk.

1984. gadā Gerhards Frejs pamanīja acīmredzamu saikni starp šiem diviem iepriekš nesaistītiem un neatrisinātiem jautājumiem. Pilnīgu apstiprinājumu tam, ka abas teorēmas bija cieši saistītas, 1986. gadā publicēja Kens Ribets, kurš balstījās uz daļēju Jean-Pierre Serre pierādījumu, kurš pierādīja visu, izņemot vienu daļu, kas pazīstama kā "epsilona minējums". Vienkārši sakot, šie Freja, Serra un Rībes darbi parādīja, ka, ja modularitātes teorēmu varētu pierādīt vismaz pusstabila eliptisko līkņu klasei, tad agrāk vai vēlāk tiktu atklāts arī Fermata pēdējās teorēmas pierādījums. Jebkuru risinājumu, kas varētu būt pretrunā ar Fermata pēdējo teorēmu, var izmantot arī, lai pretrunā ar modularitātes teorēmu. Tāpēc, ja modularitātes teorēma izrādījās patiesa, tad pēc definīcijas nevar pastāvēt risinājums, kas ir pretrunā ar Fermata pēdējo teorēmu, kas nozīmē, ka tā drīz bija jāpierāda.

Lai gan abas teorēmas bija sarežģītas matemātikas problēmas, kuras uzskatīja par neatrisināmām, abu japāņu darbs bija pirmais ieteikums, kā Fermata pēdējo teorēmu varētu turpināt un pierādīt visiem skaitļiem, ne tikai dažiem. Pētniekiem, kuri izvēlējās pētījuma tēmu, svarīgi bija fakts, ka atšķirībā no Fermata pēdējās teorēmas modularitātes teorēma bija galvenā aktīvā pētījumu joma, kurai tika izstrādāts pierādījums, un ne tikai vēsturiska dīvainība, tāpēc laiks, kas pavadīts tās darbu varētu attaisnot no profesionālā viedokļa. Tomēr vispārējais viedoklis bija tāds, ka Taniyama-Shimura hipotēzes risinājums izrādījās nepiemērots.

Fermata pēdējā teorēma: Vilsas pierādījums

Uzzinājis, ka Rībete ir pierādījusi Freija teorijas pareizību, angļu matemātiķis Endrjū Vilss, kurš no bērnības interesējās par Fermata pēdējo teorēmu un kuram bija pieredze ar elipsveida līknēm un blakus esošajiem domēniem, nolēma mēģināt pierādīt Taniyama-Shimura minējumu kā veids, kā pierādīt Fermata pēdējo teorēmu. 1993. gadā, sešus gadus pēc sava mērķa paziņošanas, slepeni strādājot pie teorēmas risināšanas problēmas, Vils spēja pierādīt saistītu minējumu, kas savukārt palīdzēs viņam pierādīt Fermata pēdējo teorēmu. Vilsas dokuments bija milzīgs pēc apjoma un apjoma.

Kļūda tika atklāta vienā viņa sākotnējā raksta daļā salīdzinošās pārskatīšanas laikā, un teorēmas kopīgai atrisināšanai bija nepieciešama vēl viena gada sadarbība ar Ričardu Teiloru. Rezultātā Wiles galīgais pierādījums Fermat teorēmai nebija ilgi gaidāms. 1995. gadā tas tika publicēts daudz mazākā mērogā nekā Wiles iepriekšējais matemātiskais darbs, skaidri parādot, ka viņš iepriekšējos secinājumos par iespēju pierādīt teorēmu nemaldījās. Vilsas veikums tika plaši izplatīts populārajā presē un popularizēts grāmatās un televīzijas programmās. Pārējo Taniyama-Shimura-Weil minējumu, kas tagad ir pierādīts un pazīstams kā modularitātes teorēma, vēlāk pierādīja citi matemātiķi, kuri balstījās uz Wiles darbu laikā no 1996. līdz 2001. gadam. Par viņa sasniegumu Vilss ir pagodināts un saņēmis neskaitāmas balvas, tostarp 2016. gada Ābela balvu.

Vilsas Fermata pēdējās teorēmas pierādījums ir īpašs gadījums moduļuma teorēmas risinājumam eliptiskām līknēm. Tomēr šis ir slavenākais tik liela mēroga matemātiskas operācijas gadījums. Kopā ar Ribes teorēmas risinājumu britu matemātiķis ieguva arī Fermata pēdējās teorēmas pierādījumu. Mūsdienu matemātiķi Fermata pēdējo teorēmu un modularitātes teorēmu gandrīz vispār uzskatīja par nepierādāmu, taču Endrjū Vilss spēja pierādīt visai zinātnes pasaulei, ka pat lietpratēji var kļūdīties.

Pirmo reizi Vilss par savu atklājumu paziņoja trešdien, 1993. gada 23. jūnijā, lekcijā Kembridžā ar nosaukumu "Moduļu formas, elipses līknes un Galois pārstāvniecības". Tomēr 1993. gada septembrī tika konstatēts, ka viņa aprēķinos bija kļūda. Gadu vēlāk, 1994. gada 19. septembrī, to, ko viņš dēvēs par “sava darba vissvarīgāko brīdi”, Vilss uzdūrās atklāsmei, kas ļāva viņam atrisināt problēmas risinājumu līdz vietai, kur tas varētu apmierināt matemātisko sabiedrību.

Darba raksturojums

Endrjū Vailsa Fermata teorēmas pierādījums izmanto daudzas metodes no algebriskās ģeometrijas un skaitļu teorijas, un tām ir daudz atzaru šajās matemātikas jomās. Viņš izmanto arī mūsdienu algebriskās ģeometrijas standarta konstrukcijas, piemēram, shēmu kategoriju un Ivasavas teoriju, kā arī citas 20. gadsimta metodes, kuras Pjēram Fermatam nebija pieejamas.

Abi raksti, kuros ir pierādījumi, ir 129 lappuses garš un ir uzrakstīti septiņu gadu laikā. Džons Koitss šo atklājumu raksturoja kā vienu no lielākajiem skaitļu teorijas sasniegumiem, un Džons Konvejs to nosauca par galveno 20. gadsimta matemātisko sasniegumu. Vilss, lai pierādītu Fermata pēdējo teorēmu, pierādot moduļuma teorēmu daļēji stabilu eliptisko līkņu gadījumam, izstrādāja efektīvas metodes modularitātes pieaugums un pavēra jaunas pieejas daudzām citām problēmām. Par pēdējā Fermata teorēmas atrisināšanu viņš tika bruņinieks un saņēma citas balvas. Kad kļuva zināms, ka Vilss ir ieguvis Ābela balvu, Norvēģijas Zinātņu akadēmija viņa sasniegumu raksturoja kā "apburošu un elementāru Fermata pēdējās teorēmas pierādījumu".

Kā bija

Viens no cilvēkiem, kurš analizēja Wiles oriģinālo rokrakstu ar teorēmas risinājumu, bija Niks Katcs. Pārskatīšanas laikā viņš uzdeva britam virkni paskaidrojošu jautājumu, kuru dēļ Vilss atzina, ka viņa darbā nepārprotami ir plaisa. Vienā kritiskajā pierādījuma daļā tika pieļauta kļūda, kas deva aplēsi par konkrētās grupas secību: Kolivagina un Flaha metodes pagarināšanai izmantotā Eulera sistēma bija nepilnīga. Kļūda tomēr nepadarīja viņa darbu bezjēdzīgu - katra Wiles darba daļa pati par sevi bija ļoti nozīmīga un novatoriska, tāpat kā daudzi no izstrādājumiem un metodēm, ko viņš izveidoja sava darba laikā, kas skāra tikai vienu daļu no rokraksts. Tomēr šim oriģināldarbam, kas publicēts 1993. gadā, patiesībā nebija pierādījumu par Fermata pēdējo teorēmu.

Vils pavadīja gandrīz gadu, mēģinot atrisināt teorēmu - vispirms viens pats un pēc tam sadarbībā ar savu bijušo studentu Ričardu Teiloru, taču šķita, ka tas ir veltīgi. Līdz 1993. gada beigām bija izplatījušās baumas, ka Vailsa pierādījumus nav izdevies pārbaudīt, taču nebija zināms, cik nopietna bija kļūme. Matemātiķi sāka spiest Vilsam atklāt viņa darba detaļas neatkarīgi no tā, vai tas bija pabeigts vai ne, lai plašāka matemātiķu kopiena varētu izpētīt un izmantot visu, ko viņš spēja sasniegt. Tā vietā, lai ātri labotu savu kļūdu, Vils atklāja tikai papildu sarežģītus aspektus Fermata pēdējās teorēmas pierādījumā un beidzot saprata, cik tas ir grūti.

Vilss paziņo, ka 1994. gada 19. septembra rītā viņš bija uz visa atteikšanās un padošanās robežas un gandrīz samierinājās ar izgāšanos. Viņš bija gatavs publicēt savu nepabeigto darbu, lai citi varētu uz tā balstīties un atrast, kur viņš kļūdījās. Angļu matemātiķis nolēma dot sev vēl vienu iespēju un pēdējo reizi analizēja teorēmu, lai mēģinātu saprast galvenos iemeslus, kāpēc viņa pieeja nedarbojās, kad viņš pēkšņi saprata, ka Kolyvagin-Flak pieeja nedarbosies, kamēr viņš nepievienos Iwasawa teorija, liekot tai darboties.

6. oktobrī Vilss lūdza trīs kolēģus (ieskaitot Faltinu) pārskatīt viņa jauno darbu, un 1994. gada 24. oktobrī viņš iesniedza divus rokrakstus - "Moduļveida elipses līknes un Fermata pēdējā teorēma" un "Dažu Hekes algebras gredzena teorētiskās īpašības. ", kuru Vilss sarakstīja kopā ar Teiloru un pierādīja, ka ir izpildīti noteikti nosacījumi, lai pamatotu galvenā raksta pārskatīto soli.

Šie divi raksti tika pārskatīti un beidzot publicēti kā pilna teksta izdevums 1995. gada maija matemātikas žurnālā. Endrjū jaunie aprēķini tika plaši analizēti un galu galā tika pieņemti zinātnieku aprindās. Šie dokumenti izveidoja moduļuma teorēmu daļēji noturīgām eliptiskām līknēm - pēdējais solis ceļā uz Fermat pēdējās teorēmas pierādīšanu, 358 gadus pēc tās izveidošanas.

Lielās problēmas vēsture

Šīs teorēmas risinājums gadsimtiem ilgi tiek uzskatīts par lielāko matemātikas problēmu. 1816. un 1850. gadā Francijas Zinātņu akadēmija piedāvāja balvu par Fermata pēdējās teorēmas vispārējo pierādījumu. 1857. gadā akadēmija piešķīra 3000 frankus un zelta medaļu Kummeram par ideālo skaitļu izpēti, lai gan viņš nepieteicās uz balvu. Vēl vienu balvu viņam 1883. gadā piedāvāja Briseles akadēmija.

Wolfskel balva

1908. gadā vācu rūpnieks un amatieru matemātiķis Pols Volfskels novēlēja Getingenes Zinātņu akadēmijai 100 000 zelta marku (lielu summu tam laikam), lai kļūtu par balvu par pilnīgu Fermata teorēmas pierādīšanu. 1908. gada 27. jūnijā akadēmija publicēja deviņus apbalvošanas noteikumus. Cita starpā šie noteikumi prasīja, lai pierādījumi tiktu publicēti recenzējamā žurnālā. Balvu vajadzēja piešķirt tikai divus gadus pēc publicēšanas. Konkursa termiņš bija paredzēts 2007. gada 13. septembrī - apmēram gadsimtu pēc tā sākuma. 1997. gada 27. jūnijā Vilss saņēma Volfšela naudas balvu, kam sekoja vēl 50 000 dolāru. 2016. gada martā viņš no Norvēģijas valdības Ābela balvas ietvaros saņēma 600 000 eiro par "Fermata pēdējās teorēmas satriecošu pierādījumu, izmantojot daļēji stabilu eliptisko līkņu modularitātes pieņēmumu, atverot jaunu laikmetu skaitļu teorijā". Pazemīgajam anglim tas bija pasaules triumfs.

Pirms Vilsas pierādījuma Fermata teorēma, kā minēts iepriekš, gadsimtiem ilgi tika uzskatīta par absolūti neatrisināmu. Tūkstošiem nepatiesu pierādījumu cits laiks tika iesniegtas Wolfskel komitejai, kuras apjoms bija aptuveni 10 pēdas (3 metri) korespondences. Pirmajā balvas pastāvēšanas gadā (1907-1908) tika iesniegts 621 pieteikums, pieprasot atrisināt teorēmu, lai gan līdz 1970. gadiem to skaits bija samazinājies līdz apmēram 3-4 pieteikumiem mēnesī. Pēc Volfšela recenzenta F. Šlihtinga teiktā, lielākā daļa pierādījumu balstījās uz pamatmetodēm, kuras māca skolās, un bieži tās tika pasniegtas kā "cilvēki ar tehnisko izglītību, bet neveiksmīgu karjeru". Pēc matemātikas vēsturnieka Hovarda Avesa teiktā, pēdējā Fermata teorēma uzstādīja sava veida rekordu - tieši šī teorēma saņēma visnepareizākos pierādījumus.

Saimniecības lauri nonāca japāņiem

Kā minēts iepriekš, ap 1955. gadu japāņu matemātiķi Goro Šimura un Jutaka Tanijama atklāja iespējamu saikni starp divām acīmredzami pilnīgi atšķirīgām matemātikas nozarēm - elipsveida līknēm un moduļu formām. Rezultātā iegūtā modularitātes teorēma (laikā, kas pazīstama kā Taniyama-Shimura minējums) norāda, ka katra eliptiskā līkne ir modulāra, kas nozīmē, ka to var saistīt ar unikālu moduļu formu.

Sākotnēji šī teorija tika noraidīta kā maz ticama vai ļoti spekulatīva, taču tā tika uztverta nopietnāk, kad skaitļu teorētiķis Andrē Veils atrada pierādījumus japāņu secinājumu atbalstam. Rezultātā hipotēzi bieži sauca par Taniyama-Shimura-Weil hipotēzi. Tas kļuva par daļu no Langlands programmas, kas ir svarīgu hipotēžu saraksts, kas jāpierāda nākotnē.

Pat pēc nopietnas pārbaudes mūsdienu matemātiķi hipotēzi atzina par ārkārtīgi grūtu vai, iespējams, nepieejamu pierādījumiem. Tagad šī teorēma gaida savu Endrjū Vilsu, kurš ar savu risinājumu varētu pārsteigt visu pasauli.

Fermata teorēma: Perelmana pierādījums

Neskatoties uz populāro mītu, krievu matemātiķim Grigorijam Perelmam par visu savu ģēniju nav nekāda sakara ar Fermata teorēmu. Tomēr tas nekādā ziņā nemazina viņa daudzos pakalpojumus zinātnes aprindām.

n\u003e 2 (\\ displaystyle n\u003e 2) vienādojums:

nav risinājumu ar nulli neskaitāmiem skaitļiem.

Ir šaurāka formulējuma versija, apgalvojot, ka šim vienādojumam nav dabisku risinājumu. Tomēr ir acīmredzams, ka, ja ir veselu skaitļu risinājums, tad ir dabisko skaitļu risinājums. Patiešām, ļaujiet a, b, c (\\ displaystyle a, b, c) - veseli skaitļi, kas dod Fermata vienādojuma risinājumu. Ja n (\\ displaystyle n) pat tad | a | , | b | , | c | (\\ displaystyle | a |, | b |, | c |) būs arī risinājums, un, ja tas ir nepāra, tad visas negatīvo vērtību pakāpes mēs pārnesam uz citu vienādojuma daļu, mainot zīmi. Piemēram, ja vienādojumam būtu kāds risinājums a 3 + b 3 \u003d c 3 (\\ displaystyle a ^ (3) + b ^ (3) \u003d c ^ (3)) un kur a (\\ displaystyle a) negatīvs, un citi ir pozitīvi b 3 \u003d c 3 + | a | 3 (\\ displaystyle b ^ (3) \u003d c ^ (3) + | a | ^ (3)), un mēs iegūstam dabiskus risinājumus c, | a | , b. (\\ displaystyle c, | a |, b.) Tāpēc abi formulējumi ir līdzvērtīgi.

Fermata teorēmu vispārina atspēkotā Eulera minējums un atklātais Landera - Pārkina - Selfridža minējums.

Stāsts

Al-Khojandi mēģināja pierādīt šo teorēmu šai lietai 10. gadsimtā, taču viņa pierādījumi nav saglabājušies.

IN vispārējs skats teorēmu 1637. gadā Pjērs Fermats formulēja Diophantus aritmētikas malā. Fakts ir tāds, ka Fermats savas piezīmes veica lasīto matemātisko traktātu malās un tajā pašā vietā formulēja problēmas un teorēmas, kuras ienāca prātā. Viņš pierakstīja attiecīgo teorēmu ar piezīmi, ka šīs atrastās teorēmas atjautīgais pierādījums ir pārāk garš, lai to ievietotu grāmatas malās:

Gluži pretēji, nav iespējams sadalīt kubu divos kubiņos, biquadrat divos biquadrats, un parasti nav tāda paša grāda kā kvadrāts divos grādos ar tādu pašu eksponentu. Esmu atradis tam patiesi brīnišķīgu pierādījumu, taču grāmatas robežas tam ir pārāk šauras.

Sākotnējais teksts (lat.)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Fermat sniedz tikai pierādījumu kā problēmas risinājumu, kas samazinās līdz teorēmas ceturtajai pakāpei n \u003d 4 (\\ displeja stils n \u003d 4), 45. komentārā par Diophantus "aritmētiku" un vēstulē Carcavi (1659. gada augusts). Turklāt Fermat iekļāva lietu n \u003d 3 (\\ displaystyle n \u003d 3) uz bezgalīgas nolaišanās metodi atrisināto problēmu sarakstu.

Daudzi izcili matemātiķi un daudzi amatieru amatieri ir izstrādājuši pilnīgu Lielās teorēmas pierādījumu; teorēma tiek uzskatīta par pirmo vietu nepareizo "pierādījumu" skaita ziņā. Neskatoties uz to, šie centieni ir devuši daudzus svarīgus rezultātus mūsdienu skaitļu teorijā. Deivids Hilberts savā runā "Matemātiskās problēmas" II Starptautiskajā matemātiķu kongresā (1900) atzīmēja, ka pierādījumu meklēšana šai šķietami nenozīmīgajai teorēmai noveda pie dziļiem skaitļu teorijas rezultātiem. 1908. gadā vācu matemātiķis Volfskels novēlēja Fermata teorēmas sakāmvārdam 100 000 vācu marku. Tomēr pēc Pirmā pasaules kara balva tika nolietota.

1980. gados parādījās jauna pieeja lai atrisinātu problēmu. No Mordela minējumiem, ko Faltings pierādīja 1983. gadā, izriet, ka vienādojums a n + b n \u003d c n (\\ displaystyle a ^ (n) + b ^ (n) \u003d c ^ (n)) plkst n\u003e 3 (\\ displaystyle n\u003e 3) var būt tikai ierobežots skaits salīdzinoši vienkāršu risinājumu.

Vācu matemātiķis Gerhards Frī ierosināja, ka Fermata pēdējā teorēma ir Tanijamas - Šimuras minējumu sekas. Šis pieņēmums ir pierādīts Kens Ribets .

Pēdējo svarīgo soli teorēmas pierādīšanā Vilss spēra 1994. gada septembrī. Viņa 130 lappušu garais pierādījums tika publicēts matemātikas žurnālā.

Vilss sava pierādījuma pirmo versiju publicēja 1993. gadā (pēc septiņu gadu darba), taču tajā nopietna [ kurš?] plaisa, kas ar Ričarda Lorensa Teilora palīdzību tika ātri novērsta. 1995. gadā tika publicēta galīgā versija. 2016. gadā Endrjū Vilss saņēma Ābela balvu par Fermata pēdējās teorēmas pierādīšanu.

Kolins Maklārijs atzīmēja, ka, iespējams, Vailsa pierādījumus varētu vienkāršot, lai nenozīmētu tā dēvēto “lielo kardinālu” esamību.

Fermata teorēma arī triviāli izriet no abc minējumiem, kuru pierādījumu norādīja japāņu matemātiķis Šiniči Močizuki; tā pierādīšana ir ārkārtīgi grūta. Matemātikas aprindās pašlaik nav skaidras vienprātības par viņa darbu.

Dažas variācijas un vispārinājumi

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 \u003d 20615673 4. (\\ displaystyle 2682440 ^ (4) + 15365639 ^ (4) + 18796760 ^ (4) \u003d 20615673 ^ (4).)

Vēlāk tika atrasti citi risinājumi; vienkāršākais no tiem:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 \u003d 422481 4. (\\ displaystyle 95800 ^ (4) + 217519 ^ (4) + 414560 ^ (4) \u003d 422481 ^ (4).)

Vēl viens populārs Fermata teorēmas vispārinājums ir Bīla minējums, kuru 1993. gadā formulēja amerikāņu matemātiķis, kurš solīja 1 miljonu dolāru par tā pierādīšanu vai atspēkošanu.

"Fermāti"

Fermata teorēmas formulēšanas vienkāršība (saprotama pat skolēnam), kā arī vienīgā zināmā pierādījuma sarežģītība (vai nezināšana par tā esamību) daudzus iedvesmo mēģināt atrast citu, vienkāršāku pierādījumu. Cilvēkus, kuri mēģina pierādīt Fermata teorēmu ar elementārām metodēm, sauc par “ fermāti"Vai arī" fermatiķi ". Fermāti bieži nav profesionāļi un pieļauj kļūdas aritmētiskajos vai loģiskajos secinājumos, lai gan daži uzrāda ļoti sarežģītus "pierādījumus", kuros ir grūti atrast kļūdu.

Matemātikas cienītāju vidū bija tik populāri pierādīt Fermat teorēmu, ka 1972. gadā žurnāls Kvant, publicējot rakstu par Fermat teorēmu, pievienoja tam sekojošu pēcrakstu: “Kvant redakcija savukārt uzskata par nepieciešamu paziņot lasītājiem, ka vēstules ar teorēmas pierādījumu melnrakstu netiks uzskatītas (un atgrieztas). "

Vācu matemātiķi Edmundu Landau ļoti satrauca "fermatiķi". Lai nenovirzītos no galvenā darba, viņš pasūtīja vairākus simtus veidlapu ar veidnes tekstu, kas informēja, ka noteiktā lappusē ir kļūda noteiktā rindā, savukārt augstskolas studentiem uzdeva atrast kļūdu un aizpildīt tukšās vietas. veidlapu.

Ievērības cienīgs ir fakts, ka atsevišķi fermatiķi cenšas publicēt savus (nepareizos) "pierādījumus" nezinātniskajā presē, kas to nozīmi uzpūš zinātniskā sensācijā. Tomēr dažreiz šādas publikācijas parasti parādās cienījamās zinātniskās publikācijās ar vēlākiem atspēkojumiem. Citi piemēri:

Fermata teorēma kultūrā un mākslā

Fermata pēdējā teorēma ir kļuvusi par vissarežģītākās zinātniskās problēmas simbolu, un tāpēc par to bieži dēvē daiļliteratūru. Šie ir daži darbi, kuros teorēma nav tikai pieminēta, bet ir būtiska darba sižeta vai ideoloģijas sastāvdaļa.

• Stāstā par Artūru Porgesu Saimons Flaggs un velns Profesors Saimons Flegs vēršas pie velna, lai iegūtu teorēmas pierādījumu. Pēc šī stāsta tika izveidota populārā zinātniskās fantastikas filma "Matemātiķis un velns" (PSRS, filmas Tsentrnauchfilm producēšana, radošā apvienība "Varavīksne", režisors Reitburga).
  • Ekrāna pielāgošana: īsfilma "Matemātiķis un velns" (1972).
• AP Kazantsevs savā romānā “Asāki zobeni” 1983. gadā piedāvāja oriģinālu par paša Pjēra Fermata pierādījumu trūkumu.
• Televīzijas sērijā "Star Trek" kosmosa kuģu kapteinis Žans Liks Pikards bija neizpratnē par Fermata pēdējo teorēmu 24. gadsimta otrajā pusē. Tādējādi filmas veidotāji pieļāva, ka Fermata pēdējai teorēmai nebūs risinājuma nākamajos 400 gados. Karaliskā sērija ar šo epizodi tika filmēta 1989. gadā, kad Endrjū Vilss bija paša darba sākumā. Faktiski risinājums tika atrasts tikai piecus gadus vēlāk.
• 1995. gada Simpsonu Helovīna epizodē 2D Homērs Simpsons nejauši nonāk trešajā dimensijā. Ceļojuma laikā pa šo dīvaino pasauli gaisā peld ģeometriski ķermeņi un matemātiskas formulas, ieskaitot viltus vienlīdzību 1782 12 + 1841 12 \u003d 1922 12 (\\ displaystyle 1782 ^ (12) + 1841 ^ (12) \u003d 1922 ^ (12))... Kalkulators ar precizitāti līdz 10 nozīmīgiem cipariem apstiprina šo vienlīdzību: 1782 12 + 1841 12 \u003d 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39, 1922 12 \u003d 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39. (\\ displaystyle (\\ begin (masīvs) (cl) 1782 ^ (12) + 1841 ^ (12) & \u003d 2 \\, 541 \\, 210 \\, 258 \\, 614 \\, 589 \\, 176 \\, 288 \\, 669 \\, 958 \\, 142 \\, 428 \\, 526 \\, 657 \\ apm. 2 (,) 541 \\, 210 \\, 259 \\ cdot 10 ^ (39), \\\\ 1922 ^ (12) & \u003d 2 \\, 541 \\ , 210 \\, 259 \\, 314 \\, 801 \\, 410 \\, 819 \\, 278 \\, 649 \\, 643 \\, 651 \\, 567 \\, 616 \\ apm. 2 (,) 541 \\, 210 \\, 259 \\ cdot 10 ^ (39). \\ Beigt (masīvs)))

Tomēr pat bez precīzu vērtību aprēķināšanas ir viegli redzēt, ka vienlīdzība nav taisnība: kreisā puse ir nepāra skaitlis un labā daļa - pat.

• Pirmajā Donalda Knuta izdevumā The Art of Computer Programming Fermat teorēma tiek parādīta kā matemātisks uzdevums grāmatas pašā sākumā un tiek novērtēts ar maksimālo punktu skaitu (50), kā “Pētījuma problēma, kas (cik autore to rakstīšanas laikā zināja) vēl nav apmierinoši atrisināta. Ja lasītājs atrod šīs problēmas risinājumu, viņš tiek mudināts to publicēt; turklāt šīs grāmatas autors būtu ļoti pateicīgs, ja viņu pēc iespējas ātrāk informētu par risinājumu (ar nosacījumu, ka tas ir pareizs). Grāmatas trešajā izdevumā šim vingrinājumam jau nepieciešamas zināšanas par augstāko matemātiku, un tas tiek lēsts tikai 45 ballēs.
• Stiega Larssona grāmatā Meitene, kas spēlējās ar uguni, galvenā varone Lisbeta Salandera, kurai ir retas analītiskās spējas un fotomateriāls, kā hobijs nodarbojas ar Fermata pēdējās teorēmas pierādīšanu, uz kuru viņa paklupa, lasot fundamentālo darbu Mērījumi matemātikā. , kuru pierāda arī Endrjū Vils. Līsbets nevēlas izpētīt gatavu pierādījumu, un viņa galvenā interese ir atrast savu risinājumu. Tāpēc viņa visu savu brīvo laiku velta neatkarīga lieliskā francūža teorēmas "brīnišķīgā pierādījuma" meklējumiem, taču atkal un atkal nonāk strupceļā. Grāmatas beigās Lisbets atrod pierādījumu, kas ir ne tikai pilnīgi atšķirīgs no Viles ierosinātā, bet arī tik vienkāršs, ka pats Fermats to varēja atrast. Tomēr pēc šaušanas galvā viņa viņu aizmirst, un Larssons nesniedz sīkākas ziņas par šiem pierādījumiem.
• Mūzikls "Pēdējā tango ferma", kas publicēts, 2000. gadā izveidojis Džošua Rozenblūms (eng. Džošua Rozenblūms) un Joan Lessner, pamatojoties uz īsts stāsts Endrjū Vilss. Galvenais varonis vārdā Daniels Kīns aizpilda teorēmas pierādījumu, un paša Fermata gars mēģina viņu novērst.
• Dažas dienas pirms nāves Artūram Klarkam izdevās pārskatīt romāna "Pēdējā teorēma" rokrakstu, pie kura viņš strādāja sadarbībā ar Frederiku Polu. Grāmata iznāca pēc Klarka nāves.

Piezīmes

1. Fermata teorēma // Matemātiskā enciklopēdija (5 sējumos). - M .: Padomju enciklopēdija, 1985. - T. 5.
2. Aleksandrijas diofants. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber kasut. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Tulūza, 1670. lpp. 338-339.
3. Fermat a Carcavi. Par 1659. gadu. Fermata daiļrade. Tome II. Parīze: Tannery & Henry, 1904, lpp. 431-436.
4. Ju Ju Machis. Par domājamo Eulera pierādījumu // Matemātiskās piezīmes. - 2007. - T. 82, 3. nr. - S. 395-400. Tulkojums angļu valodā: J. J. Mačys. Par Eulera hipotētisko pierādījumu (angļu valodā) // Mathematical Notes: journal. - 2007. - Sēj. 82, Nr. 3-4. - P. 352-356. - DOI: 10.1134 / S0001434607090088.
5. Deivids Gilberts. Matemātiskās problēmas:

   Problēma ar šīs nepieņemamības pierādīšanu ir spilgts piemērs tam, kāda īpaša un šķietami nenozīmīga problēma var stimulēt zinātni. Jo, Fermata problēmas ierosināts, Kummers nonāca pie ideālu skaitļu ieviešanas un atklāja teorēmu par unikālu skaitļu sadalīšanos apļveida laukos ideālos galvenajos faktoros - teorēmu, kas tagad ir pateicoties vispārinājumiem jebkuram algebriska skaitļa domēnam. ko ieguva Dedekinds un Kronekers, ir centrālā mūsdienu teorija skaitļi un kuru nozīme daudzkārt pārsniedz skaitļu teorijas robežas algebras un funkciju teorijas jomā.

6. Yu.P. Soloviev Tanijamas hipotēze un Fermata pēdējā teorēma // Sorosa izglītības žurnāls. - ISSEP, 1998. - T. 4, 2. nr. - S. 135-138.
7. Vils, Endrjū. Moduļveida elipsveida līknes un Fermata pēdējā teorēma (angļu valodā) // Annals of Mathematics: journal. - 1995. - Sēj. 141, Nr. 3. - P. 443-551. (Angļu)

Skaudīgi cilvēki saka, ka franču matemātiķis Pjērs Fermats savu vārdu vēsturē ierakstīja tikai ar vienu frāzi. Rokraksta malā ar slavenās teorēmas formulējumu 1637. gadā viņš izdarīja piezīmi: "Esmu atradis pārsteidzošu risinājumu, taču vietas ievietošanai nav pietiekami daudz." Tad sākās pārsteidzošas matemātiskas sacīkstes, kurās kopā ar izciliem zinātniekiem pievienojās amatieru armija.

Kāda ir Fermata problēmas viltība? No pirmā acu uzmetiena to var saprast pat skolēns.

Tas ir balstīts uz labi zināmo Pitagora teorēmu: taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzes kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu: x 2 + y 2 \u003d z 2. Fermats apgalvoja, ka visu lielumu, kas lielāki par diviem, vienādojumam nav risinājuma veselos skaitļos.

Tas šķistu vienkārši. Izstiepiet roku, un šeit ir atbilde. Nav brīnums, ka akadēmijas dažādas valstis, zinātniskos institūtus, pat laikrakstu birojus pārpludināja desmitiem tūkstošu pierādījumu. Viņu skaits ir bezprecedenta, otrais pēc “mūžīgo kustības mašīnu” projektiem. Bet, ja nopietnā zinātne jau sen nav apsvērusi šīs trakās idejas, tad "zemnieku" darbs tiek godīgi un ieinteresēti pētīts. Un, diemžēl, viņš atrod kļūdas. Viņi saka, ka vairāk nekā trīs gadsimtu laikā ir izveidojusies vesela teorēmas risinājumu matemātiska kapsēta.

Nav brīnums, ka viņi saka: elkonis ir tuvu, un jūs nekožat. Pagāja gadi, gadu desmiti, gadsimti, un Fermata uzdevums šķita arvien pārsteidzošāks un vilinošāks. Šķietami nepretenciozs, tas izrādījās pārāk grūts strauji augošajam muskuļu progresam. Cilvēks jau ir sadalījis atomu, sasniedzis gēnu, spēris kāju uz Mēness, bet Fermats netika dots, turpinot vilināt pēcnācējus ar viltus cerībām.

Tomēr mēģinājumi pārvarēt zinātnisko virsotni nebija veltīgi. Pirmo soli spēra izcilais Eulers, pierādot teorēmu par ceturto pakāpi, pēc tam par trešo. 19. gadsimta beigās vācietis Ernsts Kummers grādu skaitu noveda līdz simtam. Visbeidzot, bruņojušies ar datoriem, zinātnieki palielināja šo skaitli līdz 100 000. Bet Fermats runāja par jebkādiem grādiem. Tā bija visa problēma.

Protams, zinātniekus šis uzdevums mocīja nevis sporta intereses dēļ. Slavenais matemātiķis Deivids Hilberts sacīja, ka teorēma ir piemērs tam, kā šķietami nenozīmīga problēma var milzīgi ietekmēt zinātni. Strādājot pie tā, zinātnieki pavēra pilnīgi jaunus matemātiskos apvāršņus, piemēram, tika likti skaitļu teorijas, algebras un funkciju teorijas pamati.

Un tomēr Lielā teorēma tika nomākta 1995. gadā. Tās risinājumu iepazīstināja amerikānis no Prinstonas universitātes Endrjū Vilss, un to oficiāli atzīst zinātnieku aprindas. Viņš atdeva vairāk nekā septiņus dzīves gadus, lai atrastu pierādījumus. Pēc zinātnieku domām, šis izcilais darbs apvienoja daudzu matemātiķu darbus, atjaunojot zaudētos savienojumus starp tā dažādajām sadaļām.

Tātad samits ir pieņemts, un zinātne ir saņēmusi atbildi, - RG korespondentam sacīja Krievijas Zinātņu akadēmijas Matemātikas nodaļas zinātniskais sekretārs, tehnisko zinātņu doktors Jurijs Višņakovs. - Teorēma ir pierādīta, kaut arī ne visvienkāršākajā veidā, uz ko Fermats pats uzstāja. Un tagad tie, kas vēlas, var izdrukāt savas versijas.

Tomēr "fermeru" ģimene nemaz nepieņem Vilsas pierādījumus. Nē, viņi neatspēko amerikāņa lēmumu, jo tas ir ļoti sarežģīts un tāpēc saprotams tikai šauram speciālistu lokam. Bet nepaiet ne nedēļa, ja internetā neparādās cits entuziasts, kurš "beidzot ir pielicis punktu ilgtermiņa epopejai".

Starp citu, tieši vakar viens no vecākajiem mūsu valsts "zemniekiem" Vsevolod Yarosh piezvanīja RG redakcijai: "Vai jūs zināt, ka es pierādīju Fermata teorēmu jau pirms Wiles. Turklāt tad es atradu kļūdu ar viņu, par kuru es rakstīju mūsu izcilajam matemātiķim akadēmiķim Arnoldam ar lūgumu to publicēt zinātniskā žurnālā. Tagad es gaidu atbildi. Par to es sarakstos ar Francijas Zinātņu akadēmiju. "

Un nupat, kā ziņots vairākos plašsaziņas līdzekļos, ar "vieglu žēlastību atklājusies matemātikas lielā mistērija", cits entuziasts - bijušais PO "Polet" no Omskas ģenerāldirektors, tehnisko zinātņu doktors Aleksandrs Iļjins. Risinājums izrādījās tik vienkāršs un īss, ka iekļāvās nelielā vienas centrālās publikācijas laikraksta sadaļā.

"RG" redakcijas padome pieteicās vadošajam valsts Matemātikas institūtam. Steklova Krievijas Zinātņu akadēmija ar lūgumu novērtēt šo risinājumu. Zinātnieki bija kategoriski: jūs nevarat komentēt laikraksta publikāciju. Bet pēc ilgas pārliecināšanas un ņemot vērā pieaugošo interesi par slaveno problēmu, viņi piekrita. Pēc viņu domām, nākamajā publicētajā pierādījumā tika pieļautas vairākas būtiskas kļūdas. Starp citu, pat Matemātikas fakultātes students tos varēja pamanīt.

Un tomēr redaktori vēlējās iegūt informāciju no pirmavotiem. Turklāt vakar Iļjinam bija jāiesniedz savs pierādījums Aviācijas un aeronautikas akadēmijā. Tomēr izrādījās, ka maz cilvēku zina par šādu akadēmiju pat speciālistu vidū. Un, kad tomēr ar vislielākajām grūtībām viņam izdevās atrast šīs organizācijas zinātniskā sekretāra tālruņa numuru, tad, kā izrādījās, viņam pat nebija aizdomas, ka tieši ar viņiem ir jānotiek šādam vēsturiskam notikumam. . Vārdu sakot, "RG" korespondentam neizdevās būt lieciniekam pasaules sensācijai.

Pjērs Fermats apgalvoja, ka:

nav iespējams sadalīt kubu divos kubiņos vai biquadrat divos biquadrats, un parasti nav iespējams sadalīt jebkuru pakāpi, kas ir lielāka par divām, divos grādos ar vienu un to pašu eksponentu.

Kā mēs tuvojamies Fermat apgalvojuma pierādījumam?

(attēls, lai piesaistītu uzmanību)

Iedomāsimies, ka esam atraduši vai uzbūvējuši taisnleņķa trīsstūri ar šādām malām: kājas - un hipotenūzu, kur (p, q, k, n) - dabiskie skaitļi. Tad pēc Pitagora teorēmas mēs iegūstam vai. Tādējādi, ja mēs atradīsim vai uzbūvēsim šādu trijstūri, mēs atspēkosim Fermat. Ja mēs pierādīsim, ka šāda trīsstūra nav, tad mēs pierādīsim teorēmu.

Tā kā paziņojums attiecas uz dabiskajiem skaitļiem, mēs atradīsim, ar ko ir vienāda divu nepāra dabisko skaitļu kvadrātu starpība. Tie. atrisināt vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs uzbūvējam taisnleņķa trīsstūrus, kuru hipotenūza ir vienāda un kāja ir vienāda, kur un (a\u003e b)... Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, jūs varat aprēķināt otro posmu pēc formulas (1) vai (2) ... Mēs saņēmām, ka šo trijstūru malas ir vienādas un. Tāpēc mēs varam atkārtot visi skaitļu pāri a un b no dabiskas kopas (mēs šos numurus sauksim par šīs identitātes ģeneratoriem) un iegūstam visi iespējamie trīsstūri ar noteiktām īpašībām ,. Pierādīsim šī risinājuma nepieciešamību. Pārrakstīsim (1) kā. Tā kā Z un Y ir nepāra skaitļi, jūs varat rakstīt (Z - Y) \u003d 2b un (Z + Y) \u003d 2a. Atrisinot tos Z un Y, iegūstam Z \u003d (a + b) un Y \u003d (a - b). Tad mēs varam uzrakstīt, ka X \u003d 4ab, un aizvietot šīs vērtības ar (1) , mēs saņemam.

Piezīme

Lai izvairītos no līdzīgu trijstūru iegūšanas, un ņemot vērā to Z un Jā - nepāra skaitļi pēc nosacījuma, skaitļi a un b jābūt koprimam un atšķirīgai paritātei. Turpmāk mēs pieņemsim, ka pāra skaitlis ir a... Lai sakārtotu taisnleņķa trijstūru sadalījumu dabisko skaitļu kopā N, mēs rīkosimies šādi: no šīs kopas mēs atņemam visus skaitļus, kas ir pat dabisko skaitļu spēki. Mēs apzīmējam šo kopu, kur n - dabiskais skaitlis. Tad no atlikušajiem dabiskajiem skaitļiem atņemiet visus skaitļus, kas ir nepāra (≥3) dabisko skaitļu spēki, un apzīmējiet šo skaitļu kopu kā. Atlikušie dabiskie skaitļi veidos kopu, kuras skaitļi pirmajā pakāpē ir dabiski skaitļi. Apzīmēsim šo kopu. Acīmredzot šo 3 kopu savienojums ir dabisko skaitļu kopums vai. Komplekts tiek attēlots kā sērija \u003d (1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ………). Mēs pārstāvam komplektus un sēriju formā. Tad kopa būs matrica, kas sastāv no bezgalīga rindu skaita, katra rinda sastāvēs no skaitļiem rindā, kas pacelta līdz jaudai 2n, un n - ir rindas numurs. Tātad pirmā rinda sastāv no visu rindā esošo skaitļu kvadrātiem, otrā rinda sastāv no 4 šo skaitļu jaudām utt. Apsveriet kopu, kas būs matrica, kas sastāv no bezgalīga rindu skaita, un katra rinda sastāvēs no skaitļiem virknē, kas paaugstināta līdz jaudai 2n + 1... (n ir līnijas numurs). Tātad šīs matricas pirmā rinda sastāv no rindas skaitļu kubiem, otrā rinda sastāv no piektās jaudas rindas numuriem utt. Apsveriet komplektu. Tā kā , tad trijstūru izveidošanai izmantosim to pašu algoritmu (skat. iepriekš). Atrodīsim identitātes "ģeneratorus". Tie būs skaitļi, kur mēs sastādīsim identitāti: (3) , mēs saņēmām daudz taisnleņķa trijstūru ar veseliem skaitļiem. Šeit ir hipotenūza, tā ir kāja un otrā kāja. Lai atspēkotu Fermat paziņojumu, pusēm ir nepieciešams X, Y, Z no vēlamā trīsstūra bija (4) ... Kur (p, q, k, n) ir naturāli skaitļi. Pēc Pitagora teorēmas mums būs vai un Fermata prasība tiks atspēkota. No identitātes ir skaidrs, ka. Apsveriet pēdējo vienlīdzību šajā vienlīdzībā « lpp"Jebkurām vērtībām" a un b"Ja tas nav dabisks skaitlis,. Tas nozīmē, ka aplūkotajā trijstūru komplektā nav neviena trijstūra ar vajadzīgajām malām (4) .
Tagad apsveriet komplektu. Mēs apzīmējam (2n + 1) kā " m», Tad komplektā iegūstam taisnleņķa trīsstūrus, kurus raksturo identitāte (6) ... Ja mēs varam izveidot taisnstūra trīsstūri X, Y, Z ar pusēm (7) , kur, tad mēs atspēkojam Fermata apgalvojumu, kopš pēc Pitagora teorēmas un (p, q un k) ir dabiski skaitļi. Tas ir nepieciešams. Ņemot vērā pēdējo vienlīdzību, mēs atzīmējam, ka “ lpp"Nevar būt dabisks skaitlis jebkurai vērtībai" a un b", , ja . Tas nozīmē, ka šajā trijstūru komplektā nav neviena trijstūra ar vajadzīgajām malām (7) .

Tomēr no iepriekš minētā redzams, ka viss pierādījums tiek samazināts līdz skaitļa analīzei, kur "" jebkuram dabiskam " a un b"Vai tas nav naturāls skaitlis" m / 2". Or (8) ar tādiem pašiem nosacījumiem nebūs dabisks skaitlis ar "m" jaudu. Pierādījums parāda, ka identitātes "ģeneratori" (6) ir skaitļi "" no sērijas, bet, analizējot (8) , "" vietā varat aizstāt skaitli. Tā kā ir pāra skaitlis (skat. Piezīmi), tas ir dabisks skaitlis. Pēc tā aizstāšanas (8) mēs iegūstam, tas ir, dabiskos skaitļus līdz "m" pakāpei. Veicot iepriekš minēto aizstāšanu ar identitāti (6) , un, apzīmējot ar, mēs iegūstam šādu identitāti:. Mēs saņēmām daudz taisnleņķa trīsstūri ar malām. Ja (k, q, p) ir naturāli skaitļi nepāra pakāpē, t.i. kur r ir jebkurš nepāra skaitlis un. Lai atspēkotu Fermat, ir nepieciešams: Pēdējā vienlīdzība jebkuram dabiskam a un b, ir dabiski skaitļi, bet pirmās divas vienādības nav iespējamas, jo, ja m un r»Jebkurš nepāra skaitlis ir iracionāls skaitlis, un iekavās esošais skaitlis ir dabisks skaitlis. Ja (k, q, p) ir naturāli skaitļi vienmērīgā lielumā, t.i. , tad iegūstam šādas vienādības (5) ... Šajā variantā pēdējā vienlīdzība nav iespējama, jo iegūstot pakāpes m sakni no abām vienlīdzības pusēm, iegūstam, t.i. iekavās ir iracionāls skaitlis, un - dabisks skaitlis. Tas nozīmē, ka arī šajā komplektā netika atrasts "nepieciešamais" trīsstūris. Tas nozīmē, ka jebkuram nepāra « m"Fermata apgalvojums ir patiess, kas nozīmē, ka tas attiecas uz visiem vienkāršajiem eksponentiem" m ≥ 3 ".

Atliek atrast teorēmas pierādījumu pat eksponentiem. No (5) no tā izriet, ka, ja pāra eksponenta kanoniskajā sadalījumā ir nepāra primārais skaitlis, tad Fermata apgalvojums atbilst šai pakāpei. Acīmredzot šo nosacījumu izpilda visi pāra skaitļi, izņemot skaitli 4 "Un četru reizinātāji, ti. 8, 16, 32, 64 … utt. Šo skaitļu paplašināšanā ir tikai galvenais skaitlis 2 ... Tāpēc iepriekš minētie pierādījumi nesniedz atbildi uz šiem grādiem.

Tādējādi atliek pierādīt teorēmu par n \u003d 4". Var pieņemt, ka Fermatam bija vispārīgi pierādījumi, taču tie nebija pilnīgi. Varbūt tāpēc viņš nepierakstīja savu pierādījumu. Un tikai dažus gadus vēlāk, izveidojis savu "bezgalīgas vai nenoteiktas nolaišanās" metodi, viņš pierādīja, ka nav taisnstūra trīsstūra ar veselām malām, kura laukums būtu vienāds ar dabiskā skaitļa kvadrātu. Pēc tam teorēmas pieraksts par n \u003d 4"Nebija grūti. Fermats reģistrēja šo pierādījumu. Un teorēma tika pilnībā pierādīta.

Birkas: Fermata teorēma, īss pierādījums