Даалгаврын эх сурвалж: Даалгавар 10_20. ХЭРЭГЛЭЭ 2018 Нийгмийн ухаан. Шийдвэр

Даалгавар 20.Хэд хэдэн үг (хэлбэр) дутуу байгаа доорх текстийг уншина уу. Санал болгож буй жагсаалтаас хоосон зайны оронд оруулахыг хүсэж буй үг (хэлбэр)-ийг сонгоно уу.

“Амьдралын чанар нь тухайн хүний ​​амьдарч буй газраас эхлээд нийгэм, эдийн засгийн ерөнхий байдал, (A) нөхцөл байдал, улс орны улс төрийн үйл явдлуудаас эхлээд олон хүчин зүйлээс хамаардаг. Амьдралын чанарт хүн ам зүйн байдал, амьдрах, ажиллах нөхцөл, _____ (B)-ийн хэмжээ, чанар зэрэг нь тодорхой хэмжээгээр нөлөөлж болно. Эдийн засаг дахь хэрэгцээг хангах түвшингээс хамааран энэ нь заншил юм. Хүн амын амьдралын янз бүрийн түвшинг ялгах: (B) хүний ​​бүх талын хөгжлийг хангах; Шинжлэх ухааны үндэслэлтэй стандартын дагуу _____ (G) хэвийн түвшин, хүний ​​​​бие махбодийн болон оюуны хүч чадлыг сэргээх; ядуурал - нөхөн үржихүйн доод хязгаар болох хөдөлмөрийн чадварыг хадгалах түвшинд барааны хэрэглээ _____ (D); ядуурал гэдэг нь зөвхөн хүний ​​амьдрах чадварыг хадгалах боломжийг олгодог биологийн шалгуурын дагуу хамгийн бага хүлээн зөвшөөрөгдөх хэмжээний бараа, үйлчилгээний хэрэглээ юм.

Хүн ам зах зээлийн нөхцөлд дасан зохицож, орлогын янз бүрийн нэмэлт эх үүсвэрийг ашигладаг, үүнд хувийн туслах аж ахуйгаас олсон орлого, _____ (E)-ийн ашиг орно.

Жагсаалтад байгаа үгсийг (үг хэллэг) нэрлэсэн тохиолдолд өгсөн болно. Үг (хэлбэр) бүрийг зөвхөн нэг удаа ашиглаж болно.

Цоорхой бүрийг оюун ухаанаараа дүүргэж, нэг үг (хэлбэр) дараалан сонго. Жагсаалтад хоосон зайг нөхөхөөс илүү олон үг (хэлбэр) байгааг анхаарна уу.

Нэр томъёоны жагсаалт:

1) капитал

2) экологийн

3) зохистой хэрэглээ

4) өргөн хэрэглээний бараа

5) үйлдвэрлэлийн хэрэгсэл

7) ажиллах хүч

8) бизнес эрхлэх үйл ажиллагаа

9) нийгмийн хөдөлгөөн

Шийдвэр.

Текстэнд нэр томъёог оруулъя.

“Амьдралын чанар нь тухайн хүний ​​амьдарч буй газраас эхлээд нийгэм-эдийн засаг, байгаль орчны (2) (A) ерөнхий нөхцөл байдал, улс орны улс төрийн үйл явц зэрэг олон хүчин зүйлээс хамаардаг. Амьдралын чанарт хүн ам зүйн байдал, амьдрах, ажиллах нөхцөл, өргөн хэрэглээний барааны хэмжээ, чанар (4) (B) гэх мэт тодорхой хэмжээгээр нөлөөлж болно. Эдийн засаг дахь хэрэгцээг хангах түвшингээс хамааран энэ нь Хүн амын амьдралын янз бүрийн түвшинг ялгах заншил : хөгжил цэцэглэлт - ашиг тусыг ашиглах (6) (B) хүний ​​цогц хөгжлийг хангах; шинжлэх ухааны үндэслэлтэй стандартын дагуу зохистой хэрэглээний хэвийн түвшин (3) (D) хүний ​​бие бялдар, оюуны хүч чадлыг сэргээх; ядуурал - ажиллах хүчний нөхөн үржихүйн доод хязгаар болох хөдөлмөрийн чадварыг хадгалах түвшинд барааны хэрэглээ (7) (E); ядуурал гэдэг нь зөвхөн хүний ​​амьдрах чадварыг хадгалах боломжийг олгодог биологийн шалгуурын дагуу хамгийн бага хүлээн зөвшөөрөгдөх хэмжээний бараа, үйлчилгээний хэрэглээ юм.

X олонлог дээрх R нь хоёртын хамаарал байг. R хамаарлыг гэнэ тусгал , хэрэв (x, x) О R бүх x О X; тэгш хэмтэй – хэрэв (x, y) О R нь (y, x) О R гэсэн утгатай бол; шилжилтийн тоо 23 нь (x, y) Î R ба (y, z) Î R нь (x, z) Î R байвал 24-р хувилбарт тохирно.

Жишээ 1

Бид x н X гэж хэлэх болно нийтлэг зүйл бий олонлогтой бол y н X элементтэй
x З y хоосон биш байна. Нийтлэг байх харилцаа нь рефлекс, тэгш хэмтэй байх боловч шилжилт хөдөлгөөнгүй байх болно.

Эквивалент харьцаа X дээрх рефлекс, шилжилт, тэгш хэмтэй хамаарал гэж нэрлэдэг. R Н X ´ X нь тэгшитгэлийн хамаарал байх болно гэдгийг ойлгоход хялбар бөгөөд зөвхөн дараах оруулгууд хийгдсэн тохиолдолд л болно.

Id X Í R (рефлекс),

R -1 Í R (тэгш хэм),

R ° R Í R (дамжих чадвар).

Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурван нөхцөл нь дараах байдалтай тэнцүү байна.

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

хуваах X олонлог нь UA = X гэсэн хос хуваагдсан н X дэд олонлогуудын А олонлог юм. Хэрэв x ба y нь зарим нэг н A-ийн элемент бол A-ийн хуваалт бүрд x ~ y-ийг тохируулснаар бид X дээрх эквивалент харьцааг ~ холбож болно. .

Эквивалент харьцаа бүрт ~ дээр X-ийн элементүүд нь дэд олонлогууд болох А хуваалт харгалзах бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь ~ хамаарлаас бүрддэг. Эдгээр дэд олонлогуудыг нэрлэдэг эквивалент ангиуд . Энэ А хуваалтыг ~-д хамаарах Х олонлогийн хүчин зүйлийн олонлог гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг: X/~ гэж тэмдэглэв.

Хэрвээ x ба у-г 3-т хуваасны дараа үлдэгдэл тэнцүү байвал x ~ y-г тохируулж натурал тоонуудын w олонлог дээрх ~ хамаарлыг тодорхойлъё. Дараа нь w/~ нь 0, 1, 2 үлдэгдэлтэй тэнцэх 3 ангиас бүрдэнэ.

Захиалгын хамаарал

X олонлог дээрх R хоёртын хамаарлыг гэнэ тэгш хэмийн эсрэг , хэрвээ x R y ба y R x-аас дараах байвал: x = y. X олонлог дээрх R хоёртын хамаарлыг гэнэ захиалгын харилцаа , хэрэв энэ нь рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөнтэй бол. Энэ нь дараах нөхцөлтэй тэнцэж байгааг харахад хялбар байдаг.

1) Id X Í R (рефлекс),

2) R Ç R -1 (эсрэг тэгш хэм),

3) R ° R Í R (дамжуулалт).

X олонлог ба X дээрх R дарааллын хамаарлаас бүрдэх эрэмбэлэгдсэн хосыг (X, R) гэнэ хэсэгчлэн захиалсан багц .

Жишээ 1

X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) гэж байг. ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

R 1-3 нөхцөлийг хангасан тул (X, R) нь хэсэгчлэн эрэмблэгдсэн олонлог болно. x = 2, y = 3 элементүүдийн хувьд x R y ч, y R x ч үнэн биш юм. Ийм элементүүдийг нэрлэдэг зүйрлэшгүй . Ихэвчлэн дарааллын хамаарлыг £-ээр тэмдэглэдэг. Дээрх жишээнд 0 £ 1 ба 2 £ 2 байна, гэхдээ 2 £ 3 гэж худлаа.

Жишээ 2

Байцгаая< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Хэсэгчилсэн эрэмблэгдсэн олонлогийн (X, £) x, y О X элементүүдийг дуудна харьцуулах боломжтой , хэрэв x £ y эсвэл y £ x бол.

Хэсэгчилсэн захиалгат багцыг (X, £) гэж нэрлэдэг шугаман дараалалтай эсвэл гинж хэрэв түүний аль нэг хоёр элемент нь харьцуулах боломжтой бол. 2-р жишээн дээрх олонлог шугаман дараалалтай байх боловч 1-р жишээн дээрх олонлог байхгүй болно.

Хэсэгчилсэн эрэмблэгдсэн олонлогийн (X, £) A Í X дэд олонлогийг дуудна дээрээс нь хязгаарласан , хэрэв бүх a н A-д £ x байхаар x н X элемент байвал x н X элементийг нэрлэнэ. хамгийн агуу X-д if y £ x бүх y О X. Хэрэв x £ y байх x-ээс ялгаатай y О X элемент байхгүй бол x О X элементийг максималь гэж нэрлэдэг. Жишээ 1-д 2 ба 3-р элементүүд хамгийн их байх боловч хамгийн том нь биш. The доод хязгаарлалт дэд олонлогууд, хамгийн бага ба хамгийн бага элементүүд. Жишээ 1-д 0 элемент нь хамгийн бага ба хамгийн бага хоёулаа байх болно. Жишээ 2-т 0 нь мөн эдгээр шинж чанаруудтай боловч (w, t) нь хамгийн их эсвэл хамгийн их элементгүй.

(X, £) нь хэсэгчлэн эрэмблэгдсэн олонлог, A Í X дэд олонлог байг. a, b Î A элементүүдийн хос (a, b) -аас бүрдэх A дээрх хамаарал нь a £ b нь A дээр эрэмбийн хамаарал байх болно. Энэ хамаарлыг ижил тэмдгээр тэмдэглэнэ: £. Тиймээс (A, £) нь хэсэгчлэн эрэмбэлэгдсэн олонлог юм. Хэрэв энэ нь шугаман дараалалтай бол бид А гэж хэлнэ гинж (X, £) дотор.

Хамгийн дээд зарчим

Сонголтын аксиомгүйгээр зарим математикийн мэдэгдлийг батлах боломжгүй. Эдгээр мэдэгдлүүд нь гэж байна сонголтын аксиомоос хамаарна эсвэл ZFC онолд хүчинтэй , Практикт сонголтын аксиомын оронд ихэвчлэн Зермело аксиом, Куратовский-Зорн лемма, эсвэл сонголтын аксиомтой дүйцэх бусад мэдэгдлийг ихэвчлэн ашигладаг.

Куратовский-Зорны Лемма. Хэрвээ гинж бүрийг хэсэгчлэн захиалсан багцад(X, £) дээрээс нь хязгаарласан, тэгвэл X дор хаяж нэг дээд элемент байна.

Энэ лемма нь сонголтын аксиомтой тэнцүү тул үүнийг аксиом болгон авч болно.

Теорем.Ямар ч хэсэгчлэн захиалсан багцын хувьд(X, £) харилцааг агуулсан харилцаа байдаг£ болон хувирах X шугаман эрэмбэлэгдсэн олонлогт оруулна.

Баталгаа. £ хамаарлыг агуулсан бүх эрэмбийн харилцааны багцыг U оруулах харьцаагаар эрэмбэлсэн. Эмх цэгцтэй гинжин хэлхээний нэгдэл нь дарааллын харилцаа тул Куратовский-Зорн леммагийн дагуу x £ y нь x R y гэсэн утгатай R хамгийн их хамаарал байдаг. R нь шугаман эрэмблэгдсэн X хамаарал гэдгийг баталъя. Эсрэгээр нь: (a, b) ч, (b, a) ч R-д хамаарахгүй a, b н X байг. Харьцааг авч үзье:

R¢ = R È ((x, y): x R a ба b R y).

R¢ нь эрэмбийн хамаарал байх нөхцлөөс R¢-д нэмэх ёстой хос (a, b) ба R¢-д (x, y) хосуудыг нэмснээр олж авна. R¢ рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөн гэдгийг харахад хялбар байдаг. Бид R Ì R¢-ийг авдаг бөгөөд энэ нь R-ийн хамгийн их утгатай зөрчилдөж байгаа тул R нь хүссэн шугаман дарааллын хамаарал юм.

Шугаман эрэмбэлэгдсэн X олонлогийг түүний хоосон бус дэд олонлогуудын аль нэг нь A н X хамгийн бага элемент a н A-г агуулж байвал сайн эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг. Куратовски-Зорн лемма ба сонголтын аксиом нь мөн дараах мэдэгдэлтэй тэнцүү байна.

Зермелогийн аксиом. Багц бүрийн хувьд эрэмбэлэгдсэн олонлог болгон хувиргах дарааллын хамаарал байдаг.

Жишээ нь, натурал тоонуудын w олонлог сайн эрэмблэгдсэн байна. Индукцийн зарчмыг дараах байдлаар нэгтгэн дүгнэв.

Трансфинит индукц. Хэрвээ(X, £) сайн эрэмбэлэгдсэн олонлог бөгөөд F(x) нь түүний элементүүдийн шинж чанар,хамгийн жижиг х 0 н X элементийн хувьд үнэн ба F(y)-ийн үнэнээс бүх у < z следует истинность F(z), то F(x) хүн бүрт үнэнх О X .

Энд y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Эрх мэдлийн тухай ойлголт

f: X à Y ба g: Y à Z-г зураглал болгоё. f ба g нь хамаарал учир тэдгээрийн бүтэц g ° f(x) = g(f(x)) тодорхойлогдоно. Хэрэв h: Z à T нь олонлогийн зураглал бол h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Id X ба Id Y нь функцууд тул Id Y ° f = f ° Id x = f найрлага нь тодорхойлогддог. X = Y хувьд бид f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f гэж тодорхойлно.

f: X àY зураглалыг гэж нэрлэдэг тарилга , хэрэв f(x 1) ¹ f(x 2) нь X олонлогийн x 1 ¹ x 2 аль ч элементийн хувьд үнэн бол. f зураглал гэж нэрлэдэг эргэлзээ , хэрэв y нY бүрийн хувьд f(x) = y байх x н X байгаа бол. Хэрэв f нь сүрьек ба тарилга хоёулаа байвал f-г дуудна хоёр талт . Хэрэв f -1 н Y ´ X урвуу хамаарал нь функц байвал л f нь хоёр талбар гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.

Бид |X| тэгш байдал гэж хэлэх болно = |Y| хэрэв X ба Y-ийн хооронд зөрүүтэй байвал |X|-г тавина £ |Y| тарилга байгаа бол f: X à Y.

Кантор-Шредер-Бернштейн теорем. Хэрвээ|X| £ |Y| болон|Y| £ |X| , дараа нь|X| = |Y|.

Баталгаа. Таамаглалаар f: X à Y ба g: Y à X гэсэн тарилга байдаг. A = g¢¢Y = Img гэж Y-ийн g-тэй холбоотой дүрсийг хэлье. Дараа нь

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

j(x) = gf(x) гэж тодорхойлсон j: X à A зураглалыг авч үзье

x н (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, өөрөөр бол j(x) = x. j нь bijection гэдгийг харахад хялбар байдаг. X ба Y-ийн хоорондох хүссэн хуваагдал нь g -1 ° j-тэй тэнцүү байх болно.

Канторын эсрэг үзэл

|X|-г тохируулцгаая< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Канторын теорем. Аливаа X, |X| багцын хувьд< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Дараах теоремуудыг баталж болно.

Теорем 1.4. f функц нь f -1 урвуу функцтэй бөгөөд хэрэв f хоёр утгатай бол.

Теорем 1.5. Биектив функцүүдийн найрлага нь биектив функц юм.

Цагаан будаа. 1.12 нь өөр өөр харилцааг харуулсан бөгөөд эхнийхээс бусад нь функцууд юм.

хандлага, гэхдээ

тарилга, гэхдээ

эргэлзээ, гэхдээ

функц биш

эргэлзээ биш

тарилга биш

f : A→ B нь функц, А ба В олонлогууд нь төгсгөлөг олонлогууд, A = n, B = m байг. Дирихлегийн зарчимд хэрэв n > m бол f-ийн ядаж нэг утга нэгээс олон удаа тохиолдоно гэж заасан байдаг. Өөрөөр хэлбэл, f(a i )= f(a j ) a i ≠ a j , a i , a j A хос элементүүд байдаг.

Дирихлегийн зарчмыг нотлоход хялбар байдаг тул бид үүнийг уншигчдад өчүүхэн дасгал болгон үлдээж байна. Жишээ авч үзье. Бүлэгт 12-оос дээш оюутан байх болтугай. Тэгвэл ядаж хоёрынх нь төрсөн өдөр нэг сард тохиодог нь илт.

§ 7. Эквивалентийн хамаарал. Хүчин зүйлийн багц

Хэрэв R нь рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилт хөдөлгөөнтэй байвал А олонлог дээрх R хоёртын хамаарлыг эквивалент хамаарал гэнэ.

Тоонуудын олонлог дээрх тэгш байдлын хамаарал нь заасан шинж чанартай байдаг тул энэ нь эквивалент харьцаа юм.

Гурвалжингийн ижил төстэй хамаарал нь мэдээжийн хэрэг эквивалент хамаарал юм.

Бодит тоонуудын олонлог дээрх хатуу бус тэгш бус байдлын (≤ ) хамаарал нь тэгш хэмтэй биш тул эквивалент хамаарал болохгүй: 3 ≤ 5-аас 5 ≤ 3 гэсэн утга гарахгүй.

Өгөгдсөн R эквивалент харьцаанд a элементээр үүсгэгдсэн эквивалент анги (косет) нь R-тэй a хамаарал бүхий x A-ийн дэд олонлог юм. Тодорхойлсон эквивалент ангиллыг [a] R-ээр тэмдэглэсэн тул бидэнд:

[a] R = (x A: a, x R).

Жишээ авч үзье. Гурвалжны багц дээр ижил төстэй байдлын хамаарлыг нэвтрүүлсэн. Бүх тэгш талт гурвалжин нь нэг косетт багтах нь тодорхой байна, учир нь тэдгээр нь тус бүр нь гурвалжинтай төстэй, жишээлбэл, бүх талууд нь нэгж урттай байдаг.

Теорем 1.6. R нь А олонлог дээрх эквивалент хамаарал, [a] R нь косет, өөрөөр хэлбэл. [a] R = (x A: a, x R), дараа нь:

1) дурын a A : [a] R ≠ , ялангуяа a [a] R ;

2) өөр өөр косетууд огтлолцохгүй;

3) бүх косетуудын нэгдэл нь бүх А багцтай давхцдаг;

4) өөр өөр косетуудын багц нь А олонлогийн хуваалтыг бүрдүүлдэг.

Баталгаа. 1) R-ийн рефлексийн улмаас бид дурын a, a A-ийн хувьд бид a, a R, тиймээс a [ a] R ба [ a] R ≠ ;

2) [a] R ∩ [b] R ≠ гэж бодъё, өөрөөр хэлбэл. А-аас c элемент ба c [a] R ∩ [b] R байна. Дараа нь (cRa)&(cRb)-аас R-ийн тэгш хэмийн улмаас бид (aR c)&(cRb)-ийг олж авах ба R-ийн шилжилтийн чанараас aRb-ийг олж авна.

Аливаа х [а] R-ийн хувьд бидэнд: (хRa)&(аRb) , тэгвэл R-ийн шилжилтийн чадвараас болж хRb, өөрөөр хэлбэл. x[b]R, тэгэхээр [a]R[b]R. Үүний нэгэн адил, дурын y, y [b] R -ийн хувьд бидэнд: (уRb)&(аRb) байх ба R-ийн тэгш хэмийн улмаас (уRb)&(bR а), R-ийн шилжилт хөдөлгөөний улмаас бид үүнийг авна. , бид үүнийг авах уR а , i.e. y[a]r ба

тиймээс [b] R [a] R . [a] R [b] R ба [b] R [a] R-ээс бид [a] R = [b] R, өөрөөр хэлбэл косетууд огтлолцох юм бол тэдгээр нь давхцдаг;

3) дурын a, a A-ийн хувьд бидэнд [ a] R байна, тэгвэл бүх косетуудын нэгдэл нь А олонлогтой давхцах нь тодорхой байна.

Теорем 1.6-ын 4) батлах нь 1)–3)-аас дагана. Теорем нь батлагдсан. Бид дараах теоремыг баталж чадна.

Теорем 1.7. А олонлог дээрх өөр өөр эквивалент харилцаа нь А-ийн өөр хуваалтыг үүсгэдэг.

Теорем 1.8. А олонлогийн хуваалт бүр нь А олонлог дээр эквивалентын хамаарлыг үүсгэдэг ба өөр хуваалтууд нь өөр өөр эквивалент хамаарлыг үүсгэдэг.

Баталгаа. А олонлогийн В= (B i ) хуваалтыг өгье. R : a,b R хамаарлыг a, b хоёулаа энэ B i-д хамаарах B i байгаа тохиолдолд тодорхойлъё. Оруулсан хамаарал нь рефлекс, тэгш хэмтэй, шилжилт хөдөлгөөнтэй байдаг тул R нь эквивалент харьцаа юм. Хэрэв хуваалтууд өөр бол тэдгээрийн үүсгэсэн эквивалент хамаарал нь бас өөр болохыг харуулж болно.

Өгөгдсөн эквивалент R харьцаатай А олонлогийн бүх косетуудын олонлогийг хуваалтын олонлог гэж нэрлэх ба үүнийг A/R гэж тэмдэглэнэ. Хүчин зүйлийн олонлогийн элементүүд нь косетууд юм. Та бүхний мэдэж байгаагаар косетийн анги [ a ] ​​R нь өөр хоорондоо R хамааралтай A элементүүдээс бүрддэг.

Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …) бүхэл тоонуудын олонлог дээрх эквивалент хамаарлын жишээг авч үзье.

Хэрэв m нь a-b тооны хуваагч бол a ба b хоёр бүхэл тоог харьцуулах боломжтой (конгруент) модуль m гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Энэ тохиолдолд a≡ b(mod m) гэж бичнэ.

Теорем 1.9. a , b , c ба m>0 тоонуудын хувьд бид:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) хэрэв a ≡ b(mod m) бол b ≡ a(mod m);

3) хэрэв a ≡ b(mod m) ба b ≡ c(mod m) бол a ≡ c(mod m).

Баталгаа. 1) ба 2) мэдэгдэл нь ойлгомжтой. 3-ыг баталцгаая). a=b+k 1 м, b=c+k 2 м, тэгвэл a=c+(k 1 +k 2 )m, өөрөөр хэлбэл. a ≡ c(mod m) . Теорем нь батлагдсан.

Иймд харьцуулах модулийн хамаарал m нь эквивалент хамаарал бөгөөд бүхэл тооны олонлогийг тоонуудын давхцдаггүй ангиллаар хуваадаг.

Хязгааргүй задрах спираль барьцгаая, энэ нь Зураг дээр. 1.13-ыг хатуу шугамаар, мөн тасархай шугамаар дүрсэлсэн хязгааргүй мушгиагаар дүрсэлсэн. m сөрөг бус бүхэл тоо өгье. Бид бүх бүхэл тоог (Z олонлогийн элементүүд) эдгээр спиральуудын огтлолцох цэгүүдэд м туяагаар байрлуулж, Зураг дээр үзүүлэв. 1.13.

m-ийн харьцуулах модулийн хамаарлын хувьд (ялангуяа m = 8-ийн хувьд) туяа дээр байрлах тоонууд эквивалент анги юм. Мэдээжийн хэрэг, тоо бүр нэг бөгөөд зөвхөн нэг ангилалд багтдаг. m= 8-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Харьцуулах модулийн m-ийн Z олонлогийн багц коэффициентийг Z/m эсвэл Z m гэж тэмдэглэнэ. Хэлэлцэж буй хэргийн хувьд m =8

Бид Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) гэдгийг олж авна.

Теорем 1.10. a, b, a * , b * , k болон m бүхэл тоонуудын хувьд:

1) хэрэв a ≡ b(mod m), дараа нь ka ≡ kb(mod m);

2) хэрэв a ≡ b(mod m) ба a* ≡ b* (mod m) бол:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); б) аа * ≡ bb* (mod m).

Бид 2b тохиолдолд нотлох баримтыг толилуулж байна). a ≡ b(mod m) ба a * ≡ b * (mod m) , дараа нь s ба t бүхэл тоонуудын хувьд a=b+sm ба a * =b * +tm байг. Үржүүлэх,

бид авна: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Тиймээс,

aa* ≡ bb* (mod m).

Тиймээс модулийн харьцуулалтыг нэр томъёогоор нь нэмж, үржүүлж болно, i.e. тэгш эрхтэй яг ижил аргаар ажиллана. Жишээлбэл,

X олонлог дээрх R нь хоёртын хамаарал байг. R хамаарлыг гэнэ тусгал , хэрэв (x, x) О R бүх x О X; тэгш хэмтэй – хэрэв (x, y) О R нь (y, x) О R гэсэн утгатай бол; шилжилтийн тоо 23 нь (x, y) Î R ба (y, z) Î R нь (x, z) Î R байвал 24-р хувилбарт тохирно.

Жишээ 1

Бид x н X гэж хэлэх болно нийтлэг зүйл бий олонлогтой бол y н X элементтэй
x З y хоосон биш байна. Нийтлэг байх харилцаа нь рефлекс, тэгш хэмтэй байх боловч шилжилт хөдөлгөөнгүй байх болно.

Эквивалент харьцаа X дээрх рефлекс, шилжилт, тэгш хэмтэй хамаарал гэж нэрлэдэг. R Н X ´ X нь тэгшитгэлийн хамаарал байх болно гэдгийг ойлгоход хялбар бөгөөд зөвхөн дараах оруулгууд хийгдсэн тохиолдолд л болно.

Id X Í R (рефлекс),

R -1 Í R (тэгш хэм),

R ° R Í R (дамжих чадвар).

Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурван нөхцөл нь дараах байдалтай тэнцүү байна.

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

хуваах X олонлог нь UA = X гэсэн хос хуваагдсан н X дэд олонлогуудын А олонлог юм. Хэрэв x ба y нь зарим нэг н A-ийн элемент бол A-ийн хуваалт бүрд x ~ y-ийг тохируулснаар бид X дээрх эквивалент харьцааг ~ холбож болно. .

Эквивалент харьцаа бүрт ~ дээр X-ийн элементүүд нь дэд олонлогууд болох А хуваалт харгалзах бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь ~ хамаарлаас бүрддэг. Эдгээр дэд олонлогуудыг нэрлэдэг эквивалент ангиуд . Энэ А хуваалтыг ~-д хамаарах Х олонлогийн хүчин зүйлийн олонлог гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг: X/~ гэж тэмдэглэв.

Хэрвээ x ба у-г 3-т хуваасны дараа үлдэгдэл тэнцүү байвал x ~ y-г тохируулж натурал тоонуудын w олонлог дээрх ~ хамаарлыг тодорхойлъё. Дараа нь w/~ нь 0, 1, 2 үлдэгдэлтэй тэнцэх 3 ангиас бүрдэнэ.

Захиалгын хамаарал

X олонлог дээрх R хоёртын хамаарлыг гэнэ тэгш хэмийн эсрэг , хэрвээ x R y ба y R x-аас дараах байвал: x = y. X олонлог дээрх R хоёртын хамаарлыг гэнэ захиалгын харилцаа , хэрэв энэ нь рефлекс, тэгш хэмийн эсрэг, шилжилт хөдөлгөөнтэй бол. Энэ нь дараах нөхцөлтэй тэнцэж байгааг харахад хялбар байдаг.

1) Id X Í R (рефлекс),

2) R Ç R -1 (эсрэг тэгш хэм),

3) R ° R Í R (дамжуулалт).

X олонлог ба X дээрх R дарааллын хамаарлаас бүрдэх эрэмбэлэгдсэн хосыг (X, R) гэнэ хэсэгчлэн захиалсан багц .

Жишээ 1

X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) гэж байг. ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

R 1-3 нөхцөлийг хангасан тул (X, R) нь хэсэгчлэн эрэмблэгдсэн олонлог болно. x = 2, y = 3 элементүүдийн хувьд x R y ч, y R x ч үнэн биш юм. Ийм элементүүдийг нэрлэдэг зүйрлэшгүй . Ихэвчлэн дарааллын хамаарлыг £-ээр тэмдэглэдэг. Дээрх жишээнд 0 £ 1 ба 2 £ 2 байна, гэхдээ 2 £ 3 гэж худлаа.

Жишээ 2

Байцгаая< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Хэсэгчилсэн эрэмблэгдсэн олонлогийн (X, £) x, y О X элементүүдийг дуудна харьцуулах боломжтой , хэрэв x £ y эсвэл y £ x бол.

Хэсэгчилсэн захиалгат багцыг (X, £) гэж нэрлэдэг шугаман дараалалтай эсвэл гинж хэрэв түүний аль нэг хоёр элемент нь харьцуулах боломжтой бол. 2-р жишээн дээрх олонлог шугаман дараалалтай байх боловч 1-р жишээн дээрх олонлог байхгүй болно.

Хэсэгчилсэн эрэмблэгдсэн олонлогийн (X, £) A Í X дэд олонлогийг дуудна дээрээс нь хязгаарласан , хэрэв бүх a н A-д £ x байхаар x н X элемент байвал x н X элементийг нэрлэнэ. хамгийн агуу X-д if y £ x бүх y О X. Хэрэв x £ y байх x-ээс ялгаатай y О X элемент байхгүй бол x О X элементийг максималь гэж нэрлэдэг. Жишээ 1-д 2 ба 3-р элементүүд хамгийн их байх боловч хамгийн том нь биш. The доод хязгаарлалт дэд олонлогууд, хамгийн бага ба хамгийн бага элементүүд. Жишээ 1-д 0 элемент нь хамгийн бага ба хамгийн бага хоёулаа байх болно. Жишээ 2-т 0 нь мөн эдгээр шинж чанаруудтай боловч (w, t) нь хамгийн их эсвэл хамгийн их элементгүй.