Дээд математикийн хувьд шилжүүлсэн матриц гэх мэт ойлголтыг судалдаг. Олон хүмүүс үүнийг эзэмших боломжгүй нэлээд төвөгтэй сэдэв гэж боддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч тийм биш юм. Ийм хялбар ажиллагаа хэрхэн явагддагийг ойлгохын тулд үндсэн ойлголт болох матрицтай бага зэрэг танилцах хэрэгтэй. Тухайн сэдвийг судлахад цаг гаргавал ямар ч оюутан ойлгох боломжтой.

Матриц гэж юу вэ?

Математикийн матрицууд нэлээд түгээмэл байдаг. Тэд компьютерийн шинжлэх ухаанд ч тохиолддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэдний ачаар болон тэдний тусламжтайгаар програм хангамжийг программчилж, бүтээхэд хялбар болсон.

Матриц гэж юу вэ? Энэ бол элементүүдийг байрлуулсан хүснэгт юм. Энэ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх ёстой. Энгийнээр хэлбэл матриц бол тоонуудын хүснэгт юм. Энэ нь ямар ч том латин үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно. Мөн тусдаа мөр, багана байдаг бөгөөд тэдгээрийг вектор гэж нэрлэдэг. Ийм матрицууд зөвхөн нэг мөр тоо хүлээн авдаг. Хүснэгт ямар хэмжээтэй болохыг ойлгохын тулд мөр, баганын тоонд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Эхнийх нь m үсгээр тэмдэглэгдсэн, хоёр дахь нь - n.

Матрицын диагональ гэж юу болохыг ойлгох нь зайлшгүй юм. Хажуугийн болон үндсэн тал бий. Хоёр дахь нь эхнийхээс сүүлчийн элемент хүртэл зүүнээс баруун тийш явдаг тоон зурвас юм. Энэ тохиолдолд хажуугийн шугам нь баруунаас зүүн тийш байх болно.

Матрицын тусламжтайгаар та бараг бүх энгийн арифметик үйлдлүүдийг хийх боломжтой, өөрөөр хэлбэл нэмэх, хасах, үржүүлэх, тоогоор тусад нь хийх боломжтой. Тэдгээрийг мөн шилжүүлж болно.

Шилжүүлэх үйл явц

Хөрвүүлсэн матриц гэдэг нь мөр, баганыг эргүүлсэн матриц юм. Үүнийг аль болох амархан хийдэг. Үүнийг T (A T) үсгээр A гэж тэмдэглэнэ. Зарчмын хувьд дээд математикийн хувьд энэ нь матриц дээрх хамгийн энгийн үйлдлүүдийн нэг гэдгийг хэлэх хэрэгтэй. Хүснэгтийн хэмжээ хадгалагдаж байна. Ийм матрицыг шилжүүлсэн гэж нэрлэдэг.

Шилжүүлсэн матрицуудын шинж чанарууд

Шилжүүлэн суулгах процессыг зөв гүйцэтгэхийн тулд энэ үйлдлийн ямар шинж чанарууд байгааг ойлгох шаардлагатай.

• Аливаа шилжүүлсэн хүснэгтэд анхны матриц байх ёстой. Тэдний тодорхойлогч нь хоорондоо тэнцүү байх ёстой.
• Хэрэв скаляр нэгж байгаа бол энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ үүнийг гаргаж авч болно.
• Матрицыг хоёр удаа шилжүүлэхэд энэ нь анхныхтай тэнцүү байх болно.
• Хэрэв бид багана, мөрийг өөрчилсөн хоёр давхарласан хүснэгтийг энэ үйлдлийг гүйцэтгэсэн элементүүдийн нийлбэртэй харьцуулж үзвэл тэдгээр нь ижил байх болно.
• Сүүлийн шинж чанар нь хэрэв та үржүүлсэн хүснэгтүүдийг өөр хоорондоо шилжүүлбэл урвуу дарааллаар шилжүүлсэн матрицуудыг үржүүлэх явцад гарсан үр дүнтэй тэнцүү байх ёстой.

Яагаад шилжүүлэх вэ?

Математикийн матриц нь тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Тэдгээрийн зарим нь урвуу хүснэгтийг тооцоолохыг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Дараа нь ирээдүйн матрицын элементүүдийг тооцоолж, дараа нь шилжүүлнэ. Зөвхөн шууд урвуу хүснэгтийг олоход л үлддэг. Ийм асуудалд X-ийг олох шаардлагатай гэж бид хэлж чадна, тэгшитгэлийн онолын үндсэн мэдлэгийн тусламжтайгаар үүнийг хийхэд маш хялбар байдаг.

Үр дүн

Энэ нийтлэлд шилжүүлсэн матриц гэж юу болохыг авч үзсэн. Энэ сэдэв нь нарийн төвөгтэй бүтцийг зөв тооцоолох чадвартай ирээдүйн инженерүүдэд хэрэгтэй болно. Заримдаа матрицыг шийдэх нь тийм ч хялбар биш тул та толгойгоо эвдэх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, оюутны математикийн явцад энэ үйлдлийг аль болох хялбар, ямар ч хүчин чармайлтгүйгээр гүйцэтгэдэг.

Матриц дээрх эдгээр үйлдлүүд шугаман биш юм.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Шилжүүлсэнматриц матрицын хувьд хэмжээ
хэмжээг матриц гэж нэрлэдэг
-аас авсан түүний бүх мөрүүдийг ижил дарааллын дугаартай баганаар солих.

Энэ нь хэрэв =
, дараа нь
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

ЖИШЭЭ.

=

; ==

3х2 2х3 3х3 3х3

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Хэрвээ =, дараа нь матриц ГЭХДЭЭдуудсан тэгш хэмтэй.

Бүх диагональ матрицууд нь тэгш хэмтэй байдаг, учир нь тэдгээрийн үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй элементүүд нь тэнцүү байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, шилжүүлгийн үйлдлийн дараах шинж чанарууд хүчинтэй байна.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Болъё =
хэмжээ матриц юм
,=
хэмжээ матриц юм
. Эдгээр матрицуудын үржвэр
- матриц =
хэмжээ
, тэдгээрийн элементүүдийг томъёогоор тооцоолно:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

энэ нь элемент юм -р мөр ба - матрицын багана харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна - матрицын р эгнээ болон - матрицын багана .

ЖИШЭЭ.

=
, =

2х3 3х1 2х3 3х1 2х1

Ажил
- байдаггүй.

МАТРИЦС ҮРЖҮҮЛЭХ ҮЙЛДЛИЙН ШИНЖ

1.
, хоёр бүтээгдэхүүн тодорхойлогдсон ч гэсэн.

ЖИШЭЭ.
,

, хэдий ч

ТОДОРХОЙЛОЛТ. матрицууд болон дуудсан солих, хэрэв
, өөрөөр болон дуудсан солигддоггүй.

Тодорхойлолтоос харахад зөвхөн ижил хэмжээтэй квадрат матрицууд солигддог.

ЖИШЭЭ.

матрицууд болон солих.

Тэр бол
,

гэсэн үг, болон орлуулах матрицууд юм.

Ерөнхийдөө таних матриц нь ижил дарааллын аль ч квадрат матрицтай, мөн дурын матрицын хувьд шилжинэ.
. Энэ бол матрицын шинж чанар юм яагаад үүнийг нэгж гэж нэрлэдэгийг тайлбарлав: тоог үржүүлэхэд 1-ийн тоо ийм шинж чанартай байдаг.

Хэрэв холбогдох бүтээлүүдийг тодорхойлсон бол:

5.

ЖИШЭЭ.

,

2х2 2х1 2х1 1х2

СЭТГЭГДЭЛ. Матрицын элементүүд нь зөвхөн тоо төдийгүй функц байж болно. Ийм матрицыг нэрлэдэг ажиллагаатай.

ЖИШЭЭ.

Тодорхойлогч бодис ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Квадрат матриц бүр нь тодорхой дүрмийн дагуу тодорхой тоотой холбоотой байж болох бөгөөд үүнийг тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье.

Түүний тодорхойлогч нь дараах байдлаар бичигдсэн тоо юм.

(1.1)

Ийм тодорхойлогчийг нэрлэдэг Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчбас магадгүй

өөрөөр тэмдэглэсэн:
эсвэл
.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчквадрат матрицад харгалзах тоог нэрлэв
, үүнийг дүрмийн дагуу тооцоолно:

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох энэ дүрмийг гурвалжингийн дүрэм гэж нэрлэдэг бөгөөд схемийн дагуу дараах байдлаар дүрсэлж болно.

ЖИШЭЭ.
;

Хэрэв бид тодорхойлогчийн баруун талд эхний ба дараа нь хоёр дахь баганыг оноож өгвөл гурвалжны дүрмийг өөрчилж болно.

Нэгдүгээрт, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель хоёр диагональ дээрх тоонуудыг, дараа нь нөгөө (хоёрдогч) диагональ ба параллель дээрх тоонуудыг үржүүлнэ. Үлдсэн нийлбэрийг эхний гурван бүтээгдэхүүний нийлбэрээс хасна.

(1.2) болон (1.1)-д байгаа нэр томьёог бүлэглэж, бид үүнийг тэмдэглэж байна

(1.3)

Өөрөөр хэлбэл, гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохдоо хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашигладаг.
-аас авсан матриц тодорхойлогч юм элементийг устгах (илүү нарийвчлалтай, эхний мөр ба эхний багана, тэдгээрийн уулзвар дээр байрладаг ),
- элементийг устгах ,
- элемент .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Нэмэлт бага
элемент квадрат матриц -аас авсан матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг цохилт -р мөр ба -р багана.

ЖИШЭЭ.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Алгебрийн нэмэлтэлемент квадрат матриц дугаар дуудсан
.

ЖИШЭЭ.

Матрицын хувьд :

Матрицын хувьд :
гэх мэт.

Тиймээс томъёолсон тодорхойлолтыг (1.3) харгалзан дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Одоо ерөнхий тохиолдол руу шилжье.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. тодорхойлогчквадрат матриц захиалга тоо дуудагдах бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичиж, тооцоолно.

(1.4)

Тэгш байдлыг (1.4) гэж нэрлэдэг эхнийх нь элементүүдийн хувьд тодорхойлогчийн задрал шугамууд. Энэ томъёонд алгебрийн нэмэлтүүдийг тодорхойлогчоор тооцдог
--р захиалга. Тиймээс (1.4) томъёогоор 4-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохдоо ерөнхийдөө 3-р эрэмбийн 4 тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай; 5-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохдоо - 4-р эрэмбийн 5 тодорхойлогч гэх мэт. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, 4-р эрэмбийн тодорхойлогчийн эхний мөрөнд 3 тэг элемент байгаа бол (1.4) томъёонд зөвхөн нэг тэгээс өөр гишүүн үлдэнэ.

ЖИШЭЭ.

(Нотлох баримтгүйгээр) авч үзэх тодорхойлогчдын шинж чанарууд:

Тодорхойлогчийг эхний баганын элементүүд дээр өргөжүүлж болно:

ЖИШЭЭ.

СЭТГЭГДЭЛ. Үзсэн жишээнүүд нь дараахь дүгнэлтийг хийх боломжийг бидэнд олгоно. гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна..

Эндээс тодорхойлогчийн мөр, багана тэнцүү байна.

Үүнээс, тухайлбал, ийм зүйл гарч ирдэг аливаа эгнээний нийтлэг хүчин зүйл (багана) тодорхойлогчийн тэмдгээс гаргаж авч болно. Мөн тэг мөр эсвэл тэг баганатай тодорхойлогч тэг болно.

Тэгш байдлыг (1.6) гэж нэрлэдэг --р мөр.

Тэгш байдлыг (1.7) гэж нэрлэдэг тодорхойлогчийг элементүүдээр задлах -р багана.

Зарим эгнээний (баганын) бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр

өөр нэг мөрийн харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд

(багана) нь тэг, өөрөөр хэлбэл хэзээ
болон
цагт
.

ЖИШЭЭ.
, учир нь энэ тодорхойлогчийн эхний ба хоёр дахь эгнээний элементүүд нь пропорциональ (хөрөнгө 6).

Ялангуяа тодорхойлогчийг тооцоолохдоо 9-р шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг, учир нь энэ нь нэгээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх аливаа тодорхойлогчд мөр эсвэл багана авах боломжийг олгодог.

ЖИШЭЭ.

Матрицтай ажиллахдаа заримдаа тэдгээрийг шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийг эргүүлэх хэрэгтэй болдог. Мэдээжийн хэрэг та өгөгдлийг гараар дарж бичиж болно, гэхдээ Excel нь үүнийг хялбар, хурдан болгох хэд хэдэн аргыг санал болгодог. Тэднийг нарийвчлан авч үзье.

Матрицын шилжүүлэг нь багана, мөрүүдийг солих үйл явц юм. Excel-д шилжүүлэх хоёр боломж байдаг: функцийг ашиглах ТРАНСПболон Paste Special хэрэгслийг ашиглана уу. Эдгээр сонголт бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арга 1: TRANSPOSE оператор

Чиг үүрэг ТРАНСПоператоруудын ангилалд хамаарна "Лавлагаа ба массив". Онцлог нь массивтай ажилладаг бусад функцүүдийн нэгэн адил гаралтын үр дүн нь нүдний агуулга биш, харин бүхэл бүтэн өгөгдлийн массив юм. Функцийн синтакс нь маш энгийн бөгөөд дараах байдалтай байна.

TRANSPOSE(массив)

Өөрөөр хэлбэл, энэ операторын цорын ганц аргумент нь массив, манай тохиолдолд хөрвүүлэх ёстой матрицын лавлагаа юм.

Бодит матрицтай жишээн дээр энэ функцийг хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

1. Бид хувиргасан матрицын зүүн дээд нүд байхаар төлөвлөж буй хуудсан дээрх хоосон нүдийг сонгоно. Дараа нь дүрс дээр дарна уу "Оруулах функц", энэ нь томъёоны мөрний ойролцоо байрладаг.



2. Эхэлж байна Функцийн шидтэнгүүд. Ангилал нээх "Лавлагаа ба массив"эсвэл "Бүтэн цагаан толгойн жагсаалт". Нэрийг нь олсны дараа "ТРАНСП", үүнийг сонгоод товчлуур дээр дарна уу БОЛЖ БАЙНА УУ.



3. Функцийн аргументуудын цонх нээгдэнэ ТРАНСП. Энэ операторын цорын ганц аргумент нь талбартай тохирч байна "Массив". Матриц руу эргүүлэхийн тулд та координатыг оруулах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд курсорыг талбарт байрлуулж, хулганы зүүн товчийг дарж хуудас дээрх матрицын бүх хүрээг сонгоно уу. Аргументуудын цонхонд талбайн хаяг гарч ирсний дараа товчлуур дээр дарна уу БОЛЖ БАЙНА УУ.



4. Гэхдээ таны харж байгаагаар үр дүнг харуулах зориулалттай нүдэнд буруу утгыг алдаа хэлбэрээр харуулж байна. "#VALUE!". Энэ нь массив операторуудын үйл ажиллагааны онцлогтой холбоотой юм. Энэ алдааг засахын тулд бид мөрийн тоо нь анхны матрицын баганын тоотой, баганын тоо нь мөрийн тоотой тэнцүү байх ёстой нүднүүдийн мужийг сонгоно. Үр дүнг зөв харуулахын тулд энэхүү захидал харилцаа нь маш чухал юм. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл агуулсан нүд "#VALUE!"нь сонгогдох массивын зүүн дээд нүд байх ёстой бөгөөд энэ нүднээс хулганы зүүн товчийг удаан дарж сонгох процедурыг эхлүүлэх ёстой. Сонголт хийснийхээ дараа курсорыг операторын илэрхийллийн дараа шууд томьёоны мөрөнд байрлуулна ТРАНСП, үүнийг дотор нь харуулах ёстой. Үүний дараа тооцооллыг хийхийн тулд та товчлуур дээр дарахгүй байх хэрэгтэй Оруулна уу, ердийн томъёонд заншилтай байдаг тул хослолыг залгана Ctrl+Shift+Enter.



5. Эдгээр үйлдлүүдийн дараа матрицыг бидэнд хэрэгтэй байдлаар, өөрөөр хэлбэл шилжүүлсэн хэлбэрээр харуулав. Гэхдээ өөр нэг асуудал бий. Баримт нь одоо шинэ матриц бол өөрчлөх боломжгүй томьёогоор холбогдсон массив юм. Хэрэв та матрицын агуулгад ямар нэгэн өөрчлөлт оруулахыг оролдвол алдаа гарч ирнэ. Зарим хэрэглэгчид массивын өөрчлөлтийг хийхгүй байгаа тул энэ байдалд сэтгэл хангалуун байдаг, гэхдээ бусад нь бүрэн ажиллах боломжтой матриц хэрэгтэй.

   Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд шилжүүлсэн мужийг бүхэлд нь сонгоно. Таб руу шилжсэн "Гэр"дүрс дээр дарна уу "Хуулбарлах", бүлэгт туузан дээр байрладаг "Хүрээний санах ой". Сонголтын дараа заасан үйлдлийн оронд та хуулбарлах стандарт гарын товчлолыг тохируулж болно ctrl+c.



6. Дараа нь шилжүүлсэн мужаас сонголтыг хасахгүйгээр бид хулганы баруун товчийг дарна. Бүлэг дэх контекст цэсэнд "Буулгах сонголтууд"дүрс дээр дарна уу "Үнэ цэнэ", энэ нь тоотой дүрс шиг харагдаж байна.

   

   Үүний дараа массивын томъёо ТРАНСПустгагдах бөгөөд нүднүүдэд зөвхөн нэг утга үлдэх бөгөөд үүнтэй та анхны матрицтай ижил аргаар ажиллах боломжтой.

Арга 2: Paste Special бүхий матрицын шилжүүлэг

Нэмж дурдахад, матрицыг нэг контекст цэсийн зүйл ашиглан шилжүүлж болно "Тусгай буулгах".

Эдгээр үйлдлүүдийн дараа зөвхөн хувиргасан матриц нь хуудсан дээр үлдэх болно.

Дээр дурдсан хоёр аргаар та Excel-д зөвхөн матрицуудыг төдийгүй бүрэн хэмжээний хүснэгтүүдийг шилжүүлж болно. Процедур нь бараг ижил байх болно.

Тиймээс бид Excel програм дээр матрицыг шилжүүлж, өөрөөр хэлбэл багана, мөрийг хоёр аргаар солих замаар эргүүлж болохыг олж мэдсэн. Эхний сонголт нь функцийг ашиглах явдал юм ТРАНСП, хоёр дахь нь Paste Special Tools юм. Ерөнхийдөө эдгээр хоёр аргыг ашиглахад гарах эцсийн үр дүн нь ялгаатай биш юм. Хоёр арга нь бараг ямар ч нөхцөлд ажилладаг. Тиймээс хөрвүүлэх сонголтыг сонгохдоо тухайн хэрэглэгчийн хувийн сонголтууд урган гарч ирдэг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр аргуудын аль нь танд илүү тохиромжтой вэ, үүнийг ашиглаарай.

Матрицын шилжүүлэг

Матрицын шилжүүлэгнь матрицын мөрүүдийг баганаар нь солихын зэрэгцээ дарааллыг нь хадгалах (эсвэл мөн адил матрицын баганыг мөрүүдээр нь солих) гэж нэрлэдэг.

Анхны матрицыг өгье ГЭХДЭЭ:

Дараа нь тодорхойлолтын дагуу шилжүүлсэн матриц ГЭХДЭЭ"харагдаж байна:

Матриц шилжүүлэн суулгах үйлдлийн товчилсон хэлбэр: Транспозицсон матрицыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг.

Жишээ 3. Матрицуудыг өгье А ба Б:

Дараа нь харгалзах шилжүүлсэн матрицууд дараах хэлбэртэй байна.

Матрицын шилжүүлгийн үйл ажиллагааны хоёр зүй тогтлыг анзаарахад хялбар байдаг.

1. Хоёр удаа шилжүүлсэн матриц нь анхны матрицтай тэнцүү байна:

2. Квадрат матрицыг шилжүүлэх үед үндсэн диагональ дээр байрлах элементүүд байрлалаа өөрчилдөггүй, i.e. Квадрат матрицын үндсэн диагональ нь шилжүүлэн суулгахад өөрчлөгддөггүй.

Матрицын үржүүлэх

Матрицын үржүүлэх нь матрицын алгебрийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг тусгай үйлдэл юм. Матрицын мөр ба багануудыг харгалзах хэмжээсийн мөрийн вектор ба баганын вектор гэж үзэж болно; өөрөөр хэлбэл аливаа матрицыг мөрийн вектор эсвэл баганын векторуудын цуглуулга гэж ойлгож болно.

Хоёр матриц өгье: ГЭХДЭЭ- хэмжээ т X Пболон AT- хэмжээ p x k.Бид матрицыг авч үзэх болно ГЭХДЭЭбагц хэлбэрээр тэгнээний векторууд а)хэмжээсүүд Птус бүр болон матриц AT -багц хэлбэрээр руубаганын векторууд б Жтагуулсан Птус бүрийг зохицуулдаг:

Матрицын эгнээний векторууд ГЭХДЭЭболон матрицын баганын векторууд ATЭдгээр матрицуудын дүрслэлд (2.7) үзүүлэв. Матрицын эгнээний урт ГЭХДЭЭматрицын баганын өндөртэй тэнцүү байна AT, тиймээс эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь утга учиртай болно.

Тодорхойлолт 3. Матрицын үржвэр ГЭХДЭЭболон ATэлементүүд нь С матриц гэж нэрлэгддэг Суэгнээний векторуудын скаляр үржвэртэй тэнцүү байна а (матрицууд ГЭХДЭЭбаганын векторууд руу bjматрицууд AT:

Матрицын бүтээгдэхүүн ГЭХДЭЭболон AT- матриц С - хэмжээтэй байна т X руу, томьёо (2.8)-д үзүүлснээр эдгээр векторуудын координатын үржвэрийг скаляр үржвэрт нь нийлбэрлэх үед мөрийн вектор ба баганын векторуудын урт l алга болдог тул. Тиймээс С матрицын эхний эгнээний элементүүдийг тооцоолохын тулд матрицын эхний эгнээний скаляр үржвэрийг дараалан авах шаардлагатай. ГЭХДЭЭматрицын бүх багана руу ATС матрицын хоёр дахь эгнээ нь матрицын хоёр дахь эгнээний векторын скаляр үржвэр хэлбэрээр олно. ГЭХДЭЭматрицын бүх баганын векторууд руу AT, гэх мэт. Матрицын бүтээгдэхүүний хэмжээг санахад хялбар байхын тулд та матрицын хүчин зүйлсийн хэмжээг хуваах хэрэгтэй: - , дараа нь тоотой харьцуулахад үлдсэн нь бүтээгдэхүүний хэмжээг өгнө. руу

dsnia, t.s. матрицын хэмжээ C байна т X руу.

Матрицыг үржүүлэх үйл ажиллагааны онцлог шинж чанар байдаг: матрицын үржвэр ГЭХДЭЭболон ATбаганын тоо нь утга учиртай ГЭХДЭЭдахь мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна AT.Дараа нь бол А ба Б -тэгш өнцөгт матрицууд, дараа нь бүтээгдэхүүн ATболон ГЭХДЭЭХаргалзах матрицын элементүүдийг бүрдүүлдэг скаляр бүтээгдэхүүнүүд нь ижил тооны координаттай векторуудыг агуулсан байх ёстой тул утгагүй болно.

Хэрэв матрицууд ГЭХДЭЭболон ATквадрат, хэмжээ l x l, матрицын үржвэрийн хувьд утга учиртай AB,ба матрицуудын үржвэр VA,ба эдгээр матрицуудын хэмжээ нь анхны хүчин зүйлсийнхтэй ижил байна. Энэ тохиолдолд матрицын үржүүлгийн ерөнхий тохиолдолд солих (шилжүүлэх) дүрэм ажиглагдахгүй, i.e. AB * BA.

Матрицыг үржүүлэх жишээг авч үзье.

Матрицын баганын тооноос хойш ГЭХДЭЭматрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна AT,матрицын бүтээгдэхүүн ABгэсэн утгатай. (2.8) томъёог ашиглан бид бүтээгдэхүүн дэх 3х2 матрицыг олж авна.

Ажил VA ns нь утга учиртай, учир нь матрицын баганын тоо ATматрицын эгнээний тоотой таарахгүй байна ГЭХДЭЭ.

Эндээс бид матрицын үржвэрийг олно ABболон VA:

Үр дүнгээс харахад бүтээгдэхүүний матриц нь бүтээгдэхүүн дэх матрицуудын дарааллаас хамаарна. Аль ч тохиолдолд матрицын бүтээгдэхүүн нь анхны хүчин зүйлүүдтэй ижил хэмжээтэй байна: 2х2.

Энэ тохиолдолд матриц ATбаганын вектор, өөрөөр хэлбэл. гурван мөр, нэг багана бүхий матриц. Ерөнхийдөө векторууд нь матрицын онцгой тохиолдлууд юм: уртын эгнээний вектор Пнь нэг мөртэй матриц ба Пбагана ба өндрийн баганын вектор П- бүхий матриц Пмөр ба нэг багана. Буурсан матрицуудын хэмжээ нь тус тус 2 x 3 ба 3 x I байх тул эдгээр матрицуудын үржвэрийг тодорхойлно. Бидэнд байгаа

Бүтээгдэхүүн нь 2 х 1 матриц эсвэл 2 өндөртэй баганын векторыг гаргана.

Дараалсан матрицыг үржүүлэх замаар бид дараахь зүйлийг олно.

Матрицын үржвэрийн шинж чанарууд. Болъё А, Бба C нь тохирох хэмжээтэй матрицууд (ингэснээр матрицын бүтээгдэхүүнүүд тодорхойлогддог), a нь бодит тоо юм. Дараа нь матрицын үржвэрийн дараах шинж чанаруудыг хадгална.

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) А (Б+ C) = AB + AC;
• 4) а (AB) = (aA)B = A(aB).

Identity матрицын тухай ойлголт Э 2.1.1-д оруулсан. Матрицын алгебрт энэ нь нэгжийн үүрэг гүйцэтгэдэг гэдгийг шалгахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл, Зүүн ба баруун талаас энэ матрицаар үржүүлэхтэй холбоотой өөр хоёр шинж чанарыг тэмдэглэж болно.

• 5 )AE=A;
• 6) EA = ГЭХДЭЭ.

Өөрөөр хэлбэл аливаа матрицыг таних матрицаар үржүүлэх нь утга учиртай бол анхны матрицыг өөрчлөхгүй.

Матрицыг шилжүүлэхийн тулд та матрицын мөрүүдийг багана болгон бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бол шилжүүлсэн матриц

Хэрэв бол

Дасгал 1.Хай

1. Квадрат матрицыг тодорхойлох хүчин зүйлүүд.

Квадрат матрицын хувьд тодорхойлогч гэж нэрлэгддэг тоог оруулсан болно.

Хоёрдахь эрэмбийн матрицуудын хувьд (хэмжээ) тодорхойлогчийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Жишээлбэл, матрицын хувьд тодорхойлогч нь байна

Жишээ . Матрицын тодорхойлогчдыг тооцоолох.

Гурав дахь эрэмбийн (хэмжээ) квадрат матрицуудын хувьд "гурвалжин" гэсэн дүрэм байдаг: зурган дээр тасархай шугам нь тасархай шугам өнгөрөх тоог үржүүлэх гэсэн үг юм. Эхний гурван тоог нэмж, дараагийн гурван тоог хасах шаардлагатай.

Жишээ. Тодорхойлогчийг тооцоол.

Тодорхойлогчийн ерөнхий тодорхойлолтыг өгөхийн тулд бид минор ба алгебрийн нэмэлт гэсэн ойлголтыг оруулах ёстой.

Багаматрицын элементийг - тэр мөр ба тэр баганыг устгаснаар олж авсан тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Жишээ.А матрицын зарим жижиг хэсгүүдийг ол.

Алгебрийн нэмэлтэлементийг тоо гэж нэрлэдэг.

Тиймээс, хэрэв индексүүдийн нийлбэр ба тэгш байвал тэдгээр нь ямар ч байдлаар ялгаатай биш юм. Хэрэв индексүүдийн нийлбэр нь сондгой байвал тэдгээр нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай байна.

Өмнөх жишээний хувьд.

матриц тодорхойлогчзарим эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм

(багана) тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд рүү. Гурав дахь эрэмбийн матриц дээр энэ тодорхойлолтыг авч үзье.

Эхний оруулгыг эхний эгнээнд тодорхойлогчийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг, хоёр дахь нь хоёр дахь баганын өргөтгөл, сүүлчийнх нь гурав дахь эгнээний өргөтгөл юм. Нийтдээ ийм өргөтгөлүүдийг зургаан удаа бичиж болно.

Жишээ. Тодорхойлогчийг "гурвалжин" дүрмийн дагуу тооцоолж, эхний эгнээний дагуу, дараа нь гурав дахь баганын дагуу, дараа нь хоёр дахь эгнээний дагуу өргөжүүлнэ.

Тодорхойлогчийг эхний мөрөөр өргөжүүлье:

Гурав дахь баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлье.

Тодорхойлогчийг хоёр дахь мөрөөр өргөжүүлье.

Илүү их тэг байх тусам тооцоолол хялбар болно гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, эхний баганыг өргөжүүлбэл бид олж авна

Тодорхойлогчдын шинж чанаруудын дунд тэг авах боломжийг олгодог шинж чанар байдаг, тухайлбал:

Хэрэв бид тодорхой эгнээний (баганын) элементүүдэд тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн өөр эгнээний (баганын) элементүүдийг нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Ижил тодорхойлогчийг авч, жишээлбэл, эхний эгнээнд тэгийг авъя.

Дээд эрэмбийн тодорхойлогчийг ижил аргаар тооцдог.

Даалгавар 2.Дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

1) дурын мөр эсвэл багана дээр өргөтгөх

2) өмнө нь тэг хүлээн авсан

Бид жишээлбэл, хоёр дахь баганад нэмэлт тэг авдаг. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь эгнээний элементүүдийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх эгнээнд нэмнэ.

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг Крамерын аргаар үзүүлье.

Даалгавар 2.Тэгшитгэлийн системийг шийд.

Бид дөрвөн тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Эхнийх нь үндсэн гэж нэрлэгддэг ба үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэнэ.

Хэрэв бол системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.

Үлдсэн гурван тодорхойлогчийг , -ээр тэмдэглэсэн ба харгалзах баганыг баруун талын баганаар сольж олж авна.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид үндсэн тодорхойлогчийн эхний баганыг баруун хэсгийн багана болгон өөрчилнө.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид үндсэн тодорхойлогчийн хоёр дахь баганыг баруун хэсгийн багана болгон өөрчилнө.

Бид олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид үндсэн тодорхойлогчийн гурав дахь баганыг баруун хэсгийн багана болгон өөрчилнө.

Системийн шийдлийг Крамерын томъёогоор олно: , ,

Тиймээс системийн шийдэл, ,

Шалгалт хийцгээе, үүний тулд бид олсон шийдлийг системийн бүх тэгшитгэлд орлуулна.

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх.

Хэрэв квадрат матриц нь тэгээс өөр тодорхойлогчтой бол урвуу матрицтай байна. Матрицыг identity гэж нэрлэдэг бөгөөд хэлбэртэй байна

Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

Жишээ. Матрицын урвуу матрицыг ол

Эхлээд бид тодорхойлогчийг тооцоолно.

Алгебрийн нэмэгдлийг олох:

Бид урвуу матрицыг бичнэ:

Тооцооллыг шалгахын тулд та үүнийг шалгах хэрэгтэй.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар өгье.

Тэмдэглэх

Дараа нь тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно, улмаар . Үүссэн томъёог системийг шийдвэрлэх матрицын арга гэж нэрлэдэг.

Даалгавар 3.Системийг матрицын аргаар шийд.

Системийн матрицыг бичиж, урвуу талыг нь олж, дараа нь баруун хэсгүүдийн баганаар үржүүлэх шаардлагатай.

Өмнөх жишээн дээр бид урвуу матрицыг аль хэдийн олсон тул шийдлийг олох боломжтой.

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.

Крамерын арга ба матрицын аргыг зөвхөн квадрат системд ашигладаг (тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү), тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү биш эсвэл системийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү бол Гауссын аргыг хэрэглэнэ. Гауссын аргыг ямар ч системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Мөн эхний тэгшитгэлд орлуулна уу:

Даалгавар 5.Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Үүссэн матрицыг ашиглан бид системийг сэргээнэ.

Бид шийдлийг олдог: