Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээ: шийдлийн арга. Шугаман тэгшитгэлийг жишээгээр шийдвэрлэх 3 хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ
2.3.1. Тодорхойлолт.
Шугаман тэгшитгэлийг өгье.
а 1 х + б 1 y + в 1 z = г 1 , (2.3.1)
а 2 х + б 2 y + в 2 z = г 2 , (2.3.2)
а 3 х + б 3 y + в 3 z = г 3 . (2.3.3)
Хэрэв (2.3.1) ¾ (2.3.3) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох шаардлагатай бол тэдгээрийг үүсгэдэг гэж хэлдэг. систем . (2.3.1) ¾ (2.3.3) тэгшитгэлээс бүрдэх системийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
Системийг бүрдүүлж буй тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг гэнэ системийн шийдэл . Системийг шийднэ үү (2.3.4) ¾ энэ нь түүний бүх шийдлүүдийн багцыг олох эсвэл байхгүй гэдгийг нотлох гэсэн үг юм.
Өмнөх тохиолдлуудын нэгэн адил доороос бид систем (2.3.4) нь өвөрмөц шийдэлтэй, нэгээс олон шийдэлтэй, шийдэлгүй байх нөхцөлүүдийг олох болно.
2.3.2. Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийг (2.3.4) өгье. матрицууд
гэж нэрлэдэг ( үндсэн )матриц болон Өргөтгөсөн матриц системүүд.
2.3.3. (2.3.4) хэлбэрийн эквивалент системүүдийн тодорхойлолт, түүнчлэн 1 ба 2-р төрлийн энгийн хувиргалтуудыг хоёр ба гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системтэй ижил аргаар танилцуулав.
Анхан шатны өөрчлөлт 3-р төрлийн систем (2.3.4) нь энэ системийн зарим хоёр тэгшитгэлийн солилцоо юм. 2 тэгшитгэлийн системийн өмнөх тохиолдлуудтай төстэй системийн анхан шатны өөрчлөлтийн дагуу системийг олж авдаг,үүнтэй дүйцэхүйц.
2.3.4. Дасгал. Тэгшитгэлийн системийг шийд:
Шийдэл. а)
(1) Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг сольсон (3-р хэлбэрийн хувиргалт).
(2) 4-р үржүүлсэн эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь, эхний тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлсэн нь гурав дахь тэгшитгэлийг хасна (2-р хэлбэрийн хувиргалт); Тиймээс үл мэдэгдэхийг хоёр, гурав дахь тэгшитгэлээс хасав х .
(3) 14-р үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг гурав дахь нь хасна; үл мэдэгдэх нь гурав дахь хэсгээс хасагдсан y .
(4) Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог z = 1, алийг нь хоёрдугаарт орлуулахад бид олно y = 0. Эцэст нь орлуулах y = 0 ба z Эхний тэгшитгэлийн = 1, бид олно х = -2.с
(1) Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг сольсон.
(2) Эхний тэгшитгэлийн 4-ийг хоёр дахь нь, эхний тэгшитгэлийн 6-ыг гурав дахь нь хасна.
(3) Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлүүд давхцсан. Бид тэдгээрийн аль нэгийг нь системээс хасдаг (эсвэл өөрөөр хэлбэл гурав дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасвал гурав дахь тэгшитгэл нь 0 = 0 адилтгал болж хувирна; энэ нь системээс хасагдана. Бид таамаглаж байна. z = а .
(4) Орлуулах z = а хоёр дахь болон эхний тэгшитгэлд оруулна.
(5) Орлуулах y = 12 - 12а Эхний тэгшитгэлд бид олдог х .
в) Хэрэв эхний тэгшитгэлийг 4-т, гурав дахь ¾-ийг 6-д хуваавал бид эквивалент системд хүрнэ.
Энэ нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна х - 2y - z = -3. Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд мэдэгдэж байна (Жишээ 2.2.3 b-г үзнэ үү))
Үүссэн тогтолцооны сүүлчийн тэгш байдал нь зөрчилддөг. Тиймээс системд ямар ч шийдэл байхгүй.
(1) ба (2) ¾ өөрчлөлтүүд нь системийн харгалзах өөрчлөлттэй яг ижил байна b))
(3) Сүүлийн тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хас.
Хариулт: a) (-2; 0; 1);
б) (21 - 23 а ; 12 - 12а ; а ), а Î Р;
в) ((-3 + 2 а + б ; а ; б )|а , б Î Р};
d) Системд шийдэл байхгүй.
2.3.5. Өмнөх жишээнүүдээс харахад ийм байна гурван үл мэдэгдэх систем, түүнчлэн хоёр үл мэдэгдэх систем, ганцхан шийдэлтэй байж болно, хязгааргүй тооны шийдлүүд ба нэг шийдэлгүй. Доор бид бүх боломжит тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Гэхдээ эхлээд бид зарим тэмдэглэгээг танилцуулж байна.
Системийн матрицын тодорхойлогчийг D-ээр тэмдэглэ.
Эхний баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольж D-ээс олж авсан тодорхойлогчийг D 1-ээр тэмдэглэнэ.
Үүнтэй адилаар тавья
D 2 = ба D 3 =.
2.3.6. Теорем. Хэрвээ D¹0, дараа нь систем(2.3.4)цорын ганц шийдэлтэй
, , . (2.3.5)
Томъёо (2.3.5) гэж нэрлэдэг томъёо = = 0 бүгдэд нь би ¹ ж мөн тодорхойлогч хүчин зүйлсийн дор хаяж нэг нь , , тэгтэй тэнцүү биш, тэгээд шийдлийн систем байхгүй.
4) Хэрвээ = = = = = = 0 бүгдэд нь би ¹ ж , тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй болно, хоёр параметрээс хамаарна.
Системийн хувьд бид үндсэн тодорхойлогчийг бүрдүүлдэг
мөн үүнийг тооцоол.
Дараа нь бид нэмэлт тодорхойлогчдыг гаргадаг
мөн тэдгээрийг тооцоолох.
Крамерын дүрмийн дагуу системийн шийдлийг томъёогоор олно
; 
;
, хэрэв 
1)
Тооцоолъё:
Крамерын томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно.
Хариулт: (1; 2; 3)
2)
Тооцоолъё:
Гол тодорхойлогч учраас 
, мөн дор хаяж нэг нэмэлт нь тэгтэй тэнцүү биш байна (манай тохиолдолд 
), системд шийдэл байхгүй болно.
3)
Тооцоолъё:
Бүх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү тул систем нь хязгааргүй олон шийдтэй бөгөөд үүнийг дараах байдлаар олж болно. 
Өөрийнхөө системийг шийднэ үү:
а) 
б) 
Хариулт: a) (1; 2; 5) б) 
;
;
Сэдвийн 3-р практик хичээл:
Хоёр векторын скаляр үржвэр ба түүний хэрэглээ
1. Хэрэв өгсөн бол 
болон 
, дараа нь скаляр үржвэрийг дараах томъёогоор олно. 
∙
2. Хэрэв, энэ хоёр векторын скаляр үржвэрийг томъёогоор олно
1. Хоёр вектор өгөгдсөн 
болон 
Бид тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар олно.
.
2. Хоёр вектор өгөгдсөн:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
цэгийн бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар олж болно.
3.
,
3.1 Замын шулуун хэсэг дээрх тогтмол хүчний ажлыг олох
1) 15Н хүчний үйлчлэлээр бие нь шулуун шугамаар 2 метр хөдөлсөн. Хүч ба хөдөлгөөний чиглэлийн хоорондох өнцөг =60 0 . Биеийг хөдөлгөх хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоол.
Өгөгдсөн: 
Шийдэл:
2) Өгөгдсөн: 
Шийдэл:
3) М(1; 2; 3) цэгээс N(5; 4; 6) цэг рүү бие 60Н хүчний үйлчлэлээр хөдөлсөн. Хүчний чиглэл ба шилжилтийн векторын хоорондох өнцөг =45 0 . Энэ хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоол.
Шийдэл: шилжилтийн векторыг ол 
Шилжилтийн векторын модулийг ол:
Томъёоны дагуу 
ажил олох:
3.2 Хоёр векторын ортогональ байдлыг тодорхойлох
Хоёр вектор нь ортогональ байна 
, тэр бол
учир нь 
1) 
- ортогональ биш
2) 
- ортогональ
3) Аль векторуудыг тодорхойлох 
болон 
харилцан ортогональ.
Учир нь 
, дараа нь 
, гэсэн үг
Өөрийнхөө төлөө шийд:
а) 
. Тэдний скаляр үржвэрийг ол.
б) Хүч хэр их ажил хийдгийг тооцоол 
, хэрэв түүний хэрэглээний цэг нь шулуун шугамаар хөдөлж, M (5; -6; 1) цэгээс N (1; -2; 3) цэг рүү шилжсэн бол
в) Векторууд ортогональ эсэхийг тодорхойлно 
болон
Хариултууд: a) 1 b) 16 c) тийм
3.3 Векторуудын хоорондох өнцгийг олох
1)
. Хай 
.
Бид олдог 
томъёонд залгана уу:
.
нэг). Гурвалжны оройг A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) өгөв. А орой дээрх өнцгийг ол.
Томъёонд орлуулах: 
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Гурвалжны оройг A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) өгөв. А орой дээрх дотоод өнцгийг тодорхойл.
Хариулт: 90 o
Сэдвийн 4-р практик хичээл:
ХОЁР ВЕКТОРЫН ВЕКТОР БҮТЭЭГДЭХҮҮН БА ТҮҮНИЙ ХЭРЭГЛЭЭ.
Хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг олох томъёо:
|
|
|
|
|
хэлбэртэй байна |
||
1) Вектор бүтээгдэхүүний модулийг ол:
Бид тодорхойлогчийг бүрдүүлж, тооцоолно (Саррусын дүрэм эсвэл эхний эгнээний элементүүдийн хувьд тодорхойлогчийг тэлэх теоремын дагуу).
1-р арга: Саррусын дүрмийн дагуу
2-р арга: тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүдээр өргөжүүлнэ.
2) Хөндлөн үржвэрийн модулийг ол:
4.1. ХОЁР ВЕКТОР ДЭЭР БАРИЛСАН ПАРАЛЛЕЛОГРАМЫН ТАЛБАЙН ТООЦОО.
1) Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг тооцоол
2). Хөндлөн үржвэр ба түүний модулийг ол
4.2. ГУРВАЛЖИНГИЙН ТАЛБАЙН ТООЦОО
Жишээ нь: A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) гурвалжны оройг өгөв. Гурвалжны талбайг тооцоол.
Эхлээд нэг оройноос гарч буй хоёр векторын координатыг олъё.
Тэдний вектор үржвэрийг олцгооё
4.3. ХОЁР ВЕКТОРЫН ХОЛБООТОЙ БАЙДЛЫГ ТОДОРХОЙЛОЛТ
Хэрэв вектор 
болон 
тэгвэл хоорондоо уялдаатай байна
, өөрөөр хэлбэл векторуудын координатууд пропорциональ байх ёстой.
a) Вектор өгөгдөл:: 
,
.
Учир нь тэд хоорондоо уялдаатай байдаг 
болон
бутархай бүрийг бууруулсны дараа харьцааг олж авна 
b) Вектор өгөгдөл: 
.
Учир нь тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байдаггүй 
эсвэл 
Өөрийнхөө төлөө шийд:
a) Векторын m ба n утгуудын хувьд 
collinear?
Хариулт: 
;
b) Хөндлөн үржвэр ба түүний модулийг ол 
,
.
Хариулт: 
,
.
Сэдвийн 5-р практик хичээл:
Онгоц дээрх шулуун шугам
Даалгаврын дугаар 1. Шулуун шугамтай параллель А (-2; 3) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. 
1. Шулуун шугамын налууг ол 
.
налуу ба анхны ординаттай шулуун шугамын тэгшитгэл ( 
). Тийм ч учраас 
.
2. MN ба АС шулуунууд параллель байх тул тэдгээрийн налуу нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. 
.
3. АС шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохын тулд өгөгдсөн налуутай цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглана.
. Энэ томъёонд оронд нь 
болон 
оронд нь А цэгийн координатыг (-2; 3) орлуулна 
орлуулъя - 3. Орлуулалтын үр дүнд бид:
Хариулт: 
Даалгаврын дугаар 2. Шулуунтай параллель К (1; -2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.
1. Шулуун шугамын налууг ол.
Энэ бол ерөнхийдөө томъёогоор өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзвэл A \u003d 2, B \u003d -3 байна. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамын налууг томъёогоор олно 
. Энэ томьёонд A = 2, B = -3-ийг орлуулснаар MN шулуун шугамын налууг олж авна. Тэгэхээр, 
.
2. MN ба KS шулуунууд параллель байх тул налуу нь тэнцүү байна. 
.
3. KS шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохын тулд өгөгдсөн налуутай цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог ашиглана. 
. Энэ томъёонд оронд нь 
болон 
оронд нь K(–2; 3) цэгийн координатыг орлуулна 
Даалгаврын дугаар 3. Шулуун шугамд перпендикуляр К (–1; –3) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.
1. ерөнхийд нь томъёогоор өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм.
мөн A = 3, B = 4 гэдгийг бид олж мэдэв.
Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамын налууг дараах томъёогоор олно. 
. Энэ томъёонд A = 3 ба B = 4-ийг орлуулснаар MN шулуун шугамын налууг олж авна. 
.
2. MN ба KD шулуунууд перпендикуляр тул налуу нь урвуу пропорциональ ба эсрэг тэмдгээр:
.
3. KD шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохдоо өгөгдсөн налуутай цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог ашиглана.
. Энэ томъёонд оронд нь 
болон 
оронд нь K(–1; –3) цэгийн координатыг орлуулна 
орлъё. Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.
Өөрийнхөө төлөө шийд:
1. Шулуунтай параллель К (–4; 1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. 
.
Хариулт: 
.
2. Шулуунтай параллель К (5; -2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. 
.
3. Шулуун шугамд перпендикуляр К (–2; –6) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. 
.
4. Шулуун шугамд перпендикуляр К (7; -2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. 
.
Хариулт: 
.
5. К (–6; 7) цэгээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын тэгшитгэлийг ол. 
.
Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье
a 11 , a 12 , …, a 33үл мэдэгдэх коэффициентүүд нь
b 1 , b 2 , b 3- чөлөөт гишүүд.
(2.4) системийг шийднэ гэдэг нь ийм дараалсан гурвалсан тоог олох гэсэн үг юм x 1 \u003d c 1, x 2 \u003d c 2, x 3 \u003d c 3,тэдгээрийг системийн тэгшитгэлд орлуулахад сүүлийнх нь таних тэмдэг болж хувирдаг.
Шийдэл бүхий тэгшитгэлийн системийг (дан эсвэл хязгааргүй олонлог) гэж нэрлэдэг хамтарсан, шийдэлгүй тэгшитгэлийн систем, нийцэхгүй.
Системийг шийдвэрлэх гурван аргыг танилцуулъя (2.4).
Крамерын дүрэм
Үл мэдэгдэхийн коэффициентуудаас системийн тодорхойлогчийг зохио
(2.5)
Хэрэв бол (2.4) систем нь Крамерын томъёогоор олддог өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Энд , , -ийг тодорхойлогчоос эхний, хоёр, гурав дахь баганыг системийн чөлөөт нөхцлийн баганаар сольж (2.4) авна.
(2.7)
Жишээ 7Системийг шийднэ үү 
Системийн тодорхойлогч (2.5) ба тодорхойлогч , , (2.6)-ийг тооцоолно.
Тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.
Крамерын томъёогоор (2.6) бид дараахь зүйлийг олно.
Та системийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх утгыг орлуулах замаар шалгалт хийж болно.
Тэгэхээр, x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 1системийн шийдэл юм.
Гауссын арга
(2.4) системийг авч үзье:
Гауссын арга, эс тэгвээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга нь дараах байдалтай байна. Системийн 2 ба 3-р тэгшитгэлээс хасъя x 1. Бид системийг авдаг:
Бид гурвалжин системийг авдаг. 3-р тэгшитгэлээс бид олдог x 3, үүнийг 2-р тэгшитгэлд орлуулахад бид олно x2, дараа нь 1-р тэгшитгэлээс бид олно x 1, түүнийг орлуулах x2болон x 3.
Жишээ 8Системийг шийднэ үү 
Бид 3-р ба 1-р тэгшитгэлийг 1-р тэгшитгэл дэх коэффициентийг дахин зохион байгуулдаг. x 1 1-тэй тэнцүү байв.
Орхих x 1 2 ба 3-р тэгшитгэлээс. Үүнийг хийхийн тулд 1-р тэгшитгэлийг (-4) үржүүлж, 2-р тэгшитгэлд нэмнэ; дараа нь 1-р тэгшитгэлийг (-6)-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Бид системийг авдаг:
Орхих x2 3-р тэгшитгэлээс. Үүнийг хийхийн тулд 2-р тэгшитгэлийг (-13/10) үржүүлж, 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Бид системийг авдаг:
Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог x 3= -1, бид 2-р тэгшитгэлийг орлуулна:
10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.
Орлуулах x2болон x 3 1-р тэгшитгэлд бид олж авна
Тиймээс системийн шийдэл нь: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = -1.
Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл
Өгөгдсөн систем: (2.8)
Матриц хийцгээе ГЭХДЭЭүл мэдэгдэхийн коэффициентуудаас баганын матриц X– үл мэдэгдэхээс, матриц-баганаас AT- чөлөөт гишүүдээс.
,
(2.8) системийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
Шийдвэрийн матриц Xтомъёоны дагуу олно:
A -1матрицын урвуу утга юм ГЭХДЭЭ, энэ нь матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдэнэ ГЭХДЭЭ(2.3) томъёогоор:
– тодорхойлогч буюу матриц тодорхойлогч ГЭХДЭЭ, .
Жишээ 9Системийг шийдэх:
Бид матрицуудыг танилцуулж байна: 
,
Урвуу матрицыг жишээ 6-д тооцоолсон. Томъёо (2.9) ашиглан бид системийн шийдлийг олно.
Тэгэхээр, x 1=1, x2=1, x 3=1.
Вектор алгебрийн элементүүд
Вектор- чиглэсэн сегмент; эсвэл гэж тэмдэглэнэ. ГЭХДЭЭвекторын эхлэл, AT- төгсөв.
Уртэсвэл модуль векторыг -аар тэмдэглэнэ.
Цагаан будаа. 21.
0xyz координатын орон зайд векторыг дараах байдлаар илэрхийлж болно
(3.1)
Энэ томъёог өгдөг суурийн хувьд векторын өргөтгөлвекторууд , , ; , , - векторын тэгш өнцөгт декартын координатууд (өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх векторын проекцууд).
Формула (3.1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
– вектор координаттай , , .
Уртвекторын (модуль) дараах томъёогоор олно.
. (3.2)
Хэрэв векторыг гарал үүслийн координатаар өгвөл A(x1,y1,z1)ба төгсгөл B(x2,y2,z2), дараа нь координатуудыг томъёогоор олно:
Хэрэв векторуудын тэлэлт ба координатын тэнхлэгүүдийн дагуу тодорхойлогддог бол векторуудыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн ижил нэртэй координатуудыг нэмж (хасах), векторыг тоогоор үржүүлэхэд векторын координатыг үржүүлнэ. энэ тоо, өөрөөр хэлбэл.
(3.4)
Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд ба -аар тэмдэглэсэн нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо юм.
. (3.5)
Хэрэв бол
. (3.6)
Хэрэв векторууд ба collinear(зэрэгцээ), дараа нь
. (3.7)
Хэрэв векторууд ба ортогональ(перпендикуляр), дараа нь
Эсвэл 
(3.8)
Жишээ 10Оноо өгсөн А 1(1,0,-1), А2(2,-1,1), А 3(0,1,-2). Вектор алгебрын тусламжтайгаар юуг олох вэ:
1) векторуудын координат ба .
Бид (3.3) томъёог ашигладаг:
2) Вектор координат
(3.4) ба (3.5) томъёог ашиглан бид олж авна
Эсвэл 
1.2. Гурвалжны дүрмээр: , ба векторын урт . Хариулт: 
3. А(0,-2,3), В(2,1,4), С(3,4,5) цэгүүдийг өгөв. Олно:
а) векторуудын координат (проекц) ба
б) вектор координат
в) векторын урт
4. Векторууд өгөгдсөн Векторуудын скаляр үржвэрийг ол .
5. ба векторууд коллинеар болохыг батал.
6. Векторууд ортогональ болохыг батал.
Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл (нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл).
Тодорхойлолт 1. Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл (нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл). x ба y нь иймэрхүү харагдах тэгшитгэлийг нэрлэнэ
Шийдэл. Тэгш байдлаас (2) y хувьсагчийг x хувьсагчаар илэрхийлье.
Энэ нь (3) томъёоноос харахад маягтын бүх хос тоо байна
Энд x нь дурын тоо юм.
Тайлбар. Жишээ 1-ийн шийдлээс харахад (2) тэгшитгэл байна хязгааргүй олон шийдэл. Гэсэн хэдий ч үүнийг анхаарах нь чухал юм ямар ч хос тоо биш (х; y) нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм. (2) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд x тоог дурын тоо болгон авч, дараа нь (3) томъёог ашиглан у тоог тооцоолж болно.
Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Тодорхойлолт 3. Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем x ба y хэлбэрийг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг
хаана а 1 , б 1 , в 1 , а 2 , б 2 , в 2 тоо өгөгдсөн.
Тодорхойлолт 4. Тэгшитгэлийн системд (4) тоонууд а 1 , б 1 , а 2 , б 2 гэж нэрлэдэг ба тоонууд в 1 , в 2 – чөлөөт гишүүд.
Тодорхойлолт 5. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар (4)хос тоог нэрлэ х; y) нь (4) системийн нэг болон бусад тэгшитгэлийн аль алиных нь шийдэл юм.
Тодорхойлолт 6. Хоёр тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг эквивалент (тэнцэх), хэрэв тэгшитгэлийн эхний системийн бүх шийд нь хоёр дахь системийн шийд, харин хоёр дахь системийн бүх шийд нь эхний системийн шийдэл байвал.
Тэгшитгэлийн системийн эквивалентыг "" тэмдэг ашиглан тэмдэглэнэ.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг бид жишээгээр тайлбарлах тусламжтайгаар шийддэг.
Жишээ 2. Тэгшитгэлийн системийг шийд
Шийдэл. Системийг шийдэхийн тулд (5) Бид системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгадаг X .
Үүний тулд бид эхлээд (5) системийг системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх х-ийн коэффициентүүд ижил болох хэлбэрт шилжүүлнэ.
Хэрэв (5) системийн эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлийн (тоо 7) х дээрх коэффициентээр үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлийн (тоо 2) х дээрх коэффициентээр үржүүлсэн бол (5) систем. хэлбэрийг авна
Одоо систем (6) дээр дараах хувиргалтыг хийцгээе:
- Хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасаад системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг үүссэн зөрүүгээр солино.
Үүний үр дүнд систем (6) нь эквивалент систем болж хувирдаг
Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог y= 3 ба энэ утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна
Хариулах. (-2 ; 3) .
Жишээ 3. Тэгшитгэлийн систем бүхий p параметрийн бүх утгыг ол
а) өвөрмөц шийдэлтэй;
б) хязгааргүй олон шийдэлтэй;
in) шийдэл байхгүй.
Шийдэл. (7) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс х-г у-ээр илэрхийлж, (7) системийн эхний тэгшитгэлд х-ийн оронд үүссэн илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна.
p параметрийн утгаас хамааран системийн (8) шийдлүүдийг судалж үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд системийн (8) эхний тэгшитгэлийг авч үзье.
| y (2 - х) (2 + х) = 2 + х | (9) |
Хэрвээ 
, тэгвэл (9) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна
Тиймээс, тохиолдолд хэзээ , систем (7) цорын ганц шийдэлтэй
Хэрвээ х= - 2 бол тэгшитгэл (9) хэлбэрийг авна
түүний шийдэл нь дурын тоо юм 
. Тиймээс (7) системийн шийдэл хязгааргүй олонлогбүгд хос тоо
,
энд y нь дурын тоо.
Хэрвээ х= 2 бол тэгшитгэл (9) хэлбэрийг авна
бөгөөд ямар ч шийдэлгүй, үүнээс үүдэн тэр системийг дагадаг (7) шийдэл байхгүй.
Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системүүд
Тодорхойлолт 7. Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн систем x , y ба z хэлбэр бүхий тэгшитгэлийн системийг нэрлэнэ
хаана а 1 , б 1 , в 1 , г 1 , а 2 , б 2 , в 2 , г 2 , а 3 , б 3 , в 3 , г 3 тоо өгөгдсөн.
Тодорхойлолт 8. Тэгшитгэлийн системд (10) тоонууд а 1 , б 1 , в 1 , а 2 , б 2 , в 2 , а 3 , б 3 , в 3 дуудсан коэффициентүүд тодорхойгүй байна, болон тоонууд г 1 , г 2 , г 3 – чөлөөт гишүүд.
Тодорхойлолт 9. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар (10)тооны гурвыг нэрлэ (х; y ; z) , Тэдгээрийг (10) системийн гурван тэгшитгэл болгонд орлуулахад зөв тэгшитгэл үүснэ.
Жишээ 4. Тэгшитгэлийн системийг шийд
Шийдэл. Бид системийг (11) ашиглан шийдэх болно үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга.
Үүний тулд эхлээд Бид системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгадаг y систем (11) дээр дараах хувиргалтыг хийснээр:
- бид системийн эхний тэгшитгэлийг өөрчлөгдөөгүй үлдээдэг;
- эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг үүссэн нийлбэрээр солих;
- Гурав дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасаад системийн гурав дахь тэгшитгэлийг үүссэн зөрүүгээр солино.
Үүний үр дүнд систем (11) болж хувирна
Нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь хаалт нээж, ижил гишүүдийг багасгасны дараа хэлбэрийг авна
ax + b = 0, энд a ба b нь дурын тоо, гэж нэрлэдэг шугаман тэгшитгэл үл мэдэгдэх нэгтэй. Өнөөдөр бид эдгээр шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг олж мэдэх болно.
Жишээлбэл, бүх тэгшитгэлүүд:
2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - шугаман.
Тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах үл мэдэгдэх утгыг нэрлэнэ шийдвэр эсвэл тэгшитгэлийн үндэс .
Жишээлбэл, 3x + 7 \u003d 13 тэгшитгэлд үл мэдэгдэх x-ийн оронд 2-ын тоог орлуулбал 3 2 + 7 \u003d 13 зөв тэгшитгэлийг авна. Энэ нь x \u003d 2 утга нь шийдэл гэсэн үг юм. эсвэл тэгшитгэлийн үндэс.
Мөн x \u003d 3 утга нь 3x + 7 \u003d 13 тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргадаггүй, учир нь 3 2 + 7 ≠ 13. Тиймээс x \u003d 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс биш юм.
Аливаа шугаман тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулна
ax + b = 0.
Бид чөлөөт нэр томъёог тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлж, b-ийн урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд бид олж авна.
Хэрэв a ≠ 0 бол x = – b/a болно .
Жишээ 1 3x + 2 =11 тэгшитгэлийг шийд.
Бид тэгшитгэлийн зүүн талаас 2-ыг баруун тийш шилжүүлж, 2-ын урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд бид олж авна.
3x \u003d 11 - 2.
Тэгвэл хасалтыг хийцгээе
3х = 9.
X-ийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл,
x = 9:3.
Тэгэхээр x = 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл буюу язгуур юм.
Хариулт: x = 3.
Хэрэв a = 0 ба b = 0 бол, тэгвэл бид 0x \u003d 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй, учир нь дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0 гарах боловч b нь мөн 0 байна. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын тоо юм.
Жишээ 2 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 тэгшитгэлийг шийд.
Хаалтуудыг өргөжүүлье:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Энд ижил төстэй гишүүд байна:
0x = 0.
Хариулт: x нь дурын тоо юм.
Хэрэв a = 0 ба b ≠ 0 бол, тэгвэл бид 0x = - b тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0, харин b ≠ 0 болно.
Жишээ 3 x + 8 = x + 5 тэгшитгэлийг шийд.
Зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томьёо, баруун талд чөлөөт нэр томъёог бүлэглэе.
x - x \u003d 5 - 8.
Энд ижил төстэй гишүүд байна:
0x = - 3.
Хариулт: шийдэл байхгүй.
Дээр зураг 1 шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемийг үзүүлэв
Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий схемийг зохиоё. Жишээ 4-ийн шийдлийг авч үзье.
Жишээ 4 Тэгшитгэлээ шийдье
1) Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг 12-той тэнцүү хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүл.
2) Буурсны дараа бид авдаг
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүд агуулсан гишүүдийг салгахын тулд хаалтуудыг нээнэ үү:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Бид нэг хэсэгт үл мэдэгдэх нэр томъёог, нөгөө хэсэгт үнэ төлбөргүй нэр томъёог нэгтгэдэг.
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Энд ижил төстэй гишүүд байна:
- 22x = - 154.
6) - 22-оор хуваах, Бид авна
x = 7.
Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн үндэс нь долоо юм.
Ерөнхийдөө ийм тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийдэж болно:
a) тэгшитгэлийг бүхэл тоонд оруулах;
б) нээлттэй хаалт;
в) тэгшитгэлийн нэг хэсэгт үл мэдэгдэх, нөгөө хэсэгт чөлөөт нэр томъёог агуулсан нэр томъёог бүлэглэх;
г) ижил төстэй гишүүдийг авчрах;
д) адил гишүүн авчирсны дараа олж авсан ах = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийд.
Гэсэн хэдий ч энэ схемийг тэгшитгэл болгонд ашиглах шаардлагагүй. Олон энгийн тэгшитгэлийг шийдэхдээ эхнийхээс биш, харин хоёр дахь ( Жишээ. 2), гурав дахь ( Жишээ. 13) мөн 5-р жишээн дээрх шиг тав дахь шатнаас хүртэл.
Жишээ 5 2х = 1/4 тэгшитгэлийг шийд.
Бид үл мэдэгдэх х \u003d 1/4: 2-г олдог.
x = 1/8 .
Улсын үндсэн шалгалтанд тохиолдсон зарим шугаман тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье.
Жишээ 6 2 (x + 3) = 5 - 6x тэгшитгэлийг шийд.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Хариулт: - 0.125
Жишээ 7Тэгшитгэлийг шийд - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Хариулт: 2.3
Жишээ 8 Тэгшитгэлийг шийд
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Жишээ 9 f (x + 2) = 3 7 бол f(6)-г ол
Шийдэл
Бид f(6)-г олох хэрэгтэй ба f (x + 2)-г мэдэж байгаа тул
дараа нь x + 2 = 6.
Бид x + 2 = 6 шугаман тэгшитгэлийг шийднэ.
бид x \u003d 6 - 2, x \u003d 4-ийг авна.
Хэрэв x = 4 бол
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Хариулт: 27.
Хэрэв танд асуулт байгаа бол тэгшитгэлийн шийдлийг илүү нарийвчлан ойлгох хүсэлтэй байгаа бол миний хичээлд бүртгүүлнэ үү. Би танд туслахдаа баяртай байх болно!
TutorOnline нь шугаман тэгшитгэл болон бусад зүйлийг ойлгоход тань туслах багш Ольга Александровнагийн шинэ видео хичээлийг үзэхийг зөвлөж байна.
сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.