Талбайг ашиглан функцийг судлах схем. Функцийн график байгуулах схем Дээд эрэмбийн дериватив ашиглан экстремумын функцуудыг судлах Хөвч ба шүргэгчийн аргыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох

Функцийг судлах, графикийг байгуулах боломжит схемүүдийн нэг нь асуудлыг шийдвэрлэх дараах үе шатуудад задардаг: 1. Функцийн муж (О.О.Ф.). 2. Функцийн таслах цэг, тэдгээрийн мөн чанар. Босоо асимптотууд. 3. Тэгш, сондгой, үечилсэн функц. 4. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд. 5. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөв. Хэвтээ ба ташуу асимптотууд. 6. Функцийн монотон байдлын интервалууд, максимум ба минимумын цэгүүд. 7. Муруйн гүдгэрийн чиглэлүүд. Гулзайлтын цэгүүд. 8. Функцийн график. Жишээ 1. y \u003d 1 функцийг зур. (vereiora эсвэл Maria Anieei-ийн буржгар). - бүхэл тоон тэнхлэг. 2. Хагарлын цэг байхгүй; босоо асимптот байхгүй. 3. Функц тэгш байна: тэгснээр түүний график нь Oy тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна \ үегүй. Функцийн паритетаас үзэхэд түүний графикийг x ^ 0 хагас шугам дээр зурж, дараа нь y тэнхлэгт толин тусгал хийхэд хангалттай. 4. X = 0 үед функцийн график нь дээд хагас хавтгайд байрлах Yx байна y > 0. Функцийн график байгуулах схем Дээд эрэмбийн дериватив ашиглан экстремумын функцийг судлах. График нь хэвтээ асимптот y = O-той бол ташуу асимптот байхгүй бол хөвч ба шүргэгч аргуудыг ашигласан тэгшитгэлийн үндэс. Тиймээс функц нь хэзээ нэмэгдэх тусам буурч байна. x = 0 цэг нь чухал юм. x x \u003d 0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд y "(x) дериватив нь тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг. Тиймээс x \u003d 0 цэг нь хамгийн их цэг, y (Q) \u003d I. Энэ үр дүн нь нэлээд юм. тодорхой: / (x) \u003d T ^ IV *. Хоёрдахь дериватив нь x \u003d цэгүүдэд алга болно. Бид x \u003d 4- цэгийг (цаашид тэгш хэмийн аргумент гэх) судалж байна. Бидэнд байна. муруй нь доошоо гүдгэр; үед бид олж авна (муруй нь дээшээ гүдгэр).Тиймээс x \u003d \u003d цэг нь функцийн гулзайлтын цэгийн график юм.Судалгааны үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав: Гулзайлтын цэг max Гулзайлтын цэг - бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг, цэгийг хассан 2. Функцийн тасалдсан цэг.Тиймээс бид шулуун шугам x = 0 - босоо асимптот 3. Функц нь тэгш ч биш, сондгой ч биш [ерөнхий байрлал дахь функц), үе үе биш. Үхрийн тэнхлэгийг (-1,0) цэгээр огтолж байгаа функцийн графикийг олж авна, ташуу ба хэвтээ асимптот байхгүй. эгзэгтэй цэг хаана байна. Функцийн хоёр дахь дериватив нь цэг дээр байгаа тул x = нь хамгийн бага цэг юм. Хоёрдахь дериватив нь нэг цэгт уул болж хувирах ба энэ цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгээ өөрчилдөг. Тиймээс цэг нь муруйн гулзайлтын цэг юм. Учир нь) бид e. муруйн гүдгэр нь доош чиглэсэн; for -Надад байна. муруйн гүдгэр нь дээшээ чиглэнэ. Судалгааны үр дүнг бид хүснэгтэд нэгтгэн харуулав: Байхгүй байна Байхгүй байна Гулзайлтын цэг Байхгүй байна. Торусын деривативын босоо асимптот нь x = e,/2 үед алга болно. мөн энэ цэгээр х өнгөрөхөд y "тэмдэг өөрчлөгдөнө. Иймд муруйн гулзайлтын цэгийн абсцисса байна. Судалгааны үр дүнг бид хүснэгтэд нэгтгэн үзүүлэв: Гулзайлтын цэг. Функцийн графикийг 37-р зурагт үзүүлэв. .Жишээ 4. 2-р төрлийн функцийн цэгийн тасалдалтай цэгийг хасч, бүхэл тоон тэнхлэгийн функцийг графикаар зур. 2-р төрлийн функцийн цэгийн цэгийн тасралтаас хойш Km , дараа нь функцийн графикийн шууд босоо асимптот байна. Функц ерөнхий байрлалд байна, бус үечилсэн.Тохиргоо y = 0, бид эндээс функцийн график х тэнхлэгтэй цэг дээр огтлолцох тул функцийн график ташуу асимптоттой байна Бидний олж авсан нөхцөлөөс - критик цэг.Хоёр дахь дериватив функцийн y" \u003d D\u003e 0 нь тодорхойлолтын домэйны хаа сайгүй, ялангуяа цэг дээр - функцийн хамгийн бага цэг. 7. Тиймээс функцийн тодорхойлолтын мужид хаа сайгүй түүний графикийн гүдгэр доош чиглэсэн байдаг. Бид судалгааны үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав: Байхгүй Байхгүй Байхгүй Байхгүй. x \u003d 0 - босоо асимптот Функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. Жишээ 5. Бүхэл тооны тэнхлэгийн функцийг графикаар зур. 2. Хаа сайгүй тасралтгүй. Босоо асимптот байхгүй. 3. Ерөнхий байр суурь, үе үе бус. 4. Функц 5-т алга болно.Иймд функцийн график ташуу асимптоттой байна. Дериватив нь цэг дээр алга болох ба цагт байхгүй. x цэгээр дамжин өнгөрөхөд) дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй тул x = 0 цэгт экстремум байхгүй болно. x цэгийг дамжин өнгөрөхөд дериватив) тэмдэг нь "+"-ээс тэмдгийг өөрчилдөг тул функц нь максимумтай байна. x нь x \u003d 3 (x\u003e I) цэгээр дамжин өнгөрөхөд у "(x) дериватив нь тэмдгийг өөрчилдөг, өөрөөр хэлбэл x \u003d 3 цэг дээр функц хамгийн бага байна. 7. Хоёр дахь деривативыг ол. дээд зэрэглэлийн тэгшитгэлийн язгуурыг хөвч ба шүргэгчийн аргаар тооцоолох Хоёрдахь дериватив y "(x) нь x = 0 цэгт байхгүй ба x нь x = 0 y цэгээр дамжин өнгөрөхөд" тэмдэгийг + -ээс өөрчилдөг. муруйны цэг (0,0) нь босоо шүргэгчтэй гулзайлтын цэг байхгүй цэг юм. x = 3 цэгт гулзайлт байхгүй. x > 0 хагас хавтгайн хаа сайгүй муруй гүдгэр байна. дээш чиглэсэн.Судалгааны үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав: Байхгүй байна Байхгүй байна Байхгүй байна Байгаагүй Байхгүй байна Зураг дээрх босоо шүргэгчтэй гулзайлтын цэг (0.0). 39. §7. Дээд эрэмбийн дериватив ашиглан функцийг экстремум хүртэл судлах Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгийг олохын тулд Тейлорын томъёог ашиглаж болно. Теорем Энэ. xq цэгийн зарим орчмын f(x) функц нь xo цэг дээр үргэлжилсэн n-р эрэмбийн деривативтэй байг.0 гэж үзье.Тэгвэл n тоо сондгой бол x0 цэг дээрх f(x) функц нь дараах байдалтай байна. экстремум байхгүй; n тэгш байх үед x0 цэг дээр f(n)(x0) бол f(x) функц максимумтай байна.< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, энэ нь интервалд байгаа, ялгаа - /(x0) тэмдэгээ хадгална. Тейлорын томъёоны дагуу нөхцөлийн дагуу (1) -ээс бид 1-нөхцөлийг олж авна / (n * (r) цэг дээр тасралтгүй ба Ф Тиймээс тасралтгүй функцийн тогтвортой байдлын улмаас дараах байдалтай байна. интервал () өөрчлөгдөөгүй бөгөөд / (n) тэмдэгтэй давхцаж байна ( Боломжит тохиолдлуудыг авч үзье: 1) n нь тэгш тоо ба / Дараа нь I, тиймээс (2) -ын ачаар. Тодорхойлолтын дагуу энэ нь o цэг нь f(r) функцийн минимумын цэг гэсэн үг юм. 2) n нь тэгш ба. Дараа нь бид үүнтэй хамт i байх ба Иймд i цэг нь энэ тохиолдолд f(r) функцийн максимум цэг болно. 3) n нь сондгой тоо, /- Тэгвэл x > x0-ийн хувьд > тэмдэг нь /(n)(ro)-ын тэмдэгтэй давхцаж, r-ийн хувьд эсрэгээрээ байна. Иймд дурын жижиг 0-ийн хувьд f(r) - f(r0) ялгааны тэмдэг нь бүх x e (r0 - 6, r0 + t) -д ижил биш байх болно. Иймээс, энэ тохиолдолд f(r) функц th цэгт стремумгүй болно. Жишээ. А функцуудыг авч үзье. x = 0 цэг нь хоёр функцийн чухал цэг гэдгийг хялбархан харж болно. y = x4 функцийн хувьд x = 0 цэг дэх тэгээс бусад деривативуудын эхнийх нь 4-р эрэмбийн дериватив байна: Иймээс энд n = 4 тэгш ба байна. Иймд x = 0 цэг дээр y = x4 функц хамгийн багатай байна. y = x) функцийн хувьд x = 0 цэг дээрх тэгээс бусад деривативуудын эхнийх нь гуравдугаар эрэмбийн дериватив байна. Тэгэхээр энэ тохиолдолд n = 3 нь сондгой байх ба x = 0 цэгт y = x3 функц нь экстремумгүй болно. Сэтгэгдэл. Тейлорын томьёог ашиглан гулзайлтын цэгийн хангалттай нөхцөлийг илэрхийлсэн дараах теоремыг баталж чадна. "Теорем 12. r0 цэгийн зарим орчмын /(r) функц нь xq цэг дээр үргэлжилсэн n-р эрэмбийн деривативтэй байг. Mo(x0, f(xo)) нь графикийн гулзайлтын цэг юм. y = f(x) функцийн.Хамгийн энгийн жишээг §8 функцээр үзүүлэв.Тэгшитгэлийн язгуурыг хөвч ба шүргэгчийн аргаар тооцоолох Бодлого нь тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуурыг олох явдал юм Дараах нөхцөл бүрдлээ гэж бодъё. хангагдсан байна: 1) f(x) функц [a, 6] сегмент дээр тасралтгүй байна; 2) /(a) ба f(b) тоонууд тэмдэгтээрээ эсрэг байна: 3) [a, 6] сегмент дээр. Энэ интервал дээр тогтмол тэмдгийг хадгалдаг f "(x) ба f "(x) деривативууд байдаг. 1) ба 2) нөхцлөөс Болзано-Коши теоремын хүчинд (х. 220) функц нь дараах байдалтай байна. f(x) дор хаяж нэг цэгт алга болно £ € ( a, b), өөрөөр хэлбэл (1) тэгшитгэл (a, b) завсарт дор хаяж нэг бодит £ язгууртай байвал f(x) нь монотон байна. [a, b], тиймээс, int rvale (a, b) тэгшитгэл (1) нь зөвхөн нэг бодит язгууртай. (I) тэгшитгэлийн £ € (a, 6) өвөрмөц бодит язгуурын ойролцоо утгыг ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолох аргыг авч үзье. Дөрвөн тохиолдол боломжтой (Зураг 40): 1) Зураг. 40 Тодорхой байдлын хувьд [a, 6) хэрчим дээр f \ x) > 0, f "(x) > 0 байх тохиолдлыг авч үзье (Зураг 41). A (a, / (a)) цэгүүдийг холбоно. ) ба B (b, f(b)) хөвчөөр A B. Энэ нь A ба B цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шулуун шугамын сегмент бөгөөд тэгшитгэл нь y \u003d 0, 41-р зурагнаас харахад хялбар байдаг. a \ цэг нь f (x) ба f "(x) тэмдгүүдийн эсрэг талд үргэлж байх болно гэдгийг харахын тулд B цэгийн y \u003d f (x) муруй руу шүргэгч зурцгаая. (b, f(b)), өөрөөр хэлбэл, f(x) ба /"(x) ижил тэмдэгтэй байх ^AB нумын төгсгөлд. Энэ нь зайлшгүй нөхцөл юм: үүнгүйгээр огтлолцлын цэг нь шүргэгчтэй байна. х тэнхлэг нь шаардлагатай язгуурын ойролцоо утгыг огт өгөхгүй байж болно.Х тэнхлэгтэй шүргэгч огтлолцох b\ цэг нь 6-тай ижил тал дээр t ба b-ийн хооронд байрладаг ба үүнтэй харьцуулахад илүү сайн ойролцоо байна. b-ээс.Энэ шүргэгчийг тэгшитгэлээр тодорхойлно (3) y = 0 гэж үзвэл бид олно. Функцууд Дээд эрэмбийн дериватив ашиглан экстремум хүртэлх функцийг судлах Хөвч ба шүргэгчийн аргаар тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох Иймээс бид £ язгуурын үнэмлэхүй ойртсон C алдааг урьдчилан өгье. aj ба 6-ийн ойролцоо утгуудын үнэмлэхүй алдаа болох £ язгуурын хувьд |6i - ai| утгыг авч болно. Хэрэв энэ алдаа нь зөвшөөрөгдөх хэмжээнээс их байвал сегментийг анхных гэж үзвэл бид хаана байгаа үндэсийн дараах ойролцоо утгыг олно. Энэ процессыг үргэлжлүүлснээр бид ойролцоогоор утгуудын хоёр дарааллыг олж авна.(an) ба (bn) дараалал нь монотон бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг тул хязгаартай байдаг. Дээр томъёолсон нөхцөл хангагдсан тохиолдолд 1 нь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс болохыг харуулж болно / Жишээ. Үндэсийг ол (тэгшитгэлүүд r2 - 1 = 0 сегмент дээр. Иймээс нэг язгуур оршин байхыг баталгаажуулах бүх нөхцөл хангагдсан байна (х2 - 1 = 0 сегмент дээр тэгшитгэл . ба арга ажиллах ёстой. Манай тохиолдолд 8). a = 0, b = 2. (4) ба (5) -аас n \u003d I үед бид олдог. n \u003d 2 үед бид дээд эрэмбийн дериватив ашиглан язгуурын яг утгын ойролцоо утгыг (үнэмлэхүй алдаатай) авдаг. : Хариултууд

Дифференциал тооцооллын хамгийн чухал ажлуудын нэг бол функцүүдийн зан төлөвийг судлах ерөнхий жишээг боловсруулах явдал юм.

Хэрэв y \u003d f (x) функц нь интервал дээр тасралтгүй бөгөөд түүний дериватив нь (a, b) интервал дээр эерэг буюу 0-тэй тэнцүү байвал y \u003d f (x) нь (f "(x) -ээр нэмэгдэнэ. 0). Хэрэв y \u003d f (x) функц нь сегмент дээр тасралтгүй, түүний уламжлал (a,b) дээр сөрөг буюу 0-тэй тэнцүү байвал y=f(x) нь (f"()-аар буурна. x)0)

Функц буурах эсвэл өсөхгүй байх интервалуудыг функцийн монотон байдлын интервал гэнэ. Функцийн монотон байдлын шинж чанар нь зөвхөн анхны деривативын тэмдэг өөрчлөгддөг түүний тодорхойлолтын хүрээний цэгүүдэд л өөрчлөгдөж болно. Функцийн эхний дериватив алга болох эсвэл тасрах цэгүүдийг критик цэгүүд гэнэ.

Теорем 1 (Экстремум байх 1-р хангалттай нөхцөл).

y=f(x) функцийг x 0 цэг дээр тодорхойлж, функц нь сегмент дээр тасралтгүй, (x 0 -δ, x 0)u( интервалаар дифференциалагдах δ>0 хөрш байг. x 0 , x 0 + δ) ба түүний дериватив нь эдгээр интервал тус бүр дээр тогтмол тэмдгийг хадгалдаг. Хэрэв x 0 -δ, x 0) ба (x 0, x 0 + δ) дээр деривативын тэмдгүүд өөр байвал x 0 нь экстремум цэг, хэрэв таарч байвал x 0 нь экстремум цэг биш юм. . Түүнчлэн, хэрэв x0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг (х 0-ийн зүүн талд f "(x)> 0-г гүйцэтгэсэн бол x 0 нь хамгийн их цэг; хэрэв дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл хамгийн их цэг болно. хасахаас нэмэх хүртэл (x 0-ийн баруун талд f"(x) гүйцэтгэнэ<0, то х 0 - точка минимума.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум утга гэнэ.

Теорем 2 (локал экстремумын зайлшгүй шалгуур).

Хэрвээ y=f(x) функц нь одоогийн x=x 0 үед экстремумтай бол f'(x 0)=0 эсвэл f'(x 0) аль нь ч байхгүй.
Дифференциалагдах функцийн экстремум цэгүүдэд түүний графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна.

Экстремумын функцийг судлах алгоритм:

1) Функцийн деривативыг ол.
2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. функц тасралтгүй, дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүд.
3) Цэг бүрийн хөрш зэргэлдээ байдлыг авч үзээд энэ цэгийн зүүн ба баруун талд деривативын тэмдгийг шалга.
4) Эгзэгтэй цэгүүдийн координатыг тодорхойлж, чухал цэгүүдийн энэ утгыг энэ функцээр орлуулна. Хангалттай экстремум нөхцөлийг ашиглан зохих дүгнэлтийг гарга.

Жишээ 18. y=x 3 -9x 2 +24x функцийг судал

Шийдэл.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид x 1 =2, x 2 =4-ийг олно. Энэ тохиолдолд дериватив нь хаа сайгүй тодорхойлогддог; Иймээс олдсон хоёр цэгээс бусад чухал цэг байхгүй.
3) y "=3(x-2)(x-4) деривативын тэмдэг 1-р зурагт үзүүлсэн интервалаас хамаарч өөрчлөгдөнө. x=2 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжинэ. мөн x=4 цэгээр дамжин өнгөрөх үед - хасахаас нэмэх.
4) x=2 цэгт функц хамгийн ихдээ y max =20, x=4 цэгт хамгийн бага y min =16 байна.

Теорем 3. (Экстремум байх 2-р хангалттай нөхцөл).

x 0 цэг дээр f "(x 0) ба f "" (x 0) байг. Хэрэв f "" (x 0)> 0 бол x 0 нь хамгийн бага цэг, хэрэв f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Сегмент дээр y \u003d f (x) функц нь интервал (a; b) эсвэл төгсгөлд байрлах функцийн чухал цэгүүдэд хамгийн бага (дор хаяж) эсвэл хамгийн том (хамгийн их) утгад хүрч болно. сегментийн.

Тасралтгүй y=f(x) функцийн сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

1) f "(x) -г ол.
2) f "(x) = 0 эсвэл f" (x) - байхгүй цэгүүдийг олж, тэдгээрээс сегмент дотор байрлахыг сонгоно уу.
3) y \u003d f (x) функцийн утгыг 2-р зүйлд олж авсан цэгүүд, түүнчлэн сегментийн төгсгөлд тооцоолж, тэдгээрийн хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно уу: тэдгээр нь тус тусад нь хамгийн том нь ( сегмент дэх хамгийн том) ба хамгийн жижиг (хамгийн бага) функцын утгуудын хувьд.

Жишээ 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 хэрчим дээрх тасралтгүй функцийн хамгийн том утгыг ол.

1) Бид сегмент дээр y "=3x 2 -6x-45 байна
2) Y" дериватив нь бүх х-д байдаг. y"=0 байх цэгүүдийг олцгооё; бид авах:
3х2 -6х-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоол.
Зөвхөн x=5 цэг нь хэрчимд хамаарна. Функцийн олдсон утгуудын хамгийн том нь 225, хамгийн бага нь 50 тоо юм. Тэгэхээр max = 225, max = 50 байна.

Гүдгэр байдлын функцийг судлах

Зурагт хоёр функцийн графикийг харуулав. Тэдний эхнийх нь товойсон, хоёр дахь нь доошоо товойсон байна.

y=f(x) функц нь хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд (a;b) интервалд дифференциалагдах бөгөөд axb-ийн хувьд түүний график нь -ээс өндөргүй (доод биш) байвал энэ сегмент дээр гүдгэр дээш (доош) гэж нэрлэгддэг. дурын цэгт татсан шүргэгч M 0 (x 0 ;f(x 0)), энд axb.

Теорем 4. y=f(x) функц нь хэрчмийн аль ч дотоод х цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байх ба энэ хэрчмийн төгсгөлд тасралтгүй байна. Дараа нь (a;b) интервал дээр f""(x)0 тэгш бус байдал хангагдсан бол функц нь сегмент дээр доошоо гүдгэр байна; (а;b) интервал дээр f""(x)0 тэгш бус байдал хангагдсан бол функц нь дээр дээшээ гүдгэр байна.

Теорем 5. Хэрэв y \u003d f (x) функц нь (a; b) интервал дээр хоёрдахь деривативтай бөгөөд x 0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдвөл M (x 0 ; f (x 0)) болно. гулзайлтын цэг юм.

Гулзайлтын цэгийг олох дүрэм:

1) f""(x) байхгүй эсвэл алга болох цэгүүдийг ол.
2) Эхний алхам дээр олдсон цэг бүрийн зүүн ба баруун талд f""(x) тэмдгийг шалгана уу.
3) 4-р теорем дээр үндэслэн дүгнэлт гарга.

Жишээ 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 функцийн графикийн экстремум цэг ба гулзайлтын цэгийг ол.

Бидэнд f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 байна. x 1 =0, x 2 =1 бол f"(x)=0 гэдэг нь ойлгомжтой. Дериватив нь x=0 цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг ба x=1 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь x=0 нь хамгийн бага цэг (y min =12), x=1 цэгт экстремум байхгүй гэсэн үг юм. Дараа нь бид олдог . Хоёр дахь дериватив нь x 1 =1, x 2 =1/3 цэгүүдэд алга болно. Хоёрдахь деривативын шинж тэмдгүүд дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: (-∞;) цацраг дээр бид f""(x)>0, (;1) интервал дээр f""(x) байна.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Иймд x= нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс доош гүдгэр рүү шилжих шилжилт), x=1 нь мөн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс дээш гүдгэр рүү шилжих) юм. Хэрэв x= бол y=; хэрэв, тэгвэл x=1, y=13.

Графикийн асимптотыг олох алгоритм

I. Хэрэв y=f(x) x → a гэж байвал x=a нь босоо асимптот болно.
II. Хэрэв y=f(x) бол x → ∞ эсвэл x → -∞ бол y=A нь хэвтээ асимптот болно.
III. Ташуу асимптотыг олохын тулд бид дараах алгоритмыг ашиглана.
1) Тооцоолох. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол y=b нь хэвтээ асимптот болно; бол хоёр дахь алхам руу очно уу.
2) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд k-тэй тэнцүү бол гурав дахь алхам руу орно.
3) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол дөрөв дэх алхам руу очно уу.
4) y=kx+b ташуу асимптотын тэгшитгэлийг бич.

Жишээ 21: Функцийн асимптотыг ол

1)
2)
3)
4) Ташуу асимптот тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Функцийг судлах схем, түүний графикийг байгуулах

I. Функцийн мужийг ол.
II. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
III. Асимптотуудыг ол.
IV. Боломжит экстремумын цэгүүдийг олох.
V. Чухал цэгүүдийг ол.
VI. Туслах зургийг ашиглан эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг судал. Функцийн өсөлт ба бууралтын талбайг тодорхойлж, графикийн гүдгэр, экстремум цэг, гулзайлтын цэгийн чиглэлийг ол.
VII. 1-6-р зүйлд хийсэн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ 22: Дээрх схемийн дагуу функцийн графикийг зур

Шийдэл.
I. Функцийн муж нь x=1-ээс бусад бүх бодит тоонуудын олонлог юм.
II. x 2 +1=0 тэгшитгэл нь бодит язгуургүй тул функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй, харин Oy тэнхлэгийг (0; -1) цэгээр огтолно.
III. Асимптотуудын оршин тогтнох тухай асуултыг тодруулцгаая. Бид x=1 тасалдалтай цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судалдаг. x → -∞-ийн хувьд y → ∞, x → 1+ хувьд y → +∞ байх тул x=1 шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.
Хэрэв x → +∞(x → -∞) бол y → +∞(y → -∞); тиймээс графикт хэвтээ асимптот байхгүй байна. Цаашилбал, хязгаар байгаа эсэхээс

x 2 -2x-1=0 тэгшитгэлийг шийдэж, бид боломжит экстремумын хоёр цэгийг авна.
x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2

V. Чухал цэгүүдийг олохын тулд бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно.

f""(x) алга болохгүй тул эгзэгтэй цэг байхгүй.
VI. Бид эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг судалж байна. Харгалзах боломжтой экстремум цэгүүд: x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2, функцийн оршин тогтнох талбайг интервалд хуваа (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ба (1+√2;+∞).

Эдгээр интервал бүрт дериватив нь тэмдэгээ хадгалдаг: эхнийх нь нэмэх, хоёр дахь нь хасах, гурав дахь нь нэмэх. Эхний деривативын тэмдгүүдийн дарааллыг дараах байдлаар бичнэ: +, -, +.
(-∞;1-√2) дээр функц нэмэгдэж, (1-√2;1+√2) дээр буурч, (1+√2;+∞) дээр дахин нэмэгддэг болохыг бид олж мэднэ. Экстремум цэгүүд: хамгийн ихдээ x=1-√2, цаашилбал f(1-√2)=2-2√2 хамгийн бага нь x=1+√2, цаашилбал f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) дээр график дээшээ гүдгэр, (1;+∞) дээр - доош.
VII Олж авсан утгуудын хүснэгтийг хийцгээе

VIII Хүлээн авсан өгөгдлүүд дээр үндэслэн бид функцийн графикийн тоймыг зурна

Функцийг судлах үйл явц нь хэд хэдэн үе шатаас бүрдэнэ. Функцийн зан байдал, түүний графикийн шинж чанарын талаархи бүрэн санааг олж авахын тулд дараахь зүйлийг олох шаардлагатай.

Функцийн хамрах хүрээ.

Энэ ойлголт нь утгын домэйн болон функцийн хамрах хүрээг агуулдаг.

Хагарлын цэгүүд. (Хэрэв тэд байгаа бол).

Өсөлт ба бууралтын интервалууд.

Өндөр ба доод цэгүүд.

Домэйн дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утга.

Гүдгэр ба гүдгэр хэсгүүд.

Гулзайлтын цэгүүд (хэрэв байгаа бол).

Асимптотууд (хэрэв байгаа бол).

График бүтээх.

Энэ схемийг жишээ болгон ашиглая.

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь зур.

Функцийн оршин тогтнох талбайг ол. Энэ нь ойлгомжтой тодорхойлолтын домэйнфункц нь (-; -1)  (-1; 1)  (1; ) талбай юм.

Эргээд x = 1, x = -1 гэсэн шугамууд байгааг харж болно босоо асимптотуудмуруй.

Үнийн талбарЭнэ функцийн интервал (-; ) байна.

таслах цэгүүдфункцууд нь x=1, x=-1 цэгүүд юм.

Бид олдог чухал цэгүүд.

Функцийн деривативыг олцгооё

Чухал цэгүүд: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Функцийн хоёр дахь деривативыг олъё

Интервалаар муруйны гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлъё.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, муруй хонхор

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, муруй хонхор

< x < , y >0, муруй хонхор

Цоорхой хайх нэмэгдэхболон уруудаж байнафункцууд. Үүнийг хийхийн тулд интервал дээрх функцийн деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.

- < x < -,y >0 бол функц нэмэгдэж байна

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0 бол функц нэмэгдэж байна

Эндээс x = - цэг нь цэг болохыг харж болно дээд тал нь, мөн x = цэг нь цэг юм хамгийн бага. Эдгээр цэгүүдийн функцын утгууд нь 3/2 ба -3/2 байна.

Босоо талаар асимптотууддээр аль хэдийн хэлсэн. Одоо олъё ташуу асимптотууд.

Тэгэхээр ташуу асимптотын тэгшитгэл нь y = x байна.

Барьцгаая хуваарьонцлог:

Доор бид янз бүрийн төрлийн функцүүдийн дифференциал тооцооллын аргаар судалгааны хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ:Дифференциал тооцооллын аргууд

1. Энэ функцийн муж нь бүх бодит тоо (-; ) юм.

3. Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: Ой тэнхлэгтэй: x = 0; y=1;

Ox тэнхлэгтэй: y = 0; x = 1;

4. Тасралтын цэг ба асимптотууд: Босоо асимптот байхгүй.

Ташуу асимптотууд: ерөнхий тэгшитгэл y = kx + b;

Нийт: y \u003d -x - ташуу асимптот.

5. Өсөх, буурах функцууд, экстремум цэгүүд.

Эндээс харахад дурын x  0-ийн хувьд у 0 байх тул функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурч, экстремумгүй байна. x = 0 цэгт функцийн эхний дериватив тэгтэй тэнцүү байх боловч энэ үед бууралт өсөхөөр өөрчлөгддөггүй тул x = 0 цэгт функц нь гулзайлттай байх магадлалтай. Гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд функцийн хоёр дахь деривативыг олно.

x = 0 бол y = 0, x = 1 бол y = .

(0,1) ба (1,0) цэгүүд нь гулзайлтын цэгүүд, учир нь y(1-цаг)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Функцийн графикийг байгуулъя.

Жишээ:Функцийг судалж, графикийг нь зур.

1. Функцийн хамрах хүрээ нь x = 0-ээс бусад бүх утгууд юм.

2. Функц нь тэгш, сондгой гэсэн утгаараа ерөнхий хэлбэрийн функц юм.

3. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: Ox тэнхлэгтэй: y = 0; x=

Oy тэнхлэгтэй: x = 0; y байхгүй.

4. x \u003d 0 цэг нь тасалдалтай цэг тул x \u003d 0 шугам нь босоо асимптот юм.

Ташуу асимптотуудыг y = kx + b хэлбэрээр хайж байна.

Ташуу асимптот y = x.

5. Функцийн экстремум цэгүүдийг ол.

; x = 2 үед y = 0, x = 0 үед y = .

x  (-, 0) үед y > 0 - функц нэмэгдэх,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 үед x  (2, ) – функц нэмэгдэнэ.

Тиймээс (2, 3) цэг нь хамгийн бага цэг юм.

Функцийн гүдгэр / гүдгэр шинж чанарыг тодорхойлохын тулд бид хоёр дахь деривативыг олно.

Ямар ч x  0-ийн хувьд > 0, тиймээс функц нь тодорхойлолтын бүх мужид хотгор байна.

6. Функцийн графикийг байгуулъя.

Жишээ:Функцийг судалж, графикийг нь зур.

Энэ функцийн муж нь x  (-, ) интервал юм.

Тэгш, сондгой утгаараа функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм.

Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: Oy тэнхлэгтэй: x = 0, y = 0;

Ox тэнхлэгтэй: y = 0, x = 0, x = 1.

Муруй асимптотууд.

Босоо асимптот байхгүй.

y = kx + b хэлбэрийн ташуу асимптотуудыг олохыг хичээцгээе.

- ташуу асимптот байхгүй.

Экстремум цэгүүдийг олох.

Чухал цэгүүдийг олохын тулд та 4x 3 - 9x 2 + 6x -1 \u003d 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Үүнийг хийхийн тулд бид энэ гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон задалдаг.

Сонголт нь энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нэг нь тоо гэдгийг тодорхойлж болно

x = 1. Дараа нь:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4х 3 – 4х 2 4х 2 – 5х + 1

Дараа нь бид (x - 1) (4x 2 - 5x + 1) = 0 гэж бичиж болно. Эцэст нь бид х = 1 ба x = ¼ гэсэн хоёр чухал цэгийг авна.

Анхаарна уу. Хэрэв деривативыг олохдоо бүтээгдэхүүний деривативын томъёог ашиглавал олон гишүүнт хуваагдах үйлдлээс зайлсхийх боломжтой.

Функцийн хоёр дахь деривативыг олцгооё: 12x 2 - 18x + 6. Тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид олно:

Хүснэгтэнд хүлээн авсан мэдээллийг бид системчилсэн болно.

Функцийн графикийг байгуулъя.

Харамсалтай нь бүх оюутан, сурагчид алгебрийг мэддэг, хайрладаггүй ч хүн бүр гэрийн даалгавраа бэлдэж, тестүүдээ шийдэж, шалгалт өгөх ёстой. Олон хүмүүст функциональ график зурах даалгавруудыг олоход хэцүү байдаг: хэрэв та хаа нэгтээ ямар нэг зүйлийг ойлгохгүй байвал дуусгаж болохгүй, бүү алдаарай, алдаа гарах нь гарцаагүй. Гэхдээ хэн муу дүн авахыг хүсдэг вэ?

Та уяачид болон ялагдсан хүмүүсийн бүлэгт нэгдэхийг хүсч байна уу? Үүнийг хийхийн тулд танд 2 арга бий: сурах бичиг хайж суугаад мэдлэгийн цоорхойг нөхөх эсвэл виртуал туслах - заасан нөхцлийн дагуу функцийн графикийг автоматаар зурах үйлчилгээ. Шийдвэртэй эсвэл шийдвэргүй. Өнөөдөр бид танд тэдгээрийн заримыг танилцуулах болно.

Desmos.com-ын хамгийн сайн зүйл бол тохируулсан интерфэйс, интерактив байдал, үр дүнг хүснэгтэд түгээх, нөөцийн мэдээллийн санд цаг хугацааны хязгаарлалтгүйгээр өөрийн ажлыг үнэ төлбөргүй хадгалах чадвар юм. Мөн сул тал нь үйлчилгээ нь орос хэл рүү бүрэн орчуулагдаагүй байна.

Grafikus.ru

Grafikus.ru бол орос хэл дээрх график тооцоолуур юм. Түүнээс гадна тэрээр тэдгээрийг зөвхөн хоёр хэмжээст төдийгүй гурван хэмжээст орон зайд бүтээдэг.

Энэ үйлчилгээ амжилттай даван туулж буй ажлуудын бүрэн бус жагсаалтыг энд оруулав.

• Энгийн функцүүдийн 2D графикийг зурах: шугам, парабол, гипербол, тригонометр, логарифм гэх мэт.
• Параметр функцүүдийн 2D-графикийг зурах: тойрог, спираль, Лиссажугийн дүрс болон бусад.
• Туйлын координатаар 2 хэмжээст график зурах.
• Энгийн функцүүдийн 3D гадаргууг барих.
• Параметр функцүүдийн 3D гадаргууг бүтээх.

Дууссан үр дүн нь тусдаа цонхонд нээгдэнэ. Хэрэглэгч линкийг татаж авах, хэвлэх, хуулах сонголттой. Сүүлчийн хувьд та нийгмийн сүлжээнүүдийн товчлууруудаар дамжуулан үйлчилгээнд нэвтрэх шаардлагатай болно.

Grafikus.ru координатын хавтгай нь тэнхлэгүүдийн хил хязгаар, тэдгээрийн шошго, сүлжээ хоорондын зай, мөн онгоцны өргөн, өндөр, үсгийн хэмжээг өөрчлөхөд тусалдаг.

Grafikus.ru-ийн хамгийн том хүч бол 3D график үүсгэх чадвар юм. Үгүй бол энэ нь аналоги нөөцөөс муу, илүү сайн ажилладаггүй.

Onlinecharts.ru

Onlinecharts.ru онлайн туслах нь диаграммыг бүтээдэггүй, гэхдээ одоо байгаа бараг бүх төрлийн диаграммуудыг хийдэг. Үүнд:

• Шугаман.
• Багана.
• Тойрог.
• талбайтай.
• Радиал.
• XY графикууд.
• Бөмбөлөг.
• Оноо.
• Цагаан бух.
• Пирамидууд.
• Хурд хэмжигч.
• Багана шугаман.

Нөөцийг ашиглахад тун хялбар. Графикийн харагдах байдал (арын өнгө, сүлжээ, шугам, заагч, булангийн хэлбэр, фонт, ил тод байдал, тусгай эффект гэх мэт) нь хэрэглэгчийн бүрэн тодорхойлогддог. Барилгын өгөгдлийг гараар оруулах эсвэл компьютер дээр хадгалагдсан CSV файл дахь хүснэгтээс импортлох боломжтой. Дууссан үр дүнг компьютер дээр зураг, PDF, CSV эсвэл SVG файл хэлбэрээр татаж авах боломжтой, мөн ImageShack.Us зураг байршуулах эсвэл Onlinecharts.ru хувийн дансанд онлайнаар хадгалах боломжтой. Эхний сонголтыг хүн бүр ашиглаж болно, хоёрдугаарт - зөвхөн бүртгүүлсэн хүмүүс.

Функцийг судлах, тэдгээрийн графикийг байгуулах лавлах цэгүүд нь тасалдал, экстремум, гулзайлтын цэгүүд, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд юм. Дифференциал тооцооллын тусламжтайгаар функцүүдийн өөрчлөлтийн онцлог шинж чанаруудыг тогтоох боломжтой: өсөлт ба бууралт, максимум ба минимум, графикийн гүдгэр ба хонхорхойн чиглэл, асимптот байгаа эсэх.

Асимптот ба экстремум цэгүүдийг олсны дараа функцийн графикийн ноорог зурах боломжтой (мөн хийх ёстой) бөгөөд судалгааны явцад функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг бөглөх нь тохиромжтой.

Ихэвчлэн функциональ судалгааны дараах схемийг ашигладаг.

1.Функцийн домэйн, тасралтгүй байдлын интервал, таслах цэгийг ол.

2.Функцийг тэгш эсвэл сондгой (графикийн тэнхлэгийн эсвэл төв тэгш хэм) эсэхийг шалгана уу.

3.Асимптотуудыг олох (босоо, хэвтээ эсвэл ташуу).

4.Функцийн өсөлт, бууралтын интервал, түүний экстремум цэгүүдийг олж, судал.

5.Муруйн гүдгэр ба хотгорын интервал, түүний гулзайлтын цэгүүдийг ол.

6.Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол муруйн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

7.Судалгааны хураангуй хүснэгтийг эмхэтгэх.

8.Дээрх цэгүүдийн дагуу гүйцэтгэсэн функцийн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ.Функцийг судлах

мөн үүнийг төлөвлө.

7. Функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг гаргаж, бүх шинж чанарын цэгүүд болон тэдгээрийн хоорондох интервалуудыг оруулна. Функцийн паритетийг харгалзан бид дараах хүснэгтийг авна.