Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативууд нь ижил хувьсагчийн функцууд юм. Эдгээр функцууд нь эргээд хэсэгчилсэн деривативтай байж болох бөгөөд бид үүнийг анхны функцийн хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив (эсвэл хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив) гэж нэрлэх болно.

Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн функц нь дөрвөн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэнэ.

Гурван хувьсагчийн функц нь есөн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай:

Үүний нэгэн адил, хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн гурав ба түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойлж, тэмдэглэнэ: хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн дарааллын хэсэгчилсэн дериватив нь ижил функц.

Жишээлбэл, функцийн гуравдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын y-тэй харьцуулахад нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив юм.

Хэд хэдэн өөр хувьсагчийн хувьд авсан хоёр дахь буюу түүнээс дээш хэсэгчилсэн деривативыг холимог хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, хэсэгчилсэн дериватив

нь хоёр хувьсагчийн функцийн холимог хэсэгчилсэн деривативууд юм.

Жишээ. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл. Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох

Дараа нь бид хоёр дахь эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн деривативуудыг олно

Зөвхөн ялгах дарааллаар, өөрөөр хэлбэл янз бүрийн хувьсагчдыг ялгах дарааллаар ялгаатай холимог хэсэгчилсэн деривативууд ижил тэнцүү болж байгааг бид харж байна. Энэ үр дүн нь санамсаргүй биш юм. Холимог хэсэгчилсэн деривативуудын тухайд дараах теоремыг баримталдаг бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Бид математик шинжилгээний дуртай сэдэв болох деривативыг үргэлжлүүлж байна. Энэ нийтлэлээс бид хэрхэн олох талаар сурах болно гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд: эхний дериватив ба хоёр дахь дериватив. Та юу мэдэж, материалыг эзэмших чадвартай байх ёстой вэ? Үүнд итгэхгүй байна, гэхдээ та нэгдүгээрт, нэг хувьсагчийн функцийн "ердийн" деривативуудыг олох чадвартай байх хэрэгтэй - өндөр эсвэл дор хаяж дундаж түвшинд. Хэрэв энэ нь тэдэнд үнэхээр хэцүү байвал хичээлээс эхэл Деривативыг хэрхэн олох вэ?Хоёрдугаарт, нийтлэлийг уншиж, бүгдийг нь биш юм гэхэд ихэнх жишээг ойлгож, шийдвэрлэх нь маш чухал юм. Хэрэв энэ нь аль хэдийн хийгдсэн бол надтай итгэлтэй алхаарай, энэ нь сонирхолтой байх болно, чи бүр таашаал авах болно!

Олж олох арга, зарчим гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууднь үнэндээ хоёр хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив функцтэй маш төстэй. Хоёр хувьсагчийн функц нь "x" ба "y" нь бие даасан хувьсагч гэсэн хэлбэртэй байдаг гэдгийг би танд сануулж байна. Геометрийн хувьд хоёр хувьсагчийн функц нь бидний гурван хэмжээст орон зайн тодорхой гадаргуу юм.

Гурван хувьсагчийн функц нь хэлбэртэй байх ба хувьсагчдыг дууддаг бие даасанхувьсагчэсвэл аргументууд, хувьсагчийг дуудна хамааралтай хувьсагчэсвэл функц. Жишээ нь: - гурван хувьсагчийн функц

Одоо шинжлэх ухааны уран зөгнөлт кино, харь гарагийнхны тухай бага зэрэг. Та ихэвчлэн 4D, 5D, 10D гэх мэтийг сонсдог. зай. Дэмий юм уу, үгүй ​​юу?
Эцсийн эцэст, гурван хувьсагчийн функц нь бүх зүйл дөрвөн хэмжээст орон зайд (үнэхээр дөрвөн хувьсагч байдаг) явагддаг гэдгийг илтгэнэ. Гурван хувьсагчийн функцийн графикийг гэж нэрлэдэг хэт гадаргуу. Бид гурван хэмжээст орон зайд (урт/өргөн/өндөр) амьдардаг тул үүнийг төсөөлөхийн аргагүй юм. Та надаас уйдахгүйн тулд би асуулт хариултыг санал болгож байна. Би хэд хэдэн асуулт асуух болно, хүссэн хүмүүс тэдэнд хариулахыг оролдож болно:

-Дөрөв, тав гэх мэтээр дэлхийд байдаг уу? орон зайн тухай филистист ойлголтын утгаар хэмжилтүүд (урт/өргөн/өндөр)?

- Дөрвөн хэмжээст, таван хэмжээст гэх мэтийг бүтээх боломжтой юу? өргөн утгаараа орон зай? Энэ нь бидний амьдралд ийм орон зайг жишээ болгох гэсэн үг юм.

Өнгөрсөн рүү аялах боломжтой юу?

Ирээдүй рүү аялах боломжтой юу?

-Харь гарагийнхан байдаг уу?

Ямар ч асуултын хувьд та дөрвөн хариултаас аль нэгийг нь сонгож болно.
Тийм / Үгүй (шинжлэх ухаан үүнийг хориглодог) / Шинжлэх ухаан хориглодоггүй / Мэдэхгүй

Бүх асуултанд зөв хариулсан хүн түүнд ямар нэгэн зүйл байгаа байх магадлалтай ;-)

Хичээлийн үеэр би асуултанд аажмаар хариулт өгөх болно, жишээг алгасаж болохгүй!

Үнэндээ тэд ниссэн. Тэгээд одоо сайн мэдээ: Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Тийм учраас та "энгийн"-ийг удирдахдаа сайн байх хэрэгтэй. функцүүдийн деривативууднэг хувьсагч. Маш цөөхөн ялгаа байна!

Жишээ 1

Шийдэл:Гурван хувьсагчийн функц байдаг гэдгийг таахад хялбар байдаг гуравЭхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Эсвэл - "x"-ийн хэсэгчилсэн дериватив;
эсвэл - "y"-д хамаарах хэсэгчилсэн дериватив;
эсвэл - "z"-д хамаарах хэсэгчилсэн дериватив.

Цус харвалт бүхий тэмдэглэгээг илүү их ашигладаг, гэхдээ даалгаврын нөхцөлд цуглуулга, гарын авлагыг эмхэтгэгчид зүгээр л төвөгтэй тэмдэглэгээг ашиглах дуртай байдаг тул бүү алдаарай! Магадгүй хүн бүр эдгээр "аймшигтай бутархай" -ыг хэрхэн чангаар зөв уншихаа мэддэггүй байх. Жишээ нь: "de u po de x" гэж дараах байдлаар уншина.

x деривативаас эхэлцгээе: . -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг олох үед , дараа нь хувьсагчид болон тогтмол тоо (тогтмол тоо) гэж үздэг.Ямар ч тогтмолын дериватив, өө, нигүүлсэл, тэгтэй тэнцүү байна:

Доорх тэмдэгтийг нэн даруй анхаарч үзээрэй - тэдгээрийг тогтмол гэж тэмдэглэхийг хэн ч хориглодоггүй. Энэ нь илүү тохиромжтой, би эхлэгчдэд ийм бичлэг ашиглахыг зөвлөж байна, төөрөгдөлд орох эрсдэл бага байдаг.

(1) Бид деривативын шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг, ялангуяа деривативын тэмдгээс бүх тогтмолыг гаргаж авдаг. Хоёр дахь гишүүнд тогтмолыг хасах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу: "y" нь тогтмол тул энэ нь бас тогтмол байна. Нэр томъёонд "ердийн" тогтмол 8 ба тогтмол "зэт" нь деривативын тэмдгээс хасагдсан.

(2) Бид хамгийн энгийн деривативуудыг олдог бөгөөд тэдгээр нь тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй. Дараа нь хариултыг самна.

Хэсэгчилсэн дериватив. Бид "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагчдыг авна болон тогтмол гэж үздэг:

(1) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг. Дахин хэлэхэд, нэр томъёо нь тогтмол байдаг тул деривативын тэмдгийн хувьд юу ч авах шаардлагагүй гэсэн үг юм.

(2) Бид тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй деривативуудыг олдог. Хариултыг хялбаршуулж үзье.

Эцэст нь, хэсэгчилсэн дериватив. Бид "z"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагч болно болон тогтмол гэж үздэг:

Ерөнхий дүрэмилэрхий, мадаггүй зөв: Хэсэгчилсэн деривативыг олох үедямар ч хувьд бие даасан хувьсагч, тэгвэлөөр хоёр бие даасан хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ.

Эдгээр ажлыг төлөвлөхдөө та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй, ялангуяа, subscripts алдаж болохгүй(энэ нь аль хувьсагчийн ялгааг илэрхийлдэг). Индексийн алдагдал нь ИХ БУРУУ болно. Хмм…. Ийм айлган сүрдүүлсний дараа би өөрөө хаа нэгтээ тэднийг санах юм бол инээдтэй юм)

Жишээ 2

Гурван хувьсагчтай функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Үзэж буй хоёр жишээ нь маш энгийн бөгөөд ижил төстэй хэд хэдэн асуудлыг шийдсэний дараа цайны аяга хүртэл тэдгээрийг амаар дарахад дасан зохицох болно.

Буулгахын тулд асуулт хариултын эхний асуулт руу буцаж орцгооё: Дэлхий дээр дөрөв, тав гэх мэт байдаг уу? орон зайн тухай филистист ойлголтын утгаар хэмжилтүүд (урт/өргөн/өндөр)?

Зөв хариулт: Шинжлэх ухаан үүнийг хориглодоггүй.. Математикийн бүх суурь аксиоматик, теорем, математикийн аппаратууд нь үзэсгэлэнтэй бөгөөд тууштайямар ч хэмжээсийн орон зайд ажиллах. Орчлон ертөнцийн хаа нэгтээ бидний оюун санаанд үл хамаарах хэт гадаргуу, тухайлбал гурван хувьсагчийн функцээр өгөгдсөн дөрвөн хэмжээст гипер гадаргуу байж болох юм. Эсвэл бидний хажууд хэт их гадаргуу байгаа юм уу, тэр ч байтугай бид зөв байдаг, зөвхөн бидний алсын хараа, бусад мэдрэхүйн эрхтнүүд, ухамсар нь зөвхөн гурван хэмжээсийг мэдэрч, ойлгох чадвартай байдаг.

Жишээнүүдэд буцаж орцгооё. Тийм ээ, хэрэв хэн нэгэн асуултын хариулт ихтэй байгаа бол гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн олохыг сурсны дараа дараах асуултын хариултыг уншсан нь дээр. нийтлэлийн явц =)

Хамгийн энгийн жишээ 1,2-оос гадна практикт жижиг оньсого гэж хэлж болох даалгаварууд байдаг. Хичээлийг бүтээхэд ийм жишээнүүд миний уурыг хүргэсэнгүй. Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд. Алдагдсан цагаа нөхөх нь:

Жишээ 3

Шийдэл:Энэ нь "бүх зүйл энгийн" мэт боловч анхны сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Хэсэгчилсэн деривативыг олохдоо олон хүн кофены талбайн талаар таамаглаж, алдаа гаргах болно.

Жишээн дээр тууштай, тодорхой, тодорхой дүн шинжилгээ хийцгээе.

x-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативаас эхэлье. Бид "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олох үед хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ. Тиймээс бидний функцийн индекс нь мөн тогтмол байна. Даммиуудын хувьд би дараах шийдлийг санал болгож байна: ноорог дээр тогтмолыг тодорхой эерэг бүхэл тоо болгон, жишээлбэл, "тав" болгон өөрчил. Үр дүн нь нэг хувьсагчийн функц юм:
эсвэл та дараах байдлаар бичиж болно.

тэр хүчнийлмэл суурьтай функц (синус). Зохиогч:

Одоо үүнийг санаарай, тэгвэл:

Цэвэр хуулбар дээр мэдээжийн хэрэг шийдлийг дараах байдлаар зурах ёстой.

Бид "y"-ийн хувьд хэсэгчилсэн деривативыг олдог бөгөөд тэдгээрийг тогтмол гэж үздэг. Хэрэв "x" тогтмол бол энэ нь бас тогтмол байна. Ноорог дээр бид ижил заль мэхийг хийдэг: бид жишээлбэл, 3, "Z" -ээр солино - бид үүнийг ижил "тав" -аар солино. Үр дүн нь дахин нэг хувьсагчийн функц юм:

тэр жагсаалнийлмэл илтгэгчтэй функц. By нийлмэл функцийг ялгах дүрэм:

Одоо бидний орлуулалтыг санаарай:

Энэ замаар:

Цэвэр хуулбар дээр мэдээжийн хэрэг загвар нь сайхан харагдах ёстой:

Мөн "z" (- тогтмол) -ын хувьд хэсэгчилсэн дериватив бүхий толин тусгал:

Зарим туршлагатай бол шинжилгээг оюун ухаанаар хийж болно.

Бид даалгаврын хоёр дахь хэсгийг гүйцэтгэдэг - бид эхний дарааллын дифференциалыг бүрдүүлдэг. Энэ нь маш энгийн бөгөөд хоёр хувьсагчийн функцтэй зүйрлэвэл эхний эрэмбийн дифференциалыг дараах томъёогоор бичнэ.

Энэ тохиолдолд:

Тэгээд бизнес. Практик бодлогод гурван хувьсагчийн функцийн 1-р эрэмбийн бүрэн дифференциалыг хоёр хувьсагчийн функцээс хамаагүй бага эмхэтгэх шаардлагатайг би тэмдэглэж байна.

Өөрөө хийх шийдлийн хөгжилтэй жишээ:

Жишээ 4

Гурван хувьсагчийн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, нэгдүгээр зэрэглэлийн нийт дифференциал гарга.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал "chainikov" алгоритмыг ашиглана уу, энэ нь туслах болно. Мөн өөр нэг ашигтай зөвлөгөө - битгий яар. Ийм жишээнүүд миний хувьд ч хурдан шийдэгддэггүй.

Бид хоёр дахь асуултыг задалж, дүн шинжилгээ хийж байна: Дөрвөн хэмжээст, таван хэмжээст гэх мэтийг бүтээх боломжтой юу? өргөн утгаараа орон зай? Энэ нь бидний амьдралд ийм орон зайг жишээ болгох гэсэн үг юм.

Зөв хариулт: Тиймээ. Мөн, энэ нь маш хялбар юм. Жишээлбэл, бид урт/өргөн/өндөр - цаг дээр дөрөв дэх хэмжигдэхүүнийг нэмдэг. Алдартай дөрвөн хэмжээст орон зай-цаг хугацаа ба харьцангуйн алдартай онолыг Эйнштейн Лобачевский, Пуанкаре, Лоренц, Минковски нараас хулгайлсан. Хүн бүр мэддэггүй. Эйнштейн яагаад Нобелийн шагнал хүртсэн бэ? Шинжлэх ухааны ертөнцөд аймшигт дуулиан дэгдээж, Нобелийн хороо хулгайчийн гавьяаг "Физикийн хөгжилд оруулсан ерөнхий хувь нэмрийн төлөө" гэж томъёолжээ. Ингээд л болоо. Эйнштейний С зэрэглэлийн брэнд бол цэвэр сурталчилгаа, PR юм.

Дөрвөн хэмжээст орон зайд тав дахь хэмжээсийг нэмэхэд хялбар байдаг, жишээлбэл: атмосферийн даралт. Гэх мэтчилэн, таны загварт тохируулсан хэмжээсүүд маш олон байх болно. Энэ үгийн өргөн утгаараа бид олон хэмжээст орон зайд амьдарч байна.

Өөр хэд хэдэн ердийн ажлыг авч үзье:

Жишээ 5

Нэг цэгт эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл:Энэхүү томъёоллын даалгавар нь практикт ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд дараахь хоёр үйлдлийг багтаадаг.
– та эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хэрэгтэй;
- та цэг дээр 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Бид шийднэ:

(1) Бид нарийн төвөгтэй функцтэй бөгөөд эхний алхам бол нумын тангенсийн деривативыг авах явдал юм. Үүнийг хийхдээ бид нумын тангенсийн деривативын хүснэгтийн томъёог тайвнаар ашигладаг. By нийлмэл функцийг ялгах дүрэмүр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлэх ёстой (суулгах): .

(2) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг.

(3) Бид үлдсэн деривативуудыг тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй.

Даалгаврын нөхцлийн дагуу цэг дээр олсон хэсэгчилсэн деривативын утгыг олох шаардлагатай. Олдсон дериватив дахь цэгийн координатыг орлуулна уу.

Энэ даалгаврын давуу тал нь бусад хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар олдог явдал юм.

Таны харж байгаагаар шийдлийн загвар нь бараг ижил байна.

Олдсон хэсэгчилсэн деривативын утгыг цэг дээр тооцоод үзье.

Эцэст нь "z"-тэй холбоотой дериватив:

Бэлэн. Уусмалыг өөр аргаар боловсруулж болно: эхлээд бүх гурван хэсэгчилсэн деривативыг олж, дараа нь тэдгээрийн утгыг цэг дээр тооцоол. Гэхдээ дээрх арга нь илүү тохиромжтой юм шиг санагдаж байна - тэд зүгээр л хэсэгчилсэн деривативыг олсон бөгөөд тэр даруй кассын бүртгэлээс гаралгүйгээр түүний утгыг нэг цэгт тооцоолсон.

Геометрийн хувьд цэг нь бидний гурван хэмжээст орон зайн маш бодит цэг гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Функцийн утга, дериватив нь аль хэдийн дөрөв дэх хэмжээс бөгөөд геометрийн хувьд хаана байрлаж байгааг хэн ч мэдэхгүй. Тэдний хэлснээр Орчлон ертөнцийг соронзон хальсны хэмжүүрээр хэн ч мөлхөөгүй, шалгаагүй.

Философийн сэдэв дахин гармагц гурав дахь асуултыг авч үзье: Өнгөрсөн рүү аялах боломжтой юу?

Зөв хариулт: Үгүй ээ. Өнгөрсөн рүү аялах нь физик үйл явцын эргэлт буцалтгүй байдлын тухай термодинамикийн хоёр дахь хуультай зөрчилддөг (энтропи). Тиймээс усгүй усан сан руу бүү шумбаарай, энэ үйл явдлыг зөвхөн бичлэг дээр л харуулах боломжтой =) Ардын мэргэн ухаан нь "Долоо хэмжиж, нэг удаа огтол" гэсэн шалтгаанаар дэлхийн эсрэг хууль гаргаж ирсэн. Хэдийгээр харамсалтай нь цаг хугацаа нэг чиглэлтэй, эргэлт буцалтгүй байдаг ч маргааш бидний хэн нь ч залуу харагдахгүй. Мөн шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл "Терминатор" гэх мэт янз бүрийн шинжлэх ухааны уран зөгнөлт кинонууд бол шал дэмий зүйл юм. Энэ нь мөн философийн үүднээс утгагүй юм - Үр дагавар нь өнгөрсөн рүү буцаж ирэхэд өөрийн Шалтгааныг устгаж чадна. .

"z"-тэй холбоотой дериватив нь илүү сонирхолтой боловч энэ нь бараг ижил хэвээр байна:

(1) Бид деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авдаг.

(2) Энд дахин хоёр функцийн үржвэр, тус бүр нь хамаарна"амьд" хувьсагч "z"-аас. Зарчмын хувьд та категоритын деривативын томъёог ашиглаж болно, гэхдээ өөр замаар явах нь илүү хялбар байдаг - бүтээгдэхүүний деривативыг олох.

(3) Дериватив нь хүснэгтийн дериватив юм. Хоёр дахь гишүүн нь нийлмэл функцийн аль хэдийн танил болсон деривативыг агуулна.

Жишээ 9

Гурван хувьсагчтай функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Нэг буюу өөр хэсэгчилсэн деривативыг олох нь хэр оновчтой болохыг бодоорой. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хичээлийн эцсийн жишээнүүд рүү шилжихээсээ өмнө бодож үзээрэй хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативГурван хувьсагчийн функцүүдийн талаар би дөрөв дэх асуултаар дахин нэг удаа хүн бүрийг баярлуулах болно.

Ирээдүй рүү аялах боломжтой юу?

Зөв хариулт: Шинжлэх ухаан үүнийг хориглодоггүй.. Хачирхалтай нь, ирээдүйд аялахыг хориглосон математик, физик, хими болон бусад байгалийн шинжлэх ухааны хууль байдаггүй! Дэмий юм шиг санагдаж байна уу? Гэхдээ амьдралын бараг бүх хүмүүс энэ эсвэл тэр үйл явдал тохиолдох болно гэдгийг урьдчилан таамаглаж байсан (мөн ямар ч логик аргументаар дэмжигдээгүй). Тэгээд болсон! Мэдээлэл хаанаас ирсэн бэ? Ирээдүйгээс үү? Тиймээс ирээдүй рүү аялах тухай гайхалтай кинонууд, дашрамд хэлэхэд бүх төрлийн мэргэ төлөгчид, зөн билэгчдийн таамаглалыг ийм утгагүй зүйл гэж нэрлэж болохгүй. Наад зах нь шинжлэх ухаан үүнийг үгүйсгээгүй. Бүх зүйл боломжтой байдаг! Тиймээс намайг сургуульд байхад киноны CD, хавтгай дэлгэц зэрэг нь надад гайхалтай уран зөгнөл мэт санагддаг байсан.

Алдарт "Иван Васильевич мэргэжлээ өөрчилсөн нь" инээдмийн кино нь хагас уран зохиол юм (дээд тал нь). Ямар ч шинжлэх ухааны хуулинд Иван Грозный ирээдүйд байхыг хориглоогүй ч хоёр чинжүү өнгөрсөнд байж, хааны үүргийг гүйцэтгэх боломжгүй юм.

Олон хувьсагчтай функцийн тухай ойлголт

n-хувьсагч байг, тодорхой x олонлогийн x 1, x 2 ... x n тус бүрд тодорхойлолт өгөгдөнө. Z тоо, дараа нь x багц дээр олон хувьсагчийн Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) функц өгөгдсөн.

X - тодорхойлсон функцүүдийн талбар

x 1, x 2 ... x n - бие даасан хувьсагч (аргументууд)

Z - функц Жишээ: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Цилиндрийн эзэлхүүн)

Z \u003d f (x; y) - 2 хувьсагчийн f-tion x (x 1, x 2-г x, y-ээр сольсон) гэж үзье. Үр дүн нь олон хувьсагчийн бусад функцүүдэд аналоги байдлаар шилждэг. 2 хувьсагчийн функцийг тодорхойлох талбар нь дөрвөлжингийн бүх утас (ooh) эсвэл түүний хэсэг юм. Mn-2 хувьсагчийн th функцийн утгад - 3 хэмжээст орон зай дахь гадаргуу.

График байгуулах арга техник: - Квадрат гадаргуу дээрх Rassm-t зүсэлт || координатын квадратууд.

Жишээ нь: x \u003d x 0, zn. квадрат X || 0yz y \u003d y 0 0xz Функцийн төрөл: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Жишээ нь: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Парабола тойрог(төв(0;1)

Хоёр хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдал

Z = f (x; y) гэж өгвөл A нь f-tion-ийн m-ийн хязгаар (x 0, y 0), хэрэв дурын жижиг тавилттай бол. тоо E>0 нэр үг-t эерэг тоо b>0, энэ нь бүх x,y-д нийцсэн |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) нь t-д тасралтгүй (x 0, y 0), хэрэв: - энэ t-д тодорхойлогдсон; - хязгаартай x-д хязгаарлах, x 0 болон y-ээс y 0-д чиглэх; - энэ хязгаар = утга

t дахь функцууд (x 0, y 0), өөрөөр хэлбэл. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Хэрэв функц тус бүрд тасралтгүй байвал. t.mn-va X, тэгвэл энэ хэсэгт тасралтгүй байна

Дифференциал функц, түүний гео утга. Ойролцоогоор dif-la-г ашиглах.

dy=f’(x)∆x – дифференциал функц

dy = dx, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв y=x бол dy=f '(x)dx

Геологичдын үүднээс авч үзвэл функцийн дифференциал гэдэг нь абсцисса х 0 цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн ординатын өсөлт юм.

Dif-l-ийг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг. Томъёоны дагуу функцийн утгууд: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

∆x нь x-тэй ойр байх тусам үр дүн нь илүү нарийвчлалтай болно.

Нэг ба хоёрдугаар дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд

Эхний эрэмбийн дериватив (үүнийг хувийн гэж нэрлэдэг)

O. X мужаас аль нэг цэг дэх бие даасан хувьсагчдын x, y-ийн өсөлтийг x, y гэж үзье. Дараа нь z = f(x + x, y + y) = f(x, y) -тэй тэнцүү утгыг "х" гэж нэрлэнэ. x 0, y 0 цэг дэх нийт өсөлт. Хэрэв x хувьсагч тогтмол, у хувьсагч у-аар нэмэгдвэл zу = f(x, y, + y) – f(x, y) болно.

y хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог, i.e.

2 хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг нэг хувьсагчийн функцтэй ижил дүрмийн дагуу олно.

Ялгаа нь функцийг х хувьсагчаар ялгахдаа y-г const, y-ээр ялгахдаа x-г const гэж үзнэ.

Тусгаарлагдсан констууд нь нэмэх/хасах үйлдлүүдтэй функцтэй холбогддог.

Холбогдох констууд нь үржүүлэх/хуваах үйлдлүүдтэй функцтэй холбогддог.

Тусгаарлагдсан const-ийн дериватив = 0

1.4.2 хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал ба түүний хэрэглээ

z = f(x,y) гэж үзье

tz = - бүрэн өсөлт гэж нэрлэдэг

2-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

2 хувьсагчийн тасралтгүй функцүүдийн хувьд 2-р эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн дериватив ба давхцдаг.

Макс ба мин функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлохдоо хэсэгчилсэн деривативыг экстремум гэж нэрлэдэг.

A. Энэ хөршөөс бүх x ба y-ийн хувьд f(x,y) хэрчмүүд байвал тэдгээрийг max эсвэл min z = f(x,y) гэж нэрлэнэ.

T. Хэрэв 2 хувьсагчтай функцийн экстремум цэг өгөгдсөн бол энэ цэг дэх хэсэгчилсэн деривативын утга 0-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. ,

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын цэгүүдийг суурин эсвэл критик гэж нэрлэдэг.

Иймд 2 хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг олохын тулд хангалттай экстремум нөхцөлийг ашигладаг.

z = f(x,y) функцийг хоёр дахин дифференциалчлах ба хөдөлгөөнгүй цэгийг,

1) , ба maxA<0, minA>0.

1.4.(*)бүрэн дифференциал. Дифференциалын геометрийн утга. Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх

O. y = f(x) функцийг зарим хөршийн цэгүүдэд тодорхойл. f(x) функц нь тухайн цэг дэх өсөлттэй байвал тухайн цэг дэх дифференциал гэж нэрлэгддэг , энд (1) хэлбэрээр дүрслэгдсэн байна

Энд A нь -аас хамааралгүй тогтмол утга, тогтмол х цэг дээр - үед хязгааргүй бага. Харьцангуй шугаман А функцийг цэг дээрх f(x) функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг ба df() эсвэл dy гэж тэмдэглэнэ.

Иймд (1) илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно ().

(1) илэрхийлэл дэх функцын дифференциал нь dy = A хэлбэртэй байна. Аливаа шугаман функцийн нэгэн адил энэ нь ямар ч утгын хувьд тодорхойлогддог Функцийн өсөлтийг зөвхөн f(x) функцийн мужид + хамаарагдах тохиолдолд авч үзэх ёстой.

Дифференциалыг тэмдэглэхэд хялбар болгох үүднээс өсөлтийг dx-ээр тэмдэглэж, бие даасан x хувьсагчийн дифференциал гэж нэрлэдэг. Тиймээс дифференциалыг dy = Adx гэж бичнэ.

Хэрэв f(x) функц нь зарим интервалын цэг бүрт дифференциал болох юм бол түүний дифференциал нь x цэг ба dx хувьсагч гэсэн хоёр хувьсагчийн функц болно.

T. y = g(x) функц аль нэг цэгт дифференциалагдахын тулд энэ цэг дээр дериватив байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

(*) Нотлох баримт. Хэрэгтэй.

f(x) функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг, өөрөөр хэлбэл, . Дараа нь

Иймээс f'() дериватив нь A-тай тэнцүү байна. Иймээс dy = f'()dx

Хангалттай байдал.

f'(), i.e. дериватив байх болтугай. = f'(). Тэгвэл y = f(x) муруй нь шүргэгч сегмент болно. Х цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолохын тулд f() ба f’()/-ийг олоход хэцүү биш байхаар түүний ойролцоох цэгийг ав.

Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд.
Үзэл баримтлал ба шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид хоёр хувьсагчийн функцтэй танилцаж, магадгүй хамгийн нийтлэг сэдэвчилсэн даалгавар болох олохыг авч үзэх болно. нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд, түүнчлэн функцийн нийт дифференциал. Хагас цагийн оюутнууд дүрмээр бол 2-р семестрт 1-р курст хэсэгчилсэн деривативтай тулгардаг. Түүгээр ч барахгүй, миний ажигласнаар хэсэгчилсэн дериватив олох даалгавар шалгалтанд бараг үргэлж байдаг.

Дараах материалыг үр дүнтэй судлахын тулд та шаардлагатайнэг хувьсагчийн функцийн "ердийн" деривативуудыг бага багаар итгэлтэйгээр олох боломжтой байх. Та хичээлээс деривативыг хэрхэн зөв зохицуулах талаар сурах боломжтой Деривативыг хэрхэн олох вэ?болон Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Бидэнд мөн үндсэн функцүүдийн дериватив ба ялгах дүрмийн хүснэгт хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хэвлэмэл хэлбэрээр байвал хамгийн тохиромжтой. Та хуудаснаас лавлах материалыг олох боломжтой Математикийн томъёо, хүснэгт.

Хоёр хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг хурдан давтъя, би өөрийгөө хамгийн багадаа хязгаарлахыг хичээх болно. Хоёр хувьсагчийн функцийг ихэвчлэн гэж бичдэг бөгөөд хувьсагчдыг дууддаг бие даасан хувьсагчидэсвэл аргументууд.

Жишээ: - хоёр хувьсагчийн функц.

Заримдаа тэмдэглэгээг ашигладаг. Мөн үсгийн оронд үсгийг ашигладаг даалгавар байдаг.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл хоёр хувьсагчийн функц нь ихэвчлэн гурван хэмжээст орон зайн гадаргуу (хавтгай, цилиндр, бөмбөг, параболоид, гиперболоид гэх мэт) байдаг. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ бол аль хэдийн илүү аналитик геометр бөгөөд бидний хэлэлцэх асуудалд математикийн дүн шинжилгээ байгаа бөгөөд үүнийг их сургуулийн багш маань миний "морь" гэж хэзээ ч хасахыг зөвшөөрдөггүй.

Бид эхний болон хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох асуулт руу шилждэг. Хэдхэн аяга кофе ууж, санаанд багтамгүй хэцүү материал хайж байгаа та бүхэндээ дуулгах сайхан мэдээ байна. хэсэгчилсэн дериватив нь нэг хувьсагчийн функцийн "ердийн" деривативтай бараг ижил байна.

Хэсэгчилсэн деривативын хувьд ялгах бүх дүрэм, элементар функцийн деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Бид яг одоо мэдэх хэдхэн жижиг ялгаа бий:

... тийм ээ, дашрамд хэлэхэд, би энэ сэдвийн төлөө бүтээсэн жижиг pdf ном, энэ нь танд хэдхэн цагийн дотор "гараа дүүргэх" боломжийг олгоно. Гэхдээ сайтыг ашигласнаар та мэдээж үр дүнд хүрэх болно - магадгүй арай удаан:

Жишээ 1

Функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Эхлээд бид эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олно. Тэдний хоёр нь бий.

Тэмдэглэгээ:
эсвэл - "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив
эсвэл - "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив

-ээс эхэлье. "x"-ийн хувьд хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагчийг тогтмол (тогтмол тоо) гэж үзнэ..

Хийсэн арга хэмжээний талаархи тайлбар:

(1) Хэсэгчилсэн деривативыг олохдоо бидний хийх хамгийн эхний зүйл бол дүгнэлт хийх явдал юм бүгдфункцийг зураасны доор хаалтанд хийнэ дэд тэмдэгтэй.

Анхаарал чухал!Шийдлийн явцад дэд тэмдэгтүүд АЛДАХГҮЙ. Энэ тохиолдолд, хэрэв та хаа нэгтээ "цус харвалт" зурвал багш ядаж үүнийг даалгаврын хажууд тавьж болно (анхаарал алдсаны улмаас онооны хэсгийг нэн даруй хазах).

(2) Ялгах дүрмийг ашигла , . Энэ мэт энгийн жишээний хувьд хоёр дүрмийг ижил алхамаар ашиглаж болно. Эхний нэр томъёонд анхаарлаа хандуулаарай: оноос хойш тогтмол гэж үзэх ба аливаа тогтмолыг деривативын тэмдгээс хасаж болно, дараа нь бид хаалтнаас гаргаж авдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцөлд энэ нь ердийн тооноос илүү дээр биш юм. Одоо гурав дахь нэр томъёог авч үзье: энд, эсрэгээр, гаргах зүйл алга. Энэ нь тогтмол учраас энэ нь бас тогтмол бөгөөд энэ утгаараа энэ нь сүүлийн нэр томъёо болох "долоон"-оос хамаагүй дээр юм.

(3) Бид хүснэгтийн дериватив ба .

(4) Бид хариултыг хялбаршуулдаг, эсвэл миний хэлмээр байгаачлан "нийлдэг".

Одоо . Бид "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагч болнотогтмол (тогтмол тоо) гэж үздэг.

(1) Бид ижил ялгах дүрмийг ашигладаг , . Эхний гишүүнд бид деривативын тэмдгээс давсан тогтмолыг гаргаж авдаг бол хоёр дахь гишүүнд энэ нь аль хэдийн тогтмол байдаг тул юу ч гаргаж болохгүй.

(2) Бид энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг ашигладаг. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Y" болгон өөрчил. Өөрөөр хэлбэл, энэ хүснэгт нь (мөн бараг бүх үсгийн хувьд) адил хүчинтэй байна. Ялангуяа бидний ашигладаг томьёо дараах байдалтай байна: ба .

Хэсэгчилсэн дериватив гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Үндсэндээ 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд төстэй байдаг "ердийн" дериватив:

- энэ бол функцууд, ямар шинж чанартай өөрчлөлтийн хурдтэнхлэгийн чиглэлд болон тус тусад нь үйлчилдэг. Жишээлбэл, функц "авиралт", "налуу" -ын эгц байдлыг тодорхойлдог гадаргууабсцисса тэнхлэгийн чиглэлд, функц нь ординатын тэнхлэгийн чиглэлд ижил гадаргуугийн "хөнгөвчлөх" тухай өгүүлдэг.

! Анхаарна уу : энд зааврыг хэлж байна зэрэгцээ байнакоординатын тэнхлэгүүд.

Илүү сайн ойлгохын тулд хавтгайн тодорхой цэгийг авч үзээд түүний функцийн утгыг ("өндөр") тооцоолъё.
- тэгээд одоо өөрийгөө энд байна гэж төсөөлөөд үз дээ (МАШ гадарга дээр).

Бид өгөгдсөн цэг дээр "x" -тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолно.

"X" деривативын сөрөг тэмдэг нь бидэнд хэлдэг уруудаж байнах тэнхлэгийн чиглэлийн цэг дээр ажилладаг. Өөрөөр хэлбэл, бид жижиг-жижиг болговол (хязгааргүй жижиг)тэнхлэгийн үзүүр рүү алх (энэ тэнхлэгтэй зэрэгцээ), дараа нь гадаргуугийн налууг доошлуул.

Одоо бид y тэнхлэгийн чиглэлд "газар" -ын мөн чанарыг олж мэдэв.

"y" -тэй холбоотой дериватив нь эерэг тул тэнхлэгийн дагуух цэг дээр функц байна нэмэгддэг. Хэрэв энэ нь маш энгийн бол энд бид өгсөх авиралтыг хүлээж байна.

Нэмж дурдахад нэг цэг дэх хэсэгчилсэн дериватив нь тодорхойлогддог өөрчлөлтийн хурдхолбогдох чиглэлээр үйл ажиллагаа явуулдаг. Үр дүн нь илүү их байх болно модуль- гадаргуу нь эгц, эсрэгээр, тэг рүү ойртох тусам гадаргуу тэгш болно. Тиймээс бидний жишээн дээр абсцисса тэнхлэгийн чиглэл дэх "налуу" нь ордны тэнхлэгийн чиглэлд "уул"-аас илүү эгц байна.

Гэхдээ эдгээр нь хоёр хувийн зам байсан. Бидний байгаа цэгээс энэ нь тодорхой байна. (мөн ерөнхийдөө өгөгдсөн гадаргуугийн аль ч цэгээс)Бид өөр чиглэлд шилжиж болно. Тиймээс газрын гадаргуугийн "ландшафт" -ын тухай өгүүлэх ерөнхий "навигацийн график" зохиох сонирхол бий. Хэрвээ боломжтой болцэг бүрт энэ функцийн хамрах хүрээболомжтой бүх аргаар. Би энэ болон бусад сонирхолтой зүйлсийн талаар дараагийн хичээлүүдийн аль нэгэнд ярих болно, гэхдээ одоо асуудлын техникийн тал руугаа буцъя.

Бид үндсэн хэрэглээний дүрмийг системчилдэг.

1) -ээр ялгах үед хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ.

2) дагуу ялгах үед, дараа нь тогтмол гэж үзнэ.

3) Анхан шатны функцүүдийн деривативын дүрмүүд ба хүснэгтүүд нь ялгах үйл ажиллагаа явуулж буй аливаа хувьсагч (эсвэл бусад) хувьд хүчинтэй бөгөөд хамаарна.

Хоёрдугаар алхам. Бид хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог. Тэдний дөрөв нь байдаг.

Тэмдэглэгээ:
эсвэл - "x"-ийн хоёр дахь дериватив
эсвэл - "y"-ийн хоёр дахь дериватив
эсвэл - холимогдериватив "x by y"
эсвэл - холимогдериватив "Y нь X"

Хоёр дахь деривативын хувьд ямар ч асуудал байхгүй. Энгийнээр хэлбэл, хоёр дахь дериватив нь эхний деривативын дериватив юм.

Тохиромжтой болгох үүднээс би аль хэдийн олдсон эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дахин бичих болно.

Эхлээд бид холимог деривативуудыг олно:

Таны харж байгаагаар бүх зүйл энгийн: бид хэсэгчилсэн деривативыг аваад дахин ялгадаг, гэхдээ энэ тохиолдолд аль хэдийн "y" -ээр ялгадаг.

Үүнтэй адилаар:

Практик жишээн дээр та дараахь тэгш байдалд анхаарлаа хандуулж болно:

Тиймээс хоёрдугаар эрэмбийн холимог деривативуудаар дамжуулан бид нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон эсэхийг шалгах нь маш тохиромжтой.

Бид "x" -тэй холбоотой хоёр дахь деривативыг олдог.
Шинэ бүтээл байхгүй, бид авдаг дахин "X"-ээр ялгана уу:

Үүнтэй адилаар:

Олж байхдаа та харуулах хэрэгтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй анхаарал нэмэгдсэн, тэднийг шалгах гайхамшигт тэгш байдал байхгүй тул.

Хоёрдахь деривативууд нь өргөн практик хэрэглээг олж авдаг, ялангуяа тэдгээрийг олох асуудалд ашигладаг хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум. Гэхдээ бүх зүйл өөрийн цаг хугацаатай байдаг:

Жишээ 2

цэг дээрх функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол. Хоёрдахь эрэмбийн деривативуудыг ол.

Энэ бол өөрийгөө шийдвэрлэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариултууд). Хэрэв та үндсийг ялгахад хэцүү байвал хичээл рүүгээ буцна уу Деривативыг хэрхэн олох вэ?Ерөнхийдөө удахгүй та ижил төстэй деривативуудыг хэрхэн яаж олохыг сурах болно.

Бид гараа илүү төвөгтэй жишээгээр дүүргэдэг:

Жишээ 3

Үүнийг шалгана уу. Эхний эрэмбийн нийт дифференциалыг бич.

Шийдэл: Бид эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олно.

Доод тэмдэгтэд анхаарлаа хандуулаарай: "x"-ийн хажууд энэ нь тогтмол гэж хаалтанд бичихийг хориглоно. Энэхүү тэмдэг нь эхлэгчдэд шийдлийг удирдахад хялбар болгоход маш их хэрэгтэй болно.

Нэмэлт сэтгэгдэл:

(1) Бид деривативын тэмдгийн гадна байгаа бүх тогтмолыг гаргаж авдаг. Энэ тохиолдолд, ба, ба, иймээс тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг тогтмол тоо гэж үзнэ.

(2) Үндэсийг хэрхэн зөв ялгах талаар бүү мартаарай.

(1) Бид деривативын тэмдгээс бүх тогтмолыг авдаг, энэ тохиолдолд тогтмол нь .

(2) Үндсэн үед бид хоёр функцийн үржвэртэй тул бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй. .

(3) Энэ бол нарийн төвөгтэй функц (хэдийгээр хамгийн энгийн нь ч гэсэн) гэдгийг бүү мартаарай. Бид холбогдох дүрмийг ашигладаг: .

Одоо бид хоёр дахь эрэмбийн холимог деривативуудыг оллоо.

Энэ нь бүх тооцоо зөв гэсэн үг юм.

Нийт дифференциалыг бичье. Харж буй ажлын хүрээнд хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал гэж юу болохыг хэлэх нь утгагүй юм. Энэ ялгааг практик асуудалд байнга бичиж байх нь чухал юм.

Нийт нэгдүгээр эрэмбийн дифференциалХоёр хувьсагчийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ тохиолдолд:

Өөрөөр хэлбэл, томъёонд та зүгээр л эхний дарааллын аль хэдийн олдсон хэсэгчилсэн деривативуудыг тэнэгээр солих хэрэгтэй. Дифференциал дүрсүүд ба үүнтэй төстэй нөхцөл байдалд боломжтой бол тоологчоор бичих нь дээр.

Мөн уншигчдын удаа дараа хүсэлтээр хоёр дахь эрэмбийн бүрэн дифференциал.

Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

2-р эрэмбийн "ганц үсэгтэй" деривативуудыг АНХААРАЛ олно уу.

мөн "мангас" бичиж, квадратууд, бүтээгдэхүүнийг анхааралтай "хавсруулж", холимог деривативыг хоёр дахин оруулахаа бүү мартаарай:

Хэрэв ямар нэг зүйл хэцүү санагдсан бол зүгээр, та ялгах аргыг сонгосны дараа дериватив руу буцаж болно.

Жишээ 4

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол . Үүнийг шалгана уу. Эхний эрэмбийн нийт дифференциалыг бич.

Нарийн төвөгтэй функц бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 5

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл:

Жишээ 6

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .
Нийт дифференциалыг бичнэ үү.

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах). Энэ нь маш энгийн тул би бүрэн шийдлийг нийтлэхгүй.

Ихэнх тохиолдолд дээрх бүх дүрмийг хослуулан хэрэглэдэг.

Жишээ 7

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .

(1) Бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг ашигладаг

(2) Энэ тохиолдолд эхний нэр томъёог тогтмол гэж үзнэ, учир нь илэрхийлэлд "x" -ээс хамаарах зүйл байхгүй - зөвхөн "y". Бутархайг тэг болгон хувиргах нь үргэлж сайхан байдаг гэдгийг та мэднэ). Хоёрдахь хугацааны хувьд бид бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигладаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ утгаараа оронд нь функц өгөгдсөн бол юу ч өөрчлөгдөхгүй - энэ нь чухал юм хоёр функцийн бүтээгдэхүүн, Эдгээр нь тус бүрээс хамаарна "X", тиймээс та бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй. Гурав дахь гишүүний хувьд бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.

(1) Эхний гишүүнд тоологч болон хуваагч хоёулаа "y"-г агуулж байгаа тул та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй. . Хоёрдахь нэр томъёо нь ЗӨВХӨН "x" -ээс хамаардаг бөгөөд энэ нь тогтмол гэж тооцогддог бөгөөд тэг болж хувирдаг. Гурав дахь нэр томъёоны хувьд бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.

Хичээлийн төгсгөлд бараг л зоригтойгоор хүрсэн уншигчдад зориулж би Мехматовын хуучны тухай өгүүлэхийг хэлье.

Нэгэн удаа функцүүдийн орон зайд муу дериватив гарч ирсэн бөгөөд энэ нь хүн бүрийг хэрхэн ялгах болсон юм. Бүх функцууд бүх чиглэлд тархаж, хэн ч эргэхийг хүсэхгүй байна! Зөвхөн нэг функц нь хаана ч зугтдаггүй. Дериватив түүнд ойртож, асууна:

"Чи яагаад надаас зугтахгүй байгаа юм бэ?"

- Ха. Гэхдээ би хамаагүй, учир нь би "х-ийн хүч"-тэй, чи надад юу ч хийж чадахгүй!

Муу инээмсэглэлтэй муу ёрын үүсмэл хариуд нь:

- Эндээс таны буруу байна, би чамайг "y"-ээр ялгах болно, тэгэхээр таны хувьд тэг бай.

Энэ хошигнолыг хэн ойлгосон бэ, тэр дор хаяж "тройка" гэсэн деривативуудыг эзэмшсэн).

Жишээ 8

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Бүрэн шийдэл, асуудлын загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

За, бараг бүгдээрээ. Эцэст нь би математикчдыг өөр нэг жишээгээр баярлуулахгүй байхын аргагүй. Энэ нь сонирхогчдын тухай ч биш, хүн бүр өөр өөр түвшний математикийн бэлтгэлтэй байдаг - илүү хэцүү даалгавартай өрсөлдөх дуртай хүмүүс (мөн тийм ч ховор биш) байдаг. Хэдийгээр энэ хичээлийн сүүлчийн жишээ нь тооцооллын хувьд тийм ч төвөгтэй биш юм.

Гурван хувьсагчийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох ерөнхий зарчим нь хоёр хувьсагчийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох зарчимтай төстэй.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олохын тулд эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хэрэгтэй, эсвэл өөр тэмдэглэгээгээр:

Хоёр дахь эрэмбийн есөн хэсэгчилсэн дериватив байдаг.

Эхний бүлэг нь ижил хувьсагчтай холбоотой хоёр дахь деривативууд юм.

Эсвэл - "x" -тэй холбоотой хоёр дахь дериватив;

Эсвэл - "y" -тэй холбоотой хоёр дахь дериватив;

Эсвэл - "z" -тэй холбоотой хоёр дахь дериватив.

Хоёр дахь бүлэг нь холимог 2-р дарааллын хэсэгчилсэн деривативууд, тэдгээрийн зургаан нь байдаг.

Эсвэл - холимогдериватив "х у";

Эсвэл - холимогдериватив "y x";

Эсвэл - холимогдериватив "x z-ээр";

Эсвэл - холимогдериватив "po zet x";

Эсвэл - холимогдериватив "z тоглоомоор";

Эсвэл - холимогдериватив "po z y".

Хоёр хувьсагчийн функцийн нэгэн адил асуудлыг шийдвэрлэхдээ холимог хоёр дахь эрэмбийн деривативуудын дараахь тэнцүү байдалд анхаарлаа хандуулж болно.

Жич: Хатуухан хэлэхэд энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Холимог деривативуудын тэгш байдлыг хангахын тулд тэдгээрийн тасралтгүй байдлын шаардлагыг биелүүлэх шаардлагатай.

Энэ гутамшигт явдлыг хэрхэн чангаар унших тухай хэдэн жишээ:

- "жилд хоёр удаа хоёр цохилт";

- “de two y po de zet square”;

- “z дээр x дээр хоёр цохилт”;

- “дэ хоёр ы по де з по дэ й”.

Жишээ 10

Гурван хувьсагчийн функцийн эхний болон хоёрдугаар эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

.

Шийдэл:Эхлээд бид эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олно.

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "y"-ээр ялгана:

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "x"-ээр ялгана:

Тэгш байдал хийгдэнэ. Сайн байна.

Бид холимог деривативын хоёр дахь хосыг авч үздэг.

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "z"-ээр ялгана:

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "x"-ээр ялгана:

Тэгш байдал хийгдэнэ. Сайн байна.

Үүний нэгэн адил бид холимог деривативын гурав дахь хосыг авч үздэг.

Тэгш байдал хийгдэнэ. Сайн байна.

Хийсэн ажлын дараа нэгдүгээрт, бид 1-р эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон, хоёрдугаарт, 2-р эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон гэдгийг баталж болно.

Хоёрдахь эрэмбийн гурван хэсэгчилсэн деривативыг олоход л үлдэж байгаа бөгөөд энд алдаа гаргахгүйн тулд та аль болох анхаарлаа төвлөрүүлэх хэрэгтэй.

Бэлэн. Дахин хэлэхэд, даалгавар нь том хэмжээтэй байхаас тийм ч хэцүү биш юм. Уусмалыг богиносгож, холимог хэсэгчилсэн деривативуудын тэнцүү гэж нэрлэж болох боловч энэ тохиолдолд баталгаажуулалт байхгүй болно. Тиймээс цаг гаргаж, хайж олох нь дээр бүгддериватив (үүнээс гадна багш үүнийг шаардаж болно), эсвэл онцгой тохиолдолд ноорог дээр шалгана уу.

Жишээ 11

Гурван хувьсагчийн функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл:

Жишээ 4:Шийдэл: Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

Бид эхний дарааллын нийт дифференциалыг бүрдүүлдэг.

Жишээ 6:Шийдэл: М(1, -1, 0):

Жишээ 7:Шийдэл: Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолъёМ(1, 1, 1):

Жишээ 9:Шийдэл:

Жишээ 11:Шийдэл: Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

.

Интеграл

8.1. Тодорхой бус интеграл. Нарийвчилсан шийдлийн жишээ

Сэдвээ судалж эхэлцгээе Тодорхойгүй интеграл", мөн түүнчлэн хамгийн энгийн (болон тийм биш) интегралуудын шийдлийн жишээг нарийвчлан шинжлэх. Ердийнх шигээ бид олон тооны сурах бичигт байдаг хамгийн бага онолоор хязгаарлагдах болно, бидний даалгавар бол интегралыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах явдал юм.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Интеграл тооцооллыг даван туулахын тулд дор хаяж дундаж түвшинд дериватив олох чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв таны ард хэдэн арван, эсвэл илүү сайн, бие даан олсон зуун үүсмэл байвал энэ нь илүүц туршлага биш байх болно. Наад зах нь та хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн түгээмэл функцуудыг ялгах даалгаварт андуурч болохгүй.

Хэрэв бид өгүүлэлд интегралын тухай ярьж байгаа бол деривативууд хаана байгаа юм шиг санагдаж байна?! Энд нэг зүйл байна. Баримт нь дериватив олох, тодорхойгүй интеграл олох (ялгарах ба интеграл) нь нэмэх / хасах эсвэл үржүүлэх / хуваах гэх мэт харилцан урвуу хоёр үйлдэл юм. Тиймээс дериватив олох ур чадвар, туршлагагүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм.

Үүнтэй холбогдуулан бидэнд дараахь арга зүйн материал хэрэгтэй болно. Дериватив хүснэгтболон Интегралын хүснэгт.

Тодорхой бус интегралыг судлахад ямар хүндрэл гардаг вэ? Хэрэв деривативуудад ялгах хатуу 5 дүрэм, деривативын хүснэгт, үйлдлийн нэлээд тодорхой алгоритм байдаг бол интегралд бүх зүйл өөр байна. Интеграцийн олон арван арга, техник байдаг. Хэрэв интеграцийн аргыг анх буруу сонгосон бол (өөрөөр хэлбэл та үүнийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна) интеграл нь жинхэнэ ребус шиг олон хоногийн турш шууд утгаараа "хатгаж", янз бүрийн заль мэх, заль мэхийг анзаарах болно. . Зарим нь бүр дуртай байдаг.

Дашрамд хэлэхэд, бид оюутнуудаас (хүмүүнлэгийн ухаан биш) "Би хэзээ ч хязгаар эсвэл деривативыг шийдэх сонирхолгүй байсан, гэхдээ интеграл бол огт өөр асуудал, энэ нь сэтгэл хөдөлгөм, "хагарах" хүсэл үргэлж байдаг. "нийтлэг интеграл" . Зогс. Хангалттай хар хошигнол, эдгээр маш тодорхойгүй интеграл руу шилжье.

Шийдвэрлэх олон арга байдаг тул цайны сав хаанаас тодорхойгүй интеграл судалж эхэлдэг вэ? Интеграл тооцоонд бидний бодлоор бусад бүх зүйл эргэн тойронд нь эргэлддэг гурван багана буюу нэг төрлийн "тэнхлэг" байдаг. Юуны өмнө та хамгийн энгийн интегралуудын талаар сайн ойлголттой байх ёстой (энэ нийтлэл).

Дараа нь та хичээлээ нарийвчлан боловсруулах хэрэгтэй. ЭНЭ ХАМГИЙН ЧУХАЛ ХҮЛЭЭН АВАЛТ БАЙНА! Магадгүй интегралд зориулагдсан бүх нийтлэлийн хамгийн чухал нийтлэл ч байж магадгүй. Гуравдугаарт, заавал уншаарай хэсгүүдээр нэгтгэх, учир нь энэ нь олон төрлийн функцуудыг нэгтгэдэг. Хэрэв та дор хаяж эдгээр гурван хичээлийг эзэмшсэн бол аль хэдийн "хоёр биш" байна. Мэдээгүйг чинь өршөөж болно тригонометрийн функцүүдийн интеграл, бутархайн интеграл, бутархай рационал функцүүдийн интеграл, иррационал функцүүдийн интеграл (үндэс), гэхдээ хэрэв та солих арга эсвэл эд ангиудын аргаар нэгтгэх "шалбаанд орох" бол энэ нь маш муу байх болно.

Тиймээс энгийн зүйлээс эхэлцгээе. Интегралын хүснэгтийг харцгаая. Деривативын нэгэн адил бид интеграцийн хэд хэдэн дүрэм, зарим энгийн функцүүдийн интегралуудын хүснэгтийг анзаардаг. Аливаа хүснэгтэн интеграл (мөн тодорхойгүй интеграл) дараах хэлбэртэй байна:

Тэмдэглэгээ болон нэр томьёо руу шууд орцгооё:

- салшгүй дүрс.

- интеграл функц ("s" үсгээр бичсэн).

- дифференциал дүрс. Энэ нь юу вэ, бид тун удахгүй авч үзэх болно. Хамгийн гол нь интеграл бичихдээ болон шийдлийн явцад энэ дүрсийг алдахгүй байх нь чухал юм. Мэдэгдэхүйц алдаа гарах болно.

нь интегралын интеграл буюу "чихмэл" юм.

– эсрэг деривативфункц.

– . Нэр томьёогоор их ачаалал өгөх шаардлагагүй, энд хамгийн чухал зүйл бол ямар ч тодорхойгүй интегралд хариулт дээр тогтмол нэмэгддэг.

Тодорхойгүй интегралыг шийднэ гэдэг нь олох гэсэн үгэсрэг дериватив функцүүдийн багцөгөгдсөн интегралаас

Бичлэгийг дахин харцгаая:

Интегралын хүснэгтийг харцгаая.

Юу болоод байна? Бидний зүүн хэсгүүд эргэж байнабусад функцууд руу: .

Тодорхойлолтоо хялбаршуулъя:

Тодорхойгүй интегралыг шийд - энэ нь тодорхойгүй (тогтмол хүртэл) функц болгон хувиргана гэсэн үг юм , зарим дүрэм, техник, хүснэгтийг ашиглан.

Жишээлбэл, хүснэгтийн интегралыг ав . Юу болсон бэ? Бэлгэдлийн бичлэг нь эсрэг дериватив функцүүдийн багц болж хувирав.

Деривативын нэгэн адил интегралыг олж сурахын тулд онолын үүднээс интеграл эсвэл эсрэг дериватив функц гэж юу болохыг мэддэг байх шаардлагагүй. Зарим албан ёсны дүрмийн дагуу өөрчлөлтийг хийхэд л хангалттай. Тиймээс, тохиолдолд яагаад интеграл яг болж хувирдагийг ойлгох шаардлагагүй. Та энэ болон бусад томъёог энгийн зүйл гэж үзэж болно. Хүн бүр цахилгаан хэрэглэдэг ч электронууд утаснуудын дагуу хэрхэн гүйдэг талаар цөөхөн хүн боддог.

Дифференциал ба интеграцчилал нь эсрэг талын үйлдлүүд тул зөв олдсон аливаа эсрэг деривативын хувьд дараахь зүйл үнэн болно.

Өөрөөр хэлбэл, зөв ​​хариултыг ялгасан бол анхны интегралыг авах ёстой.

Нэг хүснэгтийн интеграл руу буцаж орцгооё .

Энэ томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая. Бид баруун талын деривативыг авдаг:

анхны интеграл юм.

Дашрамд хэлэхэд, яагаад тогтмолыг функцэд байнга оноодог нь илүү тодорхой болсон. Ялгах үед тогтмол нь үргэлж тэг болж хувирдаг.

Тодорхойгүй интегралыг шийдолох гэсэн үг маш их бүгдэсрэг деривативууд ба зарим нэг функц биш. Үзэж буй хүснэгтийн жишээнд, , , гэх мэт - эдгээр бүх функцууд нь интегралын шийдэл юм. Хязгааргүй олон шийдэл байдаг тул тэдгээрийг товч бичнэ:

Тиймээс аливаа тодорхойгүй интегралыг шалгахад хялбар байдаг. Энэ нь янз бүрийн төрлийн олон тооны интегралуудын зарим нөхөн олговор юм.

Тодорхой жишээнүүд рүү шилжье. Деривативыг судлахтай адил интеграцийн хоёр дүрмээр эхэлцгээе.

- тогтмол Cинтеграл тэмдгээс гаргаж авч болно (мөн байх ёстой).

– хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нь хоёр интегралын нийлбэр (ялгаа)тай тэнцүү байна. Энэ дүрэм нь хэд хэдэн нэр томъёонд хүчинтэй байна.

Таны харж байгаагаар дүрэм нь үндсэндээ деривативтай адил байна. Заримдаа тэднийг дууддаг шугаман шинж чанаруудинтеграл.

Жишээ 1

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Шалгах.

Шийдэл:Үүнийг шиг хөрвүүлэх нь илүү тохиромжтой.

(1) Дүрмийг хэрэгжүүлэх . Дифференциал дүрсийг бичихээ бүү мартаарай dxинтеграл бүрийн доор. Яагаад тус бүрийн доор? dxбүрэн үржүүлэгч юм.Хэрэв та нарийвчлан зурсан бол эхний алхамыг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй.

.

(2) Дүрмийн дагуу бид бүх тогтмолуудыг интегралын тэмдгүүдээс гаргаж авдаг. Сүүлийн үед үүнийг анхаарна уу тг 5 нь тогтмол, бид үүнийг бас гаргадаг.

Үүнээс гадна, энэ үе шатанд бид нэгтгэх үндэс, зэрэглэлийг бэлтгэдэг. Ялгарахтай адилаар үндсийг хэлбэрт оруулах ёстой . Хуваарьт байрлах үндэс ба градусууд - дээш хөдөлнө.

Жич:Деривативаас ялгаатай нь интеграл дахь үндсийг үргэлж хэлбэрт оруулах шаардлагагүй , градусыг дээшлүүлнэ.

Жишээлбэл, - энэ бол таны өмнө тооцоолсон бэлэн хүснэгтэн интеграл бөгөөд Хятадын бүх төрлийн заль мэх юм. бүрэн шаардлагагүй. Үүнтэй адилаар: - энэ нь мөн хүснэгтийн интеграл бөгөөд хэлбэрээр бутархайг илэрхийлэх нь утгагүй юм . Хүснэгтийг анхааралтай судлаарай!

(3) Бүх интегралууд хүснэгт хэлбэртэй байна. Бид хүснэгтийг ашиглан дараах томъёог ашиглан хувиргалтыг хийдэг. , ба

эрчим хүчний функцийн хувьд - .

Хүснэгтийн интеграл нь чадлын функцийн томъёоны онцгой тохиолдол гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. .

Тогтмол C илэрхийллийн төгсгөлд нэг удаа нэмэхэд л хангалттай

(интеграл бүрийн ард тавихаас илүү).

(4) Бид олж авсан үр дүнг маягтын бүх зэрэгтэй байх үед илүү нягт хэлбэрээр бичдэг

дахин язгуураар илэрхийлэх ба сөрөг илтгэгчтэй хүчийг дахин хуваагч руу буцаана.

Шалгалт. Шалгалт хийхийн тулд та хүлээн авсан хариултыг ялгах хэрэгтэй.

Анхны интеграл, өөрөөр хэлбэл интеграл зөв олдсон. Тэдний бүжиглэсэн зүйлээс эхлээд тэд буцаж ирсэн. Интегралтай түүх яг ингэж дуусвал сайн.

Үе үе тодорхой бус интегралыг шалгахдаа үүсмэл биш харин дифференциалыг хариултаас авдаг бол арай өөр арга байдаг.

.

Үүний үр дүнд бид интеграл биш, харин интегралыг олж авдаг.

Дифференциал гэсэн ойлголтоос бүү ай.

Дифференциал нь деривативыг үржүүлсэн тоо юм dx.

Гэсэн хэдий ч бидний хувьд онолын нарийн ширийн зүйл биш, харин энэ дифференциалыг дараа нь юу хийх нь чухал юм. Дифференциал дараах байдлаар илэрдэг: icon г арилгах, хаалтны баруун талд зураас тавих, илэрхийллийн төгсгөлд үржүүлэгч оноох dx :

Оригинал авсан интеграл, өөрөөр хэлбэл интеграл зөв олдсон байна.

Таны харж байгаагаар дифференциал нь деривативыг олоход хүргэдэг. Би нэмэлт том хаалт зурж, дифференциал дүрсийг чирэх шаардлагатай болсон тул шалгах хоёр дахь арга нь надад бага таалагдаж байна. dx туршилтын төгсгөл хүртэл. Хэдийгээр энэ нь илүү зөв, эсвэл "илүү хатуу", эсвэл ямар нэгэн зүйл юм.

Үнэн хэрэгтээ, шалгах хоёр дахь аргын талаар чимээгүй байх боломжтой байсан. Гол нь арга барилдаа биш бид дифференциал нээж сурсандаа л байгаа юм. Дахин.

Дифференциал дараахь байдлаар илэрдэг.

1) дүрс гарилгах;

2) хаалт дээрх баруун талд цус харвах (деривативын тэмдэглэгээ);

3) илэрхийллийн төгсгөлд бид хүчин зүйл оноодог dx .

Жишээлбэл:

Үүнийг санаарай. Бидэнд тун удахгүй авч үзсэн техник хэрэг болно.

Жишээ 2

.

Бид тодорхойгүй интеграл олохдоо ҮРГЭЛЖ шалгахыг оролддогТүүгээр ч зогсохгүй үүнд асар их боломж бий. Дээд математикийн бүх төрлийн бодлого нь энэ үүднээс авч үзвэл бэлэг биш юм. Хяналтын даалгаварт баталгаажуулалт хийх шаардлагагүй байдаг нь хамаагүй, хэн ч үүнийг ноорог дээр хэрэгжүүлэхэд юу ч саад болохгүй. Зөвхөн хангалттай цаг байхгүй үед (жишээлбэл, шалгалт, шалгалтанд) үл хамаарах зүйлийг хийж болно. Би хувьдаа интегралуудыг байнга шалгадаг бөгөөд баталгаажуулаагүй нь хакердсан, муу гүйцэтгэсэн ажил гэж би үздэг.

Жишээ 3

Тодорхой бус интегралыг ол:

. Шалгах.

Шийдэл: Интегралд дүн шинжилгээ хийхдээ бид интеграл дор хоёр функцын үржвэр, тэр ч байтугай бүхэл илэрхийллийн экспоненциал байгааг харж байна. Харамсалтай нь салшгүй тулааны талбарт Үгүйсайн, тав тухтай бүтээгдэхүүн болон коэффициентийг нэгтгэх томъёозэрэг: эсвэл .

Тиймээс, үржвэр эсвэл коэффициентийг өгөхдөө интегралыг нийлбэр болгон хувиргах боломжтой эсэхийг үргэлж харах нь утга учиртай юу? Боломжтой тохиолдолд авч үзсэн жишээ юм.

Нэгдүгээрт, бид бүрэн шийдлийг өгдөг, тайлбарууд доор байх болно.

(1) Бид ямар ч бодит тоонуудын нийлбэрийн квадратын хуучин сайн томьёог ашиглаж, нийтлэг хаалт дээрх градусыг арилгадаг. хаалтны гадна талд, товчилсон үржүүлэх томъёог эсрэг чиглэлд хэрэглэх: .

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол

Шалгах.

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд хариулт, бүрэн шийдэл.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол

. Шалгах.

Энэ жишээнд интеграл нь бутархай юм. Интеграл дахь бутархайг харахад хамгийн түрүүнд "Энэ бутархайг арилгах эсвэл ядаж хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуулт байх ёстой.

Бид хуваагч нь "x"-ийн дан язгуурыг агуулж байгааг анзаарсан. Талбайн нэг нь дайчин биш бөгөөд энэ нь та тоологчийг нэр томъёогоор хуваах нэр томъёонд хувааж болно гэсэн үг юм:

Функцийн деривативын тухай нийтлэлд олон удаа хэлэлцсэн тул бид бутархайн эрх бүхий үйлдлийн талаар тайлбар хийхгүй.

Хэрэв та ийм жишээнд андуурсан хэвээр байгаа бол

мөн хэн ч зөв хариулт авахгүй,

Шийдэл нь нэг алхам, тухайлбал дүрмийг хэрэгжүүлэх алхам алгасдаг гэдгийг анхаарна уу , . Ихэвчлэн интегралыг шийдвэрлэх тодорхой туршлагатай бол эдгээр дүрмийг тодорхой баримт гэж үздэг бөгөөд үүнийг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгах.

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд хариулт, бүрэн шийдэл.

Ерөнхийдөө интеграл дахь бутархайн хувьд бүх зүйл тийм ч энгийн биш тул зарим төрлийн бутархай интеграцчлалын талаархи нэмэлт материалыг нийтлэлээс олж болно. Зарим бутархайн интеграл. Гэхдээ дээрх нийтлэл рүү шилжихээсээ өмнө та хичээлийг унших хэрэгтэй. Тодорхой бус интегралд орлуулах арга. Дифференциал эсвэл хувьсагчийн өөрчлөлтийн аргын дор функцийг нэгтгэх нь үнэн юм гол цэгЭнэ сэдвийг судлахдаа энэ нь зөвхөн "орлуулах аргын цэвэр даалгаварт" төдийгүй бусад олон төрлийн интегралуудаас олддог.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:

Жишээ 4: Шийдэл:

Энэ жишээнд бид багасгасан үржүүлэх томъёог ашигласан

Жишээ 6: Шийдэл:

Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга. Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэх явцад хэрэглэгддэг хамгийн чухал бөгөөд түгээмэл заль мэхийн нэг болох хувьсагчийн аргыг өөрчлөхтэй танилцах болно. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд анхны мэдлэг, нэгтгэх ур чадвар шаардлагатай. Хэрэв интеграл тооцоонд хоосон цайны сав байгаа мэт санагдаж байвал эхлээд материалтай танилцах хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ, интеграл гэж юу болохыг хүртээмжтэй хэлбэрээр тайлбарлаж, эхлэгчдэд зориулсан үндсэн жишээг нарийвчлан шинжилсэн болно.

Техникийн хувьд тодорхойгүй интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх аргыг хоёр аргаар хэрэгжүүлдэг.

– Дифференциалын тэмдгийн дор функцийг авчрах.

– Хувьсагчийн бодит өөрчлөлт.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил зүйл боловч шийдлийн загвар нь өөр харагдаж байна. Илүү энгийн тохиолдлоор эхэлцгээе.