Shema za proučavanje funkcija pomoću područja. Shema za konstruiranje grafa funkcije; proučavanje funkcije do ekstrema pomoću derivacija višeg reda;

Jedna od mogućih shema za proučavanje funkcije i konstruiranje grafa je dekomponirana na sljedeće faze rješavanja problema: 1. Domena definiranja funkcije (O.O.F.). 2. Prijelomne točke funkcija, njihova priroda. Vertikalne asimptote. 3. Parna, neparna, periodičnost funkcije. 4. Točke presjeka grafa s koordinatnim osima. 5. Ponašanje funkcije u beskonačnosti. Horizontalne i kose asimptote. 6. Intervali monotonosti funkcije, točke maksimuma i minimuma. 7. Smjerovi konveksnosti krivulje. Točke infleksije. 8. Grafikon funkcije. Primjer 1. Konstruirajte graf funkcije y = 1. (vereiora ili uvojak Marije Anyei). - cijela numerička os. 2. Nema prijelomnih točaka; nema vertikalnih asimptota. 3. Funkcija je parna: , pa joj je graf simetričan u odnosu na os Oy\ neperiodičan. Iz parnosti funkcije proizlazi da je dovoljno konstruirati njezin graf na polupravcu x ^ O, a zatim ga zrcaliti na osi Oy. 4. Pri x = 0 imamo Yx, tako da graf funkcije leži u gornjoj poluravnini y > 0. Shema za konstruiranje grafa funkcije Proučavanje funkcija do ekstrema pomoću derivacija višeg reda Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenti da graf ima horizontalnu asimptotu y = O, nema kosih asimptota. Dakle, funkcija raste kada i opada kada. Točka x = 0 je kritična. Kada x prolazi kroz točku x = 0, derivacija y"(x) mijenja predznak iz minus u plus. Prema tome, točka x = 0 je maksimalna točka, y(Q) = I. Ovaj rezultat je prilično očit: / (x) = T^ IV*. Ispitujemo točku x = 4- (u daljnjem tekstu imamo razmatranje simetrije): kada je krivulja konveksna prema gore rezimirajte rezultate istraživanja u tablici: Točka infleksije max. U tablici strelica “Y” označava njezino opadanje Slika 33. Primjer 2. Konstruirajte graf funkcije (Newtonov trozubac) - cijela numerička os, isključujući točku 2. Imamo da je pravac x = 0 vertikalna asimptota 3. Funkcija nije ni parna ni neparna. [funkcija općeg položaja], uz pretpostavku da graf funkcije siječe os Oh u točki (-1,0). Druga derivacija funkcije u točki, pa je x = minimalna točka. Druga derivacija prelazi u uul u točki i mijenja predznak pri prolasku kroz tu točku. Prema tome, točka je točka infleksije krivulje. Za) imamo e. konveksnost krivulje je usmjerena prema dolje; za -ja imamo. konveksnost krivulje je usmjerena prema gore. Rezultati istraživanja su sažeti u tablici: Ne postoji Ne postoji Točka infleksije Ne postoji. Vertikalna asimptota derivacije nestaje u x = e,/2. a kada x prolazi kroz ovu točku, y" mijenja predznak. Prema tome, apscisa je točke infleksije krivulje. Rezultate istraživanja sažimamo u tablici: Točka infleksije. Graf funkcije prikazan je na sl. 37. Primjer 4. Konstruirajte graf funkcije cijelu numeričku os, isključujući točku Točka diskontinuiteta 2. vrste funkcije, tada je direktna vertikalna asimptota grafa funkcije imati, iz kojeg graf funkcije siječe os Ox. Dakle, graf funkcije ima kosu asimptotu - druga derivacija funkcije y > 0 posvuda u domeni definicije, posebice u točki - točki minimuma funkcije. 7. Budući da je posvuda u domeni definiranosti funkcije konveksnost njenog grafa usmjerena prema dolje. Rezultati istraživanja sažeti su u tablici: Ne postoji Ne postoji Ne postoji. x = 0 - vertikalna asimptota Graf funkcije prikazan je na sl. Primjer 5. Konstruirajte graf funkcije cijele brojčane osi. 2. Neprekidno posvuda. Nema okomitih asimptota. 3. Opće odredbe, neperiodički. 4. Funkcija nestaje u točki 5. Dakle, graf funkcije ima nagnutu asimptotu. Derivacija nestaje u točki. Kada x prolazi točkom) derivacija ne mijenja predznak, pa u točki x = 0 nema ekstrema. Kada točka x prolazi kroz točku, derivacija) mijenja predznak iz “+” u Dakle, funkcija ima maksimum. Kada x prolazi točkom x = 3 (x > I), derivacija y"(x) mijenja predznak, tj. u točki x = 3 funkcija ima minimum. 7. Pronalaženje druge derivacije Shema za konstruiranje grafa funkcije Proučavanje funkcija do ekstrema pomoću derivacija višeg reda Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenti Druga derivacija y"(x) ne postoji u točki x = 0 i kada x prolazi kroz točku x = 0 y" mijenja predznak iz + u tako da je točka (0,0) krivulje točka Nema infleksije s okomitom tangentom. U točki x = 3 nema infleksije grafa. Posvuda u polu- ravnina x > 0, konveksnost krivulje je usmjerena prema gore: Ne postoji Ne postoji Ne postoji Točka infleksije (0.0) s vertikalnom tangentom Prikazan je graf funkcije. na slici 39. §7. Proučavanje funkcija na ekstremumu korištenjem derivacija višeg reda Za pronalaženje točaka maksimuma i minimuma funkcija može se koristiti Taylorova formula neka okolina točke xq , kontinuirana u točki x0. Onda ako je broj n neparan, tada funkcija f(x) u točki x0 nema ekstrema; kada je n paran, tada u točki x0 funkcija f(x) ima maksimum ako je /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, koji je u intervalu, razlika - /(x0) zadržava predznak. Koristeći Taylorovu formulu kao uvjet, tada iz (1) dobivamo 1uvjet f(n*(r) je kontinuiran u točki i Φ Stoga, zbog stabilnosti naziva kontinuirane funkcije, postoji takav da u interval () se ne mijenja i podudara se s predznakom od f(n)( xo) Razmotrimo moguće slučajeve: 1) n je paran broj i / Onda je I prema (2). Prema definiciji to znači da je točka r točka minimuma funkcije /(r). 2) n - parni i. Tada ćemo imati i zajedno s ovim i Stoga će točka i u ovom slučaju biti maksimalna točka funkcije /(r). 3) n je neparan broj, / - Tada će se za x > x0 predznak > podudarati s predznakom od /(n)(th), a za r th će biti suprotno. Stoga, ma koliko mala bila 0, predznak razlike f(r) - f(r) neće biti isti za sve x e (r - 6, r + £). Prema tome, u ovom slučaju funkcija f(r) u točki no nema ekstrem. Primjer. Promotrimo funkcije A. Lako je vidjeti da je točka x = 0 kritična točka obje funkcije. Za funkciju y = x4, prva od derivacija različitih od nule u točki x = 0 je derivacija 4. reda: Dakle, ovdje je n = 4 parno i. Dakle, u točki x = 0 funkcija y = x4 ima minimum. Za funkciju y = x), prva od derivacija koje su različite od nule u točki x = 0 je derivacija 3. reda. Dakle, u ovom slučaju n = 3 je neparan, au točki x = 0 funkcija y = x3 nema ekstrem. Komentar. Koristeći Taylorovu formulu, možemo dokazati sljedeći teorem, koji izražava dovoljne uvjete za točku infleksije. "Teorem 12. Neka funkcija /(r) u nekoj okolini točke r0 ima izvodnicu th reda, kontinuiranu u točki xq. Neka, ali /(n)(*o) Φ 0. Tada, ako je n neparan broj, tada je točka Mo(x0, f(xo)) točka prevoja grafa funkcije y = f(x).Najjednostavniji primjer je funkcija §8 koristeći metode tetiva i tangenti. Pretpostavimo da su ispunjeni sljedeći uvjeti: 1) funkcija f(x) je neprekidna na intervalu [a, 6]. ) brojevi f(a) i f(b) su suprotnih predznaka: 3) na intervalu [a, 6] postoje derivacije f"(x) i f"(x), koje zadržavaju konstantan predznak na ovom segmentu. Iz uvjeta 1) i 2) na temelju Bolzano-Cauchyjevog teorema (str. 220) slijedi da funkcija /(x) nestaje barem u jednoj točki £ € ( a, b), tj. jednadžba (1) ima barem jedan realni korijen £ u intervalu (a, 6) budući da, na temelju uvjeta 3), derivacija /"(x) na [a, b\ ostaje konstantna. znak, tada je f(x) monoton na [ a, b] i stoga u intervalu (a, b) jednadžba (1) ima samo jedan realni korijen. Razmotrimo metodu za izračunavanje približne vrijednosti ovog jednog realnog korijena £ € (a, 6) jednadžbe ( I s bilo kojim stupnjem točnosti. Moguća su četiri slučaja (slika 40): 1) Sl. 40 Radi određenosti, uzmimo slučaj kada je f\x) > 0, f"(x) > 0 na segmentu [a, 6) (sl. 41). Spojimo točke A(a, /(a) )) i B(b, f(b)) tetiva A B. Ovo je isječak ravne linije koja prolazi kroz točke A i B, čija je jednadžba točka aj, u kojoj tetiva AB siječe os Ox, je nalazi se između ai (i bolja je aproksimacija a. Pretpostavljajući u (2) y = 0, nalazimo. Sa slike 41 lako je primijetiti da će se točka a\ uvijek nalaziti na strani s koje dolaze znakovi f( x) i f"(x) su suprotni. Povucimo sada tangentu na krivulju y = f(x) u točki B(b, f(b)), tj. na onom kraju luka ^AB na kojem je f (x) i /"(i) imaju isti predznak. Ovo je bitan uvjet: bez njega, točka presjeka tangente s osi Ox možda uopće neće pružiti aproksimaciju željenom korijenu. Točka b\, na kojoj tangenta siječe os Ox, nalazi se između £ i b na istoj strani kao i 6, i najbolja je aproksimacija kojoj je b. Pretpostavljajući da je y = 0 u (3), nalazimo b\: Shema za konstruiranje grafa funkcije Proučavanje funkcija do ekstrema pomoću derivacija višeg reda Izračunavanje korijena jednadžbi korištenjem metoda tetiva i tangenti Dakle, imamo Neka je apsolutna pogreška aproksimacije C korijena £ dati unaprijed. Za apsolutnu pogrešku približnih vrijednosti aj i 6, korijen £, možemo uzeti vrijednost |6i - ai|. Ako je ova pogreška veća od dopuštene, tada ćemo, uzimajući segment kao izvorni, pronaći sljedeće aproksimacije korijena gdje. Nastavljajući ovaj proces, dobivamo dva niza približnih vrijednosti Nizovi (an) i (bn) su monotoni i ograničeni te stoga imaju granice. Neka Može se pokazati da ako su ispunjeni gornji uvjeti, 1 na jedini korijen jednadžbe / Primjer. Pronađite korijen (jednadžba r2 - 1 = 0 na segmentu . Dakle, ispunjeni su svi uvjeti da se osigura postojanje jednog korijena (jednadžba x2 - 1 = 0 na segmentu . . i metoda bi trebala funkcionirati. 8 u našem slučaju a = 0, b = 2. Kada je n = I iz (4) i (5) nalazimo Kad je n = 2 dobivamo što daje aproksimaciju točne vrijednosti korijena (s apsolutnom greškom) Vježbe Konstruirajte grafove funkcija: Pronađite najveće i najmanje vrijednosti funkcija na zadanim segmentima: Istražite ponašanje funkcija u blizini zadanih točaka koristeći derivacije višeg reda: Odgovori

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj uobičajeni primjeri studije ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y=f(x) neprekidna na intervalu , a njezina je derivacija pozitivna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) raste za (f"(x)0) . Ako je funkcija y=f (x) neprekidna na intervalu, a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"(x)0 )

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Monotonost funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili ima diskontinuitet nazivamo kritičnim.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 tako da je funkcija kontinuirana na intervalu i diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije točka ekstrema. . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plus u minus (lijevo od x 0 f"(x)>0 je zadovoljeno, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak iz minus do plus (desno od x 0 izvršeno f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimum i minimum funkcije nazivaju se njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan znak lokalnog ekstrema).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f’(x 0)=0 ili f’(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake točke i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka; za to zamijenite vrijednosti kritičnih točaka u ovu funkciju. Koristeći dovoljne uvjete za ekstrem, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Ispitajte funkciju y=x 3 -9x 2 +24x za ekstrem

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem derivacije s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je definiran posvuda; To znači da osim dvije pronađene točke nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y"=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2, derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je f"(x 0) iu točki x 0 postoji f""(x 0). Tada ako je f""(x 0)>0, onda je x 0 točka minimuma, a ako je f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y=f(x) može postići najmanju (y najmanje) ili najveću (y najveću) vrijednost bilo u kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a;b), ili na krajeve segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f"(x).
2) Pronađite točke u kojima f"(x)=0 ili f"(x) ne postoji i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y=f(x) u točkama dobivenim u koraku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveću i najmanju od njih: one su, redom, najveće (y najveća) i najmanja (y najmanja) vrijednost funkcije na intervalu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu.

1) Imamo y"=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x 2 =5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Isječak sadrži samo točku x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, y max = 225, y min = 50.

Proučavanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je konveksan prema gore, drugi je konveksan prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom prema gore (prema dolje) na tom intervalu ako, za axb, njezin graf ne leži više (ne niže) od tangenta povučena u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na intervalu ; ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 kada je x 1 =0, x 2 =1. Prolaskom kroz točku x=0 izvodnica mijenja predznak iz minus u plus, ali prolaskom kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 je također točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, onda je y=; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞, tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema za proučavanje funkcije i konstruiranje njezina grafikona

I. Nađite domenu definicije funkcije.
II. Pronađite sjecišne točke grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite moguće točke ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćne slike istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja rastuće i opadajuće funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Konstruirajte grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Konstruirajte graf funkcije prema gornjem dijagramu

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva osim x=1.
II. Budući da jednadžba x 2 +1=0 nema realnih korijena, graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, ali siječe os Oy u točki (0;-1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ kao x → -∞, y → +∞ kao x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije moguće točke ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Ispitajmo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite domenu postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +,-,+.
Nalazimo da funkcija raste na (-∞;1-√2), opada na (1-√2;1+√2) i ponovno raste na (1+√2;+∞). Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, a f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, te f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) je konveksan prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka konstruiramo skicu grafa funkcije

Proces istraživanja funkcije sastoji se od nekoliko faza. Za najpotpunije razumijevanje ponašanja funkcije i prirode njezina grafa potrebno je pronaći:

Područje postojanja funkcije.

Ovaj koncept uključuje i domenu vrijednosti i domenu definicije funkcije.

Prijelomne točke. (Ako je dostupno).

Intervali povećanja i opadanja.

Maksimalni i minimalni broj bodova.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u njezinoj domeni definiranja.

Područja konveksnosti i konkavnosti.

Točke infleksije (ako postoje).

Asimptote (ako postoje).

Izgradnja grafa.

Pogledajmo primjenu ove sheme na primjeru.

Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

Nalazimo domenu postojanja funkcije. Očito je da domena definicije funkcija je površina (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

S druge strane, jasno je da su ravne linije x = 1, x = -1 vertikalne asimptote iskrivljena.

Raspon vrijednosti ove funkcije je interval (-; ).

Prijelomne točke funkcije su točke x = 1, x = -1.

Pronašli smo kritične točke.

Nađimo izvod funkcije

Kritične točke: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Nađimo drugu derivaciju funkcije

Odredimo konveksnost i konkavnost krivulje u intervalima.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, konkavna krivulja

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, konkavna krivulja

< x < , y >0, konkavna krivulja

Pronalaženje praznina povećavajući se I silazni funkcije. Da bismo to učinili, odredimo predznake izvoda funkcije na intervalima.

- < x < -,y >0, funkcija raste

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funkcija raste

Vidi se da je točka x = - točka maksimum, a točka x = je točka minimum. Vrijednosti funkcije u tim točkama jednake su 3/2 odnosno -3/2.

O vertikali asimptote već je gore rečeno. Hajdemo sada pronaći kose asimptote.

Ukupno, jednadžba kose asimptote je y = x.

Hajdemo graditi raspored Značajke:

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera proučavanja različitih vrsta funkcija pomoću metoda diferencijalnog računa.

Primjer: Metode diferencijalnog računa

1. Područje definiranja ove funkcije su svi realni brojevi (-; ).

3. Sjecišta s koordinatnim osima: s osi Oy: x = 0; y = 1;

s osi Ox: y = 0; x = 1;

4. Prijelomne točke i asimptote: nema okomitih asimptota.

Nagnute asimptote: opća jednadžba y = kx + b;

Ukupno: y = -x – kosa asimptota.

5. Rastuća i padajuća funkcija, točke ekstrema.

Vidi se da je y 0 za bilo koji x  0, dakle, funkcija opada u cijeloj domeni definicije i nema ekstrema. U točki x = 0, prva derivacija funkcije jednaka je nuli, ali u ovoj točki smanjenje se ne mijenja u povećanje, stoga u točki x = 0 funkcija najvjerojatnije ima infleksiju. Da bismo pronašli točke infleksije, nalazimo drugu derivaciju funkcije.

y = 0 za x =0 i y =  za x = 1.

Točke (0,1) i (1,0) su točke infleksije, jer y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Izgradimo graf funkcije.

Primjer: Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

1. Domena definicije funkcije su sve vrijednosti x osim x = 0.

2. Funkcija je funkcija općeg oblika u smislu parnog i neparnog.

3. Sječne točke s koordinatnim osima: s osi Ox: y = 0; x =

s Oy osi: x = 0; y – ne postoji.

4. Točka x = 0 je točka diskontinuiteta, dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota.

Trazimo kose asimptote u obliku: y = kx + b.

Kosa asimptota y = x.

5. Pronađite točke ekstrema funkcije.

; y = 0 za x = 2, y =  za x = 0.

y > 0 za x  (-, 0) – funkcija raste,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 za x  (2, ) – funkcija raste.

Dakle, točka (2, 3) je minimalna točka.

Da bismo odredili prirodu konveksnosti/konkavnosti funkcije, nalazimo drugu derivaciju.

> 0 za bilo koji x  0, dakle, funkcija je konkavna kroz cijelu domenu definicije.

6. Izgradimo graf funkcije.

Primjer: Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

Područje definiranja ove funkcije je interval x  (-, ).

U parnom i neparnom smislu funkcija je funkcija općeg oblika.

Sjecišta s koordinatnim osima: s osi Oy: x = 0, y = 0;

s osi Ox: y = 0, x = 0, x = 1.

Asimptote krivulje.

Nema okomitih asimptota.

Pokušajmo pronaći kose asimptote u obliku y = kx + b.

- nema kosih asimptota.

Pronalaženje ekstremnih točaka.

Da biste pronašli kritične točke, trebate riješiti jednadžbu 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0.

Da bismo to učinili, faktorizirajmo ovaj polinom trećeg stupnja.

Odabirom možemo utvrditi da je jedan od korijena ove jednadžbe broj

x = 1. Tada je:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

Tada možemo napisati (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. Konačno, dobivamo dvije kritične točke: x = 1 i x = ¼.

Bilješka. Operaciju dijeljenja polinoma mogli bismo izbjeći ako bismo pri pronalaženju derivacije koristili formulu za derivaciju umnoška:

Nađimo drugu derivaciju funkcije: 12x 2 – 18x + 6. Izjednačavanjem s nulom nalazimo:

Sistematizirajmo primljene informacije u tablici:

Izgradimo graf funkcije.

Nažalost, ne poznaju i ne vole svi studenti i školarci algebru, ali svi moraju pripremati zadaće, rješavati testove i polagati ispite. Mnogima je posebno teško konstruirati grafove funkcija: ako postoji nešto što ne razumijete, ne naučite do kraja ili propustite, pogreške su neizbježne. Ali tko želi dobivati ​​loše ocjene?

Želite li se pridružiti kohorti tragača za repovima i gubitnika? Da biste to učinili, imate 2 načina: sjesti uz udžbenike i popuniti rupe u znanju ili koristiti virtualnog asistenta - servis za automatsko iscrtavanje grafova funkcija prema zadanim uvjetima. Sa ili bez rješenja. Danas ćemo vas upoznati s nekoliko njih.

Najbolja stvar kod Desmos.com je njegovo vrlo prilagodljivo sučelje, interaktivnost, mogućnost organiziranja rezultata u tablice i besplatno pohranjivanje vašeg rada u bazu podataka resursa bez vremenskih ograničenja. Nedostatak je što usluga nije u potpunosti prevedena na ruski.

Grafikus.ru

Grafikus.ru je još jedan grafički kalkulator na ruskom jeziku vrijedan pažnje. Štoviše, gradi ih ne samo u dvodimenzionalnom, već iu trodimenzionalnom prostoru.

Evo nepotpunog popisa zadataka s kojima se ova usluga uspješno nosi:

• Crtanje 2D grafova jednostavnih funkcija: ravnih linija, parabola, hiperbola, trigonometrijskih, logaritamskih itd.
• Crtanje 2D grafova parametarskih funkcija: krugova, spirala, Lissajousovih likova i dr.
• Crtanje 2D grafikona u polarnim koordinatama.
• Konstrukcija 3D ploha jednostavnih funkcija.
• Konstrukcija 3D ploha parametarskih funkcija.

Gotov rezultat otvara se u zasebnom prozoru. Korisnik ima mogućnosti preuzimanja, ispisa i kopiranja poveznice na njega. Za potonje ćete se morati prijaviti na uslugu putem gumba društvenih mreža.

Koordinatna ravnina Grafikus.ru podržava promjenu granica osi, njihovih oznaka, razmaka mreže, kao i širine i visine same ravnine i veličine fonta.

Najveća snaga Grafikus.ru je mogućnost stvaranja 3D grafike. Inače, ne radi ništa gore i ništa bolje od analognih izvora.

Onlinecharts.ru

Mrežni pomoćnik Onlinecharts.ru ne gradi grafikone, već dijagrame gotovo svih postojećih vrsta. Uključujući:

• Linearno.
• Stupast.
• Kružni.
• S područjima.
• Radijalno.
• XY-grafovi.
• Mjehurić.
• Mjesto.
• Polarni mjehurići.
• Piramide.
• Brzinomjeri.
• Stupasto-linearno.

Korištenje resursa vrlo je jednostavno. Izgled dijagrama (boja pozadine, mreža, linije, pokazivači, oblici kutova, fontovi, prozirnost, specijalni efekti itd.) u potpunosti određuje korisnik. Podaci za konstrukciju mogu se unijeti ili ručno ili uvesti iz tablice u CSV datoteku pohranjenu na računalu. Gotovi rezultat dostupan je za preuzimanje na računalo u obliku slike, PDF, CSV ili SVG datoteke, kao i za spremanje online na stranici za hosting fotografija ImageShack.Us ili na vašem osobnom računu Onlinecharts.ru. Prvu opciju mogu koristiti svi, drugu - samo registrirani.

Referentne točke pri proučavanju funkcija i konstruiranju njihovih grafikona su karakteristične točke - točke diskontinuiteta, ekstrema, infleksije, sjecišta s koordinatnim osima. Koristeći diferencijalni račun, moguće je utvrditi karakteristične značajke promjena funkcija: povećanje i smanjenje, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Nakon pronalaženja asimptota i točaka ekstrema može se (i treba) nacrtati skica grafa funkcije, a zgodno je popunjavati zbirnu tablicu proučavanja funkcije kako proučavanje napreduje.

Obično se koristi sljedeća shema proučavanja funkcija.

1.Odredite domenu definicije, intervale neprekidnosti i lomne točke funkcije.

2.Ispitajte funkciju na parnost ili neparnost (aksijalna ili središnja simetrija grafa.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, vodoravne ili kose).

4.Pronaći i proučiti intervale rasta i opadanja funkcije, njezine točke ekstrema.

5.Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje, njezine točke infleksije.

6.Nađite sjecišta krivulje s koordinatnim osima, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tablicu studije.

8.Konstruira se grafikon, uzimajući u obzir proučavanje funkcije provedeno prema gore opisanim točkama.

Primjer. Funkcija istraživanja

i izgraditi njegov graf.

7. Sastavimo zbirnu tablicu za proučavanje funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične točke i intervale između njih. Uzimajući u obzir paritet funkcije, dobivamo sljedeću tablicu: