معادله و ریشه های آن: تعاریف، مثال ها. کدام معادله ریشه ندارد؟ مثال هایی از معادلات نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

حل معادلات در ریاضیات جایگاه ویژه ای دارد. این فرآیند با ساعت‌های زیادی مطالعه تئوری انجام می‌شود که در طی آن دانش‌آموز نحوه حل معادلات، تعیین نوع آنها را می‌آموزد و مهارت را برای تکمیل اتوماسیون به ارمغان می‌آورد. با این حال، جستجو برای ریشه ها همیشه منطقی نیست، زیرا ممکن است به سادگی وجود نداشته باشند. تکنیک های خاصی برای ریشه یابی وجود دارد. در این مقاله به تحلیل توابع اصلی، دامنه تعریف آنها و همچنین مواردی که ریشه آنها وجود ندارد، می پردازیم.

کدام معادله ریشه ندارد؟

یک معادله ریشه ندارد اگر هیچ آرگومان واقعی x وجود نداشته باشد که معادله یکسان برای آن صادق باشد. برای افراد غیرمتخصص، این فرمول مانند اکثر قضایا و فرمول های ریاضی، بسیار مبهم و انتزاعی به نظر می رسد، اما این در تئوری است. در عمل، همه چیز بسیار ساده می شود. به عنوان مثال: معادله 0 * x = -53 هیچ راه حلی ندارد، زیرا هیچ عدد x وجود ندارد که حاصلضرب آن چیزی غیر از صفر باشد.

اکنون به ابتدایی ترین انواع معادلات نگاه می کنیم.

1. معادله خطی

معادله ای خطی نامیده می شود که سمت راست و چپ آن به صورت توابع خطی نمایش داده شود: ax + b = cx + d یا به صورت تعمیم یافته kx + b = 0. که در آن a، b، c، d اعداد شناخته شده هستند و x یک است. مقدار نامعلوم کدام معادله ریشه ندارد؟ نمونه هایی از معادلات خطی در تصویر زیر ارائه شده است.

اساساً معادلات خطی به سادگی با انتقال قسمت عددی به یک قسمت و محتویات x به قسمت دیگر حل می شوند. نتیجه معادله ای به شکل mx = n است که m و n اعداد هستند و x یک مجهول است. برای پیدا کردن x کافی است هر دو طرف را بر m تقسیم کنید. سپس x = n/m. بیشتر معادلات خطی فقط یک ریشه دارند، اما مواردی وجود دارد که یا بی نهایت ریشه دارد یا اصلاً ریشه وجود ندارد. هنگامی که m = 0 و n = 0، معادله به شکل 0 * x = 0 است. جواب چنین معادله ای مطلقاً هر عددی خواهد بود.

با این حال، چه معادله ای ریشه ندارد؟

برای m = 0 و n = 0، معادله هیچ ریشه ای در مجموعه اعداد واقعی ندارد. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - این معادلات ریشه ندارند.

2. معادله درجه دوم

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 برای a = 0 است. رایج ترین راه حل از طریق تفکیک است. فرمول برای یافتن ممیز یک معادله درجه دوم: D = b 2 - 4 * a * c. بعد دو ریشه x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a وجود دارد.

برای D > 0 معادله دو ریشه دارد، برای D = 0 یک ریشه دارد. اما کدام معادله درجه دوم ریشه ندارد؟ ساده ترین راه برای مشاهده تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم، نمودار کردن تابع است که یک سهمی است. برای a > 0 شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، برای a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

شما همچنین می توانید به صورت بصری تعداد ریشه ها را بدون محاسبه تمایز تعیین کنید. برای انجام این کار، باید راس سهمی را پیدا کنید و مشخص کنید که شاخه ها به کدام سمت هدایت می شوند. مختصات x راس را می توان با استفاده از فرمول تعیین کرد: x 0 = -b / 2a. در این مورد، مختصات y راس به سادگی با جایگزین کردن مقدار x 0 در معادله اصلی پیدا می‌شود.

معادله درجه دوم x 2 - 8x + 72 = 0 هیچ ریشه ای ندارد، زیرا دارای ممیز منفی D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 است. این بدان معنی است که سهمی محور x را لمس نمی کند و تابع هرگز مقدار 0 را نمی گیرد، بنابراین، معادله ریشه واقعی ندارد.

3. معادلات مثلثاتی

توابع مثلثاتی روی یک دایره مثلثاتی در نظر گرفته می شوند، اما می توانند در یک سیستم مختصات دکارتی نیز نمایش داده شوند. در این مقاله به دو تابع اصلی مثلثاتی و معادلات آنها خواهیم پرداخت: sinx و cosx. از آنجایی که این توابع یک دایره مثلثاتی با شعاع 1، |sinx| را تشکیل می دهند و |cosx| نمی تواند بزرگتر از 1 باشد. بنابراین، کدام معادله sinx ریشه ندارد؟ نمودار تابع sinx که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید.

می بینیم که تابع متقارن است و دارای دوره تکرار 2pi است. بر این اساس می توان گفت که حداکثر مقدار این تابع می تواند 1 و حداقل مقدار -1 باشد. به عنوان مثال، عبارت cosx = 5 ریشه نخواهد داشت، زیرا قدر مطلق آن بزرگتر از یک است.

این ساده ترین مثال از معادلات مثلثاتی است. در واقع، حل آنها ممکن است صفحات زیادی طول بکشد، در پایان آنها متوجه می شوید که از فرمول اشتباهی استفاده کرده اید و باید همه چیز را از نو شروع کنید. گاهی اوقات، حتی اگر ریشه ها را به درستی پیدا کنید، ممکن است فراموش کنید که محدودیت های OD را در نظر بگیرید، به همین دلیل است که یک ریشه یا فاصله اضافی در پاسخ ظاهر می شود و کل پاسخ به خطا تبدیل می شود. بنابراین، تمام محدودیت ها را به شدت دنبال کنید، زیرا همه ریشه ها در محدوده کار قرار نمی گیرند.

4. سیستم های معادلات

سیستم معادلات مجموعه ای از معادلات است که با براکت های مجعد یا مربع به هم وصل شده اند. براکت های فرفری نشان می دهد که همه معادلات با هم اجرا می شوند. یعنی اگر حداقل یکی از معادله ها ریشه نداشته باشد یا با دیگری مغایرت داشته باشد، کل سیستم هیچ راه حلی ندارد. پرانتز مربع کلمه "یا" را نشان می دهد. این بدان معناست که اگر حداقل یکی از معادلات سیستم دارای جواب باشد، کل سیستم دارای جواب است.

پاسخ سیستم c مجموعه تمام ریشه های معادلات فردی است. و سیستم های دارای بریس های فرفری فقط ریشه های مشترک دارند. سیستم های معادلات می توانند شامل توابع کاملاً متفاوتی باشند، بنابراین چنین پیچیدگی به ما اجازه نمی دهد بلافاصله بگوییم کدام معادله ریشه ندارد.

در کتاب‌های مسئله‌ای و کتاب‌های درسی انواع مختلفی از معادلات وجود دارد: معادلاتی که ریشه دارند و آن‌هایی که ریشه ندارند. اول از همه، اگر نمی توانید ریشه ها را پیدا کنید، فکر نکنید که آنها اصلا وجود ندارند. شاید جایی اشتباه کرده اید، پس فقط باید تصمیم خود را به دقت بررسی کنید.

ما به اساسی ترین معادلات و انواع آنها نگاه کردیم. حالا می توانید بگویید کدام معادله ریشه ندارد. در بیشتر موارد انجام این کار دشوار نیست. رسیدن به موفقیت در حل معادلات فقط نیازمند توجه و تمرکز است. بیشتر تمرین کنید، به شما کمک می کند مطالب را بسیار بهتر و سریع تر مرور کنید.

بنابراین، معادله ریشه ندارد اگر:

• در معادله خطی mx = n مقدار m = 0 و n = 0 است.
• در یک معادله درجه دوم، اگر ممیز کمتر از صفر باشد.
• در یک معادله مثلثاتی به شکل cosx = m / sinx = n، اگر |m| > 0، |n| > 0;
• در یک سیستم معادلات با براکت های فرفری، اگر حداقل یک معادله فاقد ریشه باشد، و با براکت مربع، اگر همه معادلات بدون ریشه باشند.

با دریافت یک ایده کلی از برابری ها و آشنایی با یکی از انواع آنها - برابری های عددی، می توانید در مورد نوع دیگری از برابری ها صحبت کنید که از نظر عملی بسیار مهم است - معادلات. در این مقاله به بررسی خواهیم پرداخت معادله چیست، و آنچه که ریشه معادله نامیده می شود. در اینجا تعاریف مربوطه را ارائه می دهیم و همچنین مثال های مختلفی از معادلات و ریشه های آنها را ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

معادله چیست؟

مقدمه هدفمند معادلات معمولاً در درس ریاضیات در کلاس دوم شروع می شود. در این زمان موارد زیر ارائه می شود تعریف معادله:

تعریف.

معادلهتساوی حاوی یک عدد مجهول است که باید پیدا شود.

اعداد ناشناخته در معادلات معمولاً با حروف کوچک لاتین مانند p، t، u و غیره نشان داده می شوند، اما حروف x، y و z بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

بنابراین، معادله از نقطه نظر شکل نوشتار تعیین می شود. به عبارت دیگر، برابری زمانی معادله است که از قوانین نوشتن مشخص شده پیروی کند - حاوی حرفی است که باید مقدار آن را پیدا کرد.

بیایید اولین و ساده ترین معادلات را مثال بزنیم. بیایید با معادلات به شکل x=8، y=3 و غیره شروع کنیم. معادلاتی که حاوی علائم حسابی همراه با اعداد و حروف هستند کمی پیچیده تر به نظر می رسند، برای مثال x+2=3، z−2=5، 3 t=9، 8:x=2.

تنوع معادلات پس از آشنا شدن با آنها افزایش می یابد - معادلات با براکت ها ظاهر می شوند، برای مثال، 2·(x−1)=18 و x+3·(x+2·(x−2))=3. یک حرف مجهول در یک معادله می تواند چندین بار ظاهر شود، به عنوان مثال x+3+3·x−2−x=9، همچنین حروف می توانند در سمت چپ معادله، در سمت راست آن یا در هر دو طرف معادله باشند. معادله، برای مثال، x· (3+1)-4=8، 7-3=z+1 یا 3·x-4=2·(x+12) .

علاوه بر این، پس از مطالعه اعداد طبیعی، فرد با اعداد صحیح، گویا، واقعی آشنا می شود، اشیاء ریاضی جدید مورد مطالعه قرار می گیرند: توان ها، ریشه ها، لگاریتم ها و غیره، در حالی که بیشتر و بیشتر انواع جدیدی از معادلات حاوی این چیزها ظاهر می شوند. نمونه هایی از آنها را می توانید در مقاله مشاهده کنید انواع اصلی معادلاتدرس خواندن در مدرسه

در کلاس هفتم، همراه با حروف، که به معنای برخی اعداد خاص هستند، شروع به بررسی حروفی می کنند که می توانند مقادیر متفاوتی داشته باشند؛ آنها متغیر نامیده می شوند (به مقاله مراجعه کنید). در همان زمان، کلمه متغیر وارد تعریف معادله می شود و به این صورت می شود:

تعریف.

معادلهتساوی حاوی متغیری که مقدار آن باید پیدا شود نامیده می شود.

برای مثال، معادله x+3=6·x+7 معادله ای با متغیر x و 3·z−1+z=0 معادله ای با متغیر z است.

در طول درس جبر در همان کلاس هفتم، با معادلاتی مواجه می شویم که نه یک، بلکه دو متغیر مجهول مختلف را شامل می شود. آنها معادلات در دو متغیر نامیده می شوند. در آینده وجود سه یا چند متغیر در معادلات مجاز است.

تعریف.

معادلات یک، دو، سه و غیره متغیرها– اینها معادلاتی هستند که در نوشته خود به ترتیب شامل یک، دو، سه، ... متغیرهای مجهول هستند.

به عنوان مثال، معادله 3.2 x+0.5=1 معادله ای با یک متغیر x است، به نوبه خود، معادله ای به شکل x−y=3 معادله ای با دو متغیر x و y است. و یک مثال دیگر: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. واضح است که چنین معادله ای معادله ای با سه متغیر مجهول x، y و z است.

ریشه یک معادله چیست؟

تعریف معادله با تعریف ریشه این معادله ارتباط مستقیم دارد. بیایید استدلالی را انجام دهیم که به ما کمک کند تا بفهمیم ریشه معادله چیست.

فرض کنید معادله ای با یک حرف (متغیر) داریم. اگر به جای حرفی که در ورودی این معادله گنجانده شده، عدد معینی جایگزین شود، معادله به یک برابری عددی تبدیل می‌شود. علاوه بر این، برابری حاصل می تواند درست یا نادرست باشد. به عنوان مثال، اگر در معادله a+1=5 عدد 2 را به جای حرف a جایگزین کنید، برابری عددی نادرست 2+1=5 را دریافت خواهید کرد. اگر در این معادله به جای a عدد 4 را جایگزین کنیم، برابری صحیح 4+1=5 به دست می آید.

در عمل، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، علاقه به مقادیری از متغیر است که جایگزینی آنها در معادله برابری صحیح را به دست می‌دهد؛ این مقادیر ریشه یا راه‌حل این معادله نامیده می‌شوند.

تعریف.

ریشه معادله- این مقدار حرف (متغیر) است که با جایگزینی آن معادله به یک برابری عددی صحیح تبدیل می شود.

توجه داشته باشید که ریشه یک معادله در یک متغیر را حل معادله نیز می گویند. به عبارت دیگر، حل یک معادله و ریشه معادله یک چیز هستند.

اجازه دهید این تعریف را با یک مثال توضیح دهیم. برای این کار به معادله نوشته شده در بالای a+1=5 برگردیم. با توجه به تعریف بیان شده از ریشه یک معادله، عدد 4 ریشه این معادله است، زیرا با جایگزین کردن این عدد به جای حرف a برابری صحیح 4+1=5 به دست می آید و عدد 2 آن نیست. ریشه، زیرا مربوط به یک برابری نادرست از شکل 2+1= 5 است.

در این مرحله، تعدادی سؤال طبیعی مطرح می شود: "آیا هر معادله ای ریشه دارد و یک معادله معین چند ریشه دارد؟" ما به آنها پاسخ خواهیم داد.

هم معادلاتی هستند که ریشه دارند و هم معادلاتی که ریشه ندارند. به عنوان مثال، معادله x+1=5 دارای ریشه 4 است، اما معادله 0 x=5 ریشه ندارد، زیرا مهم نیست که چه عددی را به جای متغیر x در این معادله جایگزین کنیم، برابری نادرست 0=5 خواهیم داشت. .

در مورد تعداد ریشه های یک معادله، هم معادله هایی هستند که تعداد ریشه های محدود معینی دارند (یک، دو، سه و ...) و هم معادلاتی که تعداد ریشه های آنها نامحدود است. به عنوان مثال، معادله x-2=4 دارای یک ریشه 6 است، ریشه های معادله x 2 =9 دو عدد -3 و 3 هستند، معادله x·(x-1)·(x-2) = 0 است. دارای سه ریشه 0، 1 و 2 است و جواب معادله x=x هر عددی است، یعنی بی نهایت ریشه دارد.

در مورد نماد پذیرفته شده برای ریشه های معادله باید چند کلمه گفت. اگر معادله ای ریشه نداشته باشد، معمولاً می نویسند «معادله ریشه ندارد» یا از علامت مجموعه خالی ∅ استفاده می کنند. اگر معادله دارای ریشه باشد، آنها را با کاما از هم جدا می کنند یا به صورت می نویسند عناصر مجموعهدر براکت های مجعد برای مثال، اگر ریشه های معادله اعداد -1، 2 و 4 هستند، آنگاه 1-، 2، 4 یا (-1، 2، 4) بنویسید. همچنین نوشتن ریشه های معادله به صورت تساوی های ساده جایز است. به عنوان مثال، اگر معادله شامل حرف x باشد و ریشه های این معادله اعداد 3 و 5 باشد، می توانید x=3، x=5 بنویسید و زیرنویس های x 1 =3، x 2 =5 اغلب اضافه می شوند. به متغیر، گویی که ریشه های اعداد معادله را نشان می دهد. یک مجموعه نامتناهی از ریشه های یک معادله معمولاً به شکل نوشته می شود؛ در صورت امکان از نماد مجموعه های اعداد طبیعی N، اعداد صحیح Z و اعداد واقعی R نیز استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر ریشه یک معادله با متغیر x هر عدد صحیحی باشد، بنویسید، و اگر ریشه یک معادله با متغیر y، هر عدد واقعی از 1 تا 9 باشد، بنویسید.

برای معادلات دارای دو، سه یا چند متغیر، قاعدتاً از عبارت «ریشه معادله» استفاده نمی‌شود، در این موارد می‌گویند «حل معادله». حل معادلات با چند متغیر به چه چیزی گفته می شود؟ اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

حل معادله با دو، سه و غیره متغیرهایک جفت، سه و غیره نامیده می شود. مقادیر متغیرها، این معادله را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند.

اجازه دهید مثال های توضیحی را نشان دهیم. معادله ای با دو متغیر x+y=7 در نظر بگیرید. عدد 1 را به جای x و عدد 2 را به جای y جایگزین می کنیم و برابری 1+2=7 را داریم. بدیهی است که نادرست است، بنابراین، جفت مقادیر x=1، y=2 راه حلی برای معادله نوشته شده نیست. اگر یک جفت مقادیر x=4، y=3 را بگیریم، پس از جایگزینی در معادله به برابری صحیح 4+3=7 می رسیم، بنابراین، این جفت مقادیر متغیر، طبق تعریف، یک راه حل است. به معادله x+y=7.

معادلات با چندین متغیر، مانند معادلات با یک متغیر، ممکن است ریشه نداشته باشند، ممکن است تعداد ریشه های محدودی داشته باشند یا تعداد ریشه های نامتناهی داشته باشند.

جفت، سه قلو، چهار قلو و غیره مقادیر متغیرها اغلب به طور خلاصه نوشته می شوند و مقادیر آنها را با کاما در پرانتز از هم جدا می کنند. در این حالت اعداد نوشته شده در داخل پرانتز به ترتیب حروف الفبا با متغیرها مطابقت دارند. اجازه دهید این نکته را با بازگشت به معادله قبلی x+y=7 روشن کنیم. جواب این معادله x=4، y=3 را می توان به طور خلاصه به صورت (4، 3) نوشت.

بیشترین توجه در درس ریاضیات، جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، به ریشه‌یابی معادلات با یک متغیر است. قوانین این فرآیند را با جزئیات در مقاله مورد بحث قرار خواهیم داد. حل معادلات.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات. 2 کلاس کتاب درسی برای آموزش عمومی موسسات با adj. در هر الکترون حامل. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1 / [M. I. Moro، M. A. Bantova، G. V. Beltyukova، و غیره] - ویرایش 3. - م.: آموزش و پرورش، 1391. - 96 ص: بیمار. - (مدرسه روسیه). - شابک 978-5-09-028297-0.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هفتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-021134-5.

پس از مطالعه مفهوم برابری ها، یعنی یکی از انواع آنها - برابری های عددی، می توانیم به سراغ نوع مهم دیگری - معادلات برویم. در چهارچوب این مطلب به توضیح اینکه معادله و ریشه آن چیست، تعاریف اساسی را بیان کرده و مثال های مختلفی از معادلات و ریشه یابی آنها را بیان می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم معادله

به طور معمول، مفهوم معادله در همان ابتدای دوره جبر مدرسه تدریس می شود. سپس به این صورت تعریف می شود:

تعریف 1

معادلهبرابری با عدد مجهول نامیده می شود که باید پیدا شود.

مرسوم است که مجهولات را با حروف کوچک لاتین نشان دهید، به عنوان مثال، t، r، m، و غیره، اما x، y، z اغلب استفاده می شود. به عبارت دیگر، معادله با شکل ضبط آن تعیین می شود، یعنی برابری تنها زمانی معادله خواهد بود که به شکل خاصی کاهش یابد - باید حاوی یک حرف باشد، مقداری که باید پیدا شود.

اجازه دهید چند نمونه از ساده ترین معادلات را بیان کنیم. اینها می توانند برابری هایی به شکل x = 5، y = 6، و غیره باشند، و همچنین آنهایی که شامل عملیات حسابی هستند، به عنوان مثال، x + 7 = 38، z − 4 = 2، 8 t = 4، 6: x = 3.

پس از یادگیری مفهوم براکت، مفهوم معادلات با براکت ظاهر می شود. اینها عبارتند از 7 · (x - 1) = 19، x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3، و غیره. حرفی که باید پیدا شود می تواند بیش از یک بار، اما چندین بار ظاهر شود، مانند به عنوان مثال، در معادله x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . همچنین، مجهولات را می توان نه تنها در سمت چپ، بلکه در سمت راست یا در هر دو قسمت به طور همزمان قرار داد، به عنوان مثال، x (8 + 1) − 7 = 8، 3 − 3 = z + 3 یا 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

علاوه بر این، پس از آشنایی دانش‌آموزان با مفاهیم اعداد صحیح، واقعی، گویا، اعداد طبیعی و همچنین لگاریتم، ریشه و توان، معادلات جدیدی ظاهر می‌شوند که همه این اشیاء را شامل می‌شود. ما مقاله جداگانه ای را به نمونه هایی از این عبارات اختصاص داده ایم.

در برنامه درسی پایه هفتم، مفهوم متغیرها برای اولین بار ظاهر می شود. اینها حروفی هستند که می توانند معانی مختلفی به خود بگیرند (برای جزئیات بیشتر به مقاله در مورد عبارات عددی، حرفی و متغیر مراجعه کنید). بر اساس این مفهوم، می توانیم معادله را دوباره تعریف کنیم:

تعریف 2

معادلهیک برابری است که شامل متغیری است که مقدار آن باید محاسبه شود.

به عنوان مثال، عبارت x + 3 = 6 x + 7 معادله ای با متغیر x است و 3 y − 1 + y = 0 معادله ای با متغیر y است.

یک معادله می تواند بیش از یک متغیر، اما دو یا چند متغیر داشته باشد. آنها به ترتیب معادلات با دو، سه متغیر و غیره نامیده می شوند. اجازه دهید تعریف را بنویسیم:

تعریف 3

معادلات با دو (سه، چهار یا بیشتر) متغیر معادلاتی هستند که شامل تعداد مجهول مربوطه می‌شوند.

برای مثال، تساوی به شکل 3, 7 · x + 0, 6 = 1 معادله ای با یک متغیر x است و x − z = 5 معادله ای با دو متغیر x و z است. مثالی از یک معادله با سه متغیر x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 خواهد بود.

ریشه معادله

وقتی از یک معادله صحبت می کنیم، بلافاصله نیاز به تعریف مفهوم ریشه آن احساس می شود. بیایید سعی کنیم معنی آن را توضیح دهیم.

مثال 1

معادله خاصی به ما داده می شود که شامل یک متغیر است. اگر یک عدد را جایگزین حرف مجهول کنیم، معادله به یک برابری عددی تبدیل می شود - درست یا نادرست. بنابراین، اگر در معادله a + 1 = 5، حرف را با عدد 2 جایگزین کنیم، تساوی نادرست می شود و اگر 4 باشد، تساوی صحیح 4 + 1 = 5 خواهد بود.

ما دقیقاً به مقادیری علاقه مندیم که با آنها متغیر به یک برابری واقعی تبدیل شود. به آنها ریشه یا محلول می گویند. بیایید تعریف را بنویسیم.

تعریف 4

ریشه معادلهآنها مقدار متغیری را که معادله معین را به یک برابری واقعی تبدیل می کند، می نامند.

ریشه را می توان راه حل نیز نامید یا برعکس - هر دوی این مفاهیم به یک معنی هستند.

مثال 2

برای روشن شدن این تعریف مثالی می زنیم. در بالا معادله a + 1 = 5 را دادیم. طبق تعریف، ریشه در این حالت 4 خواهد بود، زیرا وقتی به جای حرف جایگزین شود، برابری عددی صحیح را به دست می دهد و دو راه حل نخواهد بود، زیرا با تساوی نادرست 2 + 1 = 5 مطابقت دارد.

یک معادله می تواند چند ریشه داشته باشد؟ آیا هر معادله ای ریشه دارد؟ بیایید به این سوالات پاسخ دهیم.

معادلاتی که ریشه واحد ندارند نیز وجود دارند. یک مثال 0 x = 5 خواهد بود. می‌توانیم تعداد نامتناهی از اعداد مختلف را جایگزین آن کنیم، اما هیچ‌کدام از آنها آن را به یک برابری واقعی تبدیل نمی‌کنند، زیرا ضرب در 0 همیشه 0 را به دست می‌دهد.

همچنین معادلاتی هستند که چندین ریشه دارند. آنها می توانند تعداد محدود یا نامحدود ریشه داشته باشند.

مثال 3

بنابراین، در معادله x - 2 = 4 فقط یک ریشه وجود دارد - شش، در x 2 = 9 دو ریشه - سه و منهای سه، در x · (x - 1) · (x - 2) = 0 سه ریشه - صفر، یک و دو، بی نهایت ریشه در معادله x=x وجود دارد.

حال اجازه دهید نحوه صحیح نوشتن ریشه های معادله را توضیح دهیم. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، می نویسیم: "معادله ریشه ندارد." در این حالت می توانید علامت مجموعه خالی ∅ را نیز نشان دهید. اگر ریشه وجود داشته باشد، آنها را با کاما از هم جدا می نویسیم یا آنها را به عنوان عناصر یک مجموعه نشان می دهیم و آنها را در پرانتزهای فرفری می بندیم. بنابراین، اگر هر معادله ای سه ریشه داشته باشد - 2، 1 و 5، آنگاه می نویسیم - 2، 1، 5 یا (- 2، 1، 5).

نوشتن ریشه در قالب برابری های ساده مجاز است. بنابراین، اگر مجهول در معادله با حرف y مشخص شود و ریشه ها 2 و 7 باشند، y = 2 و y = 7 می نویسیم. گاهی اوقات زیرنویس ها به حروف اضافه می شوند، به عنوان مثال، x 1 = 3، x 2 = 5. به این ترتیب به تعداد ریشه ها اشاره می کنیم. اگر معادله دارای تعداد بی نهایت راه حل باشد، پاسخ را به صورت فاصله عددی می نویسیم یا از نماد پذیرفته شده استفاده می کنیم: مجموعه اعداد طبیعی N، اعداد صحیح - Z، اعداد واقعی - R نشان داده می شود. فرض کنید، اگر بخواهیم بنویسیم که جواب معادله هر عدد صحیحی خواهد بود، آنگاه x ∈ Z و اگر هر عدد واقعی از یک تا نه باشد، آنگاه y ∈ 1، 9 می نویسیم.

هنگامی که یک معادله دو، سه ریشه یا بیشتر دارد، به عنوان یک قاعده، ما در مورد ریشه ها صحبت نمی کنیم، بلکه در مورد راه حل های معادله صحبت می کنیم. اجازه دهید تعریف حل یک معادله را با چندین متغیر فرموله کنیم.

تعریف 5

راه حل یک معادله با دو، سه یا چند متغیر، دو، سه یا چند مقدار از متغیرها است که معادله داده شده را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند.

اجازه دهید تعریف را با مثال توضیح دهیم.

مثال 4

فرض کنید عبارت x + y = 7 را داریم که معادله ای با دو متغیر است. بیایید یکی را به جای اولی و دو را به جای دومی جایگزین کنیم. یک برابری نادرست دریافت خواهیم کرد، به این معنی که این جفت مقادیر راه حلی برای این معادله نخواهد بود. اگر جفت 3 و 4 را بگیریم، برابری درست می شود، یعنی راه حلی پیدا کرده ایم.

چنین معادلاتی همچنین ممکن است بدون ریشه یا تعداد نامتناهی از آنها باشد. اگر نیاز به نوشتن دو، سه، چهار یا چند مقدار داشته باشیم، آن‌ها را با کاما در پرانتز می‌نویسیم. یعنی در مثال بالا، پاسخ به شکل (3، 4) خواهد بود.

در عمل، اغلب باید با معادلات حاوی یک متغیر سر و کار داشته باشید. در مقاله ای که به حل معادلات اختصاص دارد، الگوریتم حل آنها را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های یک معادله درجه دوم(1) با فرمول های زیر تعیین می شود:
; .
این فرمول ها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:
.
هنگامی که ریشه های یک معادله درجه دوم مشخص است، آنگاه یک چند جمله ای درجه دوم را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل (فاکتور) نشان داد:
.

بعد فرض می کنیم که اعداد واقعی هستند.
در نظر بگیریم تمایز یک معادله درجه دوم:
.
اگر ممیز مثبت باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی متفاوت است:
; .
سپس فاکتورسازی مثلثی درجه دوم به شکل زیر است:
.
اگر ممیز برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی چندگانه (برابر) است:
.
فاکتورسازی:
.
اگر ممیز منفی باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:
;
.
در اینجا واحد خیالی، ;
و قسمت های واقعی و خیالی ریشه ها هستند:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیکی

اگر تابع را رسم کنید
,
که سهمی است، سپس نقاط تلاقی نمودار با محور، ریشه معادله خواهد بود.
.
در نمودار، محور x (محور) را در دو نقطه قطع می کند.
هنگامی که نمودار، محور x را در یک نقطه لمس می کند.
هنگامی که نمودار از محور x عبور نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این گونه نمودارها آورده شده است.

فرمول های مفید مربوط به معادله درجه دوم

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و فرمول های (f.1) و (f.3) را اعمال می کنیم:




,
جایی که
; .

بنابراین، ما فرمول چند جمله ای درجه دوم را به شکل زیر دریافت کردیم:
.
این نشان می دهد که معادله

انجام شده در
و .
یعنی و ریشه های معادله درجه دوم هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

مثال 1

(1.1) .

.
با مقایسه با معادله ما (1.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد:
;
;
.

از اینجا فاکتورسازی سه جمله درجه دوم را بدست می آوریم:

.

نمودار تابع y = 2 x 2 + 7 x + 3محور x را در دو نقطه قطع می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. از محور آبسیسا (محور) در دو نقطه عبور می کند:
و .
این نقاط ریشه معادله اصلی (1.1) هستند.

;
;
.

مثال 2

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(2.1) .

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اصلی (2.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (برابر) است:
;
.

سپس فاکتورگیری مثلثی به شکل زیر است:
.

نمودار تابع y = x 2 - 4 x + 4محور x را در یک نقطه لمس می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x (محور) را در یک نقطه لمس می کند:
.
این نقطه ریشه معادله اصلی (2.1) است. زیرا این ریشه دو بار فاکتور می شود:
,
سپس چنین ریشه ای معمولاً مضرب نامیده می شود. یعنی معتقدند دو ریشه مساوی وجود دارد:
.

;
.

مثال 3

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(3.1) .

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
(1) .
بیایید معادله اصلی (3.1) را بازنویسی کنیم:
.
در مقایسه با (1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
ممیز منفی است، . بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده را پیدا کنید:
;
;

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x را قطع نمی کند. بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های پیچیده:
;
;
.