Višekanalni smo s kvarovima. QS s kvarovima i potpunom međusobnom pomoći za proizvoljne tokove

UDC 519.248:656.71

MODEL SUSTAVA ČEKOVA ČEKOVA S NESTACIONARNIM TOKOVIMA I DJELOMIČNOM MEĐUSOBNOM POMOĆU IZMEĐU KANALA

© 2011 V. A. Romanenko

Samarsko državno zrakoplovno sveučilište nazvano po akademiku S.P. Korolev (nacionalno istraživačko sveučilište)

Opisuje se dinamički model višekanalnog sustava Čekanje u redu s nestacionarnim tokovima, čekanjem u redu ograničene duljine i djelomičnim međusobnim pomaganjem kanala, izraženim u mogućnosti istovremenog servisiranja zahtjeva dvama kanalima. Dani su izrazi za glavne vjerojatnosno-vremenske karakteristike sustava. Opisani su rezultati modeliranja funkcioniranja čvorne zračne luke kao primjera razmatranog sustava.

Sustav čekanja, nestacionarni protok, uzajamna pomoć između kanala, čvorište zračne luke.

Uvod

Razmatramo višekanalni sustav čekanja (QS) s čekanjem u redu ograničene duljine. Značajka QS-a koji se razmatra je djelomična uzajamna pomoć između kanala, izražena u mogućnosti istodobne upotrebe dva kanala za servisiranje jednog zahtjeva. Kombiniranje napora kanala općenito dovodi do smanjenja prosječnog vremena usluge. Pretpostavlja se da QS prima nestacionarni Poissonov tok aplikacija. Trajanje servisiranja aplikacije ovisi o vremenu.

Tipičan primjer QS-a koji ima navedene karakteristike je sustav usluga prijevoza zračne luke. Istovremena upotreba više (obično dva) objekata (šaltera za prijavu na let, cisterne za zrakoplovno gorivo, specijalna vozila i dr.) za opsluživanje jednog leta predviđena je tehnološkim rasporedima aerodromskog opsluživanja velikih zrakoplova (VZ). Istodobno, potreba za poboljšanjem kvalitete i smanjenjem trajanja usluga zemaljskog prijevoza, što je posebno važno za velike zračne luke, dovodi do činjenice da je udio operacija koje se obavljaju ne jednim, već više (dva) sredstva. povećavajući se.

To se povećava kako se povećava razmjer zračne luke. Model opisan u članku razvijen je za rješavanje problema analize i optimizacije funkcioniranja proizvodnih kompleksa središnjih zračnih luka (čvorišta), koje karakterizira zasićenost kopnenih prijevoznih objekata s izraženim nestacionarnim protokom putnika, zrakoplova i tereta i fluktuacije u intenzitetu njihove usluge.

Opći opis modeli

Model je namijenjen za određivanje vremenskih ovisnosti probabilističkih karakteristika QS sustava koji sadrži N kanala za posluživanje. Broj prijava u QS-u ne bi smio premašiti K, što može biti posljedica tehničkih ograničenja broja raspoloživih parkirnih mjesta za zrakoplove u zračnoj luci, kapaciteta terminala ili teretnog kompleksa itd. Broj kanala dodijeljenih za servisiranje jednog zahtjeva može biti 1 ili 2. Ako postoje najmanje dva slobodna kanala, primljeni zahtjev se sa zadanom vjerojatnošću posuđuje za servisiranje.

jedan od njih i - s vjerojatnošću y2 = 1 - y1 - oba kanala. Ukoliko u trenutku primitka zahtjeva za servis QS ima samo jedan slobodan kanal, tada taj zahtjev u svakom slučaju zauzima raspoloživi

jedini kanal. Ako nema slobodnih kanala, novopristigli zahtjev se "stavlja u red čekanja" i čeka uslugu. Ako je broj aplikacija u redu čekanja K-N, tada novopristigla aplikacija ostavlja QS neposluženu. Vjerojatnost takvog događaja trebala bi biti mala.

QS ulaz prima Poissonov (ne nužno stacionarni) tok aplikacija

s intenzitetom l(t). Pretpostavlja se da je trajanje servisiranja zahtjeva od strane jednog kanala Tobsl1 (t) i dva -

Tobsl 2 (t) su eksponencijalno raspodijeljene slučajne funkcije vremena (slučajni procesi).

Intenzitet usluge aplikacije

jedan kanal ^ (t) i istovremeno dva kanala m 2 (t) definirani su kao

mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,

gdje je Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]

Prosječno vrijeme za servisiranje zahtjeva od strane jednog kanala odnosno dva kanala.

Odnos između veličina m1 (t) i m 2 (t) dan je relacijom

m2 (t) = ^m1 (t) ,

gdje je 9 koeficijent koji uzima u obzir relativno povećanje intenziteta usluge pri korištenju dva kanala.

U praksi je odnos između broja prikupljenih sredstava i intenziteta usluge prilično složen, određen karakteristikama dotične operacije usluge. Za operacije čije je trajanje povezano s obujmom obavljenog posla (na primjer, punjenje zrakoplova mlaznim gorivom pomoću tankera za mlazno gorivo, ukrcaj ili iskrcaj putnika iz zrakoplova itd.), ovisnost intenziteta usluge o broj kanala se približava izravno proporcionalnom, ali nije striktno takav zbog vremena potrebnog za pripremu

ali završni poslovi na koje ne utječe broj fondova. Za takve operacije, £ 2. Za niz operacija, ovisnost trajanja izvršenja o broju sredstava ili izvođača je manje izražena (primjerice, check-in ili prije leta

pregled putnika). U ovom slučaju u »1.

U proizvoljnom trenutku I, razmatrani QS može biti u jednom od L+1 diskretnih stanja - B0, ...,

JEBATI. Prijelaz iz stanja u stanje može se dogoditi bilo kada. Vjerojatnost da će u trenutku I QS biti u stanju

uvjet normalizacije 2 r () =1 Znaj-

Analiza vjerojatnosti P0 (/), PX (t),..., Pb (t) omogućuje određivanje tako važnih virtualnih (trenutnih) karakteristika QS-a kao što su prosječna duljina čekanja, prosječan broj zauzetih kanala, prosječan broj zahtjeva koji se nalaze u QS-u itd.

Vjerojatnosti stanja p(t) nalaze se rješavanjem sustava diferencijalne jednadžbe Kolmogorov, in opći pogled napisano kao

=Ë jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,

r = 0,1,...,b,

Gdje<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

gdje je P(/; At) vjerojatnost da QS, koji je bio u stanju B u trenutku t, za

vrijeme po volji ide od njega do države

Za sastavljanje Kolmogorovljevih jednadžbi koristi se označeni graf stanja QS-a. U njemu su odgovarajući intenziteti f postavljeni iznad strelica koje vode od B. do B. Derivacija vjerojatnosti svakog stanja definirana je kao zbroj svih tokova vjerojatnosti koji dolaze iz drugih stanja u dano stanje, minus zbroj svih tokova vjerojatnosti koji idu iz danog stanja u druga.

Za izradu grafa uvodi se sustav označavanja s tri indeksa, u kojem se stanje QS-a koji se razmatra u proizvoljnoj vremenskoj točki karakteriziraju tri parametra: broj zauzetih kanala n (n = 0,1,.. .,^), broj opsluženih zahtjeva k (k = 0,1,...,^) i čekanja na uslugu t (t = 0,1,...,^ - N).

Na sl. Slika 1 prikazuje označeni graf stanja, sastavljen korištenjem gore opisanih pravila i uvedenih oznaka, za QS odabran kao jednostavan primjer.

Radi uštede prostora, u grafu iu pripadnom sustavu Kolmogorovljevih jednadžbi u nastavku izostavljene su oznake funkcionalne vremenske ovisnosti intenziteta 1, m1, m2 i vjerojatnosti stanja.

^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,

= - (t + U-11 + U21) rš + ^Rr000 +

2t1R220 + t2 R320,

LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +

T1R320 + 2 ^2R420,

LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) R220 + ^1Rio +

3 t1R330 + ^2R430,

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+^11R210 + V2ÂP110 + 2t 1R430 +

LR4yu1L (1 + 2 ^2) R420 + ^21R210 + t r30, LR330 /L = -(3t1 + ^1^+ ^21) R330 + ^11R220 + +4^1R440 + T2r40,

^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) R430 + ^11R320 +

+^2^ R220 + 3t 1r40 + 2^2r31,

LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +

+^2YaP320 + t1P531,

LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +

5^1r50 + t2r41,

LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +

+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,

LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +

LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +

5t1R551 + t2R542,

LR541/ l = - (t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +

LR532/l = -(t1 + 2t2) R532 + i r531,

LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,

lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,

Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.

Ako u trenutku t = 0 nema zahtjeva u QS, tada početni uvjeti bit će zapisano u obrascu

P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.

Rješavanje sustava velikih dimenzija poput (1), (2), s promjenjivim vrijednostima 1(^, mDO, m2(0) moguće je samo numeričkim metodama pomoću računala.

Riža. 1. Graf stanja QS-a

Izgradnja QS modela

U skladu s algoritamskim pristupom, razmotrit ćemo tehniku ​​transformacije sustava Kolmogorovljevih jednadžbi proizvoljne dimenzije u oblik pogodan za računalne proračune. Kako bismo pojednostavili snimanje, umjesto trostrukog sustava koristimo dvostruki sustav označavanja stanja QS-a, u kojem je r broj kanala zauzetih servisiranjem plus duljina reda čekanja,] broj aplikacija u QS-u. . Odnos između notacijskih sustava izražava se ovisnostima:

r = n + m, r = 0,1,...,K;

] = k + m, ] = 0,1,...,K.

Ne može se realizirati nijedno stanje iz formalnog skupa

B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). Posebno,

u okviru opisanog modela nemoguća su stanja u kojima dva ili više zahtjeva istovremeno servisira jedan

kanal, tj. R. (t) = 0 ako je ] > r. Označimo simbolom 8 skup dopuštenih stanja QS. Država B. postoji, i

njegova odgovarajuća vjerojatnost P. ^)

može biti različita od nule ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

y] + H - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,

gdje je H najveći broj stanja s različitim brojem kanala za posluživanje za određeni broj zahtjeva, određen formulom

Ovdje zagrade označavaju operaciju odbacivanja razlomka. Na primjer,

sudeći prema grafikonu stanja prikazanom na sl. 1, dva zahtjeva mogu poslužiti dva, tri ili četiri kanala. Stoga se u gore razmotrenom primjeru

H = 5 - = 5 - 2 = 3.

Za provedbu računalnih izračuna korištenjem sustava Kolmogorovljevih jednadžbi proizvoljne dimenzije, njegove jednadžbe moraju se svesti na neki univerzalni oblik koji omogućuje pisanje bilo koje jednadžbe. Kako bismo razvili takav oblik, razmotrimo fragment grafikona stanja koji prikazuje jedno proizvoljno stanje B] s vodećima iz njega

strelice intenziteta. Označimo rimskim brojevima susjedne države koje su izravno povezane s B., kao što je prikazano na sl. 2.

Za svako stanje B. (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), tako da je B. e 8, u trenutku t vrijednosti

p^), p(t), p.^), p(t) prihvatiti

razne vrijednosti (uključujući one jednake nuli). Međutim, struktura jednadžbe

(3) ostaje nepromijenjen, što mu omogućuje korištenje za računalnu implementaciju sustava Kolmogorovih jednadžbi proizvoljne dimenzije.

Intenziteti fr (t), (r. (t), koji nastoje prenijeti QS u stanja s velikim vrijednostima r i ], ako je prisutnost takvih stanja moguća, određuju se na temelju niza uvjeta kako slijedi :

o.. í̈ a ili

°(,-+1)0"+1) í̈ 8 ’

0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,

o(i+1)(.+1)- 8 ili

°(.+2)a+1)í̈ 8

O(.+1)(V+1) - 8’

Riža. 2. Fragment grafa QS stanja

Uzimajući u obzir prisutnost susjednih država u odnosu na B., jednadžba za B. bit će napisana kako slijedi:

-£ = -[P () + P () + P. () +

Rr (tI Rg, (t) + Rr+1)(.+1) (t) R(g+1)(.+1) () +

R(N(1-1)^)R(-1)(1 -1)^) +

R 2)()+1)()R(g+2)()-+1)() +

RC2)(.-1) (t)P(g-2)(.-G) ().

O(.+1)(.+1)í̈ 8 ili í > N - 2

Y2X(i), ako

I(i+1)(.+1) - 8>

O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,

O(í+1)(.+1)í̈ 8’

O(i+2)(.+1) - 8’

r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.

Intenzitet rijeke (), str..11 (), prijenos QS-a iz stanja B-. u državama

s manjim vrijednostima g i. (ako je prisutnost takvih stanja moguća), izravno su proporcionalne broju uključenih kanala, koji opslužuju zahtjeve različitih vrsta koji se nalaze u QS-u (zauzimaju jedan ili dva kanala za servisiranje). Grupa od dva kanala koja su uključena u servisiranje jednog zahtjeva odgovarajućeg tipa može se smatrati jednim kanalom. Prema tome, u općem slučaju

p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,

gdje je k.1 broj zahtjeva koji zauzimaju jedan kanal, opslužuje QS u stanju B; k je broj zahtjeva od kojih svaki zauzima dva kanala, a koje QS uslužuje u stanju B.

Kroz g i. ove vrijednosti se određuju na sljedeći način:

G2. - g ako g< N,

y1 [ N - 2 (r - .), ako je r > N, (4)

Do! 2 = g - . .

Uzimajući u obzir ograničenja mogućnosti postojanja izraznih stanja za

p(), R.() imaju oblik

^B(g-1)(L) e 8,

Pokazatelji učinkovitosti funkcioniranja QS-a

Opisani model omogućuje određivanje vremenskih ovisnosti sljedećih pokazatelja operativne učinkovitosti razmatranog QS-a.

Prosječna duljina čekanja:

može ()=22(g-p) R ().

Prosječan broj zauzetih kanala:

Prosječan broj prijava CMO-u:

m, ()=22.R. ().

Vjerojatnost odbijanja usluge:

R„, ()= 2 R- ().

Može se dobiti raspodjela virtualnog vremena čekanja po aplikaciji

usluga Ž (x,t) = R ^ož ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

prethodno. Postoji vjerojatnost Rk=0 (t) trenutnog servisiranja dolaznog zahtjeva u prisutnosti slobodnog kanala (ili više slobodnih kanala)

B(g-1)(.-1) 8 GBP,

r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.

R. () ° 0, ako B. £ 8.

Uzimajući u obzir mogućnost kvara, željena vrijednost funkcije razdiobe Ž(h^) odredit će se kao

F (x-')=(--o(t)

EEZH M (,)) ()

Ru()° 0 ako je °y. í̈ 8.

Ovdje je Ž (h,t| (í,./)) uvjetna funkcija

raspodjela vremena čekanja za određeni zahtjev, pod uvjetom da je u trenutku dolaska T zatekao QS u stanju y.

U QS-u koji se razmatra, vrijeme čekanja na uslugu dolaznog zahtjeva ne ovisi samo o broju zahtjeva koji se već nalaze u QS-u, već io raspodjeli kanala između grupnog i pojedinačnog servisiranja postojećih zahtjeva. Da ne postoji uzajamna pomoć između kanala, tada bi QS koji se razmatra bio tradicionalni QS s čekanjem u redu čekanja ograničene duljine, za koje je ukupno vrijeme čekanja na početak usluge zahtjevom koji je pretekao m drugih zahtjeva u redu čekanja. u trenutku dolaska imao bi Erlangovu distribuciju E,^) (X) .

Ovdje gornji indeks sadrži intenzitet servisiranja zahtjeva svih N kanala koji rade uz prisutnost reda; indeks je redoslijed distribucije prema Erlangovom zakonu. U QS-u koji se ovdje razmatra opisana zakonitost vrijedi samo za zahtjeve koji su u QS ušli u stanjima gdje su svi kanali zauzeti i svi služe jednom zahtjevu. Za ova stanja možemo napisati

F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).

Označimo kao E^”^1 (x) funkciju raspodjele generaliziranog Erlanovog zakona

ha, reda 2"r - 1, gdje je ag broj

Lo slučajnih varijabli raspodijeljenih preko

eksponencijalni zakon s parametrom y. S

Koristeći uvedenu notaciju, zapisujemo izraze za funkciju raspodjele vremena čekanja u ostalim stanjima. U usporedbi s (5), ovi izrazi imaju složeniji oblik, što ne ometa njihovu programsku implementaciju. Nadalje, kao primjer, dani su samo za prva tri stanja pune popunjenosti kanala uz korištenje prethodno uvedenog troznakovnog indeksiranja:

F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =

= (x), 0 £ g £ d,

gdje i. = kLt (t)+ku 2M2 (t);

Ž (h,t| (p,k,t)) = Ž (h,t| (N,N - g,l)) =

N ^ ^ - g) Km(T)

F (x,t| - g, 2))

N ^).(N - g) Km(t)

E/^(t),(t-g) ■â(t),(t-g+l)

(N),(N - g) ktM(T)

EI-)(t-g)(x) +

^).(N - g) eH^) (x)

Prosječno virtualno vrijeme čekanja za aplikaciju Toz () određuje se numerički kao

Identitet (T) = | ^H (x,T) .

Također se može odrediti raspodjela vremena virtualnog servisiranja za proizvoljno odabrani zahtjev Tobsl ^).

Budući da je promjena Tobsl (t) u razmatranom QS-u slučajni proces, koji je mješavina dvaju eksponencijalno raspodijeljenih slučajnih procesa TobsL1 ^) i TobsL2 ^), tada je distribucija

V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k,.YR(t)

R.. ^) ° 0, ako je 8. £ 8.

Ovdje je V (x^| (r,.)) funkcija uvjetne raspodjele vremena usluge određenog zahtjeva, pod uvjetom da je u trenutku dolaska zatekao QS u stanju.

Ako je u trenutku početka servisiranja aplikacije QS u stanju u kojem je moguće grupno i pojedinačno servisiranje, tada je vrijeme servisiranja mješavina dva pro-

prijelaz na grupnu uslugu - ako je uvjet moguć (slika 2). Tako imamo:

U(M(i--/")) =

y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),

I O(í+2)(]+1) í̈ 8, O(í+1)(.+1) - 8,

"2\* ^ Í’ I ^ +2)(.+1)

i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.

Budući da, u nedostatku dva slobodna kanala, svaki zahtjev opslužuje jedan kanal, tada je stvarna vjerojatnost ^) dodjele jednog kanala

det je veći od zadane V Funkcija uv ^) je definirana kao

EEU O","r(t)

R. (t) ° 0, ako je R. í̈ 8.

Ovdje je y1(r,.) vjerojatnost dodjele jednog uređaja za servisiranje zahtjeva primljenog od strane QS-a u stanju:

O(i+1)(.+1) - 8, O(i

2)(}+1) -2)(!+1)

trajanja: Tobsl1 (t) i Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.

eksponencijalno ograničena s parametrima ^1 (t) odnosno ^2 (t). Ako u

U ovom trenutku nije moguće dodijeliti dva kanala, tada se vrijeme za servisiranje zahtjeva raspoređuje eksponencijalno s parametrom

t(t). Kada se zahtjev približi kanalima posluživanja u stanju B., prijelaz na pojedinačno servisiranje dopušten je kada

prisutnost mogućnosti stanja I(

Prosječno trajanje servisiranja zahtjeva uključenog u QS u tom trenutku

T, može se definirati kroz uv (T) kao

Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).

Distribucija virtualnog vremena koje aplikacija provede u QS-u

i (x,t)= P (Tpreb (t)< х)

određuje se korištenjem prethodno dobivenih izraza za funkcije raspodjele vremena čekanja i vremena usluge - =

vaniya kao ja,

2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +

EEi M))rí̈(t)

i (x,t| (^ .)) =

1 - e-M1(t)x

y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e

(1 - e ^t(t)x),

O(í+1)(.+1) - 8, O(í+ 2)(.+1) í̈ 8’

O(í+1)(.+1) - 8’ O(í+2)(.+1) - 8,

r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.

Za ostala stanja, formule za uvjetnu funkciju distribucije napisane su analogno formulama za

Ž (h^| (p,k,t)) koristeći indeksiranje od tri znaka. U nastavku su navedena za prva tri stanja pune popunjenosti kanala:

U trenutku ulaska nema čekanja u redu, ali su svi kanali zauzeti:

i (x^| (n,k,t)) = i (x^| (NN - g,0)) =

(x), 0 £ g £ d;

Dok aplikacija uđe, u redu čekanja nalazi se jedna aplikacija:

R. (t) ° 0, ako je R. í̈ 8.

Ovdje je (x^| (r,.)) funkcija uvjetne distribucije vremena provedenog u QS-u nekog zahtjeva, pod uvjetom da je u trenutku dolaska t zatekao sustav u stanju..

Za države s besplatnim kanalima, vrijeme boravka u QS-u podudara se s vremenom usluge:

U trenutku kada aplikacija uđe, dvije su aplikacije u redu čekanja:

i (x,t | (t,t - ^2))

(t)(t^)H (t)(t^+1)

(t)(t - g) ktsM (t)

(t)(t - g) KtsM (t)

Prosječno virtualno vrijeme boravka aplikacije u QS-u definira se kao

Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).

Primjer korištenja QS modela

Simulira se svakodnevno funkcioniranje proizvodnog kompleksa jedne od istočnoeuropskih regionalnih zračnih luka pri izvođenju zasebne tehnološke operacije za servisiranje zrakoplova u dolasku. Kao početni podaci za modeliranje, vremenske ovisnosti prosječnog intenziteta protoka zrakoplova koji dolaze

za uslugu, i(t) i intenzitet

opsluživanje zrakoplova jednim sredstvom t1 (t) .

Kako proizlazi iz konstruiranih podataka

graf ovisnosti i(t) web stranice zračne luke

(Sl. 3a), opskrbu BC karakterizira značajna neujednačenost: tijekom dana uočena su četiri maksimuma intenziteta, što odgovara četirima "valovima"

nas" dolasci i odlasci letova. Vršne vrijednosti 1(t) za glavne "valove" dosežu 25-30 VS/h.

Na sl. 3 i također prikazuje graf ovisnosti t (t). Pretpostavlja se da nije

samo intenzitet strujanja zrakoplova, ali i intenzitet njihove usluge je funkcija vremena i ovisi o fazi "vala". Činjenica je da je, kako bi se smanjilo prosječno vrijeme transfera za putnike, raspored čvorišne zračne luke strukturiran na način da se "val" pokreće dolascima velikih putničkih zrakoplova, čije održavanje zahtijeva puno vremena, a završava se dolascima malih zrakoplova. U primjeru se pretpostavlja da se prosječno trajanje operacije s jednim alatom, koje iznosi 20 minuta veći dio trajanja dana, u početnoj fazi "vala" povećava na 25 minuta. a smanjuje se za završna faza do 15 min. Dakle, četiri intervala sa

smanjena razina t (t) na sl. 3a odgovaraju početnim fazama "valova", kada prevladavaju dolasci velikih zrakoplova. Zauzvrat, četiri intervala povećanja

razina t^) padaju na konac

“valne” faze s prevlašću malih zrakoplova.

U nastavku opisujemo rezultate simulacije koji nam omogućuju procjenu učinkovitosti sustava. Na sl. 3b-3d prikazuju vremenske ovisnosti prosječnih vrijednosti broja zauzetih kanala Nz ^),

ukupan broj prijava u sustavu Ministarstva zdravstva ^) i

duljine čekanja Moz (7) dobivene za dvije granične vrijednosti vjerojatnosti n1 = 0 i n1 = 1 sa sljedećim karakteristikama dizajna: N = 10; K = 40; u = 1,75. Sudeći po grafu ovisnosti Nz (t)

(Sl. 3b), tijekom većeg dijela dnevnog vremenskog intervala popunjenost opslužnih kanala sustava ostaje niska, što je posljedica nestacionarnog ulaza

tok ravnina. Visoko opterećenje (60-80%) postiže se samo tijekom drugog “vala” dolazaka i odlazaka, a opcija n1 = 0 pri velikim vrijednostima 1(t) uzrokuje veće opterećenje sustava, a pri malim vrijednostima ​​od 1(t) - manje

u usporedbi s opcijom n1 = 1. Štoviše, kao

modeliranje je pokazalo da je vjerojatnost kvara u razmatranom sustavu za obje opcije zanemariva.

Usporedba grafova ovisnosti

M3 ^) i Mozh ^) (sl. 3c odnosno 3d) omogućuje nam da zaključimo da u QS-u s n1 = 0 ima, u prosjeku, manje zahtjeva, te se očekuje da će biti usluženo više zahtjeva nego s n1 = 1 Ova kontradikcija se objašnjava činjenicom da svaka prijava primljena od strane QS, koja u slučaju n1 = 0 traje dva

kanal, ostavlja manje slobodnih kanala za zahtjeve koji ga slijede, tjerajući ih da stvore veći red nego u slučaju

n1 = 1. U isto vrijeme, grupna uporaba kanala, smanjujući vrijeme servisa, uzrokuje smanjenje ukupnog broja opsluženih aplikacija i čekanja na servis. Dakle, u primjeru koji se razmatra, prosječno vrijeme usluge tijekom dana je

za opciju p1 = 1 je 20 minuta, a za

opcija p1 = 0 - 11,7 min.

Prethodno razmatrani model omogućuje rješavanje problema vezanih uz potragu za optimalnim upravljanjem kvalitetom prijevoznih usluga. Na sl. Na slikama 3d, 3f prikazani su neki rezultati rješavanja ovakvog problema, čije je značenje dodatno objašnjeno na primjeru razmatrane zračne luke.

Prosječna duljina čekanja, koja je mala čak i tijekom vršnih opterećenja, ne prelazi 0,6 zrakoplova u razmatranom primjeru (slika 3d), ne jamči da će za veliku većinu zrakoplova vrijeme čekanja u redu biti prihvatljivo. Nisko prosječno vrijeme čekanja uz zadovoljavajuće prosječno vrijeme dovršetka servisne operacije

To također ne isključuje mogućnost nedopustivo dugih zastoja tijekom održavanja pojedinih zrakoplova. Razmotrimo primjer kada kvaliteta usluge zračne luke podliježe zahtjevima kako da se osiguraju zadovoljavajuće vrijednosti za vrijeme čekanja na uslugu i za vrijeme provedeno u sustavu. Pretpostavit ćemo da bi više od 90% zrakoplova trebalo mirovati radi održavanja manje od 40 minuta, a vrijeme čekanja na održavanje za isti udio zrakoplova trebalo bi biti manje od 5 minuta. Koristeći gore uvedenu notaciju, ovi zahtjevi za kvalitetu usluge zračne luke bit će napisani u obliku nejednakosti:

P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identitet (t)< 5мин)> 09

Na sl. 3d, 3f prikazuju vremenske ovisnosti vjerojatnosti P (Tpreb (/)< 40мин)

i P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 min. od početka modelnog dana koji odgovara drugom "valu" dolazaka.

Kao što se može vidjeti sa slika, opcija n1 = 1 nije

pruža proračunatu pouzdanost u smislu vremena servisa: zahtjev za vremenom servisa određen uvjetom

P (Tpreb (t)< 40мин)>09, provodi se samo tijekom kratkog razdoblja od 530560 minuta, što odgovara dolascima malih

Sunce. S druge strane, opcija n1 = 0 ne daje izračunatu pouzdanost u smislu vremena čekanja u redu: tijekom intervala dolazaka velikih zrakoplova (500-510 min.)

Riža. 3. Rezultati simulacije 262

uvjet P je ispunjen (Iz(t)< 5мин) > 0.9.

Kao što je modeliranje pokazalo, izlaz iz ove situacije može biti izbor

kompromisna opcija y1 » 0.2. U praksi ova opcija znači da se službama zračnih luka trebaju dodijeliti po dva fonda za opsluživanje ne svih zrakoplova, već samo onih odabranih na temelju određenog kriterija, npr.

kapacitet putnika. Ovdje y1 igra ulogu

parametar koji vam omogućuje kontrolu pokazatelja performansi QS-a: vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja i vrijeme boravka aplikacije u QS-u ili vrijeme usluge.

Dakle, razmatrani sustav, koji koristi jedan ili dva kanala istovremeno za servisiranje zahtjeva, poseban je, ali praktično značajan slučaj QS-a s

uzajamna pomoć kanala. Korištenje dinamičkog modela takvog QS-a omogućuje postavljanje i rješavanje različitih optimizacijskih, uključujući višekriterijske probleme povezane s upravljanjem ne samo ukupnim brojem sredstava, već i njihovom međusobnom pomoći. Problemi ove vrste posebno su relevantni za čvorišne zračne luke, koje su zasićene uslužnim objektima, s nestacionarnim tokovima letova i fluktuirajućim intenzitetom usluga. Stoga je model razmatranog QS-a alat za analizu i optimizaciju parametara tako obećavajuće klase zračnih luka kao što su čvorišta.

Bibliografija

1. Bočarov, P.P. Teorija čekanja [Tekst] / P.P. Bočarov, A.V. Pe-činkin. - M.: Izdavačka kuća RUDN, 1995. - 529 str.

MODEL SUSTAVA ČEKANJA S NESTACIONARNIM TOKOVIMA I DJELOMIČNOM MEĐUSOBNOM POMOĆU IZMEĐU KANALA

© 2011 V. A. Romanenko

Samarsko državno zrakoplovno sveučilište nazvano po akademiku S. P. Korolyovu (Nacionalno istraživačko sveučilište)

Opisuje se dinamički model višekanalnog sustava čekanja s nestacionarnim tokovima, čekanjem u redu čekanja ograničene duljine i djelomičnim međusobnim pomaganjem kanala izraženim u mogućnosti istovremenog opsluživanja korisnika dvama kanalima. Dani su izrazi za osnovne vjerojatnosno-vremenske karakteristike sustava. Raspravljaju se rezultati modeliranja funkcioniranja čvorne zračne luke kao primjer sustava.

Sustav čekanja, nestacionarni protok, uzajamna pomoć između kanala, čvorište zračne luke.

Podaci o autoru Vladimir Aleksejevič Romanenko, kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor, doktorand Odsjeka za organizaciju i upravljanje prometom, Samara State Aerospace University nazvan po akademiku S.P. Korolev (nacionalno istraživačko sveučilište). Email: [e-mail zaštićen]. Područje znanstvenog interesa: optimizacija i modeliranje sustava prometnih usluga čvorne zračne luke.

Romanenko Vladimir Alexeevich, kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor, doktorat na Odsjeku za organizaciju i upravljanje transportom, Samarsko državno zrakoplovno sveučilište nazvano po akademiku S. P. Korolyov (Nacionalno istraživačko sveučilište). Područje istraživanja: optimizacija i simulacija sustava prijevoznih usluga središnje zračne luke.

Do sada smo razmatrali samo takve QS-ove u kojima svaki zahtjev može poslužiti samo jedan kanal; nezauzeti kanali ne mogu "pomoći" zauzetima u servisiranju.

Općenito, to nije uvijek slučaj: postoje sustavi čekanja gdje isti zahtjev mogu istovremeno poslužiti dva ili više kanala. Na primjer, isti pokvareni stroj mogu servisirati dva radnika odjednom. Takva "međusobna pomoć" između kanala može se odvijati u otvorenim i zatvorenim QS-ovima.

Kada se razmatra QS s međukanalnom međusobnom pomoći, postoje dva čimbenika koja treba uzeti u obzir:

1. Koliko se ubrzava servisiranje aplikacije kada na njoj radi ne jedan, već nekoliko kanala odjednom?

2. Što je "disciplina uzajamne pomoći", tj. kada i kako više kanala preuzima servisiranje istog zahtjeva?

Pogledajmo prvo prvo pitanje. Prirodno je pretpostaviti da ako ne radi jedan kanal, već nekoliko kanala za opsluživanje aplikacije, intenzitet protoka usluge neće opadati s povećanjem k, tj. predstavljat će neku neopadajuću funkciju broja k radnih kanala. Označimo ovu funkciju. Mogući oblik funkcije prikazan je na sl. 5.11.

Očito, neograničeno povećanje broja istovremeno aktivnih kanala ne dovodi uvijek do proporcionalnog povećanja brzine usluge; Prirodnije je pretpostaviti da pri određenoj kritičnoj vrijednosti daljnji porast broja zauzetih kanala više ne povećava intenzitet usluge.

Kako bi se analizirao rad QS-a uz uzajamnu pomoć između kanala, potrebno je, prije svega, postaviti tip funkcije

Najjednostavniji slučaj za proučavanje bit će slučaj kada funkcija raste proporcionalno k dok i ostaje konstantna i jednaka (vidi sliku 5.12). Ako ukupan broj kanala koji mogu pomoći jedni drugima ne prelazi

Zadržimo se sada na drugom pitanju: disciplini uzajamne pomoći. Najjednostavniji slučaj ove discipline nazvat ćemo "svi kao jedan". To znači da kada se pojavi jedan zahtjev, svi kanali ga počinju opsluživati ​​odjednom i ostaju zauzeti dok usluga ovog zahtjeva ne završi; tada se svi kanali prebacuju na servisiranje drugog zahtjeva (ako postoji) ili čekaju njegovo pojavljivanje ako se ne pojavi, itd. Očito, u ovom slučaju, svi kanali rade kao jedan, QS postaje jednokanalni, ali s višom uslugom intenzitet.

Postavlja se pitanje: je li isplativo ili neisplativo uvesti takvu uzajamnu pomoć između kanala? Odgovor na ovo pitanje ovisi o tome koliki je intenzitet toka zahtjeva, koja je vrsta funkcije, koji tip QS-a (s kvarovima, s redom), koja je vrijednost odabrana kao karakteristika učinkovitosti usluge.

Primjer 1. Postoji trokanalni QS s kvarovima: intenzitet protoka aplikacija (aplikacija u minuti), prosječno vrijeme opsluživanja jednog zahtjeva po jednom kanalu (min), funkcija Pitanje je ima li koristi od gledišta propusnosti QS-a za uvođenje uzajamne pomoći između kanala tipa „svi kao jedan”? Je li to korisno u smislu smanjenja prosječnog vremena koje aplikacija ostaje u sustavu?

Rješenje a. Bez uzajamne pomoći

Koristeći Erlangove formule (vidi § 4) imamo:

Relativni kapacitet QS-a;

Apsolutna propusnost:

Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u QS-u nalazi se kao vjerojatnost da će aplikacija biti prihvaćena za uslugu pomnožena s prosječnim vremenom usluge:

Gsist (min).

Ne smijemo zaboraviti da se ovo prosječno vrijeme odnosi na sve aplikacije - i servisirane i neobslužene. Također nas može zanimati prosječno vrijeme koje će servisirana aplikacija ostati u sustavu. Ovo vrijeme je jednako:

6. Uz uzajamnu pomoć.

Prosječno vrijeme koje aplikacija ostaje u CMO-u:

Prosječno vrijeme provedeno servisiranom aplikacijom u CMO-u:

Dakle, uz prisutnost uzajamne pomoći "svi kao jedan", propusnost QS-a je primjetno smanjena. To se objašnjava povećanjem vjerojatnosti odbijanja: dok su svi kanali zauzeti servisiranjem jednog zahtjeva, drugi zahtjevi mogu stići i, naravno, biti odbijeni. Što se tiče prosječnog vremena koje aplikacija provede u CMO-u, ono se, očekivano, smanjilo. Ako iz nekog razloga nastojimo potpuno smanjiti vrijeme koje aplikacija provodi u QS-u (npr. ako je boravak u QS-u opasan za aplikaciju), može se pokazati da će, unatoč smanjenju propusnosti, ipak bi bilo korisno kombinirati tri kanala u jedan.

Razmotrimo sada utjecaj uzajamne pomoći tipa “svi kao jedan” na rad QS-a s očekivanjem. Radi jednostavnosti, uzimamo samo slučaj neograničenog reda čekanja. Naravno, u ovom slučaju neće biti utjecaja uzajamne pomoći na propusnost QS-a, jer će pod bilo kojim uvjetima svi dolazni zahtjevi biti servisirani. Postavlja se pitanje utjecaja uzajamne pomoći na karakteristike čekanja: prosječnu duljinu reda, prosječno vrijeme čekanja, prosječno vrijeme provedeno u službi.

Na temelju formula (6.13), (6.14) § 6 za uslugu bez uzajamne pomoći, prosječan broj zahtjeva u redu čekanja bit će

prosječno vrijeme čekanja:

i prosječno vrijeme boravka u sustavu:

Ako se koristi uzajamna pomoć tipa "svi kao jedan", tada će sustav raditi kao jednokanalni s parametrima

a njegove karakteristike određene su formulama (5.14), (5.15) § 5:

Primjer 2. Postoji trokanalni QS s neograničenim redom; intenzitet protoka aplikacija (aplikacija u minuti), prosječno vrijeme usluge Funkcija Korisno značenje:

Prosječna duljina čekanja,

Prosječno vrijeme čekanja na uslugu,

Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u

uvesti uzajamnu pomoć između kanala poput “svi kao jedan”?

Rješenje a. Nema uzajamne pomoći.

Prema formulama (9.1) - (9.4) imamo

(3-2)

b. Uz uzajamnu pomoć

Koristeći formule (9.5) - (9.7) nalazimo;

Dakle, prosječna duljina reda i prosječno vrijeme čekanja u redu u slučaju međusobne pomoći su veći, ali je prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu manje.

Iz razmatranih primjera jasno je da uzajamna pomoć između Vrsta gotovine “sve kao jedan” u pravilu ne pridonosi povećanju učinkovitosti usluge: smanjuje se vrijeme zadržavanja zahtjeva u sustavu usluge, ali se pogoršavaju ostale karakteristike usluge.

Stoga je poželjno promijeniti servisnu disciplinu kako međusobna pomoć između kanala ne bi ometala prihvaćanje novih zahtjeva za servisom ako se pojave dok su svi kanali zauzeti.

Nazovimo sljedeću vrstu uzajamne pomoći "ujednačena uzajamna pomoć". Ako zahtjev stigne u vrijeme kada su svi kanali slobodni, tada se svi kanali prihvaćaju za njegovo servisiranje; ako u trenutku servisiranja aplikacije stigne druga, neki od kanala se prebacuje na servisiranje iste; ako za vrijeme servisiranja ova dva zahtjeva stigne još jedan, neki od kanala prelazi na servisiranje i sl., dok svi kanali ne budu zauzeti; ako je to tako, novopristigla prijava se odbija (u QS-u s odbijanjima) ili se stavlja u red čekanja (u QS-u s čekanjem).

Ovom disciplinom uzajamne pomoći zahtjev se odbija ili stavlja u red samo kada ga nije moguće servisirati. Što se tiče "zastoja" kanala, ono je minimalno pod ovim uvjetima: ako u sustavu postoji barem jedan zahtjev, svi kanali rade.

Gore smo spomenuli da kada se pojavi novi zahtjev, neki od zauzetih kanala se oslobađaju i prebacuju na servisiranje novopristiglog zahtjeva. Koji dio? Ovisi o vrsti funkcije ako ima oblik linearnog odnosa, kao što je prikazano na sl. 5.12, i nije bitno koji je dio kanala dodijeljen za posluživanje novoprimljenog zahtjeva, sve dok su svi kanali zauzeti (tada će ukupni intenzitet usluga za bilo koju distribuciju kanala među zahtjevima biti jednak ). Može se dokazati da ako je krivulja konveksna prema gore, kao što je prikazano na sl. 5.11, tada trebate distribuirati kanale među zahtjevima što je ravnomjernije moguće.

Razmotrimo rad -kanalnog QS-a s "ujednačenom" međusobnom pomoći između kanala.

Formulacija problema. Na ulazu n-kanal QS prima najjednostavniji tok zahtjeva gustoće λ. Gustoća najjednostavnijeg protoka usluge za svaki kanal je μ. Ako primljeni zahtjev za uslugu utvrdi da su svi kanali slobodni, tada se prihvaća za uslugu i servisira se istovremeno l kanali ( l < n). U tom će slučaju tijek usluga za jednu aplikaciju imati intenzitet l.

Ako primljeni zahtjev za uslugu pronađe jedan zahtjev u sustavu, tada kada n ≥ 2l novopristigla prijava će biti prihvaćena na servis i istovremeno će biti servisirana l kanala.

Ako je zahtjev primljen za uslugu uhvaćen u sustavu ja aplikacije ( ja= 0,1, ...), dok je ( ja+ 1)l≤ n, tada će zaprimljena prijava biti servisirana l kanala s ukupnom izvedbom l. Ako je novoprimljena prijava uhvaćena u sustavu j primjene i istovremeno su zajedno zadovoljene dvije nejednakosti: ( j + 1)l > n I j < n, tada će zahtjev biti prihvaćen za uslugu. U tom se slučaju neke aplikacije mogu servisirati l kanala, drugi dio je manji od l, broj kanala, ali svi će biti zauzeti servisiranjem n kanali koji su nasumično raspoređeni između aplikacija. Ako je novoprimljena prijava uhvaćena u sustavu n zahtjeva, tada se odbija i neće biti servisiran. Pristigli zahtjev na servis servisira se do kraja (prijave "pacijenti").

Graf stanja takvog sustava prikazan je na sl. 3.8.

Riža. 3.8. Grafikon QS stanja s kvarovima i djelomičnim

uzajamna pomoć između kanala

Imajte na umu da je grafikon stanja sustava do stanja x h do oznake parametara protoka, podudara se s grafom stanja klasičnog sustava čekanja s kvarovima, prikazanim na sl. 3.6.

Stoga,

(ja = 0, 1, ..., h).

Grafikon stanja sustava počevši od stanja x h a završava s državom x n, podudara se, do oznake, s grafom stanja QS-a s potpunom međusobnom pomoći prikazanom na sl. 3.7. Tako,

.

Uvedimo oznaku λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tada

Uzimajući u obzir normalizirano stanje, dobivamo

Da bismo skratili daljnji zapis, uvodimo zapis

Pronađimo karakteristike sustava.

Vjerojatnost servisiranja zahtjeva

Prosječan broj prijava u sustavu je

Prosječan broj zauzetih kanala

.

Vjerojatnost da će određeni kanal biti zauzet

.

Vjerojatnost zauzetosti svih kanala sustava

3.4.4. Sustavi čekanja s kvarovima i heterogeni tokovi

Formulacija problema. Na ulazu n-kanalni QS sustav prima heterogeni najjednostavniji tok ukupnog intenziteta λ Σ, a

λ Σ = ,

gdje je λ ja– intenzitet primjene u ja th izvor.

Budući da se tok zahtjeva smatra superpozicijom zahtjeva iz različitih izvora, kombinirani tok s dovoljnom točnošću za praksu može se smatrati Poissonovim za N = 5...20 i λ ja ≈ λ ja +1 (ja1,N). Intenzitet usluge jednog uređaja raspoređen je po eksponencijalnom zakonu i jednak je μ = 1/ t. Servisni uređaji za servisiranje zahtjeva spajaju se u seriju, što je ekvivalentno povećanju vremena servisiranja onoliko puta koliko se uređaja kombinira za servisiranje:

t promatranje = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Gdje t obs – vrijeme servisiranja zahtjeva; k– broj servisnih uređaja; μ obs – intenzitet servisiranja zahtjeva.

U okviru pretpostavki usvojenih u poglavlju 2, predstavljamo stanje QS-a kao vektor, gdje k m– broj aplikacija u sustavu, od kojih se svaka servisira m uređaji; L = q max – q min +1 – broj ulaznih tokova.

Zatim broj zauzetih i slobodnih uređaja ( n zan ( ),n sv ( )) sposoban definira se na sljedeći način:

Od države sustav može prijeći u bilo koje drugo stanje . Budući da sustav funkcionira L ulaznih tokova, tada je to potencijalno moguće iz svakog stanja L izravni prijelazi. Međutim, zbog ograničenih resursa sustava, nisu svi ovi prijelazi izvedivi. Neka SMO bude u državi a zahtjev stiže zahtjevan m uređaja. Ako m≤ n sv ( ), tada je zahtjev prihvaćen za uslugu i sustav prelazi u stanje intenziteta λ m. Ako aplikacija zahtijeva više uređaja nego što je dostupno, usluga će biti odbijena, a QS će ostati u stanju . Ako možeš postoje aplikacije koje zahtijevaju m uređaja, tada se svaki od njih servisira intenzitetom  m, te ukupni intenzitet servisiranja takvih zahtjeva (μ m) definira se kao μ m = k m μ / m. Kada se završi servisiranje jednog od zahtjeva, sustav će prijeći u stanje u kojem odgovarajuća koordinata ima vrijednost za jedan manju nego u stanju ,=, tj. dogodit će se obrnuti prijelaz. Na sl. 3.9 prikazuje primjer vektorskog modela QS za n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intenzitet održavanja uređaja – μ.

Riža. 3.9. Primjer grafa vektorskog modela QS-a s kvarovima servisa

Dakle svaka država karakterizira broj servisiranih aplikacija određene vrste. Na primjer, u državi
jedan zahtjev opslužuje jedan uređaj, a jedan zahtjev dva uređaja. U ovom stanju svi uređaji su zauzeti, stoga su mogući samo obrnuti prijelazi (dolazak bilo kojeg zahtjeva u ovo stanje dovodi do odbijanja usluge). Ako je servisiranje zahtjeva prvog tipa završilo ranije, sustav će prijeći u stanje (0,1,0) intenzitetom μ, ali ako je servisiranje zahtjeva drugog tipa završilo ranije, tada će sustav prijeći u stanje (0,1,0) s intenzitetom μ/2.

Na temelju grafa stanja s ucrtanim intenzitetima prijelaza sastavlja se sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Iz rješenja ovih jednadžbi nalaze se vjerojatnosti R(), kojim se određuju karakteristike QS-a.

Razmislite o pronalasku R otk (vjerojatnost uskraćivanja usluge).

,

Gdje S– broj stanja grafa vektorskog QS modela; R() je vjerojatnost da je sustav u stanju .

Broj država prema određuje se na sljedeći način:

, (3.22)

;

Odredimo broj stanja vektorskog QS modela prema (3.22) za primjer prikazan na sl. 3.9.

.

Stoga, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Za provedbu stvarnih zahtjeva za uslužnim uređajima potreban je dovoljno velik broj n (40, ..., 50), a zahtjevi za brojem uslužnih uređaja u aplikaciji u praksi se kreću u rasponu od 8–16. S ovakvim omjerom instrumenata i zahtjeva, predloženi način pronalaženja vjerojatnosti postaje izuzetno glomazan, jer vektorski model QS-a ima veliki broj stanja S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, a veličina matrice koeficijenata sustava algebarskih jednadžbi proporcionalna je kvadratu S, što zahtijeva veliku količinu računalne memorije i značajnu količinu računalnog vremena. Želja za smanjenjem količine izračuna potaknula je potragu za mogućnostima ponavljajućeg izračuna R() na temelju multiplikativnih oblika prikaza vjerojatnosti stanja. U radu je prikazan pristup proračunu R():

(3.23)

Korištenje kriterija ekvivalencije globalnih i detaljnih ravnoteža Markovljevih lanaca predloženih u radu omogućuje nam smanjenje dimenzije problema i izvođenje izračuna na računalu srednje snage korištenjem ponavljanja izračuna. Osim toga, moguće je:

– izvršite izračune za bilo koje vrijednosti n;

– ubrzati izračune i smanjiti troškove strojnog vremena.

Na sličan način mogu se odrediti i ostale karakteristike sustava.

Razmotrimo višekanalni sustav čekanja (ukupno n kanala), koji prima zahtjeve intenzitetom λ, a servisira se intenzitetom μ. Zahtjev koji pristigne u sustav je servisiran ako je barem jedan kanal slobodan. Ako su svi kanali zauzeti, tada se sljedeći zahtjev primljen u sustav odbija i napušta QS. Označimo stanja sustava brojem zauzetih kanala:

• S 0 – svi kanali su besplatni;
• S 1 – jedan kanal je zauzet;
• S 2 – dva kanala su zauzeta;
• Sk- zaposlen k kanali;
• Sn– svi kanali su zauzeti.

Očito je da se sustav kreće iz stanja u stanje pod utjecajem ulaznog tijeka zahtjeva. Izgradimo grafikon stanja za ovaj sustav čekanja.

Riža. 7.24
Slika 6.24 prikazuje graf stanja u kojem Sja– broj kanala; λ – intenzitet primljenih zahtjeva; μ – sukladno tome intenzitet servisiranja zahtjeva. Zahtjevi ulaze u sustav čekanja stalnim intenzitetom i postupno zauzimaju kanale jedan za drugim; kada su svi kanali zauzeti, sljedeći zahtjev koji stigne u QS će biti odbijen i napustiti sustav.
Odredimo intenzitete tokova događaja koji prenose sustav iz stanja u stanje kada se krećemo s lijeva na desno i s desna na lijevo po grafu stanja.
Na primjer, neka je sustav u državi S 1, tj. jedan kanal je zauzet, jer postoji zahtjev na njegovom ulazu. Čim se završi servisiranje zahtjeva, sustav prelazi u stanje S 0 .
Na primjer, ako su dva kanala zauzeta, tada je tok usluge koji prenosi sustav iz stanja S 2 u stanju S 1 će biti dvostruko intenzivniji: 2-μ; prema tome, ako je zauzet k kanala, intenzitet je k-μ.

Proces održavanja je proces smrti i reprodukcije. Kolmogorovljeve jednadžbe za ovaj poseban slučaj imat će sljedeći oblik:

(7.25)
Jednadžbe (7.25) nazivaju se Erlangove jednadžbe .
Da bismo pronašli vrijednosti vjerojatnosti stanja R 0 , R 1 , …, Rn, potrebno je odrediti početne uvjete:
– R 0 (0) = 1, tj. postoji zahtjev na ulazu sustava;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, tj. u početnom trenutku vremena sustav je slobodan.
Integrirajući sustav diferencijalnih jednadžbi (7.25), dobivamo vrijednosti vjerojatnosti stanja R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Ali nas mnogo više zanimaju granične vjerojatnosti stanja. Kako je t → ∞ i korištenjem formule dobivene pri razmatranju procesa smrti i reprodukcije, dobivamo rješenje sustava jednadžbi (7.25):

(7.26)
U ovim formulama omjer intenziteta λ / μ zgodno je odrediti tok aplikacija ρ .Ova količina se zove dati intenzitet protoka prijava, odnosno prosječan broj prijava koje stižu u QS tijekom prosječnog vremena opsluživanja jedne prijave.

Uzimajući u obzir napravljenu notaciju, sustav jednadžbi (7.26) će imati sljedeći oblik:

(7.27)
Ove formule za izračunavanje graničnih vjerojatnosti nazivaju se Erlangove formule .
Poznavajući sve vjerojatnosti stanja QS-a, pronaći ćemo karakteristike učinkovitosti QS-a, tj. apsolutnu propusnost A, relativna propusnost Q i vjerojatnost neuspjeha R otvoren
Prijava koju sustav primi bit će odbijena ako utvrdi da su svi kanali zauzeti:

.
Vjerojatnost da će aplikacija biti prihvaćena za uslugu:

Q = 1 – R otvoren,
Gdje Q– prosječni udio primljenih aplikacija koje servisira sustav ili prosječan broj aplikacija koje servisira QS po jedinici vremena, podijeljen s prosječnim brojem primljenih aplikacija u tom vremenu:

A=λ·Q=λ·(1-P otvoreno)
Osim toga, jedna od najvažnijih karakteristika QS-a s kvarovima je prosječan broj zauzetih kanala. U n-kanalni QS s kvarovima, ovaj broj se podudara s prosječnim brojem prijava u QS-u.
Prosječni broj zahtjeva k može se izračunati izravno preko vjerojatnosti stanja P 0, P 1, ..., P n:

,
tj. nalazimo matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable koja ima vrijednost od 0 do n s vjerojatnostima R 0 , R 1 , …, Rn.
Još je lakše vrijednost k izraziti kroz apsolutni kapacitet QS-a, tj. A. Vrijednost A je prosječan broj aplikacija koje servisira sustav po jedinici vremena. Jedan zauzeti kanal opslužuje μ zahtjeva po jedinici vremena, zatim prosječan broj zauzetih kanala

U velikoj većini slučajeva, u praksi, sustav čekanja je višekanalni, to jest, nekoliko zahtjeva se može opsluživati ​​paralelno, pa stoga , modeli sa servisnim kanalima(gdje je broj servisnih kanala n>1) su od nedvojbenog interesa.
Proces čekanja opisan ovim modelom karakterizira intenzitet ulaznog toka λ, a ne više od n klijenti (aplikacije). Prosječno trajanje servisiranja jednog zahtjeva je 1/μ. Način rada jednog ili drugog servisnog kanala ne utječe na način rada ostalih servisnih kanala sustava, a trajanje servisnog postupka za svaki kanal je nasumična varijabla, podložan zakonu eksponencijalne distribucije. Krajnji cilj korištenja paralelno povezanih uslužnih kanala je povećati (u usporedbi s jednokanalnim sustavom) brzinu servisiranja zahtjeva istovremenim servisiranjem n klijentima.
Stacionarno rješenje sustava ima oblik:
;
Gdje, .
Formule za izračunavanje vjerojatnosti nazivaju se Erlangove formule.
Odredimo vjerojatnostne karakteristike funkcioniranja višekanalnog QS-a s kvarovima u stacionarnom načinu rada:
vjerojatnost kvara:
.
budući da se prijava odbija ako stigne u vrijeme kada su svi kanali zauzeti. Veličina R otvoriti karakterizira potpunost usluge dolaznog toka;
vjerojatnost da će zahtjev biti prihvaćen za uslugu(aka relativni kapacitet sustava) nadopunjuje R otvoriti jednom:
.
apsolutna propusnost

prosječan broj kanala koje usluga zauzima() sljedeće:

Vrijednost karakterizira stupanj opterećenja QS-a.
Primjer. Neka n-kanalni QS je računalni centar (CC) sa tri ( n=3) izmjenjiva računala za rješavanje pristiglih problema. Tijek zadataka koji pristižu u računski centar ima intenzitet λ=1 zadatak na sat. Prosječno trajanje usluge t oko =1,8 sati.
Trebate izračunati vrijednosti:
- vjerojatnost broja zauzetih CC kanala;
- vjerojatnost odbijanja usluge aplikacije;
- relativni kapacitet računskog centra;
- apsolutni kapacitet računskog centra;
- prosječan broj zauzetih računala u računskom centru.
Odredite koliko dodatnih računala treba kupiti da bi se povećala propusnost računalnog centra za 2 puta.
Riješenje.
Definirajmo parametar toka usluge μ:
.
Smanjen intenzitet protoka aplikacija
.
Granične vjerojatnosti stanja nalazimo pomoću Erlangovih formula:

Vjerojatnost odbijanja usluge aplikacije
.
Relativni kapacitet računalnog centra
.
Apsolutni kapacitet CC-a:
.
Prosječan broj zauzetih kanala – PC

Dakle, pod stacionarnim načinom rada QS-a, u prosjeku će 1,5 od tri računala biti zauzeto - preostalo jedno i pol će biti u stanju mirovanja. Rad razmatranog CK se teško može smatrati zadovoljavajućim, budući da centar ne uslužuje zahtjeve u prosjeku u 18% slučajeva (P 3 = 0,180). Očito je da se kapacitet računalnog centra za zadane λ i μ može povećati samo povećanjem broja osobnih računala.
Odredimo koliko treba koristiti računalo da bi se smanjio broj neusluženih zahtjeva primljenih u CC za 10 puta, tj. tako da vjerojatnost neuspjeha rješavanja problema ne prelazi 0,0180. Da bismo to učinili, koristimo formulu vjerojatnosti kvara:

Kreirajmo sljedeću tablicu:

n
P 0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P otvoriti	0,673	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Analizirajući tablične podatke, treba napomenuti da će proširenje broja računalnih kanala pri zadanim vrijednostima λ i μ na 6 PC jedinica osigurati zadovoljenje zahtjeva za rješavanje problema za 99,22%, jer s n= 6 vjerojatnost uskraćivanja usluge ( R otvoriti) je 0,0078.