معادله مزرعه در حال حاضر غیر قابل حل است. آخرین قضیه فرما: اثبات وایلز و پرلمن، فرمول ها، قوانین محاسبه و اثبات کامل قضیه

با قضاوت بر اساس محبوبیت پرس و جو "قضیه فرمات - اثبات کوتاه"این مسئله ریاضی واقعاً برای بسیاری از مردم جالب است. این قضیه برای اولین بار توسط پیر دو فرما در سال 1637 در لبه نسخه ای از حساب بیان شد، جایی که او ادعا کرد که راه حلی دارد که آنقدر بزرگ است که در لبه قرار نمی گیرد.

اولین اثبات موفق در سال 1995 منتشر شد، اثبات کامل قضیه فرما توسط اندرو وایلز. این به عنوان "پیشرفت خیره کننده" توصیف شد و باعث شد وایلز در سال 2016 جایزه آبل را دریافت کند. در حالی که به طور نسبی توضیح داده شد، اثبات قضیه فرما نیز ثابت شد اکثرقضایای مدولاریته و رویکردهای جدیدی را برای مسائل متعدد دیگر و روش های موثرافزایش مدولار بودن این دستاوردها ریاضیات را 100 سال پیش برد. اثبات قضیه کوچک فرما امروز چیزی غیرعادی نیست.

مشکل حل نشده توسعه نظریه اعداد جبری را در قرن نوزدهم و جستجو برای اثبات قضیه مدولاریته در قرن بیستم را تحریک کرد. این یکی از برجسته ترین قضایا در تاریخ ریاضیات است و قبل از اثبات کامل آخرین قضیه فرما با روش تقسیم، در کتاب رکوردهای گینس به عنوان "سخت ترین مسئله ریاضی" یکی از ویژگی های که دارد بزرگترین عددشواهد ناموفق

مرجع تاریخی

معادله فیثاغورث x 2 + y 2 = z 2 دارای بی نهایت جواب عدد صحیح مثبت برای x، y و z است. این راه حل ها به عنوان سه گانه فیثاغورثی شناخته می شوند. در حدود سال 1637، فرما در لبه کتابی نوشت که بیشتر معادله کلیاگر n یک عدد صحیح بزرگتر از 2 باشد a n + b n = c n هیچ راه حلی در اعداد طبیعی ندارد. اگرچه خود فرما ادعا می کرد که برای مسئله خود راه حلی دارد، اما جزئیاتی در مورد اثبات آن باقی نگذاشت. اثبات ابتدایی قضیه فرما که توسط خالق آن بیان شد، اختراع لاف زننده او بود. کتاب این ریاضیدان بزرگ فرانسوی 30 سال پس از مرگ او کشف شد. این معادله که آخرین قضیه فرما نام داشت، برای سه قرن و نیم در ریاضیات حل نشده باقی ماند.

این قضیه در نهایت به یکی از قابل توجه ترین مسائل حل نشده در ریاضیات تبدیل شد. تلاش برای اثبات این جرقه تحولات قابل توجهی در نظریه اعداد شد و با گذشت زمان، آخرین قضیه فرما به عنوان یک مسئله حل نشده در ریاضیات شناخته شد.

تاریخچه مختصر شواهد

همانطور که خود فرما ثابت کرد اگر n=4 باشد، کافی است قضیه را برای شاخص های n که اعداد اول هستند ثابت کنیم. در طول دو قرن بعدی (1637-1839) این حدس فقط برای اعداد اول 3، 5 و 7 ثابت شد، اگرچه سوفی ژرمن رویکردی را به روز کرد و ثابت کرد که برای کل کلاس اعداد اول اعمال می شود. در اواسط قرن نوزدهم، ارنست کومر این موضوع را بسط داد و قضیه را برای همه اعداد اول منظم ثابت کرد و باعث شد که اعداد اول نامنظم به صورت جداگانه تجزیه و تحلیل شوند. با تکیه بر کار کومر و با استفاده از تحقیقات کامپیوتری پیچیده، ریاضی‌دانان دیگر توانستند حل قضیه را بسط دهند، با هدف پوشش دادن تمام توان‌های اصلی تا چهار میلیون، اما اثبات برای همه شارح‌ها هنوز در دسترس نبود (به این معنی که ریاضیدانان به طور کلی راه‌حل را در نظر می‌گرفتند. به قضیه غیرممکن، بسیار دشوار، یا دست نیافتنی با دانش فعلی).

کاری از شیمورا و تانیاما

در سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی مشکوک شدند که بین منحنی های بیضوی و فرم های مدولار، دو حوزه کاملاً متفاوت از ریاضیات، ارتباط وجود دارد. در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا-ویل و (در نهایت) به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می شد، بدون هیچ ارتباط ظاهری با آخرین قضیه فرما، به تنهایی باقی ماند. به طور گسترده ای به عنوان یک قضیه ریاضی مهم به خودی خود در نظر گرفته شد، اما (مانند قضیه فرما) غیرممکن برای اثبات آن در نظر گرفته شد. در همان زمان، اثبات قضیه بزرگ فرما (با روش تقسیم و استفاده از فرمول های پیچیده ریاضی) تنها نیم قرن بعد انجام شد.

در سال 1984، گرهارد فری متوجه ارتباط آشکاری بین این دو مشکل نامرتبط و حل نشده قبلی شد. اثبات کامل اینکه این دو قضیه ارتباط نزدیکی با هم دارند در سال 1986 توسط کن ریبت منتشر شد، که بر پایه اثبات جزئی توسط ژان پیر سرس، که همه جز یک بخش را ثابت کرد، معروف به "حدس اپسیلون" بود، منتشر شد. به بیان ساده، این آثار فری، سرس و ریبه نشان دادند که اگر قضیه مدولاریت حداقل برای یک کلاس نیمه‌پایدار از منحنی‌های بیضوی اثبات شود، آن‌گاه اثبات آخرین قضیه فرما نیز دیر یا زود کشف می‌شود. هر راه حلی که بتواند با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، می تواند برای تناقض با قضیه مدولاریت نیز استفاده شود. بنابراین، اگر قضیه مدولاریت درست باشد، طبق تعریف نمی‌توان راه‌حلی وجود داشت که با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، به این معنی که باید به زودی ثابت می‌شد.

اگرچه هر دو قضیه مسائل دشواری در ریاضیات بودند و حل نشدنی در نظر گرفته می‌شدند، کار دو ژاپنی اولین پیشنهادی بود که چگونه می‌توان آخرین قضیه فرما را برای همه اعداد، نه فقط برای برخی، بسط و اثبات کرد. نکته مهم برای محققینی که موضوع تحقیق را انتخاب کردند این واقعیت بود که برخلاف آخرین قضیه فرما، قضیه مدولاریته یک حوزه تحقیقاتی فعال اصلی بود که برای آن اثبات ایجاد شده بود، و نه فقط یک چیز عجیب و غریب تاریخی، بنابراین زمان صرف شده بود. کار بر روی آن می تواند از دیدگاه حرفه ای توجیه شود. با این حال، اجماع عمومی این بود که حل حدس تانیاما-شیمورا عملی نیست.

آخرین قضیه فرما: اثبات وایلز

اندرو وایلز ریاضیدان انگلیسی که از دوران کودکی به آخرین قضیه فرما علاقه مند بود و تجربه کار با منحنی های بیضوی و زمینه های مرتبط با آن را داشت، پس از اطلاع از اینکه ریبت صحت نظریه فری را اثبات کرده است، تصمیم گرفت تا حدس تانیاما-شیمورا را به عنوان راهی برای اثبات کند. آخرین قضیه فرما را اثبات کنید. در سال 1993، شش سال پس از اعلام هدفش، وایلز در حالی که مخفیانه روی مسئله حل قضیه کار می کرد، موفق شد حدسی مربوط به آن را اثبات کند که به نوبه خود به او کمک می کرد آخرین قضیه فرما را اثبات کند. سند وایلز از نظر اندازه و وسعت بسیار زیاد بود.

این نقص در بخشی از مقاله اصلی او در طی بررسی همتایان کشف شد و به یک سال دیگر همکاری با ریچارد تیلور برای حل مشترک قضیه نیاز داشت. در نتیجه، اثبات نهایی وایلز برای آخرین قضیه فرما دیری نپایید. در سال 1995، آن را در مقیاس بسیار کوچکتر از کار ریاضی قبلی وایلز منتشر شد، و به وضوح نشان داد که او در نتیجه گیری های قبلی خود در مورد امکان اثبات قضیه اشتباه نکرده است. دستاورد وایلز به طور گسترده در مطبوعات محبوب گزارش شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی رایج شد. بخش‌های باقی‌مانده از حدس تانیاما-شیمورا-ویل، که اکنون ثابت شده‌اند و به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می‌شوند، متعاقباً توسط ریاضی‌دانان دیگری که بر اساس کار وایلز بین سال‌های 1996 و 2001 ساخته شده‌اند، اثبات شدند. وایلز برای موفقیت خود مورد تجلیل قرار گرفت و جوایز متعددی از جمله جایزه آبل 2016 دریافت کرد.

اثبات آخرین قضیه فرما توسط وایلز یک مورد خاص از یک راه حل برای قضیه مدولاریت برای منحنی های بیضوی است. با این حال، این مشهورترین مورد از چنین مقیاس بزرگی است عملیات ریاضی. این ریاضیدان انگلیسی همراه با حل قضیه ریبت، به اثبات آخرین قضیه فرما نیز دست یافت. آخرین قضیه فرما و قضیه مدولاریته تقریباً به طور جهانی توسط ریاضیدانان مدرن غیرقابل اثبات تلقی می شدند، اما اندرو وایلز توانست به کل جهان علمی ثابت کند که حتی صاحب نظران نیز ممکن است اشتباه کنند.

وایلز برای اولین بار کشف خود را در چهارشنبه 23 ژوئن 1993 در یک سخنرانی در کمبریج با عنوان "فرم های مدولار، منحنی های بیضوی و بازنمایی های گالوا" اعلام کرد. با این حال، در سپتامبر 1993 مشخص شد که محاسبات وی دارای خطا بوده است. یک سال بعد، در 19 سپتامبر 1994، در آنچه که او آن را "مهم ترین لحظه زندگی کاری خود" می نامید، وایلز به طور تصادفی به مکاشفه ای برخورد کرد که به او اجازه داد راه حل مسئله را تا حدی تصحیح کند که بتواند مسائل ریاضی را برآورده کند. انجمن.

ویژگی های کار

اثبات قضیه فرما توسط اندرو وایلز از تکنیک‌های بسیاری از هندسه جبری و نظریه اعداد استفاده می‌کند و در این زمینه‌ها از ریاضیات دارای انشعابات زیادی است. او همچنین از ساختارهای استاندارد هندسه جبری مدرن، مانند مقوله طرح‌ها و نظریه ایواساوا، و نیز سایر روش‌های قرن بیستم که برای پیر فرما در دسترس نبود، استفاده می‌کند.

دو مقاله حاوی شواهد در مجموع 129 صفحه و در طول هفت سال نوشته شده است. جان کوتس این کشف را یکی از بزرگترین دستاوردهای نظریه اعداد توصیف کرد و جان کانوی آن را دستاورد اصلی ریاضی قرن بیستم خواند. وایلز به منظور اثبات آخرین قضیه فرما با اثبات قضیه مدولاریت برای حالت خاص منحنی های بیضوی نیمه پایدار، توسعه داد. روش های موثرافزایش مدولار بودن و گشودن رویکردهای جدید برای مشکلات متعدد دیگر. برای حل آخرین قضیه فرما لقب شوالیه گرفت و جوایز دیگری دریافت کرد. هنگامی که اعلام شد وایلز برنده جایزه آبل شده است، آکادمی علوم نروژ دستاورد او را به عنوان "اثباتی شگفت انگیز و ابتدایی برای آخرین قضیه فرما" توصیف کرد.

چطور بود

یکی از افرادی که نسخه خطی اصلی وایلز را در مورد حل قضیه تحلیل کرد، نیک کاتز بود. در طول بررسی خود، او از بریتانیایی یک سری سؤالات روشنگر پرسید که وایلز را مجبور کرد اعتراف کند که کارش به وضوح حاوی یک شکاف است. در یکی از بخش‌های مهم اثبات که تخمینی برای ترتیب یک گروه خاص ارائه می‌کرد، خطایی وجود داشت: سیستم اویلر که برای گسترش روش کولی‌واژین و فلاش استفاده می‌شد، ناقص بود. با این حال، این اشتباه کار او را بی‌فایده نگذاشت - هر بخش از کار وایلز به خودی خود بسیار مهم و مبتکرانه بود، همانطور که بسیاری از پیشرفت‌ها و روش‌هایی که او در طول کار خود ایجاد کرد و تنها بر بخشی از آن تأثیر گذاشت. نسخه خطی با این حال، این اثر اصلی که در سال 1993 منتشر شد، در واقع اثباتی برای آخرین قضیه فرما ارائه نکرد.

وایلز تقریباً یک سال در تلاش برای کشف مجدد راه حل قضیه بود، ابتدا به تنهایی و سپس با همکاری شاگرد سابق خود ریچارد تیلور، اما به نظر می رسید همه چیز بیهوده بود. در پایان سال 1993، شایعاتی منتشر شد مبنی بر اینکه اثبات وایلز در آزمایش شکست خورده است، اما میزان جدی بودن این شکست مشخص نبود. ریاضیدانان شروع به اعمال فشار بر ویلز کردند تا جزئیات کارش را فاش کند، خواه تکمیل شده باشد یا نه، تا جامعه وسیع‌تری از ریاضیدانان بتوانند هر آنچه را که او به دست آورده بود، کشف و استفاده کنند. وایلز به جای تصحیح سریع اشتباه خود، فقط پیچیدگی های اضافی را در اثبات آخرین قضیه فرما کشف کرد و در نهایت متوجه شد که چقدر دشوار است.

وایلز بیان می کند که صبح روز 19 سپتامبر 1994 در آستانه تسلیم شدن و تسلیم شدن بود و تقریباً پذیرفته بود که شکست خورده است. او حاضر بود کارهای ناتمام خود را منتشر کند تا دیگران بتوانند بر اساس آن کار کنند و بفهمند کجا اشتباه کرده است. ریاضیدان انگلیسی تصمیم گرفت آخرین فرصت را به خود بدهد و این قضیه را برای آخرین بار تجزیه و تحلیل کرد تا دلایل اصلی کار نکردن رویکردش را بفهمد، وقتی ناگهان متوجه شد که رویکرد کولیواژین-فلاک تا زمانی که اثبات را در آن وارد نکند، کار نخواهد کرد. فرآیندی که نظریه ایواساوا را به کار انداخته است.

در 6 اکتبر، وایلز از سه همکار (از جمله فالتینز) خواست تا کار جدیدش را بررسی کنند و در 24 اکتبر 1994، دو نسخه خطی، "منحنی های بیضوی مدولار و آخرین قضیه فرما" و "ویژگی های نظری حلقه برخی از جبرهای هکی" را ارائه کرد. "، که وایلز دومی را با تیلور نوشت و استدلال کرد که شرایط خاصی برای توجیه مرحله اصلاح شده در مقاله اصلی وجود دارد.

این دو مقاله بررسی شده و در نهایت به عنوان یک نسخه کامل در شماره مه 1995 Annals of Mathematics منتشر شد. محاسبات جدید اندرو به طور گسترده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و در نهایت توسط جامعه علمی پذیرفته شد. این کارها قضیه مدولاریته را برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، گام نهایی برای اثبات آخرین قضیه فرما، 358 سال پس از ایجاد آن، ایجاد کردند.

تاریخچه مشکل بزرگ

حل این قضیه برای قرن های متمادی بزرگترین مشکل در ریاضیات در نظر گرفته شده است. در سال 1816 و دوباره در سال 1850، آکادمی علوم فرانسه جایزه ای برای اثبات کلی آخرین قضیه فرما ارائه کرد. در سال 1857 آکادمی 3000 فرانک و مدال طلاکومر برای تحقیقاتش در مورد اعداد ایده آل، اگرچه برای جایزه درخواست نکرد. جایزه دیگری در سال 1883 توسط آکادمی بروکسل به او پیشنهاد شد.

جایزه ولفسکهل

در سال 1908، پل ولفسکهل، صنعتگر و ریاضیدان آماتور آلمانی، 100000 مارک طلا (مبلغ زیادی برای آن زمان) به عنوان جایزه برای اثبات کامل آخرین قضیه فرما به آکادمی علوم گوتینگن وصیت کرد. در 27 ژوئن 1908، آکادمی نه قانون جوایز را منتشر کرد. از جمله، این قوانین مستلزم انتشار شواهد در یک مجله معتبر بود. قرار بود این جایزه تا دو سال پس از انتشار اعطا نشود. این مسابقه قرار بود در 13 سپتامبر 2007 منقضی شود - تقریباً یک قرن پس از شروع. در 27 ژوئن 1997، ویلز جایزه ولفشل و سپس 50000 دلار دیگر را دریافت کرد. در مارس 2016، او 600000 یورو از دولت نروژ به عنوان بخشی از جایزه آبل برای «اثبات خیره‌کننده آخرین قضیه فرما با استفاده از حدس مدولاریت برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، که عصر جدیدی را در نظریه اعداد باز می‌کند» دریافت کرد. این یک پیروزی جهانی برای انگلیسی متواضع بود.

قبل از اثبات وایلز، قضیه فرما، همانطور که قبلاً ذکر شد، برای قرن ها مطلقاً غیرقابل حل تلقی می شد. هزاران مدرک نادرست در زمان متفاوتدر حدود 10 فوت (3 متر) مکاتبات به کمیته Wolfskehl ارائه شد. تنها در سال اول وجود این جایزه (1907-1908)، 621 درخواست برای حل قضیه ارائه شد، اگرچه در دهه 1970 این تعداد به تقریباً 3-4 برنامه در ماه کاهش یافت. به گفته F. Schlichting، بازبین Wolfschel، بیشتر شواهد مبتنی بر روش های ابتدایی تدریس شده در مدارس بوده و اغلب توسط "افرادی با پیشینه فنی اما حرفه ای ناموفق" ارائه شده است. به گفته مورخ ریاضیات هاوارد ایوز، آخرین قضیه فرما نوعی رکورد را ثبت کرد - این قضیه با بیشترین اثبات نادرست است.

لورهای فرما نصیب ژاپنی ها شد

همانطور که قبلاً ذکر شد، در حدود سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی، ارتباط احتمالی بین دو شاخه ظاهراً کاملاً متفاوت از ریاضیات - منحنی های بیضوی و اشکال مدولار - را کشف کردند. قضیه مدولاریت (که در آن زمان حدس تانیاما-شیمورا نامیده می شد) از تحقیقات آنها بیان می کند که هر منحنی بیضوی مدولار است، به این معنی که می تواند با یک شکل مدولار منحصر به فرد مرتبط باشد.

این نظریه در ابتدا به عنوان بعید یا بسیار گمانه‌زنی رد شد، اما زمانی که نظریه‌پرداز اعداد آندره ویل شواهدی برای حمایت از یافته‌های ژاپنی یافت، جدی‌تر تلقی شد. در نتیجه، این حدس غالباً حدس تانیاما-شیمورا-ویل نامیده می شد. این بخشی از برنامه Langlands شد، که فهرستی از فرضیه های مهمی است که در آینده نیاز به اثبات دارند.

حتی پس از توجه جدی، این حدس توسط ریاضیدانان مدرن به عنوان اثبات بسیار دشوار یا شاید غیرممکن شناخته شد. اکنون این قضیه است که در انتظار اندرو وایلز است که می تواند با حل خود تمام جهان را شگفت زده کند.

قضیه فرما: اثبات پرلمن

علیرغم افسانه رایج، گریگوری پرلمن، ریاضیدان روسی، با همه نبوغ خود، هیچ ارتباطی با قضیه فرما ندارد. امری که اما به هیچ وجه چیزی از خدمات بی شمار او به جامعه علمی کم نمی کند.

n > 2 (\displaystyle n>2)معادله:

هیچ راه حلی در اعداد صحیح غیر صفر ندارد.

نسخه باریک تری از فرمول وجود دارد که بیان می کند این معادله راه حل های طبیعی ندارد. با این حال، بدیهی است که اگر برای اعداد صحیح راه حل وجود دارد، در اعداد طبیعی نیز راه حل وجود دارد. در واقع، اجازه دهید a , b , c (\displaystyle a,b,c)- اعداد صحیح که برای معادله فرما جواب می دهند. اگر n (\displaystyle n)حتی در آن زمان | یک | ، | b | ، | ج | (\displaystyle |a|,|b|,|c|)همچنین یک راه حل خواهد بود و اگر فرد باشد، با تغییر علامت، تمام قدرت های مقادیر منفی را به قسمت دیگری از معادله منتقل می کنیم. به عنوان مثال، اگر یک راه حل برای معادله وجود داشت a 3 + b 3 = c 3 (\displaystyle a^(3)+b^(3)=c^(3))و در آن a (\displaystyle a)پس منفی است و دیگران مثبت هستند b 3 = c 3 + | یک | 3 (\displaystyle b^(3)=c^(3)+|a|^(3))، و راه حل های طبیعی به دست می آوریم ج , | یک | ، ب . (\displaystyle c,|a|,b.)بنابراین، هر دو فرمول معادل هستند.

تعمیم‌های بیان قضیه فرما، حدس رد شده اویلر و حدس باز لندر-پارکین-سلفریج است.

داستان

برای این مورد، خجندی در قرن دهم سعی در اثبات این قضیه داشت، اما برهان او باقی نمانده است.

که در نمای کلیاین قضیه توسط پیر فرما در سال 1637 در حاشیه کتاب حساب دیوفانتوس فرموله شد. واقعیت این است که فرما در لابه لای رساله های ریاضی که خوانده بود یادداشت های خود را یادداشت کرده و در آنجا مسائل و قضایایی را که به ذهنش خطور می کرد صورت بندی می کرد. او قضیه مورد بحث را با یادداشتی یادداشت کرد که اثبات مبتکرانه این قضیه بسیار طولانی است که در حاشیه کتاب قرار نمی گیرد:

برعکس، غیرممکن است که یک مکعب را به دو مکعب، یک دوتایی را به دو دوتایی، و به طور کلی هر توانی بزرگتر از یک مربع را به دو توان با توان یکسان تجزیه کنیم. من یک دلیل واقعا شگفت انگیز برای این موضوع پیدا کرده ام، اما حاشیه های کتاب برای آن بسیار باریک است.

متن اصلی (لاتین)

کوچک autem در duos cubos، aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos و generaliter nullam infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

فرما تنها یک اثبات به عنوان راه حل برای مسئله ای ارائه می دهد که می تواند به توان چهارم قضیه تقلیل یابد. n = 4 (\displaystyle n=4)، در شرح چهل و پنجمین بر حساب دیوفانتوس و در نامه ای به کرکاوی (اوت 1659). علاوه بر این، فرما این مورد را نیز شامل شد n = 3 (\displaystyle n=3)به لیست مشکلات حل شده با روش فرود بی نهایت.

بسیاری از ریاضیدانان برجسته و بسیاری از آماتورهای آماتور روی اثبات کامل قضیه بزرگ کار کردند. اعتقاد بر این است که این قضیه از نظر تعداد "اثبات" نادرست در رتبه اول قرار دارد. با این وجود، این تلاش ها منجر به نتایج مهم بسیاری در نظریه اعداد مدرن شد. دیوید هیلبرت در گزارش خود "مسائل ریاضی" در دومین کنگره بین المللی ریاضیدانان (1900)، خاطرنشان کرد که جستجو برای اثبات این قضیه به ظاهر ناچیز منجر به نتایج عمیقی در نظریه اعداد شد. در سال 1908، ولفسکهل عاشق ریاضیات آلمانی، 100 هزار مارک آلمانی را به کسی که قضیه فرما را اثبات کند، وصیت کرد. با این حال، این جایزه پس از جنگ جهانی اول بی ارزش شد.

در دهه 1980 ظاهر شد رویکرد جدیدبرای حل مشکل از حدس موردل که توسط فالتینگز در سال 1983 اثبات شد، چنین برمی‌آید که معادله a n + b n = c n (\displaystyle a^(n)+b^(n)=c^(n))در n > 3 (\displaystyle n>3)می تواند تنها تعداد محدودی از راه حل های نسبتا ساده داشته باشد.

ریاضیدان آلمانی گرهارد فریپیشنهاد کرد که آخرین قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما-شیمورا است. این فرض ثابت شده است توسط کن ریبت .

آخرین گام مهم در اثبات قضیه توسط وایلز در سپتامبر 1994 برداشته شد. اثبات 130 صفحه ای او در Annals of Mathematics منتشر شد.

وایلز اولین نسخه اثبات خود را در سال 1993 (پس از هفت سال کار) منتشر کرد، اما یک [ کدام؟] شکافی که با کمک ریچارد لارنس تیلور به سرعت برطرف شد. نسخه نهایی در سال 1995 منتشر شد. در سال 2016، اندرو وایلز جایزه آبل را برای اثبات آخرین قضیه فرما دریافت کرد.

کالین مک لارتی خاطرنشان کرد که شاید بتوان اثبات وایلز را ساده کرد تا وجود به اصطلاح "کاردینال های بزرگ" را فرض نکنیم.

قضیه فرما نیز به طور پیش پا افتاده از حدس abc که اثبات آن توسط ریاضیدان ژاپنی شینیچی موچیزوکی ادعا شده است، پیروی می کند. اثبات او بسیار پیچیده است. در حال حاضر هیچ توافق روشنی در مورد کار او در جامعه ریاضی وجود ندارد.

برخی تغییرات و کلیات

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4 . (\displaystyle 2682440^(4)+15365639^(4)+18796760^(4)=20615673^(4).)

بعدها راه حل های دیگری پیدا شد. ساده ترین آنها:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4. (\displaystyle 95800^(4)+217519^(4)+414560^(4)=422481^(4).)

یکی دیگر از تعمیم رایج قضیه فرما، حدس بیل است که در سال 1993 توسط یک ریاضیدان آماتور آمریکایی که قول 1 میلیون دلار برای اثبات یا رد آن داده بود، فرموله شد.

"فرماتیست ها"

سادگی صورت‌بندی قضیه فرما (حتی برای یک دانش‌آموز قابل درک است)، و همچنین پیچیدگی تنها دلیل شناخته شده (یا ناآگاهی از وجود آن)، بسیاری را برمی‌انگیزد تا برای یافتن دلیل ساده‌تر دیگری تلاش کنند. افرادی که سعی در اثبات قضیه فرما با استفاده از روش های ابتدایی دارند، " تخمیر کننده ها" یا "فارماتیک". فرمتیست‌ها اغلب حرفه‌ای نیستند و در عملیات‌های حسابی یا استنتاج‌های منطقی اشتباه می‌کنند، اگرچه برخی «اثبات» بسیار پیچیده‌ای ارائه می‌کنند که در آنها یافتن خطا دشوار است.

اثبات قضیه فرما در بین علاقه مندان به ریاضیات به قدری رواج داشت که در سال 1972 مجله کوانتوم با انتشار مقاله ای در مورد قضیه فرما، آن را با این نکته همراه کرد: ویراستاران کوانتوم به نوبه خود لازم می دانند خوانندگان را مطلع کنند. که حروف با پیش نویس اثبات قضیه مزرعه در نظر گرفته نمی شود (و برگردانده می شود).

ادموند لاندو، ریاضیدان آلمانی، از «فرماتیست‌ها» بسیار آزار می‌داد. او برای اینکه از کار اصلی خود منحرف نشود، چند صد فرم با متن الگو که نشان دهنده خطایی در یک خط مشخص در صفحه خاصی بود سفارش داد و به دانشجویان تحصیلات تکمیلی خود دستور داد که خطا را پیدا کنند و شکاف های موجود را پر کنند. فرم

قابل توجه است که تک تک تخمیرها شواهد (نادرست) خود را در مطبوعات غیر علمی منتشر کرده اند که اهمیت آن را به یک احساس علمی تبدیل می کند. با این حال، گاهی اوقات چنین انتشاراتی در نشریات علمی معتبر ظاهر می شود، معمولاً با ردیه های بعدی. نمونه های دیگر عبارتند از:

قضیه فرما در فرهنگ و هنر

آخرین قضیه فرما به نمادی از دشوارترین مسئله علمی تبدیل شده است و اغلب در ادبیات داستانی به این عنوان ذکر می شود. در زیر برخی از آثاری است که در آنها قضیه فقط ذکر نشده است، بلکه جزء اساسی طرح یا ایدئولوژی اثر است.

• در داستانی از آرتور پورگز "سایمون فلگ و شیطان"پروفسور سایمون فلگ برای اثبات قضیه خود به شیطان روی می آورد. بر اساس این داستان یک فیلم علمی تخیلی محبوب ساخته شد. "ریاضیدان و شیطان"(اتحادیه شوروی، تولید Tsentrnauchfilm، انجمن خلاق "رنگین کمان"، کارگردان Raitburt).
  • اقتباس از فیلم: فیلم کوتاه "ریاضیدان و شیطان" (1972).
• A.P. Kazantsev در رمان خود "تیزتر از شمشیر" در سال 1983 نسخه اصلی عدم اثبات خود پیر فرما را ارائه کرد.
• در مجموعه تلویزیونی پیشتازان فضا، کاپیتان سفینه فضایی ژان لوک پیکارد با حل آخرین قضیه فرما در نیمه دوم قرن 24 متحیر بود. بنابراین، سازندگان فیلم فرض کردند که آخرین قضیه فرما تا 400 سال آینده راه حلی نخواهد داشت. سریال رویال با این قسمت در سال 1989 فیلمبرداری شد، زمانی که اندرو وایلز در همان ابتدای کار خود بود. در واقع تنها پنج سال بعد راه حلی پیدا شد.
• در قسمت هالووین 1995 سیمپسون ها، هومر سیمپسون دو بعدی به طور تصادفی به بعد سوم می رسد. در طول سفر او در این دنیای عجیب، اجسام هندسی و فرمول های ریاضی از جمله یک معادله نادرست در هوا شناور هستند. 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 (\displaystyle 1782^(12)+1841^(12)=1922^(12)). ماشین حساب این برابری را با دقت بیش از 10 رقم قابل توجه تأیید می کند: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2.541 210 259 ⋅ 291 ⋅ 291 ⋅ 59 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2.541 210 259 ⋅ 10 39 . (\displaystyle (\begin(array)(cl)1782^(12)+1841^(12)&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669 \,958\,142\,428\,526\,657\حدود 2(,)541\,210\,259\cdot 10^(39),\\1922^(12)&=2\,541\ ,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\ تقریباً 2(,)541\,210\,259\cdot 10^(39).\end(آرایه)))

با این حال، حتی بدون محاسبه مقادیر دقیق، به راحتی می توان دریافت که برابری درست نیست: سمت چپ یک عدد فرد است، و قسمت راست- زوج.

• در اولین ویرایش کتاب هنر برنامه نویسی توسط دونالد کنوت، قضیه فرما به عنوان یک تمرین ریاضی در همان ابتدای کتاب آورده شده است و حداکثر (50) امتیاز به عنوان یک مشکل تحقیقاتی که (تا جایی که نویسنده در زمان نگارش می دانست) هنوز راه حل رضایت بخشی دریافت نکرده است. اگر خواننده راه حلی برای این مشکل بیابد، از او خواسته می شود که آن را منتشر کند. علاوه بر این، نویسنده این کتاب بسیار سپاسگزار خواهد بود اگر راه حل در اسرع وقت به او ابلاغ شود (به شرط اینکه درست باشد).در ویرایش سوم کتاب، این تمرین قبلاً نیاز به دانش ریاضیات عالی دارد و فقط 45 امتیاز دارد.
• در کتاب «دختری که با آتش بازی می‌کرد» نوشته استیگ لارسون، شخصیت اصلی لیزبث سالاندر که توانایی‌های تحلیلی کمیاب و حافظه عکاسی دارد، به‌عنوان سرگرمی مشغول اثبات آخرین قضیه فرما است که در حین خواندن اثر اساسی به آن برخورد کرد. "اندازه گیری در ریاضیات"، که در آن نیز اثبات اندرو وایلز وجود دارد. لیزبث نمی خواهد اثبات تمام شده را مطالعه کند و علاقه اصلی او یافتن راه حل خودش است. بنابراین، او تمام وقت آزاد خود را به جستجوی مستقل برای "اثبات قابل توجه" قضیه فرانسوی بزرگ اختصاص می دهد، اما هر از گاهی به بن بست می رسد. در پایان کتاب، لیزبث مدرکی را پیدا می‌کند که نه تنها کاملاً با آنچه توسط وایلز پیشنهاد شده متفاوت است، بلکه آنقدر ساده است که خود فرما می‌توانست آن را بیابد. اما پس از اصابت گلوله به سر، او را فراموش می کند و لارسون هیچ جزئیاتی از این شواهد ارائه نمی دهد.
• موزیکال "آخرین مزرعه تانگو" منتشر شده، در سال 2000 توسط جاشوا روزنبلوم (eng. جاشوا روزنبلوم) و جوآن لسنر بر اساس داستان واقعیاندرو وایلز شخصیت اصلیبه نام دنیل کین اثبات قضیه را کامل می کند و خود روح فرما سعی می کند جلوی او را بگیرد.
• چند روز قبل از مرگش، آرتور سی کلارک موفق شد نسخه خطی رمان "آخرین قضیه" را که با همکاری فردریک پول روی آن کار کرده بود، مرور کند. این کتاب پس از مرگ کلارک منتشر شد.

یادداشت

1. قضیه فرما // دایره المعارف ریاضی (در 5 جلد). - م.: دایره المعارف شوروی، 1985. - T. 5.
2. دیوفانتوس اسکندریه. Arithmeticorum libri sex، et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. د فرما سناتوریس تولوسانی. تولوز، 1670، ص. 338-339.
3. فرما یک کارکاوی. از 1659.آثار دو فرما. توم دوم. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431-436.
4. یو.در مورد اثبات فرضی اویلر // یادداشت های ریاضی. - 2007. - ت. 82، شماره 3. - صص 395-400. ترجمه انگلیسی: جی جی ماچیس.در مورد اثبات فرضی اویلر (انگلیسی) // یادداشت های ریاضی: مجله. - 2007. - جلد. 82، شماره 3-4. - ص 352-356. - DOI: 10.1134/S0001434607090088.
5. دیوید گیلبرت مشکلات ریاضی:

   مشکل اثبات این عدم تصمیم گیرینمونه بارز تأثیر محرکی است که یک مشکل خاص و به ظاهر ناچیز می تواند بر علم داشته باشد. زیرا کومر به دلیل مسئله فرما به معرفی اعداد ایده آل و کشف قضیه تجزیه منحصر به فرد اعداد در میدان های سیکلوتومیک به عوامل اول ایده آل رسید - قضیه ای که به لطف تعمیم به هر حوزه اعداد جبری به دست آمده است. توسط ددکیند و کرونکر، در حال حاضر مرکزی است نظریه مدرناعداد و اهمیت آنها بسیار فراتر از نظریه اعداد به حوزه جبر و نظریه توابع می رود.

6. سولوویف یو.پی.حدس تانیاما و آخرین قضیه فرما // مجله آموزشی سوروس. - ISSEP، 1998. - T. 4، شماره 2. - صص 135-138.
7. وایلز، اندرو.منحنی های بیضی مدولار و آخرین قضیه فرما (انگلیسی) // Annals of Mathematics: journal. - 1995. - جلد. 141، شماره 3. - ص 443-551.(انگلیسی)

افراد حسود ادعا می کنند که پیر فرما، ریاضیدان فرانسوی تنها با یک عبارت نام خود را در تاریخ نوشته است. در حاشيه نسخه خطي با صورت‌بندي قضيه معروف در سال 1637، او يادداشتي داشت: «راه‌حل شگفت‌انگيزي يافتم، اما فضاي كافي براي گذاشتن آن در اينجا وجود ندارد». سپس یک مسابقه ریاضی شگفت انگیز آغاز شد که در آن به همراه دانشمندان برجسته، ارتشی از آماتورها به آن پیوستند.

موذی بودن مشکل فرما چیست؟ در نگاه اول، حتی برای یک دانش آموز قابل درک است.

این بر اساس قضیه فیثاغورث است که برای همه شناخته شده است: در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها: x 2 + y 2 = z 2. فرما استدلال کرد: معادله هر توان بزرگتر از دو راه حلی در اعداد صحیح ندارد.

ساده به نظر می رسد. دراز کنید و اینجا پاسخ است. جای تعجب نیست که آکادمی ها کشورهای مختلف, موسسات علمی، حتی سردبیران روزنامه نیز با ده ها هزار مدرک غرق شدند. تعداد آنها بی سابقه است، پس از پروژه ها در رتبه دوم قرار دارند. ماشین های حرکت دائمی"اما اگر علم جدی برای مدت طولانی به این ایده های دیوانه توجه نکرده است، کار "کشاورزان" صادقانه و با علاقه مورد مطالعه قرار می گیرد. از راه حل های قضیه تشکیل شده است.

بی جهت نیست که می گویند: آرنج نزدیک است، اما گاز نمی زنی. سال ها، دهه ها، قرن ها گذشت و وظیفه فرما به طور فزاینده ای شگفت انگیز و وسوسه انگیز به نظر می رسید. به ظاهر ساده، معلوم شد که برای پیشرفت سریع عضلانی بسیار سخت است. انسان قبلاً اتم را شکافته بود، به ژن رسیده بود، پا به ماه گذاشته بود، اما فرما تسلیم نشد و همچنان با امیدهای واهی، فرزندان خود را فریب داد.

با این حال، تلاش برای غلبه بر اوج علمی بیهوده نبود. اویلر بزرگ اولین قدم را با اثبات قضیه برای درجه چهارم و سپس برای درجه سوم برداشت. در پایان قرن نوزدهم، ارنست کومر آلمانی تعداد درجات را به صد رساند. سرانجام، دانشمندان با استفاده از رایانه، این رقم را به 100 هزار افزایش دادند. اما فرما از هر مدرکی صحبت می کرد. این تمام نکته بود.

البته دانشمندان به خاطر علاقه ورزشی به این مشکل نپرداختند. دیوید هیلبرت، ریاضیدان معروف، گفت که این قضیه نمونه ای از این است که چگونه یک مسئله به ظاهر بی اهمیت می تواند تأثیر زیادی بر علم داشته باشد. دانشمندان با کار بر روی آن، افق های ریاضی کاملاً جدیدی را باز کردند، به عنوان مثال، پایه های نظریه اعداد، جبر و نظریه توابع گذاشته شد.

و با این حال قضیه بزرگ در سال 1995 فتح شد. راه حل او توسط یک آمریکایی از دانشگاه پرینستون، اندرو وایلز ارائه شد و جامعه علمی آن را رسماً به رسمیت شناخت. او بیش از هفت سال از عمر خود را صرف یافتن دلیل کرد. به گفته دانشمندان، این کار برجسته، کارهای بسیاری از ریاضیدانان را گرد هم آورد و ارتباطات از دست رفته بین بخش های مختلف آن را بازیابی کرد.

یوری ویشنیاکوف، دبیر علمی دپارتمان ریاضیات آکادمی علوم روسیه، دکترای علوم فنی، به خبرنگار RG گفت: بنابراین، اجلاس برگزار شد و علم پاسخ آن را دریافت کرد. - قضیه ثابت شده است، البته نه به ساده ترین راه، همانطور که خود فرما اصرار داشت. و اکنون کسانی که مایلند می توانند نسخه های خود را چاپ کنند.

با این حال، خانواده "کشاورزان" به هیچ وجه نمی‌خواهند مدرک وایلز را بپذیرند. نه، آنها تصمیم آمریکایی ها را رد نمی کنند، زیرا بسیار پیچیده است و بنابراین فقط برای دایره باریکی از متخصصان قابل درک است. اما هفته ای نمی گذرد که افشاگری جدیدی از طرف یکی دیگر از علاقه مندان در اینترنت ظاهر نشود، "در نهایت به حماسه طولانی مدت پایان می دهد."

به هر حال، همین دیروز یکی از قدیمی ترین «فرمیست ها» در کشور ما، وسوولود یاروش، با تحریریه «آر جی» تماس گرفت: «و می دانید که من قضیه فرما را حتی قبل از وایلز ثابت کردم، سپس یک خطا در آن یافتم من در مورد او به ریاضیدان برجسته خود، آکادمیسین آرنولد، با درخواست برای انتشار در این مورد در یک مجله علمی، نوشتم.

و همین حالا، همانطور که در تعدادی از رسانه ها گزارش شده است، یکی دیگر از علاقه مندان، طراح عمومی سابق نرم افزار Polyot از Omsk، دکتر علوم فنی الکساندر ایلین، با "لطف سبک" راز بزرگ ریاضیات را فاش کرد. راه حل به قدری ساده و کوتاه بود که در قسمت کوچکی از فضای روزنامه یکی از نشریات مرکزی قرار گرفت.

ویراستاران RG به مؤسسه برجسته ریاضیات کشور به نام روی آوردند. Steklov RAS با درخواست ارزیابی این تصمیم. دانشمندان قاطعانه بودند: نمی توان در مورد نشریه روزنامه نظر داد. اما پس از اقناع زیاد و در نظر گرفتن علاقه فزاینده به مشکل معروف، موافقت کردند. به گفته آنها، چندین اشتباه اساسی در آخرین اثبات منتشر شده صورت گرفته است. به هر حال، حتی یک دانشجوی دانشکده ریاضی نیز به راحتی متوجه آنها می شود.

با این حال، ویراستاران می خواستند اطلاعات دست اول را به دست آورند. علاوه بر این، دیروز در آکادمی هوانوردی و هوانوردی ایلین قرار بود مدرک خود را ارائه دهد. با این حال، معلوم شد که افراد کمی در مورد چنین آکادمی، حتی در میان متخصصان، می دانند. و وقتی بالاخره بزرگترین کارموفق به یافتن شماره تلفن دبیر علمی این سازمان شد، معلوم شد که او حتی گمان هم نمی‌کرد که چنین رویداد تاریخی در آنجا رخ دهد. به طور خلاصه، خبرنگار RG نتوانست شاهد این حس جهانی باشد.

پیر فرما استدلال کرد که:

تجزیه یک مکعب به دو مکعب یا یک دوتایی به دو دوتایی غیرممکن است و به طور کلی نمی توان هر توان بزرگتر از دو را به دو توان با توان یکسان تجزیه کرد.

چگونه می توان به اثبات این ادعای فرما نزدیک شد؟

(تصویر برای جلب توجه)

بیایید تصور کنیم که یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع زیر پیدا کرده یا ساخته‌ایم: پاها - و هیپوتانوس (p، q، k، n)- اعداد طبیعی. سپس با قضیه فیثاغورث یا . بنابراین، اگر چنین مثلثی را پیدا کنیم یا بسازیم، فرما را رد خواهیم کرد. اگر ثابت کنیم که چنین مثلثی وجود ندارد، قضیه را ثابت می کنیم.

از آنجایی که عبارت با اعداد طبیعی سروکار دارد، متوجه خواهیم شد که اختلاف مربعات دو عدد طبیعی فرد برابر است. آن ها بیایید معادله را حل کنیم برای این کار مثلث هایی قائم الزاویه می سازیم که هیپوتنوز آن ها برابر است و ساق آن ها برابر است، جایی که و (الف > ب). سپس، با استفاده از قضیه فیثاغورث، می توانید پایه دوم را با استفاده از فرمول محاسبه کنید (1) ، یا (2) . ما متوجه شدیم که اضلاع این مثلث ها برابر هستند و . بنابراین می توانیم تکرار کنیم همهجفت اعداد آو باز مجموعه طبیعی (بیایید این اعداد را «مولدهای» این هویت بنامیم) و دریافت کنید همهمثلث های ممکن با خواص داده شده , . اجازه دهید ضرورت این راه حل را اثبات کنیم. بازنویسی کنیم (1) مانند . از آنجایی که Z و Y اعداد فرد هستند، می توانیم (Z - Y) = 2b و (Z + Y) = 2a بنویسیم. با حل آنها برای Z و Y، Z = (a + b) و Y = (a - b) بدست می آوریم. سپس می توانیم بنویسیم که X = 4ab و این مقادیر را جایگزین کنیم (1) ، دریافت خواهیم کرد.

توجه داشته باشید

برای جلوگیری از گرفتن مثلث های مشابه، و با توجه به آن زو Y- اعداد فرد بر اساس شرط، اعداد آو بباید نسبتاً اول و دارای برابری های مختلف باشد. ما همچنین فرض خواهیم کرد که عدد زوج است آ. برای سازماندهی توزیع مثلث های قائم الزاویه در مجموعه اعداد طبیعی ن، به صورت زیر عمل می کنیم: از این مجموعه تمام اعدادی را که زوج توان اعداد طبیعی هستند کم می کنیم. اجازه دهید این مجموعه را با کجا نشان دهیم n- عدد طبیعی. سپس از اعداد طبیعی باقیمانده، تمام اعدادی که فرد (≥3) توان اعداد طبیعی هستند را کم می کنیم و مجموعه این اعداد را به صورت . اعداد طبیعی باقیمانده مجموعه ای را تشکیل می دهند که اعداد آن اعداد طبیعی به توان اول هستند. بیایید این مجموعه را با علامت گذاری کنیم. بدیهی است که ترکیب این 3 مجموعه، مجموعه اعداد طبیعی یا . بیایید مجموعه را به صورت یک سری = (1، 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 17،………) نشان دهیم. اجازه دهید مجموعه ها را به صورت سری نمایش دهیم. سپس مجموعه ماتریسی خواهد بود متشکل از تعداد نامتناهی ردیف، هر ردیف شامل اعدادی در سری خواهد بود که به یک توان افزایش یافته است. 2n، آ n- یک شماره خط وجود دارد. بنابراین خط اول شامل مربع های تمام اعداد سری است، خط دوم از 4 توان این اعداد و غیره تشکیل شده است. بیایید مجموعه ای را در نظر بگیریم، که یک ماتریس متشکل از تعداد بی نهایت ردیف است، که هر ردیف آن شامل اعدادی در سری است که به یک توان افزایش یافته است. 2n+1. (n شماره خط است). بنابراین ردیف اول این ماتریس از مکعب های اعداد در سری، ردیف دوم از اعداد سری تا توان پنجم و غیره تشکیل شده است. بیایید مجموعه را در نظر بگیریم. زیرا ، سپس همان الگوریتم را برای ساخت مثلث می پذیریم (به بالا مراجعه کنید). بیایید «تولیدکنندگان» هویت را پیدا کنیم، اینها اعداد خواهند بود، بیایید یک هویت بسازیم: (3) ، تعداد زیادی مثلث قائم الزاویه با ضلع های عدد صحیح به دست آوردیم. در اینجا - هیپوتنوز، - ساق و - پای دوم. برای رد ادعای فرما لازم است که طرفین X، Y، Zمثلث مورد نظر برابر بودند (4) . جایی که (p، q، k، n) اعداد طبیعی هستند. با قضیه فیثاغورث یا خواهیم داشت و ادعای فرما رد خواهد شد. از هویت مشخص است که . بیایید آخرین برابری را در این برابری در نظر بگیریم. پ" تحت هیچ شرایطی " آو ب"عدد طبیعی نخواهد بود اگر . این بدان معنی است که در مجموعه مثلث های در نظر گرفته شده یک مثلث با اضلاع مورد نیاز وجود ندارد (4) .
حالا بیایید به مجموعه نگاه کنیم. بیایید نشان دهیم (2n+1)چگونه " متر"، سپس در مجموعه مثلث های قائم الزاویه توصیف شده توسط هویت را بدست می آوریم (6) . اگر بتوانیم مثلث قائم الزاویه بسازیم X، Y، Zبا احزاب (7) ، جایی که، سپس ما گفته فرما را رد می کنیم، زیرا توسط قضیه فیثاغورث و (p، q و k) اعداد طبیعی هستند. این مهم است که. با توجه به آخرین برابری، متذکر می شویم که « پ" نمی تواند یک عدد طبیعی برای هر مقدار باشد " آو ب"،، اگر . یعنی در این مجموعه مثلث ها یک مثلث با اضلاع مورد نیاز وجود ندارد (7) .

با این حال، از موارد فوق واضح است که کل اثبات به تجزیه و تحلیل عدد ختم می شود، جایی که "" برای هر طبیعی " آو ب"عددی طبیعی به توان نخواهد بود" m/2" یا (8) در شرایط یکسان یک عدد طبیعی به توان "m" نخواهد بود. از شواهد مشخص می شود که «مولدین» هویت (6) اعداد "" از سری اما، تجزیه و تحلیل هستند (8) ، می توانید به جای "" عدد را جایگزین کنید. از آنجایی که یک عدد زوج وجود دارد (به یادداشت مراجعه کنید)، پس یک عدد طبیعی است. پس از تعویض آن در (8) یعنی اعداد طبیعی به توان "m" را می گیریم. با انجام جایگزینی فوق به هویت (6) ، و با نشان دادن ، هویت زیر را بدست می آوریم: . مجموعه ای از مثلث های قائم الزاویه با اضلاع به دست آوردیم. اگر (k، q، p) اعداد طبیعی به توان فرد باشند، یعنی. که در آن r هر عدد فرد است و . برای رد فرما لازم است که: در تساوی آخر برای هر طبیعی آو ب، اعداد طبیعی هستند، اما دو برابر اول غیرممکن هستند، زیرا اگر « مترو r» هر اعداد فرد، پس آنها اعداد غیر منطقی هستند و اعداد داخل پرانتز اعداد طبیعی هستند. اگر (k، q، p) اعداد طبیعی به توان زوج باشند، یعنی. ، سپس برابرهای زیر را بدست می آوریم (5) . در این نسخه، آخرین برابری غیرممکن است، زیرا با استخراج ریشه m درجه از هر دو طرف برابری بدست می آوریم، یعنی. در پرانتز یک عدد غیر منطقی است و - یک عدد طبیعی است. این بدان معنی است که مثلث "ضروری" در این مجموعه نیز یافت نشد. این بدان معنی است که برای هر فرد « متر«گزاره فرمت برای همه نماهای ساده «m ≥ 3» درست است و بنابراین درست است.

باقی می ماند برای یافتن اثباتی برای این قضیه برای توانای زوج. از جانب (5) نتیجه می شود که اگر در بسط متعارف یک توان زوج یک عدد اول فرد وجود داشته باشد، آنگاه عبارت فرما برای این توان درست است. بدیهی است که همه اعداد زوج این شرط را دارند به جز عدد " 4 «و اعدادی که مضرب چهار هستند، یعنی. 8, 16, 32, 64 … و غیره. در بسط این اعداد فقط یک عدد اول وجود دارد 2 . بنابراین برهان فوق پاسخی برای این اختیارات نمی دهد.

بنابراین باقی مانده است که قضیه را برای " n=4" می توان فرض کرد که فرما یک برهان کلی داشت، اما نه کامل. شاید به همین دلیل مدارک خود را ننوشت. و تنها چند سال بعد، با ایجاد روش "نزول نامحدود یا نامعین" خود، ثابت کرد که هیچ مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع صحیح وجود ندارد که مساحت آن برابر با مربع یک عدد طبیعی باشد. پس از این، اثبات قضیه برای « n=4«سخت نبود. فرما این مدرک را یادداشت کرد. و قضیه کاملاً ثابت شد.

برچسب ها: قضیه فرما، اثبات مختصر