Makarskaya E.V. در کتاب: روزهای علم دانشجویی. بهار - 2011. M.: دانشگاه دولتی اقتصاد مسکو، آمار و انفورماتیک، 2011. P. 135-139.

نویسندگان کاربرد عملی نظریه معادلات دیفرانسیل خطی را برای تحقیق در نظر می گیرند سیستم های اقتصادی. این مقاله تحلیلی از مدل‌های پویا کینز و ساموئلسون هیکس با تعیین حالت‌های تعادلی سیستم‌های اقتصادی ارائه می‌کند.

Ivanov A. I., Isakov I., Demin A. V. و دیگران قسمت 5. M.: Slovo, 2012.

این کتابچه راهنمای روش های کمی برای مطالعه مصرف اکسیژن انسان در طول آزمایشات با دوز مورد بحث قرار می گیرد فعالیت بدنی، در مرکز علمی دولتی فدراسیون روسیه-IMBP RAS انجام شد. این راهنما برای دانشمندان، فیزیولوژیست ها و پزشکان شاغل در زمینه هوافضا، زیر آب و پزشکی ورزشی در نظر گرفته شده است.

Mikheev A.V. سنت پترزبورگ: گروه چاپ عملیاتی دانشکده عالی اقتصاد دانشگاه تحقیقات ملی - سن پترزبورگ، 2012.

این مجموعه شامل مسائلی برای درس معادلات دیفرانسیل است که توسط نویسنده در دانشکده اقتصاد دانشکده عالی اقتصاد دانشگاه تحقیقات ملی - سن پترزبورگ تدریس می شود. در ابتدای هر مبحث، خلاصه‌ای از حقایق نظری اصلی آورده شده و نمونه‌هایی از راه‌حل‌های مسائل معمولی تحلیل می‌شوند. برای دانشجویان و دانشجویان برنامه های آموزش عالی حرفه ای.

کوناکوف وی. دی. STI. WP BRP. انتشارات هیئت امنای دانشکده مکانیک و ریاضیات دانشگاه دولتی مسکو، 2012. شماره 2012.

این کتاب درسی بر اساس یک دوره خاص به انتخاب دانشجو است که توسط نویسنده در دانشکده مکانیک و ریاضیات دانشگاه دولتی مسکو ارائه شده است. M.V. لومونوسوف در سال های تحصیلی 2010-2012. این کتابچه راهنمای خواننده را با روش پارامتریکس و آنالوگ گسسته آن آشنا می‌کند که اخیراً توسط نویسنده کتابچه راهنما و همکارانش ایجاد شده است. این مطالب را گرد هم می آورد که قبلاً فقط در تعدادی از مقالات مجلات موجود بود. هدف نویسنده بدون تلاش برای حداکثر کلیت ارائه، نشان دادن قابلیت‌های روش در اثبات قضایای حدی محلی در مورد همگرایی زنجیره‌های مارکوف به فرآیند انتشار و به دست آوردن تخمین‌های دو طرفه از نوع آرونسون برای برخی انتشارات منحط بود.

Iss. 20. نیویورک: اسپرینگر، 2012.

این نشریه مجموعه ای از مقالات برگزیده سومین کنفرانس بین المللی دینامیک است سیستم های اطلاعاتی"، که در دانشگاه فلوریدا، 16 تا 18 فوریه 2011 برگزار شد. هدف از این کنفرانس گرد هم آوردن دانشمندان و مهندسان صنعت، دولت و دانشگاه برای تبادل اکتشافات و نتایج جدید در مورد موضوعات مرتبط با تئوری و عمل دینامیک سیستم های اطلاعاتی بود. دینامیک سیستم های اطلاعاتی: یک کشف ریاضی نشان دهنده تحقیقات مدرنو برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققانی که به آخرین اکتشافات در نظریه اطلاعات و سیستم های پویا علاقه مند هستند در نظر گرفته شده است. دانشمندان در رشته های دیگر نیز ممکن است از به کارگیری پیشرفت های جدید در حوزه های تحقیقاتی خود سود ببرند.

Palvelev R., Sergeev A. G. مجموعه مقالات موسسه ریاضی. V.A. Steklov RAS. 2012. T. 277. صص 199-214.

حد آدیاباتیک در معادلات هذلولی Landau-Ginzburg مورد مطالعه قرار گرفته است. با استفاده از این حد، تناظری بین جواب های معادلات گینزبورگ-لانداو و مسیرهای آدیاباتیک در فضای مدول های راه حل های ایستا به نام گرداب برقرار می شود. مانتون یک اصل آدیاباتیک اکتشافی را پیشنهاد کرد و فرض کرد که هر راه حل معادلات گینزبورگ-لانداو با انرژی جنبشی به اندازه کافی کم را می توان به عنوان اختلال در برخی از مسیرهای آدیاباتیک به دست آورد. اثبات دقیق این واقعیت اخیراً توسط نویسنده اول پیدا شده است

ما یک فرمول صریح برای شبه ایزومورفیسم بین اپرادهای Hycomm (همسانی فضای مدول منحنی‌های جنس 0 پایدار) و BV/Δ (ضریب هموتوپی اپراد Batalin-Vilkovisky توسط اپراتور BV) ارائه می‌دهیم. به عبارت دیگر ما معادلی از جبرهای Hycomm و جبرهای BV را به دست می‌آوریم که با یک هموتوپی افزایش یافته است که عملگر BV را بی‌اهمیت می‌کند. این فرمول ها بر اساس نمودارهای Givental ارائه شده اند و به دو روش مختلف اثبات شده اند. یک اثبات از عمل گروه Givental استفاده می کند، و اثبات دیگر از طریق زنجیره ای از فرمول های صریح در وضوح های Hycomm و BV می گذرد. رویکرد دوم، به ویژه، توضیح همسانی از اقدام گروه Givental در Hycomm-جبرها را ارائه می دهد.

تحت علمی ویراستار: شماره A. Mikhailov. 14. M.: دانشکده جامعه شناسی دانشگاه دولتی مسکو، 2012.

مقالات این مجموعه بر اساس گزارش های ارائه شده در سال 2011 در دانشکده جامعه شناسی دانشگاه دولتی مسکو نوشته شده است. M.V. لومونوسوف در نشست چهاردهم سمینار علمی سالانه میان رشته ای "مدل سازی ریاضی فرآیندهای اجتماعی" به نام. قهرمان سوسیالیست کار آکادمیک A.A. سامارا.

این نشریه برای محققان، معلمان، دانشجویان دانشگاه ها و موسسات علمی آکادمی علوم روسیه، علاقه مند به مشکلات، توسعه و اجرای روش برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای اجتماعی در نظر گرفته شده است.

این دوره از سخنرانی ها برای بیش از 10 سال برای دانشجویان ریاضیات نظری و کاربردی در دانشگاه ایالتی شرق دور ارائه شده است. مطابق با استاندارد نسل دوم برای این تخصص ها است. برای دانشجویان و دانشجویان رشته ریاضی پیشنهاد می شود.

قضیه کوشی در مورد وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای مسئله کوشی برای یک معادله مرتبه اول.
در این بخش با اعمال محدودیت های خاصی در سمت راست یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول، وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل تعیین شده توسط داده های اولیه (x0,y0) را اثبات خواهیم کرد. اولین اثبات وجود جواب برای معادلات دیفرانسیل به دلیل کوشی است. اثبات زیر توسط پیکارد ارائه شده است. با استفاده از روش تقریب های متوالی تولید می شود.

فهرست مطالب
1. معادلات مرتبه اول
1.0. معرفی
1.1. معادلات قابل تفکیک
1.2. معادلات همگن
1.3. معادلات همگن تعمیم یافته
1.4. معادلات خطی مرتبه اول و معادلات قابل تقلیل به آنها
1.5. معادله برنولی
1.6. معادله ریکاتی
1.7. معادله در مجموع دیفرانسیل
1.8. عامل یکپارچه سازی ساده ترین موارد برای یافتن عامل یکپارچه
1.9. معادلات با توجه به مشتق حل نشده است
1.10. قضیه کوشی در مورد وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای مسئله کوشی برای یک معادله مرتبه اول
1.11. نکات ویژه
1.12. راه حل های ویژه
2. معادلات مرتبه بالاتر
2.1. مفاهیم و تعاریف اساسی
2.2. انواع معادلات مرتبه n ام قابل حل در ربع
2.3. انتگرال های میانی معادلاتی که امکان کاهش به ترتیب را فراهم می کند
3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n
3.1. مفاهیم اساسی
3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه n
3.3. کاهش ترتیب یک معادله همگن خطی
3.4. معادلات خطی ناهمگن
3.5. کاهش ترتیب در یک معادله ناهمگن خطی
4. معادلات خطی با ضرایب ثابت
4.1. معادله خطی همگن با ضرایب ثابت
4.2. معادلات خطی ناهمگن با ضرایب ثابت
4.3. معادلات خطی مرتبه دوم با جواب های نوسانی
4.4. ادغام از طریق سری پاور
5. سیستم های خطی
5.1. سیستم های ناهمگن و همگن. برخی از خواص راه حل های سیستم های خطی
5.2. شرایط لازم و کافی برای استقلال خطی محلول های یک سیستم همگن خطی
5.3. وجود یک ماتریس بنیادی. ساخت یک راه حل کلی برای یک سیستم همگن خطی
5.4. ساخت کل مجموعه ماتریس های اساسی یک سیستم همگن خطی
5.5. سیستم های ناهمگن ساخت یک راه حل کلی با روش تغییر ثابت دلخواه
5.6. سیستم های همگن خطی با ضرایب ثابت
5.7. برخی از اطلاعات از نظریه توابع ماتریس
5.8. ساخت ماتریس اساسی سیستم معادلات همگن خطی با ضرایب ثابت در حالت کلی
5.9. قضیه وجود و قضایای خواص تابعی راه حل های سیستم های معمولی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
6. عناصر تئوری پایداری
6.1
6.2. ساده ترین انواع نقاط استراحت
7. معادلات دیفرانسیل جزئی از مرتبه 1
7.1. معادله دیفرانسیل جزئی همگن خطی مرتبه 1
7.2. معادله دیفرانسیل جزئی خطی ناهمگن مرتبه 1
7.3. سیستم دو معادله دیفرانسیل جزئی با 1 تابع مجهول
7.4. معادله پفاف
8. گزینه هایی برای وظایف آزمون
8.1. تست №1
8.2. تست شماره 2
8.3. تست شماره 3
8.4. تست شماره 4
8.5. تست شماره 5
8.6. تست شماره 6
8.7. تست شماره 7
8.8. تست شماره 8.

دانلود رایگان کتاب الکترونیکیدر قالبی مناسب، تماشا کنید و بخوانید:
دانلود کتاب دوره سخنرانی معادلات دیفرانسیل معمولی Shepeleva R.P. 2006 - fileskachat.com دانلود سریع و رایگان.

پی دی اف دانلود کنید
در زیر می توانید این کتاب را با بهترین قیمت با تخفیف با تحویل در سراسر روسیه خریداری کنید.

Alexander Viktorovich Abrosimov تاریخ تولد: 16 نوامبر 1948 (1948 11 16) محل تولد: Kuibyshev تاریخ مرگ ... ویکی پدیا

I معادلات دیفرانسیل معادلاتی هستند که شامل توابع مورد نیاز، مشتقات آنها از مرتبه های مختلف و متغیرهای مستقل هستند. نظریه D. u. در پایان قرن 17 بوجود آمد. تحت تأثیر نیازهای مکانیک و سایر رشته های علوم طبیعی،... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) یک معادله دیفرانسیل به شکلی است که در آن تابع مجهول (احتمالاً یک تابع برداری، سپس، به عنوان یک قاعده، یک تابع برداری با مقادیر در فضای همان بعد است؛ در این ... ... ویکیپدیا

ویکی‌پدیا مقالاتی درباره افراد دیگر با این نام خانوادگی دارد، به یودوویچ مراجعه کنید. ویکتور یوسفوویچ یودوویچ تاریخ تولد: 4 اکتبر 1934 (1934 10 04) محل تولد: تفلیس، اتحاد جماهیر شوروی تاریخ مرگ ... ویکی پدیا

دیفرانسیل- (دیفرانسیل) تعریف دیفرانسیل، تابع دیفرانسیل، دیفرانسیل قفل کننده اطلاعاتی در مورد تعریف دیفرانسیل، تابع دیفرانسیل، دیفرانسیل قفل کننده محتویات مطالب ریاضی توضیحات غیررسمی... ... دایره المعارف سرمایه گذار

یکی از مفاهیم اساسی در نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی. نقش X در خصوصیات اساسی این معادلات مانند خواص محلی راه حل ها، حل پذیری مسائل مختلف، درستی آنها و غیره آشکار می شود. اجازه دهید... ... دایره المعارف ریاضی

معادله ای که در آن مجهول تابعی از یک متغیر مستقل است و این معادله نه تنها خود تابع مجهول را شامل می شود، بلکه مشتقات مرتبه های مختلف آن را نیز شامل می شود. اصطلاح معادلات دیفرانسیل توسط G..... ... دایره المعارف ریاضی

Trenogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenogin در یک سخنرانی در MISiS تاریخ تولد ... ویکی پدیا

ترنوگین، ولادیلن الکساندروویچ ترنوگین ولادیلن الکساندروویچ وی. آ. ترنوگین در یک سخنرانی در MISiS تاریخ تولد: 1931 (1931) ... ویکی پدیا

معادله گاوس، یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی از مرتبه 2 یا به شکل خود الحاقی، متغیرها و پارامترها در حالت کلی می توانند هر مقدار پیچیده ای را به خود بگیرند. پس از تعویض، فرم کاهش یافته به دست می آید... ... دایره المعارف ریاضی

"سخنرانی در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی بخش 1. عناصر نظریه عمومی کتاب درسی مقرراتی را که اساس نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی را تشکیل می دهد، ارائه می دهد: ..."

-- [ صفحه 1 ] --

A. E. Mamontov

سخنرانی در مورد معمولی

معادلات دیفرانسیل

عناصر نظریه عمومی

کتابچه راهنمای آموزشی مفاد تشکیل دهنده را مشخص می کند

اساس نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی: مفهوم راه حل ها، وجود آنها، منحصر به فرد بودن،

وابستگی به پارامترها همچنین (در بند 3) به حل "صریح" طبقات معینی از معادلات توجه شده است. این راهنما برای مطالعه عمیق دوره "معادلات دیفرانسیل" توسط دانشجویانی که در دانشکده ریاضیات دانشگاه دولتی نووسیبیرسک تحصیل می کنند در نظر گرفته شده است.

UDC 517.91 BBK V161.61 مقدمه آموزشدر نظر گرفته شده برای دانشجویان دانشکده ریاضیات دانشگاه دولتی نووسیبیرسک که مایل به مطالعه دوره اجباری "معادلات دیفرانسیل" در یک دامنه گسترده هستند. مفاهیم اساسی و نتایجی که پایه و اساس نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی را تشکیل می دهند به خوانندگان ارائه می شود: مفاهیمی در مورد راه حل ها، قضایایی در مورد وجود آنها، منحصر به فرد بودن و وابستگی به پارامترها. مطالب شرح داده شده در قالب یک متن منطقی پیوسته در §§ 1، 2، 4، 5 ارائه شده است. همچنین (در § 3، که تا حدودی جدا است و به طور موقت رشته اصلی دوره را قطع می کند) محبوب ترین روش های " به صراحت” یافتن راه حل برای کلاس های معینی از معادلات به اختصار مورد بحث قرار می گیرد. در اولین مطالعه شما، § 3 را می توان بدون آسیب قابل توجهی به ساختار منطقی دوره نادیده گرفت.

ورزش نقش مهمی در مقادیر زیاددر متن گنجانده شده است. اکیداً به خواننده توصیه می شود که آنها را "در پاشنه داغ" حل کند که جذب مواد را تضمین می کند و به عنوان یک آزمایش عمل می کند. علاوه بر این، اغلب این تمرین ها تار و پود منطقی را پر می کنند، یعنی بدون حل آنها، همه مفاد به شدت ثابت نمی شوند.

در کروشه های مربع در وسط متن، نظراتی نوشته می شوند که به عنوان کامنت (توضیحات بسط داده شده یا جانبی) عمل می کنند. از نظر لغوی، این قطعات متن اصلی را قطع می کنند (یعنی برای خواندن منسجم باید "نادیده گرفته شوند")، اما همچنان به عنوان توضیح مورد نیاز هستند. به عبارت دیگر، این قطعات را باید به گونه ای درک کرد که گویی به حاشیه کشیده شده اند.

متن حاوی «یادداشت‌هایی برای معلم» است که به طور جداگانه دسته‌بندی شده است - هنگام خواندن دانش‌آموزان می‌توان آنها را حذف کرد، اما برای معلمی که از کتابچه راهنمای کاربر استفاده می‌کند، به عنوان مثال، هنگام سخنرانی مفید است - آنها به درک بهتر منطق دوره کمک می‌کنند. و جهت بهبودهای احتمالی (توسعه) دوره را نشان می دهد. با این حال، تسلط دانشجویان بر این نظرات تنها قابل استقبال است.

نقش مشابهی توسط "توجیهات برای معلم" ایفا می شود - آنها به شکلی بسیار مختصر، اثبات برخی مفاد ارائه شده به خواننده را به عنوان تمرین ارائه می دهند.

پرکاربردترین اصطلاحات (کلیدی) در قالب اختصارات استفاده می شود که برای سهولت فهرستی از آنها در پایان آورده شده است. همچنین فهرستی از نمادهای ریاضی وجود دارد که در متن ظاهر می‌شوند، اما جزو رایج‌ترین نشانه‌های استفاده‌شده نیستند (و/یا به وضوح در ادبیات درک نشده‌اند).

نماد به معنای پایان برهان، بیانیه، اظهار نظر و غیره است (در صورت لزوم برای جلوگیری از سردرگمی).

فرمول ها به طور مستقل در هر پاراگراف شماره گذاری می شوند. هنگام ارجاع به بخشی از یک فرمول، از شاخص ها استفاده می شود، برای مثال (2)3 به معنای قسمت سوم فرمول (2) است (قسمت هایی از فرمول قطعاتی هستند که از نظر تایپی با یک فاصله از هم جدا شده اند و از نظر منطقی - توسط رابط "و").

این راهنما نمی تواند به طور کامل جایگزین مطالعه عمیق موضوع شود، که برای مثال به تمرین های مستقل و خواندن ادبیات اضافی نیاز دارد، که لیست آن در انتهای کتابچه راهنما آورده شده است. با این حال، نویسنده سعی کرد مفاد اصلی نظریه را به شکلی نسبتاً مختصر و مناسب برای یک دوره سخنرانی ارائه کند. در این راستا، لازم به ذکر است که هنگام مطالعه یک دوره سخنرانی در این راهنما، حدود 10 سخنرانی طول می کشد.

برنامه ریزی شده است که 2 بخش (جلد) دیگر که ادامه این راهنما است منتشر شود و در نتیجه چرخه سخنرانی با موضوع "معادلات دیفرانسیل معمولی" تکمیل شود: بخش 2 (معادلات خطی)، بخش 3 (تئوری بیشتر معادلات غیر خطی، مرتبه اول). معادلات دیفرانسیل جزئی).

§ 1. مقدمه یک معادله دیفرانسیل (DE) رابطه ای از شکل u1 u1 un، مشتقات بالاتر F y، u(y)،...، = 0، y1 y2 yk (1) است که در آن y = (y1،). ..، yk) Rk متغیرهای مستقل هستند و u = u(y) توابع ناشناخته1، u = (u1،...، un). بنابراین، در (1) n مجهول وجود دارد، بنابراین n معادله مورد نیاز است، یعنی F = (F1،...، Fn)، بنابراین (1) به طور کلی، سیستمی از n معادله است. اگر فقط یک تابع مجهول وجود داشته باشد (n = 1)، معادله (1) اسکالر (یک معادله) است.

بنابراین، تابع(های) F داده می شود و u جستجو می شود. اگر k = 1 باشد، (1) ODE و در غیر این صورت PDE نامیده می شود. مورد دوم موضوع دوره ویژه MMF است که در مجموعه ای از کتاب های درسی به همین نام ارائه شده است. در این سری از راهنماها (شامل 3 قسمت-جلد) تنها به بررسی ODE ها می پردازیم، به استثنای آخرین پاراگراف قسمت آخر (جلد) که در آن شروع به مطالعه برخی از موارد خاص PDE خواهیم کرد.

2u u مثال. 2 = 0 یک PDE است.

y1 y کمیت های ناشناخته u می توانند واقعی یا مختلط باشند، که اهمیتی ندارد، زیرا این نکته فقط به شکل نوشتن معادلات مربوط می شود: هر رکورد مختلط را می توان با جدا کردن قسمت های واقعی و خیالی به یک واقعی تبدیل کرد (اما در عین حال زمان، البته، دو برابر کردن تعداد معادلات و مجهولات)، و بالعکس، در برخی موارد راحت است که به یک نماد پیچیده بروید.

du d2v dv · 2 = uv; u3 = 2. این یک سیستم از 2 ODE مثال است.

dy dy dy برای 2 تابع مجهول از متغیر مستقل y.

اگر k = 1 (ODE)، از نماد "مستقیم" d/dy استفاده می شود.

u(y) du مثال. exp(sin z)dz یک ODE است زیرا دارای یک مثال است. = u(u(y)) برای n = 1 یک معادله دیفرانسیل نیست، بلکه یک معادله دیفرانسیل تابعی است.

این یک معادله دیفرانسیل نیست، بلکه یک معادله انتگرال دیفرانسیل است. با این حال، به طور خاص معادله (2) را می توان به راحتی به یک ODE کاهش داد:

ورزش. (2) را به یک ODE کاهش دهید.

اما به طور کلی، معادلات انتگرال شی پیچیده تری هستند (در دوره تحلیل تابعی تا حدی مورد مطالعه قرار می گیرد)، اگرچه، همانطور که در زیر خواهیم دید، با کمک آنها است که برخی از نتایج برای ODE ها به دست می آید.

DEها هم از نیازهای درون ریاضی (مثلاً در هندسه دیفرانسیل) و هم در کاربردها (از لحاظ تاریخی برای اولین بار و اکنون عمدتاً در فیزیک) ناشی می شوند. ساده ترین DE "مسئله اصلی حساب دیفرانسیل" در مورد بازیابی یک تابع از مشتق آن است: = h(y). همانطور که از تجزیه و تحلیل مشخص است، محلول آن به شکل u(y) = + h(s)ds است. DE های عمومی تر به روش های خاصی برای حل خود نیاز دارند. با این حال، همانطور که بعداً خواهیم دید، تقریباً تمام روش‌ها برای حل ODE‌ها "به شکل صریح" اساساً به مورد بی‌اهمیت نشان داده شده کاهش می‌یابند.

در برنامه های کاربردی، ODE ها اغلب هنگام توصیف فرآیندهایی که در طول زمان توسعه می یابند، به وجود می آیند، بنابراین نقش متغیر مستقل معمولاً با زمان t بازی می شود.

بنابراین، منظور از ODE در چنین برنامه هایی توصیف تغییر در پارامترهای سیستم در طول زمان است، بنابراین، هنگام ساخت یک نظریه کلی ODE، به راحتی می توان متغیر مستقل را با t نشان داد (و آن را زمان با تمام اصطلاحات بعدی نامید. پیامدها)، و تابع (های) مجهول - از طریق x = (x1،...، xn). بدین ترتیب، فرم کلیسیستم ODE (سیستم ODE) به شرح زیر است:

که در آن F = (F1،...، Fn) - یعنی این یک سیستم از n ODE برای n تابع x است، و اگر n = 1، یک ODE برای 1 تابع x است.

در این مورد، x = x(t)، t R، و x به طور کلی دارای مقادیر پیچیده هستند (این برای راحتی است، زیرا برخی از سیستم ها فشرده تر نوشته می شوند).

آنها می گویند که سیستم (3) دارای مرتبه m در تابع xm است.

مشتقات را senior و بقیه (شامل xm = خودشان) Junior نامیده می شوند. اگر همه m = باشد، به سادگی می گوییم که ترتیب سیستم برابر است.

درست است، عدد m اغلب به ترتیب سیستم نامیده می شود، که طبیعی است، همانطور که بعدا مشخص خواهد شد.

ما مسئله نیاز به مطالعه ODE ها و کاربردهای آنها را به اندازه کافی توسط سایر رشته ها (هندسه دیفرانسیل، آنالیز ریاضی، مکانیک نظریو غیره)، و تا حدی در طول پوشیده شده است کلاس های عملیهنگام حل مسائل (مثلاً از کتاب مسئله). در این دوره به طور انحصاری به مطالعه ریاضی سیستم های نوع (3) می پردازیم که مستلزم پاسخگویی به سوالات زیر است:

1. "حل" معادله (سیستم) به چه معناست (3);

2. چگونه آن را انجام دهیم.

3. این محلول ها چه خواصی دارند، چگونه آنها را مطالعه کنیم.

سوال 1 آنطور که به نظر می رسد واضح نیست - به زیر مراجعه کنید. بیایید فوراً توجه کنیم که هر سیستم (3) را می توان به یک سیستم مرتبه اول کاهش داد و مشتقات پایین تر را به عنوان توابع ناشناخته جدید نشان داد. ساده ترین راه برای توضیح این روش با یک مثال است:

از 5 معادله برای 5 مجهول. به راحتی می توان فهمید که (4) و (5) معادل هستند به این معنا که راه حل یکی از آنها (پس از طراحی مجدد مناسب) راه حل دیگری است. در این مورد، ما فقط باید مسئله روان بودن راه حل ها را مشخص کنیم - این کار را بعداً وقتی با ODE های درجه بالاتر (یعنی نه اول) روبرو می شویم، انجام خواهیم داد.

اما اکنون واضح است که فقط کافی است ODE های مرتبه اول را مطالعه کنید، در حالی که ممکن است دیگران فقط برای راحتی علامت گذاری مورد نیاز باشند (ما گاهی اوقات با چنین وضعیتی روبرو خواهیم شد).

حالا بیایید خودمان را به ODE های مرتبه اول محدود کنیم:

dimx = dimF = n.

مطالعه معادله (سیستم) (6) به دلیل حل نشدن آن با توجه به مشتقات dx/dt ناخوشایند است. همانطور که از تجزیه و تحلیل (از قضیه تابع ضمنی) مشخص است، تحت شرایط خاصی در F، معادله (6) را می توان با توجه به dx/dt حل کرد و به شکلی نوشت که در آن f: Rn+1 Rn داده می شود، و x: R Rn مورد نظر است. آنها می گویند که (7) یک ODE مجاز با توجه به مشتقات است (ODE به شکل عادی). هنگام انتقال از (6) به (7)، طبیعتاً ممکن است مشکلاتی پیش بیاید:

مثال. معادله exp(x) = 0 را نمی توان به شکل (7) نوشت و اصلاً جوابی ندارد، یعنی exp حتی در صفحه مختلط صفر ندارد.

مثال. معادله x 2 + x2 = 1 وقتی حل شد به صورت دو ODE معمولی x = ± 1 x2 نوشته می شود. هر یک از آنها باید حل شود و سپس نتیجه تفسیر شود.

اظهار نظر. هنگام کاهش (3) به (6)، اگر (3) نسبت به برخی تابع یا بخشی از توابع 0 مرتبه داشته باشد (یعنی معادله دیفرانسیل تابعی است) ممکن است مشکل ایجاد شود. اما پس از آن این توابع باید توسط قضیه تابع ضمنی حذف شوند.

مثال. x = y، xy = 1 x = 1/x. باید x را از ODE بدست آمده و سپس y را از معادله تابعی پیدا کنید.

اما در هر صورت مسئله گذر از (6) به (7) بیشتر به حوزه تحلیل ریاضی تعلق دارد تا DE و به آن نمی پردازیم. با این حال، هنگام حل یک ODE از فرم (6)، ممکن است لحظات جالبی از دیدگاه ODE ایجاد شود، بنابراین این موضوع در هنگام حل مسائل (همانطور که انجام شد، به عنوان مثال در) مناسب است و مورد مطالعه قرار خواهد گرفت. در § 3 کمی به آن پرداخته شد. اما در ادامه دوره ما فقط با سیستم ها و معادلات عادی سروکار خواهیم داشت. بنابراین، اجازه دهید ODE (سیستم ODE) (7) را در نظر بگیریم. بیایید یک بار آن را به شکل جزء بنویسیم:

مفهوم "حل (7)" (و به طور کلی، هر DE) مدتهاست که به عنوان جستجو برای "فرمول صریح" برای حل (یعنی به شکل توابع ابتدایی، ضد مشتقات آنها، یا توابع ویژه و غیره درک شده است. .)، بدون تاکید بر صافی محلول و فاصله تعیین آن. با این حال، وضعیت فعلی تئوری ODE ها و سایر شاخه های ریاضیات (و علوم طبیعی به طور کلی) نشان می دهد که این رویکرد رضایت بخش نیست - البته فقط به این دلیل که بخشی از ODE ها که می توانند متمایل به چنین "ادغام صریح" باشند بسیار کوچک است. (حتی برای ساده ترین ODE x = f (t) مشخص است که یک راه حل در توابع ابتدایی نادر است، اگرچه یک "فرمول صریح" وجود دارد).

مثال. معادله x = t2 + x2، با وجود سادگی بسیار زیاد، هیچ راه حلی در توابع ابتدایی ندارد (و حتی یک "فرمول" در اینجا وجود ندارد).

و اگرچه دانستن آن دسته از ODEها که امکان ایجاد "صراحتا" یک راه حل برای آنها وجود دارد مفید است (مشابه با میزان مفید بودن "محاسبه انتگرال" در صورت امکان، اگرچه این بسیار نادر است) از این نظر، اصطلاحات "ادغام"، "انتگرال ODE" (آنالوگ های قدیمی مفاهیم مدرن "حل ODE"، "حل یک ODE") معمولی هستند. اکنون نحوه درک اصطلاحات مدرن را توضیح خواهیم داد.

و این موضوع در بند 3 مورد بحث قرار خواهد گرفت (و به طور سنتی هنگام حل مسائل در کلاس های عملی به آن توجه زیادی می شود) اما نباید از این رویکرد انتظار جهانی داشت. به عنوان یک قاعده، با فرآیند حل (7) ما مراحل کاملاً متفاوتی را درک خواهیم کرد.

باید مشخص شود که کدام تابع x = x(t) را می توان راه حل (7) نامید.

اول از همه، ما متذکر می شویم که فرمول روشن مفهوم یک راه حل بدون نشان دادن مجموعه ای که بر اساس آن تعریف شده است غیرممکن است، زیرا یک راه حل یک تابع است، و هر کارکردی (طبق تعریف مدرسه) یک قانون است که هر عنصری از یک مجموعه معین (که دامنه تعریف این تابع نامیده می شود) برخی از عناصر مجموعه دیگر (مقادیر تابع) را به هم مرتبط می کند. بنابراین، صحبت در مورد یک تابع بدون مشخص کردن محدوده تعریف آن، بنا به تعریف پوچ است. توابع تحلیلی (به طور کلی، ابتدایی) به دلایلی که در زیر ذکر شده است (و برخی دیگر) به عنوان یک "استثنا" (گمراه کننده) عمل می کنند، اما در مورد کنترل از راه دور، چنین آزادی هایی غیرقابل قبول است.

و به طور کلی بدون مشخص کردن مجموعه تعاریف همه توابع درگیر در (7). همانطور که از آنچه در ادامه خواهد آمد، توصیه می شود که مفهوم یک راه حل را به طور دقیق به مجموعه تعریف آن مرتبط کنیم، و اگر مجموعه های تعریف آنها متفاوت است، راه حل ها را متفاوت در نظر بگیریم، حتی اگر در تقاطع این مجموعه ها، راه حل ها بر هم منطبق باشند.

اغلب، در موقعیت‌های خاص، این بدان معناست که اگر راه‌حل‌ها به شکل توابع ابتدایی ساخته می‌شوند، به طوری که 2 راه‌حل دارای «فرمول یکسان» هستند، همچنین لازم است مشخص شود که آیا مجموعه‌هایی که این فرمول‌ها روی آن نوشته شده‌اند، هستند یا خیر. یکسان. سردرگمی که برای مدت طولانی بر این موضوع حاکم بود، تا زمانی که راه‌حل‌ها به شکل توابع ابتدایی در نظر گرفته می‌شد، قابل توجیه بود، زیرا توابع تحلیلی به وضوح در فواصل گسترده‌تری گسترش می‌یابند.

مثال. x1(t) = et on (0.2) و x2(t) = et on (1.3) راه حل های متفاوتی برای معادله x = x هستند.

در این مورد، طبیعی است که یک بازه باز (شاید بی نهایت) را به عنوان مجموعه تعریف هر راه حل در نظر بگیریم، زیرا این مجموعه باید به صورت زیر باشد:

1. باز، به طوری که در هر نقطه صحبت از مشتق (دو طرفه) منطقی است.

2. منسجم، به طوری که راه حل به قطعات جدا از هم جدا نشود (در این مورد راحت تر است که در مورد چندین راه حل صحبت کنید) - به مثال قبلی مراجعه کنید.

بنابراین، راه حل (7) جفت (، (a، b)) است، که در آن b +، در (a، b) تعریف شده است.

توجه به مربی برخی از کتاب‌های درسی گنجاندن انتهای یک بخش را در حوزه تعریف راه‌حل مجاز می‌دانند، اما به دلیل اینکه فقط ارائه را پیچیده می‌کند و تعمیم واقعی ارائه نمی‌دهد، این نامناسب است (به بند 4 مراجعه کنید).

برای سهولت درک استدلال بیشتر، استفاده از تفسیر هندسی (7) مفید است. در فضای Rn+1 = ((t, x)) در هر نقطه (t, x) که f تعریف شده است، می توانیم بردار f (t، x) را در نظر بگیریم. اگر در این فضا نموداری از راه حل (7) بسازیم (به آن منحنی انتگرال سیستم (7) می گویند)، آنگاه از نقاطی به شکل (t, x(t)) تشکیل شده است. وقتی t (a, b) تغییر می کند، این نقطه در امتداد IR حرکت می کند. مماس بر IR در نقطه (t, x(t)) به شکل (1, x (t)) = (1, f (t, x(t)) است. بنابراین، IR آن دسته از منحنی‌هایی هستند که در فضای Rn+1 هستند که در هر نقطه (t, x) دارای مماس موازی با بردار (1, f (t, x)) هستند. به اصطلاح بر اساس این ایده ساخته شده است. روش ایزوکلاین برای ساخت تقریبی IC، که هنگام به تصویر کشیدن نمودارهای راه حل برای ODE های خاص استفاده می شود (نگاه کنید به.

مثلا ). به عنوان مثال، برای n = 1، ساخت ما به این معنی است: در هر نقطه از IR، تمایل آن به محور t دارای ویژگی tg = f (t، x) است. طبیعی است که فرض کنیم، با گرفتن هر نقطه از مجموعه تعریف f، می‌توانیم یک IR از طریق آن رسم کنیم. این ایده در زیر به شدت اثبات خواهد شد. در حال حاضر، ما فاقد یک فرمول دقیق از صافی راه حل ها هستیم - این در زیر انجام خواهد شد.

حال باید مجموعه B را که f روی آن تعریف شده است را مشخص کنیم. گرفتن این مجموعه طبیعی است:

1. باز (به طوری که آی سی می تواند در همسایگی هر نقطه از B ساخته شود)، 2. متصل (در غیر این صورت، تمام قطعات متصل را می توان جداگانه در نظر گرفت - به هر حال، IR (به عنوان نمودار یک تابع پیوسته) نمی تواند بپرد. از یک قطعه به قطعه دیگر، بنابراین این امر بر کلیت جستجوی راه حل ها تأثیر نمی گذارد).

ما فقط راه حل های کلاسیک (7) را در نظر می گیریم، یعنی به گونه ای که خود x و x آن در (a, b) پیوسته باشند. پس طبیعی است که f C(B) را بخواهیم. علاوه بر این، این الزام همیشه توسط ما وجود دارد. بنابراین، ما در نهایت تعریف را دریافت می کنیم. فرض کنید B Rn+1 یک ناحیه، f C(B) باشد.

یک جفت (، (a، b))، a b +، تعریف شده در (a، b)، یک راه حل (7) نامیده می شود اگر C(a، b)، برای هر t (a، b) نقطه (t، ( t) ) B و (t) وجود دارد، و (t) = f (t, (t)) (سپس به طور خودکار C 1(a, b)).

از نظر هندسی واضح است که (7) راه‌حل‌های زیادی خواهد داشت (که درک آن از نظر گرافیکی آسان است)، زیرا اگر IR را از نقاط شکل (t0, x0) شروع کنیم، جایی که t0 ثابت است، IR متفاوتی به دست خواهیم آورد. . علاوه بر این، تغییر بازه تعریف راه حل، مطابق با تعریف ما، راه حل متفاوتی به دست می دهد.

مثال. x = 0. راه حل: x = = const Rn. با این حال، اگر مقداری t0 را انتخاب کنید و مقدار x0 راه‌حل را در نقطه t0 ثابت کنید: x(t0) = x0، آنگاه مقدار به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شود: = x0، یعنی راه‌حل تا انتخاب بازه منحصربه‌فرد است. (الف، ب) t0.

وجود مجموعه ای از راه حل های "بی چهره" برای کار با آنها ناخوشایند است2 - "شماره گذاری" آنها به شرح زیر راحت تر است: شرایط اضافی را به (7) اضافه کنید تا تنها راه حل (به معنای خاصی) برجسته شود. و سپس، با گذر از این شرایط، با هر راه حل به طور جداگانه کار کنید (از نظر هندسی می تواند یک راه حل (IR) وجود داشته باشد، اما قطعات زیادی وجود دارد - بعداً با این ناراحتی برخورد خواهیم کرد).

تعریف. مشکل (7) با شرایط اضافی (7) است.

ما اساساً ساده ترین مسئله را قبلاً اختراع کرده ایم - این مسئله کوشی است: (7) با شرایط شکل (داده های کوشی، داده های اولیه):

از نقطه نظر برنامه های کاربردی، این کار طبیعی است: به عنوان مثال، اگر (7) تغییر برخی از پارامترهای x را با زمان t توصیف می کند، پس (8) به این معنی است که در یک لحظه (اولیه) زمان مقدار پارامترها شناخته شده است. نیاز به بررسی مشکلات دیگر وجود دارد، ما بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد، اما در حال حاضر روی مشکل کوشی تمرکز خواهیم کرد. به طور طبیعی، این مسئله برای (t0, x0) B معنا دارد. بر این اساس، یک راه حل برای مسئله (7)، (8) راه حلی برای (7) است (به معنای تعریف فوق) به طوری که t0 (a، ب) و (8).

وظیفه فوری ما اثبات وجود راه حل برای مسئله کوشی (7)، (8) و برای مثال اضافی خاص است - معادله درجه دومبهتر است x1 =...، x2 =... بنویسیم تا x = b/2 ±...

مفروضات خاصی در مورد f - و منحصر به فرد بودن آن به معنای خاصی.

اظهار نظر. ما باید مفهوم بردار و هنجار ماتریس را روشن کنیم (اگرچه در قسمت 2 فقط به ماتریس نیاز خواهیم داشت). با توجه به اینکه در یک فضای محدود، همه هنجارها معادل هستند، انتخاب یک هنجار خاص مهم نیست اگر فقط به تخمین علاقه مند باشیم و نه به مقادیر دقیق. به عنوان مثال، برای بردارها می توانید از |x|p = (|xi|p)1/p استفاده کنید، p قطعه Peano (پیکارت) است. مخروط K = (|x x0| F |t t0|) و قسمت کوتاه شده آن K1 = K (t IP ) را در نظر بگیرید. مشخص است که K1 C است.

قضیه. (پانو). اجازه دهید الزامات f در مسئله (1) مشخص شده در تعریف راه حل برآورده شود، به عنوان مثال:

f C(B)، که در آن B یک منطقه در Rn+1 است. سپس برای همه (t0, x0) B در Int(IP) راه حلی برای مسئله (1) وجود دارد.

اثبات اجازه دهید به طور دلخواه (0، T0] را تنظیم کنیم و به اصطلاح چند خط اویلر را با یک مرحله بسازیم، یعنی: این یک خط شکسته در Rn+1 است، که در آن هر پیوند یک طرح بر روی محور t طول دارد، اولین پیوند. به سمت راست از نقطه (t0, x0) شروع می شود و به گونه ای که در آن dx/dt = f (t0, x0) انتهای سمت چپ این پیوند (t1, x1) به عنوان انتهای سمت چپ در مورد دوم عمل می کند که dx/dt = f (t1, x1) و به طور مشابه در سمت چپ خط شکسته یک تابع خطی به صورت تکه ای تعریف می کند در حالی که t IP، خط شکسته در K1 باقی می ماند (و حتی بیشتر). در C، و بنابراین در B)، بنابراین ساخت و ساز درست است - این چیزی است که در واقع ساخت کمکی قبل از قضیه انجام شده است.

در واقع، همه جا به جز نقاط شکست وجود دارد، و سپس (s) (t) = (z)dz، که در آن مقادیر دلخواه مشتق در نقاط شکست گرفته می شود.

در همان زمان (حرکت در امتداد خط شکسته توسط القاء) به طور خاص، | (t)x0| F |t t0|.

بنابراین، در توابع IP:

2. هم پیوسته، زیرا آنها Lipschitz هستند:

در اینجا خواننده نیاز دارد، در صورت لزوم، دانش خود را از مفاهیم و نتایجی مانند: تداوم، همگرایی یکنواخت، قضیه آرسلا-آسکولی و غیره تجدید کند.

با قضیه Arcela-Ascoli یک دنباله k 0 وجود دارد به طوری که k در IP است، جایی که C(IP) است. با ساخت، (t0) = x0، پس باید بررسی کنیم که این را برای s t ثابت کنیم.

ورزش. s t را به روشی مشابه در نظر بگیرید.

بیایید 0 را تنظیم کنیم و 0 را پیدا کنیم تا برای همه (t1, x1)، (t2, x2) C درست باشد این به دلیل تداوم یکنواخت f در مجموعه فشرده C انجام می شود. بیایید m N را پیدا کنیم تا ثابت کنیم t. Int(IP) و هر s Int(IP) را طوری بگیرید که t s t +. سپس برای همه z داریم |k (z) k (t)| F، بنابراین، با توجه به (4) |k (z) (t)| 2F.

توجه داشته باشید که k (z) = k (z) = f (z، k (z))، که در آن z ابسیسا انتهای سمت چپ پاره خط شکسته حاوی نقطه (z، k (z) است). اما نقطه (z, k (z)) به یک استوانه با پارامترهای (, 2F) می افتد که روی نقطه (t, (t)) ساخته شده است (در واقع حتی در یک مخروط کوتاه - شکل را ببینید، اما این اکنون مهم نیست، بنابراین با توجه به (3) |k (z) f (t, (t))| را بدست می آوریم. برای خط شکسته، همانطور که در بالا ذکر شد، فرمول For k را داریم (2).

اظهار نظر. اجازه دهید f C 1(B). سپس راه حل تعریف شده در (a, b) از کلاس C 2 (a, b) خواهد بود. در واقع، در (a, b) داریم: f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) وجود دارد (اینجا ژاکوبین است ماتریس ) یک تابع پیوسته است. این بدان معنی است که 2 C(a, b) نیز وجود دارد. اگر f صاف باشد، می توان صافی محلول را بیشتر کرد. اگر f تحلیلی باشد، پس می توان وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل تحلیلی را اثبات کرد (این به اصطلاح قضیه کوشی است)، اگرچه این از استدلال های قبلی نتیجه نمی گیرد!

در اینجا لازم است به یاد داشته باشیم که یک تابع تحلیلی چیست. نباید با یک تابع قابل نمایش توسط یک سری توان اشتباه گرفته شود (این فقط نمایش یک تابع تحلیلی در، به طور کلی، بخشی از دامنه تعریف آن است)!

اظهار نظر. با توجه به (t0, x0)، می توان با تغییر T و R سعی کرد T0 را به حداکثر برساند. با این حال، این، به عنوان یک قاعده، چندان مهم نیست، زیرا روش های خاصی برای مطالعه حداکثر فاصله وجود یک راه حل وجود دارد (به بند 4 مراجعه کنید).

قضیه Peano چیزی در مورد منحصر به فرد بودن راه حل نمی گوید. با درک ما از راه حل، همیشه یک راه حل منحصر به فرد نیست، زیرا اگر راه حلی وجود داشته باشد، محدود کردن آن به فواصل محدودتر راه حل های دیگری خواهد بود. ما این نکته را بعداً با جزئیات بیشتری در نظر خواهیم گرفت (در بند 4)، اما در حال حاضر با منحصر به فرد بودن، همزمانی هر دو راه حل را در تقاطع فواصل تعریف آنها درک خواهیم کرد. حتی در این معنا، قضیه پیانو چیزی در مورد یکتایی نمی گوید، که تصادفی نیست، زیرا تحت شرایط آن نمی توان یکتایی را تضمین کرد.

مثال. n = 1، f (x) = 2 |x|. مسئله کوشی یک راه حل ساده دارد: x1 0، و علاوه بر این x2(t) = t|t|. از این دو راه حل می توان یک خانواده کامل 2 پارامتری از راه حل ها را گردآوری کرد:

جایی که + (مقادیر نامتناهی به این معنی است که شاخه مربوطه وجود ندارد). اگر کل R را حوزه تعریف همه این راه حل ها در نظر بگیریم، هنوز تعداد بی نهایت زیادی از آنها وجود دارد.

توجه داشته باشید که اگر اثبات قضیه پیانو را از طریق خطوط شکسته اویلر برای این مسئله اعمال کنیم، فقط یک جواب صفر به دست خواهیم آورد. از طرف دیگر، اگر در فرآیند ساخت خطوط شکسته اویلر یک خطای کوچک در هر مرحله مجاز باشد، حتی پس از نزدیک شدن پارامتر خطا به صفر، همه راه حل ها باقی خواهند ماند. بنابراین، قضیه پیانو و خطوط شکسته اویلر به عنوان روشی برای ساختن جواب طبیعی هستند و ارتباط نزدیکی با روش های عددی دارند.

ناخوشایند مشاهده شده در مثال به این دلیل است که تابع f در x غیرصاف است. معلوم می شود که اگر الزامات اضافی را بر نظم f نسبت به x تحمیل کنیم، می توان از یکتایی اطمینان حاصل کرد و این مرحله به معنای خاصی ضروری است (به زیر مراجعه کنید).

اجازه دهید برخی از مفاهیم را از تجزیه و تحلیل یادآوری کنیم. اگر شرط Lipschitz درست باشد، یک تابع (اسکالری یا برداری) g را Hölder با توان (0، 1) در مجموعه می نامند. برای 1، این فقط برای توابع ثابت امکان پذیر است. تابعی که در یک بازه تعریف شده است (که در آن انتخاب 0 بی اهمیت است) مدول پیوستگی نامیده می شود، اگر گفته شود g شرط تعمیم یافته هولدر را با مدول برآورده می کند اگر در این حالت مدول پیوستگی g در نامیده می شود.

می توان نشان داد که هر مدول پیوستگی مدول تداوم یک تابع پیوسته است.

واقعیت معکوس برای ما مهم است، یعنی: هر تابع پیوسته در یک مجموعه فشرده مدول پیوستگی خاص خود را دارد، یعنی (5) را با مقداری برآورده می کند. بیایید آن را ثابت کنیم. به یاد بیاورید که اگر یک مجموعه فشرده باشد و g C () باشد، آنگاه g لزوماً به طور یکنواخت پیوسته است، یعنی.

= (): |x y| = |g(x) g(y)|. معلوم می شود که این معادل شرط (5) با برخی است. در واقع، اگر وجود داشته باشد، کافی است یک مدول پیوستگی طوری بسازیم که (())، و سپس برای |x y| = = () دریافت می کنیم چون (و) دلخواه هستند، پس x و y می توانند هر کدام باشند.

و بالعکس، اگر (5) درست باشد، کافی است که (()) و سپس برای |x y| = () ما می گیریم برای توجیه انتقال های منطقی:

برای یکنواخت و گرفتن توابع معکوس کافی است، اما در حالت کلی لازم است از اصطلاح استفاده شود. توابع معکوس تعمیم یافته وجود آنها نیاز به اثبات جداگانه ای دارد که ما آن را ارائه نمی کنیم، بلکه فقط ایده را می گوییم (همراه کردن خواندن با تصاویر مفید است):

برای هر F ما F(x) = min F (y)، F (x) = max F (y) را تعریف می کنیم - اینها توابع یکنواخت هستند و دارای معکوس هستند. بررسی اینکه x x F (F (x))، (F)1 (F (x)) x، F ((F)1 (x)) x آسان است.

بهترین مدول پیوستگی خطی است (شرایط Lipschitz). اینها توابع "تقریبا قابل تمایز" هستند. برای دادن معنای دقیق به آخرین بیانیه نیاز به تلاشی است و ما فقط به دو نظر محدود می شویم:

1. به طور دقیق، هر تابع Lipschitz قابل تمایز نیست، به عنوان مثال g(x) = |x| به R;

2. اما تفاوت پذیری دلالت بر Lipschitz دارد، همانطور که بیانیه زیر نشان می دهد. هر تابع g که تمام M را روی یک مجموعه محدب داشته باشد، شرط Lipschitz روی آن را برآورده می کند.

[در حال حاضر، برای اختصار، اجازه دهید توابع اسکالر g را در نظر بگیریم.] اثبات. برای همه x، y داریم واضح است که این عبارت برای توابع برداری نیز صادق است.

اظهار نظر. اگر f = f (t، x) (به طور کلی، یک تابع برداری است)، آنگاه می‌توانیم مفهوم "f Lipschitz در x است" را معرفی کنیم، یعنی |f (t، x) f (t، y)| C|x y|، و همچنین ثابت کنید که اگر D در x برای همه t محدب است، برای اینکه f نسبت به x در D محدب باشد، کافی است مشتقات محدود f نسبت به x در عبارتی که به دست آوردیم برآورد |g(x) g(y) | از طریق |x y|. برای n = 1، معمولاً با استفاده از فرمول افزایش محدود انجام می شود: g(x)g(y) = g (z)(xy) (اگر g یک تابع برداری است، پس z برای هر جزء متفاوت است). وقتی n 1 استفاده از آنالوگ زیر این فرمول راحت است:

لما (هادامارا). فرض کنید f C(D) (به طور کلی، یک تابع برداری)، که در آن D (t = t) برای هر t محدب است، و f (t، x) f (t، y) = A(t، x، y) · (x y)، که در آن A یک ماتریس مستطیلی پیوسته است.

اثبات برای هر t ثابت، محاسبه را از اثبات بیانیه برای = D (t = t)، g = fk اعمال می کنیم. نمایش مورد نیاز را با A(t، x، y) به دست می آوریم = A در واقع پیوسته است.

اجازه دهید به مسئله منحصر به فرد بودن راه حل مسئله (1) بازگردیم.

بیایید این سوال را به این صورت مطرح کنیم: مدول پیوستگی f در x چقدر باید باشد تا راه حل (1) منحصر به فرد باشد به این معنا که 2 راه حل تعریف شده در یک بازه منطبق باشند؟ پاسخ با قضیه زیر داده می شود:

قضیه. (اسگود). اجازه دهید، تحت شرایط قضیه Peano، مدول پیوستگی f نسبت به x در B، یعنی تابع موجود در نابرابری شرط را برآورده می‌کند (می‌توانیم C را فرض کنیم). سپس مسئله (1) نمی تواند دو راه حل متفاوت در یک بازه شکل تعریف شده داشته باشد (t0 a, t0 + b).

با مثالی که در بالا ذکر شد، مقایسه کنید.

لما اگر z C 1(,)، سپس روی همه (,):

1. در نقاطی که z = 0، |z|، و ||z| وجود دارد | |z |;

2. در نقاطی که z = 0، مشتقات یک طرفه |z|±، و ||z|± | = |z | (به ویژه، اگر z = 0، پس وجود دارد |z| = 0).

مثال. n = 1، z(t) = t. در نقطه t = 0 مشتق |z| وجود ندارد، اما مشتقات یک طرفه وجود دارد.

اثبات (لم ها). در نقاطی که z = 0 باشد، z·z داریم: وجود دارد |z| =، و ||z| | |z|. در آن نقاط t که z(t) = 0، داریم:

حالت 1: z (t) = 0. سپس وجود |z| را بدست می آوریم (t) = 0.

حالت 2: z (t) = 0. سپس در +0 یا 0 بدیهی است z(t +)| |z(t)| که مدول آن برابر با |z (t)| است.

بر اساس شرایط، F C 1 (0،)، F 0، F، F (+0) = +. بگذارید z1,2 دو راه حل (1) باشد که روی (t0, t0 +) تعریف شده است. اجازه دهید z = z1 z2 را نشان دهیم. ما داریم:

فرض کنید t1 وجود دارد (t1 t0) به طوری که z(t1) = 0. مجموعه A = (t1 | z(t) = 0) خالی نیست (t0 A) و در بالا محدود شده است. . این بدان معنی است که دارای کران t1 بالایی است. با ساخت، z = 0 روی (، t1) و به دلیل پیوستگی z، z() = 0 داریم.

توسط Lemma |z| C 1(، t1)، و در این بازه |z| |z | (|z|)، بنابراین ادغام روی (t، t1) (که در آن t (، t1)) F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t را می دهد. در t + 0 یک تناقض به دست می آوریم.

نتیجه 1. اگر تحت شرایط قضیه پیانو، f برحسب x در B، لیپشیتز باشد، آنگاه مسئله (1) دارای تنها تصمیمبه معنایی که در قضیه ازگود توضیح داده شد، زیرا در این مورد () = C (7) را برآورده می کند.

نتیجه 2. اگر تحت شرایط قضیه Peano، C(B)، راه حل (1) تعریف شده در Int(IP) منحصر به فرد است.

لما هر راه حل (1) تعریف شده در IP باید برآورد |x | را برآورده کند = |f (t، x)| F، و نمودار آن در K1 و حتی بیشتر در C قرار دارد.

اثبات فرض کنید IP t1 به گونه ای باشد که (t, x(t)) C. برای قطعیت، اجازه دهید t1 t0. سپس t2 (t0, t1] وجود دارد به طوری که |x(t) x0| = R. مشابه استدلال در اثبات قضیه ازگود، می‌توانیم فرض کنیم که t2 سمت چپ‌ترین نقطه چنین است و (t, x) (t)) C، بنابراین |f (t، x(t))|، و بنابراین (t، x(t)) K1، که در کل IP متناقض است (تکرار محاسبات) (t, x(t)) K1.

اثبات (نتیجه 2). C یک مجموعه فشرده است، ما به دست می آوریم که f Lipschitz در x در C است، که در آن نمودار همه راه حل ها از نظر لم قرار دارند. با نتیجه 1 ما آنچه لازم است را بدست می آوریم.

اظهار نظر. شرط (7) به این معنی است که شرط Lipschitz برای f نمی تواند به طور قابل توجهی تضعیف شود. برای مثال، شرط هولدر با 1 دیگر معتبر نیست. فقط ماژول های پیوستگی نزدیک به خطی مناسب هستند - مانند "بدترین":

ورزش. (بسیار پیچیده). ثابت کنید که اگر عدد (7) را برآورده کند، 1 وجود دارد که (7) را برآورده می کند به طوری که 1/ صفر است.

در حالت کلی، لازم نیست دقیقاً چیزی از مدول پیوستگی f در x برای منحصر به فرد بودن مورد نیاز باشد - موارد خاص مختلفی ممکن است، به عنوان مثال:

بیانیه. اگر تحت شرایط قضیه Peano درست باشد، هر 2 راه حل (1) تعریف شده بر روی (9) واضح است که x C 1(a, b) و سپس تمایز (9) (1)1 و ( 1) 2 واضح است.

در مقابل (1)، برای (9) طبیعی است که یک راه حل بر روی یک بخش بسته ساخته شود.

پیکارد روش زیر را از تقریب های متوالی برای حل (1)=(9) پیشنهاد کرد. اجازه دهید x0(t) x0 و سپس با قضیه استقرا نشان دهیم. (کوشی پیکارت). اجازه دهید، تحت شرایط قضیه Peano، تابع f Lipschitz در x در هر مجموعه فشرده K محدب در x از دامنه B باشد، یعنی.

سپس برای هر (t0، x0) B، مسئله کوشی (1) (معروف به (9)) یک راه حل منحصر به فرد در Int(IP) و xk x در IP دارد که xk در (10) تعریف شده است.

اظهار نظر. واضح است که اگر شرط (11) با C(B) جایگزین شود، قضیه معتبر باقی می ماند، زیرا این شرط دلالت بر (11) دارد.

توجه به مربی در واقع، همه فشرده‌های فشرده در x محدب نیستند، بلکه فقط به استوانه‌ها نیاز دارند، اما فرمول به این صورت ساخته شده است، زیرا در § 5 فشرده‌های عمومی‌تری مورد نیاز است، و علاوه بر این، با این فرمول است که Remark طبیعی‌ترین به نظر می‌رسد.

اثبات اجازه دهید (t0، x0) B را به دلخواه انتخاب کنیم و همان ساختار کمکی را که قبل از قضیه Peano بود، بسازیم. اجازه دهید با استقرا ثابت کنیم که همه xk در IP تعریف شده و پیوسته هستند و نمودارهای آنها در K1 و حتی بیشتر از آن در C قرار دارند. برای x0 این واضح است. اگر این برای xk1 درست باشد، پس از (10) مشخص می شود که xk در IP تعریف شده و پیوسته است و این همان چیزی است که متعلق به K1 است.

اکنون تخمین IP را با القاء اثبات می کنیم:

(C یک مجموعه فشرده در B است که در x محدب است و L(C) برای آن تعریف شده است). برای k = 0، این یک تخمین ثابت شده است (t، x1(t)) K1. اگر (12) برای k:= k 1 صادق باشد، آنگاه از (10) آنچه لازم بود داریم. بنابراین، این سری در IP توسط یک سری اعداد همگرا بزرگ می شود و بنابراین (به این قضیه وایرشتراس گفته می شود) به طور یکنواخت در IP به تابع x C(IP) همگرا می شود. اما این همان معنای xk x در IP است. سپس در (10) در IP به حد محدود می رویم و (9) در IP و بنابراین (1) در Int (IP) می گیریم.

منحصر به فرد بودن بلافاصله با نتیجه 1 از قضیه ازگود به دست می آید، اما اثبات آن به روشی دیگر، دقیقاً با استفاده از معادله (9) مفید است. بگذارید 2 راه حل x1,2 برای مسئله (1) (یعنی (9)) در Int (IP) وجود داشته باشد. همانطور که در بالا ذکر شد، پس نمودارهای آنها لزوماً در K1 و حتی بیشتر از آن در C قرار دارند. بگذارید t I1 = (t0, t0 +)، جایی که مقداری مثبت است. سپس = 1/(2L(C)). سپس = 0. بنابراین، x1 = x2 در I1.

توجه به مربی همچنین با استفاده از لم Gronwall یک اثبات منحصر به فرد وجود دارد، حتی طبیعی تر است، زیرا بلافاصله در سطح جهانی قرار می گیرد، اما تا کنون لم Gronwall خیلی راحت نیست، زیرا درک کافی آن برای ODE های خطی دشوار است.

اظهار نظر. آخرین برهان یگانگی از این جهت آموزنده است که بار دیگر در پرتوی متفاوت نشان می دهد که چگونه منحصر به فرد بودن محلی به یگانگی جهانی می انجامد (که برای هستی صادق نیست).

ورزش. یکباره بودن را در کل IP ثابت کنید، با تضاد مانند اثبات قضیه ازگود استدلال کنید.

یک مورد خاص مهم (1) ODE های خطی هستند، یعنی مواردی که در آنها مقدار f (t، x) در x خطی است:

در این مورد، برای قرار گرفتن در شرایط نظریه عمومی، باید مستلزم باشد، بنابراین، در این مورد، نوار به عنوان B عمل می کند، و شرط Lipschitz (و حتی تفاوت پذیری) با توجه به x به طور خودکار برآورده می شود: برای همه t (a، b)، x، y Rn داریم |f (t، x) f (t، y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(x y)|.

اگر به طور موقت مجموعه فشرده (a, b) را جدا کنیم، سپس روی آن |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|، که در آن L = حداکثر |A|.

از قضایای Peano و Osgood یا Couchy-Picart چنین برمی‌آید که مسئله (13) در بازه معینی (پیانو-پیکارت) حاوی t0 به‌طور یکتا قابل حل است. علاوه بر این، راه حل در این فاصله، حد تقریب پیکارد پیکارد است.

ورزش. این فاصله را پیدا کنید.

اما معلوم می شود که در این مورد همه این نتایج را می توان به طور جهانی به یکباره اثبات کرد، یعنی روی همه (a, b):

قضیه. بگذارید (14) صادق باشد. سپس مسئله (13) یک راه حل منحصر به فرد در (a, b) دارد و تقریب های متوالی Picard در هر مجموعه فشرده (a, b) به طور یکنواخت به آن همگرا می شوند.

اثبات مجدداً، مانند TK-P، با استفاده از تقریب های متوالی مطابق فرمول (10) راه حلی برای معادله انتگرال (9) می سازیم. اما اکنون نیازی به بررسی شرایط قرار گرفتن نمودار در یک مخروط و استوانه نداریم، زیرا

f برای همه x تا زمانی که t (a, b) تعریف می شود. ما فقط باید بررسی کنیم که همه xk در (a, b) تعریف شده و پیوسته هستند، که با القاء واضح است.

به جای (12)، اکنون تخمین مشابهی از شکل نشان می دهیم که در آن N بسته به انتخاب یک عدد معین است. اولین مرحله القایی برای این تخمین متفاوت است (از آنجایی که با K1 مرتبط نیست): برای k = 0 |x1(t) x0| N به دلیل تداوم x1 و مراحل بعدی مشابه (12) است.

ما مجبور نیستیم این را توصیف کنیم، زیرا واضح است، اما دوباره می‌توانیم، xk x را مشاهده کنیم، و x راه‌حلی برای متناظر (10) است. اما به این ترتیب ما یک راه حل برای همه (a, b) ساخته ایم، زیرا انتخاب یک مجموعه فشرده دلخواه است. منحصر به فرد بودن از قضایای آزگود یا کوشی-پیکارت (و بحث فوق در مورد منحصر به فرد بودن جهانی) ناشی می شود.

اظهار نظر. همانطور که در بالا ذکر شد، TK-P به دلیل وجود قضایای Peano و Osgood به طور رسمی اضافی است، اما به 3 دلیل مفید است - آن:

1. به شما اجازه می دهد تا مسئله کوشی را برای ODE با یک معادله انتگرال متصل کنید.

2. یک روش سازنده برای تقریب های متوالی پیشنهاد می کند.

3. اثبات وجود جهانی برای ODE های خطی را آسان می کند.

[اگرچه دومی را نیز می توان از استدلال بند 4 استنباط کرد.] در زیر بیشتر به آن اشاره خواهیم کرد.

مثال. x = x، x(0) = 1. تقریب های متوالی به این معنی است که x(t) = e راه حل مسئله اصلی در کل R است.

در اغلب موارد، یک ردیف به دست نمی آید، اما سازنده بودن خاصی باقی می ماند. همچنین می توانید خطای x xk را تخمین بزنید (نگاه کنید به).

اظهار نظر. از قضایای Peano، Osgood و Cauchy-Picart به راحتی می توان قضایای مربوطه را برای ODE های مرتبه بالاتر به دست آورد.

ورزش. مفاهیم مسئله کوشی، راه‌حل‌های سیستم و مسئله کوشی، همه قضایا برای ODE‌های مرتبه بالاتر را با استفاده از کاهش به سیستم‌های مرتبه اول که در § 1 بیان شده است، فرمول‌بندی کنید.

تا حدودی منطق دوره را نقض می کند، اما به منظور جذب و توجیه بهتر روش های حل مسائل در کلاس های عملی، ارائه نظریه عمومی را موقتاً قطع کرده و به مشکل فنی "حل صریح ODE ها" می پردازیم.

§ 3. برخی از روش های ادغام بنابراین، معادله اسکالر = f (t، x) را در نظر بگیرید. Prodt خاص ترین موردی که یاد گرفته ایم به اصطلاح ادغام کنیم. URP، یعنی معادله ای که در آن f (t، x) = a(t)b(x). تکنیک رسمی برای ادغام URP این است که متغیرهای t و x را از هم جدا کنید (از این رو نام آن): = a(t)dt، و سپس انتگرال را بگیرید:

سپس x = B (A(t)). چنین استدلال رسمی حاوی چندین نکته است که نیاز به توجیه دارد.

1. تقسیم بر b(x). فرض می کنیم که f پیوسته است، به طوری که a C(،)، b C(،)، یعنی B یک مستطیل است (،) (،)(به طور کلی، بی نهایت). مجموعه‌های (b(x) 0) و (b(x) 0) باز هستند و بنابراین مجموعه‌ای محدود یا قابل شمارش از بازه‌ها هستند. بین این فواصل نقاط یا پاره هایی وجود دارد که b = 0 است. اگر b(x0) = 0 باشد، آنگاه مسئله کوشی یک راه حل x x0 دارد. شاید این راه حل منحصر به فرد نباشد، پس در حوزه تعریف آن فواصل زمانی وجود دارد که b(x(t)) = 0 است، اما سپس می توان آنها را بر b(x(t) تقسیم کرد. گذراً توجه کنیم که در این بازه‌ها تابع B یکنواخت است و بنابراین می‌توانیم B 1 را بگیریم. مجاز. بنابراین، روش توصیف شده باید، به طور کلی، هنگام تقسیم دامنه تعریف یک راه حل به بخش ها اعمال شود.

2. ادغام سمت چپ و راست بر روی متغیرهای مختلف.

روش I. اجازه دهید بخواهیم راه حلی برای مسئله Kod(t) یا (1) x = (t) پیدا کنیم. ما داریم: = a(t)b((t))، که از آنجا دقیقا همان فرمول را به دست آوردیم.

روش دوم. معادله به اصطلاح است یک نماد متقارن از ODE اصلی، یعنی نمادی که در آن مشخص نشده است که کدام متغیر مستقل و کدام متغیر وابسته است. این شکل دقیقاً در مورد یک معادله مرتبه اول که با توجه به قضیه تغییرناپذیری شکل دیفرانسیل اول در نظر می گیریم منطقی است.

در اینجا مناسب است که مفهوم دیفرانسیل را با جزئیات بیشتر درک کنیم، آن را با استفاده از مثال صفحه ((t، x))، منحنی های روی آن، اتصالات ایجاد شده، درجات آزادی و یک پارامتر روی منحنی نشان دهیم.

بنابراین، معادله (2) دیفرانسیل های t و x را در امتداد IR مورد نظر مرتبط می کند. سپس ادغام معادله (2) به روشی که در ابتدا نشان داده شده است کاملاً قانونی است - این به معنای ادغام بر روی هر متغیری است که به عنوان یک متغیر مستقل انتخاب شده است.

در روش I این را با انتخاب t به عنوان متغیر مستقل نشان دادیم. اکنون این را با انتخاب پارامتر s در امتداد IR به عنوان متغیر مستقل نشان خواهیم داد (زیرا این به وضوح برابری t و x را نشان می دهد). اجازه دهید مقدار s = s0 با نقطه (t0, x0) مطابقت داشته باشد.

سپس داریم: = a(t(s))t (s)ds، که در اینجا باید بر جهانی بودن نماد متقارن تاکید کنیم، به عنوان مثال: یک دایره به صورت x(t) یا به صورت t(x) نوشته نمی شود. ، اما به صورت x(s)، t(s).

برخی دیگر از ODE های مرتبه اول به ERP کاهش می یابند، همانطور که در هنگام حل مسائل (مثلاً در کتاب مشکل) مشاهده می شود.

مورد مهم دیگر ODE خطی است:

روش I. تغییر یک ثابت.

این یک مورد خاص از یک رویکرد کلی تر است، که در قسمت 2 مورد بحث قرار خواهد گرفت. ایده این است که جستجو برای یک راه حل به شکل خاص، ترتیب معادله را کاهش می دهد.

بیایید ابتدا به اصطلاح حل کنیم معادله همگن:

به دلیل منحصر به فرد بودن، در همه جا x 0 یا x = 0 در حالت دوم (برای قطعیت، x 0) به دست می آوریم که (4) همه راه حل های (3) 0 (شامل صفر و منفی) را می دهد.

فرمول (4) حاوی یک ثابت دلخواه C1 است.

روش تغییر ثابت به این صورت است که راه‌حل (3) C1(t) = C0 + ساختار ORNU=CHRNU+OROU قابل مشاهده است (مانند سیستم‌های خطی جبری) (اطلاعات بیشتر در این مورد در قسمت 2).

اگر بخواهیم مسئله کوشی x(t0) = x0 را حل کنیم، باید C0 را از داده های کوشی پیدا کنیم - به راحتی C0 = x0 را بدست می آوریم.

روش دوم. اجازه دهید IM را پیدا کنیم، یعنی تابع v را که باید در آن ضرب کنیم (3) (نوشته شده به طوری که تمام مجهولات در سمت چپ جمع شوند: x a(t)x = b(t))، به طوری که در سمت چپ مشتق ترکیبی مناسب را بدست می آوریم.

داریم: vx vax = (vx)، اگر v = av، یعنی (چنین معادله ای، (3) معادل معادله ای است که قبلاً به راحتی حل شده است و (5) را می دهد. اگر مسئله کوشی حل شد، در (( 6) راحت است که بلافاصله یک انتگرال مشخص بگیرید ) در قسمت 2 با جزئیات بیشتر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

هر دو وضعیت در نظر گرفته شده یک مورد خاص از به اصطلاح است. UPD. یک ODE مرتبه اول (برای n = 1) را به شکل متقارن در نظر بگیرید:

همانطور که قبلا ذکر شد، (7) IC را در صفحه (t, x) مشخص می کند بدون اینکه مشخص کند کدام متغیر مستقل در نظر گرفته می شود.

اگر (7) را در یک تابع دلخواه M (t, x) ضرب کنید، شکلی معادل از نوشتن معادله مشابه بدست می آورید:

بنابراین، همان ODE ورودی های متقارن زیادی دارد. در میان آنها، نقش ویژه ای ایفا می کند که به اصطلاح. نوشتن در مجموع دیفرانسیل، نام UPD مایه تاسف است، زیرا این ویژگی نه معادله، بلکه از شکل نوشته آن است، یعنی به طوری که سمت چپ (7) برابر با dF (t, x) است. ) با مقداری F.

واضح است که (7) یک UPD است اگر و فقط اگر A = Ft، B = Fx با مقداری F. همانطور که از تجزیه و تحلیل مشخص است، برای مورد دوم، برای مثال، جنبه های کاملاً فنی را توجیه نمی کنیم ، روان بودن همه عملکردها. واقعیت این است که § نقش ثانویه ایفا می کند - برای بخش های دیگر دوره اصلاً مورد نیاز نیست و من نمی خواهم تلاش زیادی برای ارائه دقیق آن انجام دهم.

بنابراین، اگر (9) ارضا شود، یک F وجود دارد (تا یک ثابت افزایشی منحصر به فرد است) به طوری که (7) به شکل dF (t, x) = 0 (در امتداد IR) بازنویسی می شود، یعنی.

F (t, x) = const در امتداد IR، یعنی IR خطوط سطح تابع F هستند. ما دریافتیم که ادغام UPD یک کار بی اهمیت است، زیرا جستجو برای F از A و B که (9) را برآورده می کند، نیست. دشوار. اگر (9) راضی نباشد، به اصطلاح IM M (t, x) به گونه ای است که (8) UPD است که برای آن لازم است و کافی است آنالوگ (9) را انجام دهیم که به شکل زیر است:

همانطور که از تئوری PDE های مرتبه اول (که در قسمت 3 آن را در نظر خواهیم گرفت)، رابطه (10) همیشه یک راه حل دارد، بنابراین MI وجود دارد. بنابراین، هر معادله ای از فرم (7) به شکل UPD نوشته می شود و بنابراین اجازه ادغام "صریح" را می دهد. اما این استدلال ها در حالت کلی روش سازنده ای ارائه نمی دهند، زیرا برای حل (10) به طور کلی، باید راه حلی برای (7) پیدا کرد، که همان چیزی است که ما به دنبال آن هستیم. با این حال، تعدادی تکنیک برای جستجوی MI وجود دارد که به طور سنتی در کلاس‌های عملی مورد بحث قرار می‌گیرند (برای مثال نگاه کنید به).

توجه داشته باشید که روش های در نظر گرفته شده در بالا برای حل ERP و ODE های خطی یک مورد خاص از ایدئولوژی IM هستند.

در واقع، ERP dx/dt = a(t)b(x)، که به شکل متقارن dx = a(t)b(x)dt نوشته شده است، با ضرب در IM 1/b(x) حل می شود، زیرا بعد از این تبدیل به UPD dx/b(x) = a(t)dt، یعنی dB(x) = dA(t) می شود. معادله خطی dx/dt = a(t)x + b(t)، که به شکل متقارن dx a(t)xdt b(t)dt نوشته شده است، تقریباً با ضرب در IM حل می شود فرم صریح”

(به استثنای یک بلوک بزرگ مرتبط با سیستم های خطی) به این صورت است که با استفاده از روش های ویژه کاهش مرتبه و تغییر متغیرها، آنها را به ODE های مرتبه اول کاهش می دهند که سپس به ODE ها کاهش می یابند و با اعمال روش حل آنها حل می شود. قضیه اصلی حساب دیفرانسیل: dF = 0 F = ثابت. مسئله کاهش ترتیب به طور سنتی در دوره تمرینات عملی گنجانده شده است (به عنوان مثال نگاه کنید).

بیایید چند کلمه در مورد ODE های مرتبه اول که با توجه به مشتق حل نشده اند بگوییم:

همانطور که در § 1 بحث شد، می توان سعی کرد (11) را برای x حل کرد و شکل عادی را به دست آورد، اما این همیشه توصیه نمی شود. غالباً حل مستقیم (11) راحت تر است.

فضای ((t، x، p)) را در نظر بگیرید، جایی که p = x به طور موقت به عنوان متغیر مستقل در نظر گرفته می شود. سپس (11) سطحی را در این فضا تعریف می کند (F (t, x, p) = 0) که می توان آن را به صورت پارامتری نوشت:

به یاد داشته باشید که این به چه معناست، مانند استفاده از یک کره در R3.

راه حل های جستجو شده با منحنی های این سطح مطابقت دارند: t = s، x = x(s)، p = x (s) - یک درجه آزادی از بین می رود زیرا یک اتصال dx = pdt روی راه حل ها وجود دارد. اجازه دهید این رابطه را بر حسب پارامترهای روی سطح بنویسیم (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv)، i.e.

بنابراین، راه حل های جستجو شده با منحنی های روی سطح (12) مطابقت دارند، که در آن پارامترها با رابطه (13) مرتبط هستند. مورد دوم یک ODE به شکل متقارن است که قابل حل است.

مورد I. اگر در یک منطقه (gu hfu) = 0، سپس (12) سپس t = f ((v)، v)، x = g((v)، v) یک نمایش پارامتری از منحنی های مورد نیاز در صفحه ((t، x)) (یعنی ما روی این صفحه فرو می رویم، زیرا به p نیازی نداریم).

مورد دوم به همین ترتیب، اگر (gv hfv) = 0.

مورد III. در برخی از نقاط به طور همزمان gu hfu = gv hfv = 0. در اینجا تجزیه و تحلیل جداگانه مورد نیاز است تا مشخص شود که آیا این مجموعه با برخی از راه حل ها مطابقت دارد یا نه (آنها سپس ویژه نامیده می شوند).

مثال. معادله Clairaut x = tx + x 2. داریم:

x = tp + p2. اجازه دهید این سطح را پارامتر کنیم: t = u، p = v، x = uv + v 2. معادله (13) به شکل (u + 2v) dv = 0 است.

مورد I. اجرا نشده است.

مورد دوم u + 2v = 0، سپس dv = 0، یعنی v = C = const.

این بدان معنی است که t = u، x = Cu + C 2 یک نماد پارامتری از IR است.

نوشتن آن به صراحت x = Ct + C 2 آسان است.

مورد III. u + 2v = 0، یعنی v = u/2. این به این معنی است که t = u، x = u2/4 یک نمایش پارامتریک از "نامزد برای IR" است.

برای بررسی اینکه آیا این واقعا IR است، اجازه دهید آن را به صراحت x = t2/4 بنویسیم. معلوم شد که این یک راه حل (ویژه) بود.

ورزش. ثابت کنید که یک تصمیم خاص به همه مربوط می شود.

این یک واقعیت کلی است - نمودار هر راه حل ویژه پوشش خانواده همه راه حل های دیگر است. این مبنای تعریف دیگری از یک راه حل ویژه دقیقاً به عنوان یک پاکت است (نگاه کنید به).

ورزش. برای بیشتر ثابت کن معادله کلی Clairaut x = tx (x) با یک تابع محدب، راه حل ویژه به شکل x = (t) است، که در آن تبدیل لژاندر، یعنی = ()1، یا (t) = max(tv (v)) است. به طور مشابه برای معادله x = tx + (x).

اظهار نظر. مطالب § 3 با جزئیات بیشتر و دقیقتر در کتاب درسی ارائه شده است.

توجه به مربی هنگام ارائه یک دوره سخنرانی، ممکن است مفید باشد که § 3 را گسترش دهید و شکل دقیق تری به آن بدهید.

حال بیایید به طرح اصلی دوره برگردیم، ادامه ارائه آغاز شده در §§ 1.2.

§ 4. حل پذیری جهانی مسئله کوشی در § 2 ما وجود محلی راه حلی برای مسئله کوشی را ثابت کردیم، یعنی فقط در یک بازه معین حاوی نقطه t0.

تحت برخی مفروضات اضافی در مورد f، ما همچنین منحصر به فرد بودن راه حل را ثابت کردیم و آن را به عنوان همزمانی دو راه حل تعریف شده در یک بازه درک کردیم. اگر f در x خطی باشد، وجود سراسری به دست می آید، یعنی در کل بازه زمانی که ضرایب معادله (سیستم) تعریف شده و پیوسته است، به دست می آید. با این حال، همانطور که تلاش برای اعمال نظریه عمومی در یک سیستم خطی نشان می‌دهد، بازه Peano-Picard معمولاً کوچک‌تر از فاصله‌ای است که می‌توان روی آن یک راه‌حل ساخت. سوالات طبیعی مطرح می شود:

1. چگونه می توان حداکثر فاصله ای را که در آن می توان وجود راه حل (1) را تأیید کرد؟

2. آیا این فاصله همیشه با حداکثری که در آن هنوز منطقی است منطبق است؟ قسمت راست (1)1 ?

3. چگونه می توان مفهوم منحصر به فرد بودن یک راه حل را بدون قید و شرط در مورد فاصله زمانی تعریف آن به طور دقیق فرموله کرد؟

این واقعیت که پاسخ سؤال 2 به طور کلی منفی است (یا بهتر است بگوییم، نیاز به دقت زیادی دارد) با مثال زیر نشان داده شده است. x = x2، x(0) = x0. اگر x0 = 0، آنگاه x 0 - طبق قضیه ازگود هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. اگر x0 = 0، تصمیم می گیریم یک نقاشی مفید ایجاد کنیم). فاصله وجود راه حل نمی تواند برای x0 0 و x0 0 به ترتیب از (، 1/x0) یا (1/x0، +) بیشتر باشد (شاخه دوم هذلولی هیچ ربطی به جواب ندارد! - این یک اشتباه معمولی دانش آموزان است). در نگاه اول، هیچ چیز در مشکل اصلی "چنین نتیجه ای را پیش بینی نمی کرد." در بند 4 توضیحی برای این پدیده خواهیم یافت.

با استفاده از مثال معادله x = t2 + x2، یک اشتباه معمولی دانش آموزان در مورد فاصله وجود یک راه حل ظاهر می شود. در اینجا، این واقعیت که "معادله در همه جا تعریف شده است" به هیچ وجه به این معنی نیست که راه حل را می توان در طول کل خط مستقیم گسترش داد. این حتی از دیدگاه صرفاً روزمره، به عنوان مثال در ارتباط با قوانین حقوقیو فرآیندهای در حال توسعه تحت آنها: حتی اگر قانون صراحتاً خاتمه فعالیت هیچ شرکتی را در سال 1394 تجویز نکرده باشد، این به هیچ وجه به این معنی نیست که این شرکت تا سال جاری طبق قانون ورشکست نخواهد شد. دلایل داخلی(هرچند در چارچوب قانون عمل می کنند).

برای پاسخ به سؤالات 1-3 (و حتی برای فرموله کردن آنها به وضوح)، مفهوم یک راه حل غیر مداوم مورد نیاز است. ما (همانطور که در بالا توافق کردیم) راه حل های معادله (1)1 را به صورت جفت در نظر می گیریم (, (tl(,tr())).

تعریف. راه حل (، (tl()، tr())) ادامه راه حل (، (tl()، tr()))، if (tl(), tr()) (tl(), tr( ))، و |(tl(),tr()) =.

تعریف. یک راه حل (، (tl()، tr())) غیر قابل گسترش است اگر پسوندهای غیر ضروری (یعنی متفاوت از آن) نداشته باشد. (نمونه بالا را ببینید).

واضح است که این NR ها هستند که ارزش خاصی دارند و از نظر آنها اثبات وجود و یکتایی ضروری است. یک سوال طبیعی مطرح می‌شود: آیا همیشه می‌توان NR را بر اساس راه‌حل محلی یا بر اساس مسئله کوشی ساخت؟ معلوم می شود بله. برای درک این موضوع، اجازه دهید مفاهیم را معرفی کنیم:

تعریف. مجموعه ای از راه حل ها ((، (tl(، tr()))) سازگار است اگر هر 2 راه حل از این مجموعه در تقاطع بازه های تعریف آنها منطبق باشند.

تعریف. یک مجموعه ثابت از راه حل ها در صورتی حداکثر نامیده می شود که اضافه کردن راه حل دیگری به آن غیرممکن باشد تا مجموعه جدید سازگار باشد و حاوی نقاط جدیدی در اتحادیه حوزه های تعریف راه حل باشد.

واضح است که ساخت INN معادل ساخت NR است، یعنی:

1. اگر NR وجود داشته باشد، هر INN حاوی آن تنها می تواند مجموعه ای از محدودیت های آن باشد.

ورزش. بررسی.

2. اگر یک INN وجود داشته باشد، NR (, (t, t+)) به صورت زیر ساخته می شود:

اجازه دهید (t) = (t) را قرار دهیم، جایی که هر عنصر INN در این نقطه تعریف شده است. بدیهی است که چنین تابعی به طور منحصربه‌فرد بر روی کل (t, t+) تعریف می‌شود (یکتا بودن از سازگاری مجموعه ناشی می‌شود)، و در هر نقطه با تمام عناصر INN تعریف‌شده در این نقطه منطبق است. برای هر t (t، t+) یکی در آن تعریف شده است، بنابراین در همسایگی آن، و از آنجایی که در این همسایگی یک راه حل برای (1)1 وجود دارد، پس همینطور است. بنابراین، یک راه حل برای (1)1 در همه (t، t+) وجود دارد. قابل تمدید نیست، زیرا در غیر این صورت یک پسوند غیر پیش پا افتاده می تواند علیرغم حداکثر بودن آن به INN اضافه شود.

ساخت INN مسئله (1) در حالت کلی (تحت شرایط قضیه Peano)، زمانی که منحصر به فرد محلی وجود ندارد، امکان پذیر است (نگاه کنید به )، اما کاملاً دست و پا گیر است - بر اساس برنامه گام به گامقضیه پیانو با کران پایین برای طول بازه گسترش. بنابراین، HP همیشه وجود دارد. ما این را تنها در صورتی توجیه می کنیم که منحصر به فرد بودن محلی وجود داشته باشد، پس ساخت INN (و بنابراین NR) بی اهمیت است. مثلاً برای قطعیت در چارچوب TK-P عمل خواهیم کرد.

قضیه. اجازه دهید شرایط TK-P در منطقه B Rn+1 برآورده شود. سپس برای هر (t0, x0) B مسئله (1) یک IS منحصر به فرد دارد.

اثبات اجازه دهید مجموعه همه راه حل های مسئله (1) را در نظر بگیریم (بر اساس TK-P خالی نیست). این یک MNN را تشکیل می دهد - به دلیل منحصر به فرد بودن محلی سازگار است، و حداکثر به دلیل این واقعیت است که این مجموعه همه راه حل ها برای مشکل کوشی است. این بدان معناست که HP وجود دارد. به دلیل منحصر به فرد بودن محلی منحصر به فرد است.

اگر نیاز دارید که یک IR بر اساس راه حل محلی موجود (1)1 (و نه مشکل کوشی) بسازید، پس این مشکل، در مورد منحصر به فرد بودن محلی، به مشکل کوشی کاهش می یابد: باید هر نقطه ای را در این مورد انتخاب کنید. آی سی موجود و مشکل کوشی مربوطه را در نظر بگیرید. NR این مشکل به دلیل منحصر به فرد بودن ادامه راه حل اصلی خواهد بود. اگر منحصر به فرد نباشد، ادامه راه حل داده شده طبق رویه ذکر شده در بالا انجام می شود.

اظهار نظر. یک NR را نمی توان بیشتر در انتهای بازه وجود آن تعریف کرد (صرف نظر از شرایط منحصر به فرد) به طوری که در نقاط پایانی نیز راه حل باشد. برای توجیه این موضوع، لازم است منظور از حل یک ODE در انتهای یک بخش را روشن کنیم:

1. رویکرد 1. اجازه دهید راه حل (1)1 در یک بازه به عنوان تابعی درک شود که معادله در انتها را به معنای مشتق یک طرفه برآورده می کند. سپس امکان تعریف اضافی مشخص شده از یک راه حل، به عنوان مثال، در انتهای سمت راست بازه وجود آن (t, t+] به این معنی است که IC یک نقطه پایانی در داخل B و C 1 (t, t+] دارد. سپس با حل مسئله کوشی x(t+) = (t+) برای (1) و حل آن را برای انتهای راست t+ بدست می آوریم (در نقطه t+ هر دو مشتق یک طرفه وجود دارند و برابر با f (t+ هستند. ، (t+))، به این معنی که یک مشتق معمولی وجود دارد)، یعنی NR نبود.

2. رویکرد 2. اگر از راه حل (1)1 در یک قطعه منظور تابعی است که فقط در انتها پیوسته است، اما به گونه ای که انتهای IC در B قرار دارد (حتی اگر معادله در انتها لازم نباشد) - شما همچنان همان استدلال را دریافت خواهید کرد، فقط از نظر معادله انتگرال مربوطه (به جزئیات مراجعه کنید).

بنابراین، با محدود کردن فوری خود به تنها فواصل باز به عنوان مجموعه‌ای از تعریف راه‌حل‌ها، کلیت را نقض نکردیم (بلکه فقط از هیاهوی غیر ضروری با مشتقات یک طرفه و غیره اجتناب کردیم).

در نتیجه، ما به سوال 3 که در ابتدای § 4 مطرح شده بود پاسخ دادیم: اگر شرط منحصر به فرد بودن (مثلاً Osgood یا Cauchy-Picart) برآورده شود، منحصر به فرد بودن راه حل HP برای مشکل کوشی برقرار است. اگر شرط یکتایی نقض شود، ممکن است IS های زیادی از مسئله کوشی وجود داشته باشد که هر کدام فاصله زمانی خاص خود را دارند. هر راه حلی برای (1) (یا به سادگی (1)1) را می توان به NR گسترش داد.

برای پاسخ به سؤالات 1 و 2 لازم است نه متغیر t را جداگانه، بلکه رفتار IC در فضای Rn+1 در نظر بگیرید. او به این سوال پاسخ می دهد که چگونه آی سی "نزدیک به انتها" رفتار می کند، توجه داشته باشید که فاصله وجود دارای انتها است، اما آی سی ممکن است آنها را نداشته باشد (انتهای آی سی در B همیشه وجود ندارد - به نکته بالا مراجعه کنید. ، اما ممکن است پایان حتی در B وجود نداشته باشد - به زیر مراجعه کنید).

قضیه. (در مورد ترک فشرده).

ما آن را تحت شرایط منحصر به فرد محلی فرموله می کنیم، اما این ضروری نیست - ببینید، در آنجا TPC به عنوان معیاری برای NR فرموله شده است.

تحت شرایط TK-P، نمودار هر معادله HP (1)1 هر مجموعه فشرده KB، یعنی K B (t، t+) را ترک می‌کند: (t، (t)) K در t.

مثال. K = ( (t، x) B | ((t، x)، B)).

اظهار نظر. بنابراین، IR IR نزدیک t± به B نزدیک می شود: ((t، (t))، B) 0 در t± - روند ادامه محلول نمی تواند به شدت در داخل B متوقف شود.

مثبت، در اینجا به عنوان تمرینی برای اثبات مثبت بودن فاصله بین ست های بسته ناهمگون که یکی از آنها فشرده است مفید است.

اثبات ما K B را رفع می کنیم. هر 0 (0, (K, B)) را بگیرید. اگر B = Rn+1 باشد، پس با تعریف (K, B) = + فرض می کنیم. مجموعه K1 = ( (t, x) | ((t, x, K) 0 /2 ) نیز یک مجموعه فشرده در B است، بنابراین F = max |f | وجود دارد. اجازه دهید اعداد T و R را به اندازه کافی کوچک انتخاب کنیم تا هر استوانه ای به شکل مثلاً T 2 + R2 2/4 را بگیریم. سپس مسئله کوشی شکل، طبق TK-P، راه حلی در بازه ای دارد که از (t T0، t + T0) باریکتر نیست، که در آن T0 = min (T، R/F) برای همه (t، x) ک.

حالا می توانیم = را به عنوان قطعه مورد نیاز در نظر بگیریم. در واقع، باید نشان دهیم که اگر (t، (t)) K، آنگاه t + T0 t t+ T0. اجازه دهید برای مثال، نابرابری دوم را نشان دهیم. راه حل مسئله کوشی (2) با x = (t) حداقل تا نقطه t + T0 در سمت راست وجود دارد، اما یک IS همان مسئله است، که به دلیل منحصر به فرد بودن، ادامه است، بنابراین t + T0 t+.

بنابراین، نمودار NR همیشه "به B" می رسد، به طوری که فاصله وجود NR به هندسه IR بستگی دارد.

مثلا:

بیانیه. فرض کنید B = (a, b)Rn (فاصله متناهی یا نامتناهی)، f شرایط TK-P در B را برآورده می کند و NR مسئله (1) با t0 (a, b) است. سپس یا t+ = b یا |(t)| + در t t+ (و به طور مشابه برای t).

اثبات بنابراین، اجازه دهید t+ b، سپس t+ +.

مجموعه فشرده K = B B را در نظر بگیرید. برای هر R +، طبق TPC، (R) t+ وجود دارد به طوری که در t ((R)، t+) نقطه (t, (t)) K. اما از آنجایی که t t+ ، این فقط برای حساب |(t)| امکان پذیر است R. اما این به معنی |(t)| است + در t t+.

در این مورد خاص، می بینیم که اگر f "برای همه x" تعریف شود، بازه وجود NR می تواند کمتر از حداکثر ممکن (a, b) باشد تنها به دلیل تمایل NR به هنگام نزدیک شدن به انتهای بازه (t، t+) (در حالت کلی - تا مرز B).

ورزش. آخرین عبارت را به حالتی تعمیم دهید که B = (a, b)، جایی که Rn یک منطقه دلخواه است.

اظهار نظر. ما باید درک کنیم که |(t)| + به معنای هیچ k(t) نیست.

بنابراین، ما به سؤال 2 پاسخ دادیم (به مثال در ابتدای بند 4 رجوع کنید): IR به B می رسد، اما طرح ریزی آن روی محور t ممکن است به انتهای طرح ریزی B در محور t نرسد. سوال 1 باقی می ماند - آیا علائمی وجود دارد که با آن، بدون حل ODE، بتوان در مورد امکان ادامه راه حل تا "حداکثر بازه گسترده" قضاوت کرد؟ می دانیم که برای ODE های خطی این ادامه همیشه ممکن است، اما در مثال ابتدای § 4 غیرممکن است.

اجازه دهید ابتدا، برای مثال، یک مورد خاص از ERP با n=1 را در نظر بگیریم:

همگرایی انتگرال نامناسب h(s)ds (نادرست به دلیل = + یا به دلیل تکینگی h در نقطه) به انتخاب (,) بستگی ندارد. بنابراین، زمانی که در مورد همگرایی یا واگرایی این انتگرال صحبت می کنیم، به سادگی h(s)ds را می نویسیم.

این را قبلاً می‌توان در قضیه ازگود و در گزاره‌های مربوط به آن انجام داد.

بیانیه. اجازه دهید a C(،)، b C(، +)، هر دو تابع در فواصل خود مثبت باشند. اجازه دهید مسئله کوشی (که در آن t0 (،)، x0) یک IS x = x(t) در بازه (t, t+) (,) داشته باشد. سپس:

نتیجه. اگر a = 1، = +، آنگاه t+ = + اثبات. (اظهارات). توجه داشته باشید که x به صورت یکنواخت افزایش می یابد.

ورزش. ثابت كردن.

بنابراین x(t+) = lim x(t) + وجود دارد. ما مورد 1 را داریم. t+، x(t+) + - بر اساس TPC غیرممکن است، زیرا x NR است.

هر دو انتگرال یا متناهی هستند یا نامتناهی.

ورزش. اثبات را تمام کنید.

استدلال برای معلم در نتیجه، در مورد 3 دریافت می کنیم: a(s)ds + و در مورد 4 (اگر اصلاً اجرا شده باشد) یکسان است.

بنابراین، برای ساده ترین ODE ها برای n = 1 از شکل x = f (x)، گسترش راه حل ها با شباهت تعیین می شود.

معادلات مستقل) قسمت 3 را ببینید.

مثال. برای f(x) = x، 1 (به ویژه حالت خطی = 1)، و f(x) = x ln x، گسترش راه حل های (مثبت) به + را می توان تضمین کرد. برای f (x) = x و f (x) = x ln x در 1، راه حل ها "در زمان محدود فرو می ریزند."

به طور کلی، وضعیت توسط عوامل بسیاری تعیین می شود و چندان ساده نیست، اما اهمیت "نرخ رشد f در x" همچنان مهم است. وقتی n 1 فرمول بندی معیارهای تداوم پذیری دشوار است، اما شرایط کافی وجود دارد. به عنوان یک قاعده، آنها با استفاده از به اصطلاح توجیه می شوند. تخمین های پیشینی راه حل ها

تعریف. بگذارید h C(,)، h 0. آنها می گویند که برای راه حل های مقداری ODE، AO |x(t)| h(t) در (,)، اگر هر راه حلی برای این ODE این تخمین را در آن قسمت از بازه (,) که در آن تعریف شده است برآورده کند (یعنی فرض نمی شود که راه حل ها لزوماً در کل بازه تعریف شده باشند (، )).

اما معلوم می‌شود که وجود AO تضمین می‌کند که راه‌حل‌ها همچنان در کل (،) تعریف می‌شوند (و بنابراین برآورد را در کل بازه برآورده می‌کنند)، به طوری که تخمین پیشینی به پسین تبدیل می‌شود:

قضیه. اجازه دهید مسئله کوشی (1) شرایط TK-P را برآورده کند، و برای حل های آن یک AO در بازه (,) با مقداری h C(,) و استوانه منحنی (|x| h(t)، t وجود دارد. (,)) B سپس NR (1) روی همه (,) تعریف می شود (و بنابراین AO را برآورده می کند).

اثبات اجازه دهید ثابت کنیم که t+ (t مشابه است). بیایید بگوییم t+. مجموعه فشرده K = (|x| h(t), t ) B را در نظر بگیرید. طبق TPC، در t t+ نقطه نمودار (t, x(t)) K را ترک می کند که به دلیل AO غیرممکن است.

بنابراین، برای اثبات قابلیت گسترش یک راه حل تا یک بازه معین، کافی است به طور رسمی جواب را در کل بازه مورد نیاز تخمین بزنیم.

قیاس: قابلیت اندازه گیری لیبگ یک تابع و برآورد رسمی انتگرال مستلزم وجود واقعی انتگرال است.

بیایید چند مثال از موقعیت هایی که این منطق کار می کند، بیاوریم. بیایید با نشان دادن تز بالا در مورد "رشد f در x بسیار کند است" شروع کنیم.

بیانیه. فرض کنید B = (،) Rn، f شرایط TK-P در B، |f (t، x)| a(t)b(|x|)، که در آن a و b شرایط بیانیه قبلی را با = 0 و = + برآورده می کنند. سپس IS مسئله (1) روی (،) برای همه t0 (،)، x0 Rn وجود دارد.

لما اگر و پیوسته باشند، (t0) (t0); در t t اثبات. توجه داشته باشید که در همسایگی (t0، t0 +): اگر (t0) (t0)، آنگاه این بلافاصله آشکار است، در غیر این صورت (اگر (t0) = (t0) = 0) (t0) = g(t0، 0) (t0)، که دوباره آنچه مورد نیاز است را نشان می دهد.

اکنون فرض می کنیم که t1 t0 وجود دارد که (t1). با استدلال آشکار می توان (t1) t2 (t0, t1] را به گونه ای یافت که (t2) = (t2) و on (t0, t2) اما سپس در نقطه t2 =، - یک تناقض داریم.

g هر کدام، و در واقع شما فقط به C، و همه جا که =، آنجا نیاز دارید. اما برای اینکه ما را اذیت نکنیم، بیایید آن را مانند Lemma در نظر بگیریم. در اینجا یک نابرابری شدید وجود دارد، اما یک ODE غیرخطی، و همچنین به اصطلاح وجود دارد.

توجه به مربی نابرابری هایی از این نوع مانند لما، نابرابری های نوع چاپلیگین (CH) نامیده می شوند. به راحتی می توان فهمید که شرط یکتایی در لما مورد نیاز نبود، بنابراین چنین "NP دقیق" در چارچوب قضیه Peano نیز صادق است. بدیهی است که "NP غیر دقیق" بدون منحصر به فرد نادرست است، زیرا برابری یک مورد خاص از نابرابری غیر دقیق است. در نهایت، "NP غیر دقیق" در چارچوب شرط منحصر به فرد درست است، اما فقط می توان آن را به صورت محلی - با استفاده از MI - اثبات کرد.

اثبات (اظهارات). اجازه دهید ثابت کنیم که t+ = (t = مشابه). فرض کنید t+، سپس با عبارت بالا |x(t)| + در t t+، بنابراین می توانیم x = 0 را در . اگر AO |x| را ثابت کنیم h on ) (توپ برای راحتی بسته است).

مسئله کوشی x(0) = 0 دارای یک IS x = 0 در R است.

اجازه دهید شرایط کافی را در f نشان دهیم که تحت آن وجود NR در R+ برای همه x0 = x(0) به اندازه کافی کوچک تضمین شود. برای انجام این کار، فرض کنید که (4) به اصطلاح تابع لیاپانوف، یعنی تابع V به گونه ای که:

1. V C 1(B(0, R));

2. sgnV (x) = sgn|x|;

بیایید بررسی کنیم که شرایط A و B برآورده شده است:

A. مسئله کوشی را در نظر بگیرید که در آن |x1| R/2. اجازه دهید یک استوانه B = R B(0, R) بسازیم - دامنه تعریف تابع f، جایی که محدود است و از کلاس C 1، به طوری که F = max |f | وجود دارد. با توجه به TK-P، یک راه حل (5) در بازه (t1 T0، t1 + T0) تعریف شده است، که در آن T0 = min (T, R/(2F)). با انتخاب یک T به اندازه کافی بزرگ، می توان به T0 = R/(2F) دست یافت. مهم است که T0 به انتخاب (t1, x1) بستگی نداشته باشد، تا زمانی که |x1| R/2.

ب- تا زمانی که راه حل (5) تعریف شده است و در توپ B(0, R) باقی می ماند، می توانیم استدلال زیر را انجام دهیم. ما داریم:

V (x(t)) = f (x(t)) V (x(t)) 0، یعنی V (x(t)) V (x1) M (r) = حداکثر V (y) . واضح است که m و M کاهش نمی یابند. r در صفر ناپیوسته هستند، m(0) = M(0) = 0، و خارج از صفر مثبت هستند. بنابراین، R 0 وجود دارد به طوری که M (R) m(R/2). اگر |x1| R، سپس V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2)، از آنجا |x(t)| R/2. توجه داشته باشید که R R/2.

حال می‌توانیم این قضیه را از پاراگراف‌ها فرموله کنیم. A,B وجود جهانی راه حل ها را استنتاج می کند (4):

قضیه. اگر (4) تابع لیاپانوف در B(0, R) داشته باشد، برای همه x0 B(0, R) (که R در بالا تعریف شده است) مشکل HP کوشی x(t0) = x0 برای سیستم (4) (با هر t0) به + تعریف شده است.

اثبات با توجه به نقطه A، راه حل را می توان بر روی، که در آن t1 = t0 + T0 / 2 ساخته شده است. این راه حل در B(0, R) قرار دارد و قسمت B را به آن اعمال می کنیم، بنابراین |x(t1)| R/2. نقطه A را دوباره اعمال می کنیم و راه حلی را روی 2 به دست می آوریم، جایی که t2 = t1 + T0/2، یعنی اکنون راه حل بر روی ساخته شده است. قسمت B را به این محلول اعمال می کنیم و |x(t2)| را بدست می آوریم R/2 و غیره. در تعدادی از مراحل قابل شمارش، راه حل را در § 5 به دست می آوریم. وابستگی راه حل های ODE به مسئله کوشی را در نظر بگیرید که در آن Rk. اگر برای برخی از t0()، x0() این مسئله کوشی یک NR داشته باشد، آنگاه x(t،) است. این سوال مطرح می شود: چگونه می توان وابستگی x به را مطالعه کرد؟ این سوال به دلیل کاربردهای مختلف مهم است (و به خصوص در قسمت 3 مطرح خواهد شد)، که یکی از آنها (اگرچه شاید مهم ترین آنها نباشد) راه حل تقریبی ODE ها است.

مثال. اجازه دهید مسئله کوشی را در نظر بگیریم که NR آن وجود دارد و منحصر به فرد است، همانطور که در TK-P آمده است، اما بیان آن در توابع ابتدایی غیرممکن است. پس چگونه می توان خواص آن را مطالعه کرد؟ یک راه این است: توجه داشته باشید که (2) "نزدیک" به مسئله y = y، y(0) = 1 است که حل آن آسان است: y(t) = et. می توانیم فرض کنیم که x(t) y(t) = et. این ایده به وضوح به صورت زیر فرموله شده است: مسئله را در نظر بگیرید وقتی = 1/100 این (2) است، و وقتی = 0 این مسئله برای y است. اگر ثابت کنیم که x = x(t,) در (به معنای معین) پیوسته است، آنگاه x(t,) y(t) را در 0 بدست می آوریم، و این به معنای x(t، 1/100) y( t) = et.

درست است، هنوز مشخص نیست که x چقدر به y نزدیک است، اما اثبات تداوم x اولین گام ضروری است که بدون آن حرکت به جلو غیرممکن است.

به طور مشابه، مطالعه وابستگی به پارامترها در داده های اولیه مفید است. همانطور که بعدا خواهیم دید، این وابستگی را می توان به راحتی به وابستگی به پارامتر سمت راست معادله تقلیل داد، بنابراین در حال حاضر خود را به مسئله ای به شکل Let f C(D) محدود می کنیم، که در آن D است. منطقه در Rn+k+1; f Lipschitz در x در هر مجموعه فشرده در D است که در x محدب است (مثلاً C(D) کافی است). (t0, x0) را رفع می کنیم. بیایید M = Rk | را نشان دهیم (t0، x0،) D مجموعه ای از موارد قابل قبول است (که مسئله (4) منطقی است). توجه داشته باشید که M باز است. فرض می کنیم که (t0, x0) طوری انتخاب می شوند که M =. با توجه به TK-P، برای همه M یک NR یکتا از مسئله (4) وجود دارد - تابع x = (t،)، که در بازه t (t(، t+() تعریف شده است.

به طور دقیق، از آنجایی که به متغیرهای زیادی بستگی دارد، باید (4) را به صورت زیر بنویسیم:

که در آن (5)1 در مجموعه G = ( (t,) | M, t (t (), t+()) ارضا می شود. با این حال، تفاوت بین علائم d/dt و /t صرفاً روانشناختی است (استفاده از آنها به همان مفهوم روانشناختی "اصلاح" بستگی دارد). بنابراین، مجموعه G یک مجموعه حداکثر طبیعی از تعریف یک تابع است، و مسئله تداوم باید به طور خاص در G بررسی شود.

ما به یک نتیجه کمکی نیاز داریم:

لما (گرونوال). اجازه دهید تابع C، 0، برآورد را برای همه t برآورده کند، سپس، برای همه، یادداشت معلم درست است. هنگام خواندن یک سخنرانی، لازم نیست این فرمول را از قبل به خاطر بسپارید، اما یک فاصله بگذارید و بعد از نتیجه گیری آن را بنویسید.

اما پس از آن این فرمول را در نظر داشته باشید، زیرا در ToNZ ضروری خواهد بود.

h = A + B Ah + B، از جایی که ما نیاز داریم را دریافت می کنیم.

معنای این لم عبارت است از: معادله دیفرانسیل و نابرابری، ارتباط بین آنها، معادله انتگرال و نامساوی، ارتباط بین همه آنها، لم های دیفرانسیل و انتگرال گرونوال و ارتباط بین آنها.

اظهار نظر. اثبات این لم با فرضیات کلی تر در مورد A و B امکان پذیر است، اما ما فعلاً به این نیاز نداریم، اما آن را در دوره UMF انجام خواهیم داد (بنابراین، به راحتی می توان فهمید که ما از پیوستگی A استفاده نکرده ایم. و ب و غیره).

اکنون ما آماده هستیم تا نتیجه را به وضوح بیان کنیم:

قضیه. (ToNZ) بر اساس فرضیات ارائه شده در مورد f و در نماد معرفی شده در بالا، می توان استدلال کرد که G باز است و C(G).

اظهار نظر. واضح است که مجموعه M به طور کلی متصل نیست، بنابراین ممکن است G نیز متصل نباشد.

توجه به مربی با این حال، اگر ما (t0، x0) را در بین پارامترها قرار دهیم، اتصال وجود خواهد داشت - این در انجام می شود.

اثبات اجازه دهید (t,) G. باید ثابت کنیم که:

برای قطعیت، t t0 را بگذارید. ما داریم: M، بنابراین (t،) بر روی (t) تعریف شده است، t+()) t، t0، و بنابراین در یک بخش به طوری که t نقطه (t, (t,)) از منحنی فشرده عبور کند. D (هپرصفحه موازی ( = 0)). این به این معنی است که بسیاری از انواع تعریف باید همیشه جلوی چشمان شما باشد!

همچنین یک مجموعه فشرده در D برای a و b به اندازه کافی کوچک (محدب در x) است، به طوری که تابع f در x Lipschitz است:

[این ارزیابی باید همیشه جلوی چشمان شما باشد! ] و در همه متغیرها به طور یکنواخت پیوسته است و حتی بیشتر از آن |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|)، (t، x، 1)، (t، x، 2).

[این ارزیابی باید همیشه جلوی چشمان شما باشد! ] یک 1 دلخواه را طوری در نظر بگیرید که |1 | b و راه حل مربوطه (t, 1). مجموعه (= 1) یک مجموعه فشرده در D (= 1) است و برای t = t0 نقطه (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0, )، 1) ( = 1)، و با توجه به TPC در t+(1) نقطه (t، (t، 1)، 1) (= 1) برگ می شود. بگذارید t2 t0 (t2 t+(1)) اولین مقداری باشد که به نقطه ذکر شده می رسد.

با ساخت، t2 (t0، t1]. وظیفه ما این خواهد بود که نشان دهیم t2 = t1 با محدودیت‌های اضافی روی. بگذارید اکنون t3. ما داریم (برای همه این t3، همه کمیت‌های استفاده شده در زیر با ساخت تعریف می‌شوند):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,)) dt، بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که این مقدار در مقدار مطلق کمتر از a است.

که در آن تابع انتگرال به صورت زیر ارزیابی می شود:

±f (t، (t،)،)، و نه ±f (t، (t،)،)، زیرا تفاوت |(t، 1) (t،)| هنوز تخمینی وجود ندارد، بنابراین (t، (t، 1)،) نامشخص است، اما برای |1 | است، و (t، (t،)، 1) شناخته شده است.

بنابراین در پایان |(t3, 1)(t3,)| K|(t، 1)(t،)|+(|1|) dt.

بنابراین تابع (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (این یک تابع پیوسته است) شرایط لم گرونوال را با A(s) K 0، B(s) (|1 |)، T = t2، = 0 برآورده می کند، بنابراین از این لم می گیریم [این تخمین باید حفظ شود. همیشه جلوی چشمانت! ] اگر بگیریم |1 | 1 (t1). فرض می کنیم که 1(t1) b. تمام استدلال ما برای همه t3 درست است.

بنابراین، با این انتخاب 1، وقتی t3 = t2، هنوز |(t2, 1) (t2,)| a، و همچنین |1 | ب این بدان معنی است که (t2، (t2، 1)، 1) تنها به دلیل این واقعیت است که t2 = t1 امکان پذیر است. اما این به طور خاص به این معنی است که (t، 1) بر روی کل بخش، یعنی t1 t+(1)، و تمام نقاط شکل (t، 1) G، اگر t، |1 | 1 (t1).

به این معنا که، اگرچه t+ به آن بستگی دارد، اما بخش به اندازه کافی نزدیک به t+() باقی می ماند. اگر t t0، نقطه (t،) B(، 1) G، به طور مشابه برای t t0، و اگر t = t0، هر دو حالت اعمال می شود، بنابراین (t0،) B(، 3) G، که در آن 3 = min ( 12). مهم است که برای یک (t،) ثابت می توان t1(t،) را پیدا کرد به طوری که t1 t 0 (یا t4، به ترتیب)، و 1(t1) = 1(t،) 0 (یا 2، به ترتیب)، بنابراین انتخاب 0 = 0 (t،) واضح است (زیرا یک توپ را می توان در همسایگی استوانه ای حاصل حک کرد).

در واقع، یک ویژگی ظریف تر ثابت شده است: اگر یک NR روی یک بخش خاص تعریف شود، آنگاه تمام NR ها با پارامترهای به اندازه کافی نزدیک روی آن تعریف می شوند (یعنی.

همه کمی خشمگین NR). با این حال، برعکس، این ویژگی از باز بودن G ناشی می‌شود، همانطور که در زیر نشان داده خواهد شد، بنابراین اینها فرمول‌های معادل هستند.

بنابراین، ما نکته 1 را ثابت کردیم.

اگر در استوانه مشخص شده در فضا باشیم، تخمین برای |1 | درست است 4 (,t,). در همان زمان |(t3,) (t,)| در |t3 t| 5(,t,) به دلیل تداوم در t. در نتیجه برای (t3, 1) B((t,)) |(t3, 1) (t,)| داریم که در آن = min(4,5). این نقطه 2 است.

"وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه فدرال موسسه آموزشی بودجه ایالتی آموزش عالی حرفه ای دانشگاه مدیریت دولتی موسسه تربیت پرسنل علمی، آموزشی و علمی. دانش روش شناسی آموزش این برنامه بر آمادگی برای قبولی در امتحانات ورودی برای تحصیلات تکمیلی در... تمرکز دارد.

"دانشگاه ایالتی آمور، گروه روانشناسی و آموزش، مجتمع آموزشی و روش شناسی، روانشناسی مشاوره رشته ای، برنامه آموزشی اصلی در مقطع کارشناسی

"صنعت خودرو) Omsk - 2009 3 آژانس فدرالتوسط آموزش و پرورش موسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای آکادمی اتوموبیل و بزرگراه دولتی سیبری (SibADI) گروه آموزشی مهندسی دستورالعمل های روشی برای مطالعه رشته فن آوری های آموزشی برای دانش آموزان تخصص 050501 - آموزش حرفه ای (خودرو و خودرو..."

سری کتاب آموزشی G.S. Rosenberg, F.N Ryansky Theoretical AND APPLIED Textbook توصیه شده توسط انجمن آموزشی و روش شناسی برای آموزش کلاسیک دانشگاه. فدراسیون روسیهبه عنوان یک کتاب درسی برای دانشجویان مؤسسات آموزش عالی در تخصص های زیست محیطی، چاپ دوم انتشارات نیژنوارتوفسک مؤسسه آموزشی نیژنوارتوفسک 2005 BBK 28.080.1я73 R64 داوران: دکترای زیست شناسی. علوم، پروفسور V.I. Popchenko (موسسه اکولوژی ..."

"وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه موسسه آموزشی بودجه دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه آموزشی دولتی کراسنویارسک به نام. V.P. آستافیوا E.M. Antipova SMALL PRACTICUM IN BOTANY انتشارات الکترونیکی KRASNOYARSK 2013 BBK 28.5 A 721 داور: Vasiliev A.N.، دکتر علوم زیستی، پروفسور KSPU به نام. V.P. آستافیوا Yamskikh G.Yu.، دکترای علوم زمین شناسی، پروفسور دانشگاه فدرال سیبری Tretyakova I.N.، دکترای علوم زیستی، پروفسور، کارمند برجسته موسسه جنگل...

"وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه فدرال موسسه بودجه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای دانشگاه ایالتی آمور گروه روانشناسی و تعلیم و تربیت مجتمع آموزشی و متدولوژیکی انضباط اصول بهداشت اطفال و بهداشت. Blagoveshchensk 2012 1 MKd توسعه یافته در جلسه ای از گروه روانشناسی و... مورد بررسی و توصیه قرار گرفت.

"بررسی وظایف با پاسخ دقیق صدور گواهینامه دولتی (نهایی) فارغ التحصیلان پایه نهم موسسات آموزش عمومی (در فرم جدید) 2013 GEOGRAPHY Moscow 2013 نویسنده گردآورنده: Ambartsumova E.M. افزایش عینی بودن نتایج گواهینامه دولتی (نهایی) فارغ التحصیلان پایه نهم موسسات آموزش عمومی (در..."

توصیه های عملی در مورد استفاده از مرجع، اطلاعات و محتوای روش شناختی برای آموزش زبان روسی به عنوان زبان دولتی فدراسیون روسیه. توصیه های عملی خطاب به معلمان زبان روسی (از جمله به عنوان یک زبان غیر مادری) است. محتوا: توصیه های عملیو دستورالعمل هایی برای انتخاب 1. محتوای مطالب برای کلاس های آموزشی و آموزشی اختصاص داده شده به مشکلات عملکرد زبان روسی به عنوان زبان دولتی..."

E.V. MURYUKINA DEVELOPMENT OF CRITICTAL THINKING AND Media Competence of STUDENTS IN THE PROCESS OF PRESS ANALYSIS کتاب درسی برای دانشگاه ها Taganrog 2008 2 Muryukina E.V. توسعه تفکر انتقادی و شایستگی رسانه ای دانش آموزان در فرآیند تحلیل مطبوعات. کتاب درسی برای دانشگاه ها. تاگانروگ: مرکز توسعه شخصی NP، 2008. 298 ص. کتاب درسی در مورد توسعه تفکر انتقادی و شایستگی رسانه ای دانش آموزان در روند کلاس های آموزش رسانه بحث می کند. زیرا مطبوعات امروز..."

"در باره. P. Golovchenko درباره شکل‌گیری فعالیت بدنی انسان قسمت دوم P ED AG OGIK A MOTOR ACTIVITY VN OSTI 3 نسخه آموزشی Oleg Petrovich Golovchenko Formation OF HUMAN PHYSICAL ACTIVITY ویرایش دوم کتاب درسی حرکتی، قسمت IIdago. طرح بندی کامپیوتر Kosenkova توسط D.V. Smolyak و S.V. پوتاپووا *** برای انتشار در 23 نوامبر امضا شد. فرمت 60 x 90/1/16. کاغذ نوشتن تایپ فیس تایمز روش چاپ عملیاتی قرارداد. p.l..."

"موسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای دانشگاه دولتی کازان به نام در و. ULYANOVA-LENIN کتابخانه های الکترونیکی منابع علمی و آموزشی. راهنمای آموزشی و روش شناختی Abrosimov A.G. لازاروا یو.آی. کازان 2008 کتابخانه های الکترونیکیمنابع علمی و آموزشی راهنمای آموزشی و روش شناختی در راستای منابع آموزشی الکترونیکی. - کازان: KSU، 2008. راهنمای آموزشی و روش شناختی با تصمیم منتشر می شود...”

«وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه مؤسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای دانشگاه ایالتی اورنبورگ شعبه آکبولاک گروه آموزشی V.A. روش تتسکووا در آموزش هنرهای زیبا در کلاس های ابتدایی آموزش عمومی دستورالعمل های روش شناسی توصیه شده برای انتشار توسط شورای تحریریه و انتشارات دولتی موسسه تحصیلیآموزش عالی حرفه ای دانشگاه ایالتی اورنبورگ..."

«وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه وزارت آموزش و پرورش منطقه STAVROPOL موسسات آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای STAVROPOL انستیتوی آموزشی دولتی N. Dzhegutanova ادبیات کودکان کشورهای محل تحصیل زبان مجتمع آموزشی و روش شناسی استاوروپل 2010 1 منتشر شده با تصمیم UDC 82.0 شورای تحریریه و انتشاراتی Stavropol 83 داوران موسسه داگوژیک:. .."

"مقررات سیستم جدید ارزیابی درون مدرسه ای کیفیت آموزش MBOU Kamyshinskaya دبیرستان 1. مقررات عمومی 1.1. آیین نامه سیستم درون مدرسه ای برای ارزیابی کیفیت آموزش (از این پس آیین نامه نامیده می شود) الزامات یکسانی را برای اجرای سیستم درون مدرسه ای برای ارزیابی کیفیت آموزش (از این پس SSOKO نامیده می شود) در شهرداری ایجاد می کند. مؤسسه آموزشی بودجه مدرسه متوسطه کامیشین (از این پس مدرسه نامیده می شود). 1.2. اجرای عملی SSOKO مطابق با ... ساخته شده است.

«وزارت بهداشت جمهوری ازبکستان آکادمی پزشکی تاشکند بخش GP با تایید آلرژولوژی بالینی معاون امور آکادمیک پروفسور. O.R Teshaev _ 2012 توصیه هایی برای تدوین تحولات آموزشی و روش شناختی برای کلاس های عملی در مورد یک سیستم یکپارچه روش شناسی دستورالعمل های روش شناختی برای معلمان دانشگاه های پزشکی تاشکند - 2012 OBLICTER OF THE OF OF OF توسعه آموزش پزشکی TA SHKENTSKAYA MEDICAL..."

"آژانس فدرال آموزش دانشگاه ایالتی گورنو-آلتای A.P. Makoshev جغرافیای سیاسی و ژئوپلیتیک راهنمای آموزشی و روش شناختی Gorno-Altaisk RIO دانشگاه ایالتی Gorno-Altaisk 2006 منتشر شده با تصمیم شورای تحریریه و انتشارات دانشگاه دولتی Gorno-Altaisk دانشگاه دولتیماکوشف A.P. جغرافیای سیاسی و ژئوپلیتیک. راهنمای آموزشی و روش شناختی. – Gorno-Altaisk: RIO GAGU, 2006.-103 p. کتابچه راهنمای آموزشی مطابق با آموزش تدوین شده است..."

"A.V. نوویتسکایا، L.I. نیکولایوا مدرسه آینده برنامه آموزشی مدرن مراحل زندگی کتابچه راهنمای روش شناسی کلاس اول برای معلمان کلاس ابتدایی مسکو 2009 UDC 371(075.8) BBK 74.00 N 68، ارجاع به نویسنده از نظر قانونی محافظت می شود. Novitskaya A.V.، Nikolaeva L.I. N 68 مدرن برنامه آموزشیمراحل زندگی. – M.: Avvallon, 2009. – 176 p. ISBN 978 5 94989 141 4 این بروشور عمدتاً خطاب به معلمان است، اما بدون شک با اطلاعات آن ... "

«مجتمع آموزشی و روش‌شناختی RUSSIAN ENTERPRISE LAW 030500 – Jurisprudence Moscow 2013 نویسنده – گردآورنده گروه داوری رشته‌های حقوق مدنی – مجموعه آموزشی و روش‌شناسی در جلسه اداره رشته‌های حقوق مدنی، پروتکل شماره 2013 بررسی و تصویب شد. . قانون تجارت روسیه: آموزشی و روش شناختی...

"آ. A. Yamashkin V.V. Ruzhenkov Al. الف یاماشکین کتاب درسی جغرافیای جمهوری موردوویا انتشارات سارانسک 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9(2R351–6Mo) Physical State University of Mordov. دکتر علوم جغرافیاییپروفسور A. M. Nosonov; معلم مدرسه-مجتمع شماره 39 سارانسک A. V. Leontyev با تصمیم شورای آموزشی و روش شناختی دانشکده آمادگی پیش دانشگاهی و آموزش متوسطه منتشر شد...

وزارت آموزش و پرورش و علوم دانشگاه تحقیقات هسته ای روسیه "MEPhI" T. I. Bukharova, V. L. Kamynin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko دوره سخنرانی در مورد آموزش معادلات دیفرانسیل معمولی در آموزش و پرورش توصیه می شود شناسه برای دانشجویان مؤسسات آموزش عالی مسکو 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova T.I., Kamynin V.L., Kostin A.B., Tkachenko D.S. دوره سخنرانی معادلات دیفرانسیل معمولی: کتاب درسی. – M.: National Research Nuclear University MEPhI, 2011. – 228 p. این کتاب درسی بر اساس دوره ای از سخنرانی ها توسط نویسندگان در موسسه فیزیک مهندسی مسکو برای سال ها ایجاد شد. برای دانشجویان دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای MEPhI همه دانشکده ها و همچنین برای دانشجویان دانشگاه با آموزش ریاضی پیشرفته طراحی شده است. این راهنما در چارچوب برنامه ایجاد و توسعه دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای MEPhI تهیه شده است. داور: دکترای فیزیک و ریاضی. علوم N.A. کودریاشوف. ISBN 978-5-7262-1400-9 © National Research Nuclear University "MEPhI"، 2011 مطالب مقدمه. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. مقدمه ای بر نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی مفاهیم اساسی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مشکل کوشی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای مسئله کوشی برای یک معادله مرتبه 1 قضیه منحصر به فرد برای یک ODE مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . وجود یک راه حل برای مشکل کوشی برای یک ODE مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ادامه راه حل برای یک ODE مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. مسئله کوشی برای یک سیستم عادی از مرتبه n مفاهیم اساسی و برخی از ویژگی های کمکی توابع برداری. . . . منحصر به فرد بودن راه حل مشکل کوشی برای یک سیستم معمولی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . مفهوم فضای متریک اصل نگاشتهای تراکم پذیر. . . . . . قضایای وجود و یکتایی برای حل مسئله کوشی برای سیستم های عادی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. برخی از کلاس های معادلات دیفرانسیل معمولی قابل حل در ربع معادلات با متغیرهای قابل تفکیک. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . خطی OÄA مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادلات همگن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادله برنولی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادله در دیفرانسیل کامل. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 معادلات مرتبه اول با توجه به مشتق حل نشدند قضیه وجود و یکتایی یک راه حل برای یک ODE با توجه به مشتق حل نشده است. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . راه حل ویژه منحنی تفکیک. پاكت نامه. . . . . . . . . . . . . . . . روش وارد کردن پارامتر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادله لاگران . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادله Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. سیستم های ODE های خطی مفاهیم اساسی. قضیه وجود و یکتایی برای حل مسئله سیستم های همگن ODAهای خطی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تعیین کننده ورونسکی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محلول های پیچیده یک سیستم همگن. انتقال به FSR واقعی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سیستم های ناهمگن ODU های خطی. روش تغییر ثابت ها . . . . سیستم های همگن ODA های خطی با ضرایب ثابت. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تابع نمایی از ماتریس. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 کوشی 85 . . . 87. . . 91. . . . . . 96 97. . . 100 . . . 111 سیستم ناهمگن ODAهای خطی با ضرایب ثابت. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. ODE های خطی نظم بالاکاهش به سیستمی از ODAهای خطی. قضیه وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل برای مسئله کوشی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄA خطی همگن از مرتبه بالا. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ویژگی های محلول های پیچیده یک OEA خطی همگن با مرتبه بالا. انتقال از یک FSR پیچیده به یک واقعی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODAهای خطی ناهمگن از مرتبه بالا. روش تغییر ثابت ها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODAهای خطی مرتبه بالا همگن با ضرایب ثابت. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OAL خطی ناهمگن مرتبه بالا با ضرایب ثابت. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 هشتم. نظریه پایداری مفاهیم و تعاریف اساسی مرتبط با پایداری. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پایداری جواب های یک سیستم خطی . . . . . قضایای لیاپانوف در مورد ثبات. . . . . . . . . . ثبات تقریبی اول. . . . . . . رفتار مسیرهای فاز نزدیک نقطه استراحت 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. انتگرال های اول سیستم های ODE 198 انتگرال های اول سیستم های خودمختار معادلات دیفرانسیل معمولی 198 سیستم های OÄU غیر خودمختار. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 ضبط متقارن سیستم های OÄA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول معادلات دیفرانسیل جزئی خطی همگن از مرتبه اول مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معادلات دیفرانسیل جزئی شبه خطی مرتبه اول. . . . مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل جزئی شبه خطی مرتبه اول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . کتابشناسی - فهرست کتب. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4- 210. . . . . 210. . . . . 212. . . . . 216. . . . . 223. . . . . 227 مقدمه هنگام تهیه کتاب، نویسندگان تصمیم گرفتند تا در یک مکان اطلاعاتی را در مورد اکثر مسائل مربوط به نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی جمع آوری کرده و به شکلی در دسترس ارائه کنند. بنابراین، علاوه بر مطالب موجود در برنامه اجباری دوره معادلات دیفرانسیل معمولی که در دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای MEPhI (و در سایر دانشگاه ها) تدریس می شود، این کتابچه راهنمای شامل سوالات اضافی نیز می شود که به عنوان یک قاعده، به اندازه کافی وجود ندارد. زمان برای سخنرانی ها، اما برای درک بهتر موضوع مفید خواهد بود و برای دانشجویان فعلی در فعالیت های حرفه ای آینده آنها مفید خواهد بود. تمام عبارات موجود در کتابچه راهنمای پیشنهادی دارای شواهد دقیق ریاضی هستند. این شواهد، به عنوان یک قاعده، اصلی نیستند، اما همه آنها مطابق با سبک ارائه دروس ریاضی در MEPhI تجدید نظر شده اند. بر اساس نظری که در بین معلمان و دانشمندان رایج است، رشته های ریاضی را باید با برهان های کامل و مفصل مطالعه کرد و به تدریج از ساده به پیچیده حرکت کرد. نویسندگان این راهنما نیز همین نظر را دارند. اطلاعات نظری ارائه شده در کتاب با تجزیه و تحلیل تعداد کافی مثال پشتیبانی می شود که امیدواریم مطالعه مطالب را برای خواننده آسان تر کند. این راهنما برای دانشجویان دانشگاه با آموزش ریاضی پیشرفته، در درجه اول برای دانشجویان دانشگاه ملی تحقیقات هسته ای MEPhI است. در عین حال برای همه کسانی که به نظریه معادلات دیفرانسیل علاقه مند هستند و از این شاخه از ریاضیات در کار خود استفاده می کنند نیز مفید خواهد بود. -5- فصل اول. مقدمه ای بر تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی 1. 1. مفاهیم اساسی در سراسر کتابچه راهنما، هر یک از مجموعه های (a، b)، (a، b)، ما را با ha، bi نشان خواهیم داد. x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt بدست آورید. ln C 6 x0 x0 پس از تقویت آخرین نابرابری و اعمال (2.3)، 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v(t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 داریم. برای همه x 2 [1، 1]. اجازه دهید تفاوت jf (x, y2) f (x, y1)j = sin x y1 y2 6 را برای همه (x, y) 2 G تخمین بزنیم. بنابراین، f شرط Lipschitz را با L = 1 برآورده می کند، در واقع، حتی با L = sin 1 در y. با این حال، مشتق fy0 در نقاط (x, 0) 6 = (0, 0) حتی وجود ندارد. قضیه زیر که به خودی خود جالب است، به ما اجازه می دهد تا منحصر به فرد بودن راه حل مسئله کوشی را اثبات کنیم. قضیه 2.1 (درباره تخمین تفاوت بین دو راه حل). فرض کنید G یک منطقه 2 در R و f (x, y) 2 C G باشد و در G شرط لیپشیتز در y با ثابت L را برآورده کنید. در بازه، آنگاه نابرابری برقرار است (تخمین): jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 برای همه x 2 . -19- y2 اثبات. با تعریف 2. 2 راه حل معادله (2.1) به دست می آید که 8 x 2 نقطه x، y1 (x) و x، y2 (x) 2 G. برای همه t 2 برابری های صحیح y10 (t) = f t را داریم. y1 (t ) و y20 (t) = f t, y2 (t) , که ما آنها را روی t در قطعه ادغام می کنیم که در آن x 2 . ادغام قانونی است، زیرا سمت راست و چپ توابع پیوسته هستند. ما سیستمی از برابری ها را بدست می آوریم Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 با تفریق یکی از دیگری، jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t، y1 (t) i f t، y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) داریم. y2 (x0) + f t، y1 (t) f t، y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 C = y1 (x0) y2 (x0) > 0، v(t) = L > 0، u(t) = y1 (t) را نشان می دهیم سپس، با استفاده از نابرابری گرونوال-آلمن، برآورد را بدست می آوریم: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. برای همه x 2 . قضیه ثابت شده است. به عنوان نتیجه قضیه اثبات شده، قضیه یکتایی را برای حل مسئله کوشی (2.1)، (2.2) به دست می آوریم. نتیجه 1. فرض کنید تابع f (x, y) 2 C G و شرط Lipschitz برای y در G را برآورده می کند و توابع y1 (x) و y2 (x) دو راه حل معادله (2.1) در یک بازه باشند، و x0 2 . اگر y1 (x0) = y2 (x0)، سپس y1 (x) y2 (x) در . اثبات بیایید دو مورد را در نظر بگیریم. -20- 1. اجازه دهید x > x0، سپس از قضیه 2.1 نتیجه می شود که h i i.e. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) برای x > x0 . 2. اجازه دهید x 6 x0، تغییر را t = x، سپس yi (x) = yi (t) y~i (t) برای i = 1، 2. از x 2، سپس t 2 [x0، x1] و برابری برآورده شده y~1 (x0) = y~2 (x0). اجازه دهید دریابیم که کدام معادله y~i (t) راضی می کند. زنجیره برابری های زیر درست است: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)). در اینجا از قانون تمایز یک تابع مختلط و این واقعیت استفاده کردیم که yi (x) راه حل معادله (2.1) است. از آنجایی که تابع f~(t, y) f (t, y) پیوسته است و شرط لیپشیتز را برای y برآورده می کند، پس با قضیه 2.1 داریم که y~1 (t) y~2 (t) روی [x0, x1 ]، یعنی y1 (x) y2 (x) در . با ترکیب هر دو مورد در نظر گرفته شده، بیانیه نتیجه را به دست می آوریم. نتیجه 2. (در وابستگی پیوسته به داده های اولیه) اجازه دهید تابع f (x, y) 2 C G و شرط Lipschitz در y با ثابت L در G برآورده شود و توابع y1 (x) و y2 (x) راه حل باشند. معادله (2.1) تعریف شده در . اجازه دهید l = x1 x0 و δ = y1 (x0) y2 (x0) را نشان دهیم. سپس برای 8 x 2 نابرابری y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l معتبر است. اثبات بلافاصله از قضیه 2 حاصل می شود. 1. نابرابری حاصل از نتیجه 2 تخمین پایداری راه حل بر اساس داده های اولیه نامیده می شود. معنی آن این است که اگر در x = x0 راه حل ها "نزدیک" باشند، در بخش نهایی نیز "نزدیک" هستند. قضیه 2.1 تخمینی از مدول تفاوت بین دو راه حل را ارائه می دهد که برای کاربردها مهم است و نتیجه 1 منحصر به فرد بودن راه حل مسئله کوشی (2.1)، (2.2) را نشان می دهد. همچنین شرایط کافی دیگر برای منحصر به فرد بودن وجود دارد که اکنون یکی از آنها را ارائه خواهیم داد. همانطور که در بالا ذکر شد، از نظر هندسی منحصر به فرد بودن حل مسئله کوشی به این معنی است که حداکثر یک منحنی انتگرال معادله (2.1) می تواند از نقطه (x0, y0) دامنه G عبور کند. قضیه 2.2 (اسگود در مورد یکتایی). اجازه دهید تابع f (x, y) 2 C G و برای 8 (x, y1), (x, y2) 2 G نابرابری f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , جایی که ϕ (u) > 0 برای u 2 (0، β]، φ(u) پیوسته است، و Zβ du ! +1 وقتی ε ! 0+. سپس حداکثر εG از نقطه (x0، y0) دامنه عبور می کند. ϕ(u) یک منحنی انتگرال (2.1-21- اثبات) بگذارید دو راه حل y1 (x) و y2 (x) از معادله (2.1) وجود داشته باشد، به طوری که y1 (x0) = y2 (x0) = y0. z(x) = y2 (x) y1 (x dyi) را برای i = 1، 2، سپس برای z(x) برابری dx dz = f (x، y2) نشان دهید. (x, y1) dx نابرابری دوگانه است: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 d jzj 6 2 jzjφ jzj Zx2 dx، (2.5) x1 jz1 j. > 0، و zi = z(xi)، i = 1، 2. با فرض، z(x) 6 0 و علاوه بر این، پیوسته است، بنابراین چنین فاصله ای وجود دارد، آن را انتخاب کنید و مجموعه های n o را در نظر بگیرید X1 = x x.< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 و z(x) = 0 . حداقل یکی از این مجموعه ها خالی نیست، زیرا z(x0) = 0 و x0 62 . به عنوان مثال، X1 6= ∅، از بالا محدود شده است، بنابراین 9 α = sup X1. توجه داشته باشید که z(α) = 0، یعنی. α 2 X1، از آنجایی که فرض کنیم z(α) > 0، به دلیل پیوستگی، z(x) > 0 را در برخی بازه α δ1، α + δ1 خواهیم داشت، و این با تعریف α = sup X1 در تضاد است. از شرط z(α) = 0 نتیجه می شود که α< x1 . По построению z(x) > 0 برای همه x 2 (α, x2 ]، و به دلیل تداوم z(x) ! 0+ برای x ! α + 0. اجازه دهید استدلال را در استخراج (2.5) تکرار کنیم، و در بازه [α + δ، x2 ادغام کنیم. ]، در جایی که x2 در بالا انتخاب و ثابت شد، و δ2 (0، x2 α) دلخواه است، نابرابری را به دست می آوریم: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz(α+δ)j Zx2 α+ در این نابرابری 0+، z(α) = 0، از Zjz2 j jzj2، و سپس انتگرال ! jzjϕ jzj از قضیه δ)j -22- سمت راست نابرابری Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α از بالا به مقدار محدود محدود می شود، که به طور همزمان غیرممکن است قضیه 2 را اثبات می کند. 2. وجود یک راه حل برای مسئله کوشی برای یک ODE مرتبه اول به یاد بیاورید که منظور از مسئله کوشی (2.1)، (2.2) مسئله زیر برای یافتن تابع y(x) است: 0 y. = f (x، y)، (x، y) 2 G، y(x0) = y0، (x0، y0) 2 G، که در آن f (x، y) 2 C G و (x0، y0) 2 G یک دامنه در لم 2 است. 2. فرض کنید f (x, y) 2 C G هنگامی که عبارات زیر برقرار است: 1) هر راه حل ϕ(x) معادله (2.1) در بازه ha، bi، راضی کننده (2.2) است. x0 2 ha, bi , یک راه حل در ha, bi از معادله انتگرال Zx y(x) = y0 + f τ, y(τ ) dτ ; (2.6) x0 2) اگر ϕ(x) 2 C ha، bi راه حلی برای معادله انتگرال (2.6) در ha، bi، 1 است که در آن x0 2 ha، bi، سپس ϕ(x) 2 C ha، bi است. راه حلی برای (2.1)، (2.2). اثبات 1. فرض کنید ϕ(x) یک راه حل برای (2.1)، (2.2) در ha، bi باشد. سپس با توجه 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi و 8 τ 2 ha, bi برابری ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) را داریم که با ادغام آن از x0 به x به دست می آوریم (برای هر x 2 ha، bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ، ϕ(τ) dτ، و ϕ(x0) = y0، یعنی. ϕ(x) – راه حل (2.6). x0 2. فرض کنید y = ϕ(x) 2 C ha، bi راه حل (2.6) باشد. از آنجایی که f x، ϕ(x) در ha، bi با شرط پیوسته است، پس Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha، bi x0 به عنوان یک انتگرال با حد بالایی متغیر از یک پیوسته تابع. با تمایز آخرین تساوی نسبت به x، ϕ 0 (x) = f x، ϕ(x) 8 x 2 ha، bi و، بدیهی است، ϕ(x0) = y0، یعنی. ϕ(x) راه حلی برای مسئله کوشی (2.1)، (2.2) است. (مطابق معمول، منظور از مشتق در انتهای یک بخش، مشتق یک طرفه مربوطه است.) -23- نکته 2. 6. لم 2. 2 یک لم در معادل بودن مسئله کوشی (2.1) نامیده می شود، ( 2.2) به معادله انتگرال (2.6). اگر ثابت کنیم که جوابی برای معادله (2.6) وجود دارد، حل پذیری مسائل کوشی (2.1)، (2.2) را به دست می آوریم. این طرح در قضیه زیر اجرا می شود. قضیه 2.3 (قضیه وجود محلی). مستطیل P = (x، y) 2 R2: jx x0 j 6 α، jy y0 j 6 β به طور کامل در G حوزه تعریف تابع f (x، y) قرار دارد. تابع f (x, y) 2 C G و شرط Lipschitz را برای n y ov G با ثابت L برآورده می کند. اجازه دهید β M = max f (x, y) , h = min α, M را نشان دهیم. هنگامی که در بازه P یک راه حل برای مسئله کوشی (2.1)، (2.2) وجود دارد. اثبات در بخش ما وجود یک راه حل برای معادله انتگرال (2.6) را مشخص می کنیم. برای انجام این کار، دنباله توابع زیر را در نظر بگیرید: Zx y0 (x) = y0، y1 (x) = y0 + f τ، y0 (τ) dτ، ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ، yn 1 (τ ) dτ و غیره x0 1. اجازه دهید نشان دهیم که 8 n 2 N توابع yn (تقریبات متوالی) تعریف شده اند، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که برای 8 x 2 نابرابری yn (x) y0 6 β برای همه n = 1، 2، صادق است. . . بیایید از روش استقرای ریاضی (MMI) استفاده کنیم: الف) مبنای استقرا: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β، x0 که در آن M0 = حداکثر f (x، y0) برای jx x 0 j 6 α , M0 6 M ; ب) مرحله فرض و القاء. بگذارید نابرابری برای yn 1 (x) صادق باشد، بیایید آن را برای yn (x) ثابت کنیم: Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 بنابراین، اگر jx x0 j 6 h، سپس yn (x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. هدف ما اثبات همگرایی دنباله نزدیکترین 1 ity yk (x) k=0 خواهد بود، برای این کار راحت است که آن را به شکل نشان دهیم: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1، k=1 یعنی. دنباله ای از مجموع جزئی یک سری تابعی. 2. اجازه دهید شرایط این سری را با اثبات نابرابری های زیر 8 n 2 N و 8 x 2 تخمین بزنیم: x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! بیایید روش استقرای ریاضی را اعمال کنیم: jx n 1 1 hn . n! (2.7) الف) مبنای القایی: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h، در بالا ثابت شد. ب) مرحله فرض و القاء. بگذارید نابرابری برای n درست باشد، اجازه دهید آن را برای n بگوییم: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1، تا dτ 6 x0 Zx i yn 6 توسط شرط Lipschitz 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 توسط فرضیه القایی 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! n n! 1 x0 Rx در اینجا ما از این واقعیت استفاده کردیم که انتگرال I = jτ x0 برای x > x0 برای x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он برابر با عملکرد y0 + f τ, φ(τ) dτ , x0 برای این مورد استفاده می شود معیار بعدی همگرایی یکنواخت دنباله عملکردی: X yn (x) ⇒ ϕ(x) برای n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 برای n! 1 . x2X X به یاد بیاورید که نماد yn (x) ⇒ ϕ(x) برای n ! 1 معمولاً برای همگرایی یکنواخت دنباله تابعی 1 yk (x) k=0 به تابع φ(x) در مجموعه X استفاده می شود. -26- اجازه دهید نشان دهیم که y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 در اینجا X = . برای انجام این کار، f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 را با توجه به شرط Lipschitz 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L در نظر بگیرید h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 برای n! 1 τ 2X X به دلیل یکنواختی برای n ! 1 همگرایی yn (x) ⇒ ϕ(x). بنابراین، با عبور از حد در (2.8)، برای همه x 2 برابری صحیح Zx φ(x) = y0 + f τ, φ(τ) dτ, x0 به دست می‌آوریم که در آن ϕ(x) 2 C . توسط لمای 2 که در بالا ثابت شد، 2φ(x) راه حلی برای مسئله کوشی (2.1)، (2.2) است. قضیه ثابت شده است. نکته 2. 7. قضیه 2.3 وجود یک راه حل را در بازه ثابت می کند. با نتیجه 1 از قضیه 2.1، این راه حل منحصر به فرد است به این معنا که هر راه حل دیگری برای مسئله کوشی (2.1)، (2.2) تعریف شده با آن در این بازه منطبق نیست. نکته 2. 8. اجازه دهید یک مستطیل P را به عنوان اتحاد دو مستطیل (متقاطع) تصور کنیم P = P [ P + , (شکل 2. 3) که در آن n P = (x, y) n P = (x, y) ) + x 2 ; x2; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . برنج. 2. 3. اتحاد مستطیل ها اجازه دهید f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P را با تغییرات آشکار، اثبات قضیه 2. 3 را جداگانه برای P + تکرار کنیم. یا P − وجود (و یکتایی) یک راه حل را در بازه n o β + + به دست می آوریم که h = min α, M + یا به ترتیب در , n o β − توجه داشته باشید که به طور کلی h+ 6= h-، و h h = min α، M - از قضیه 2. 3 حداقل h + و h- است. فقط در یک بازه زمانی مشخص می گوییم که این قضیه محلی است برای اثبات، می توان وجود یک راه حل را در کل بازه ثابت کرد، به عنوان مثال، به طور کلی، همانطور که در مورد خاصیت یکتایی راه حل (2.1)، (2.2) بود ماهیت محلی قضیه 2. 3 به "ماهیت" مسئله مربوط می شود و نه به روش اثبات آن. مثال 2. 1. مسئله کوشی را در نظر بگیرید 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o در مستطیل P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . تابع f (x، y) = -y 2 در P و fy0 = -2y 2 C P پیوسته است، بنابراین همه شرایط Theo1 β، α = و Rem 2 هستند. 3 راضی هستند، و M = max f (x, y) = 4. سپس h = min P P M 4 -28- قضیه 2. 3 وجود یک راه حل را در بازه 1 1 تضمین می کند. اجازه دهید − , 4 4 این مسئله کوشی را با استفاده از «جداسازی متغیرها» حل کنیم: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 - حل مسئله کوشی (2.9). x+1 نمودار حل در شکل نشان داده شده است. (2.4)، که از آن مشخص است که راه حل 1 برای x< x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >A، B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >Bk+1 > Bk برای همه k 2 N; 1) الف< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N برقرار است اجازه دهید این گزاره کمکی را برای مورد A، B 2 R ثابت کنیم (یعنی A و B متناهی هستند؛ اگر A = 1 یا B =+1، پس به طور مشابه). x A B x، دلخواه x 2 (A, B) و δ(x) = min , δ(x) > 0 را در نظر بگیرید. در 2 2 عدد δ از همگرایی Ak ! A و Bk! B به دست می آوریم که 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1، A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2، x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >ن. با استفاده از نتیجه 1 از بخش 2.1 (یعنی قضیه یکتایی)، ما به دست می آوریم که φ(t) ψ(t) برای همه t 2 و به ویژه برای t = x. از آنجایی که x یک نقطه دلخواه (A, B) است، منحصر به فرد بودن راه حل و همراه با آن نتیجه، ثابت می شود. نکته 2. 10. در نتیجه اثبات شده، ابتدا با مفهوم ادامه راه حل برای مجموعه گسترده تر مواجه شدیم. در پاراگراف بعدی آن را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد. بیایید چند مثال بزنیم. p مثال 2. 2. برای معادله y 0 = ejxj x2 + y 2، دریابید که آیا جواب آن در کل وجود دارد (A, B) = (1, +1). این معادله را در "نوار" در نظر بگیرید Q = R2، تابع p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p، fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 طبق بیانیه 2. 1 از بند 2.1، تابع f (x, y) شرط لیپشیتز را برای y با "ثابت" L = L(x) برآورده می کند، x ثابت است. سپس تمام شرایط نتیجه برآورده می شود، و برای هر داده اولیه (x0، y0) 2 R2 یک راه حل برای مسئله کوشی وجود دارد و علاوه بر این، در (1، +1) منحصر به فرد است. توجه داشته باشید که خود معادله را نمی توان به صورت مربعات حل کرد، اما راه حل های تقریبی را می توان به صورت عددی ساخت. در Q، -32- مثال 2، تعریف شده و پیوسته است. که در آن تابع ∂ f f (x, y) = ex y 2 تعریف شده و پیوسته است و = 2yex , سپس می توانیم توجه داشته باشیم که ∂y که شرط نتیجه نقض شده است، یعنی تابع پیوسته L(x) وجود ندارد. به طوری که f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j برای همه y1 , y2 2 R. در واقع، f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j، و عبارت jy2 + y1 j برای y1 , y2 2 R محدود نمی شود. بنابراین، نتیجه اعمال نمی شود. اجازه دهید این معادله را با "جداسازی متغیرها" حل کنیم و یک جواب کلی به دست آوریم: "y(x) = 0، y(x) = 1. ex + C برای قطعیت x0 = 0، y0 2 R در نظر بگیریم. اگر y0 = 0، سپس y(x) 0 راه حلی برای مسئله کوشی در R است. (1, 1) [ (0, +1) راه حل y0 + 1 نیست را می توان از طریق نقطه x = ln ادامه داد. برای x 2 (1، x) تعریف می شود و اگر x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0، سپس راه حل فقط برای x 2 1 وجود دارد. ln y0 این مثال نشان می دهد که محدودیت در رشد تابع f (x,y) در نتیجه قضیه 2.4 که در بالا ثابت شد برای گسترش جواب به کل (A, B) ضروری است. به طور مشابه، مثال‌هایی با تابع f (x, y) = f1 (x) y 1+ε برای هر ε > 0 در مثال داده شده به دست می‌آیند، ε = 1 فقط برای راحتی ارائه گرفته می‌شود. 2. 3. ادامه راه حل برای یک ODE مرتبه اول تعریف 2. 5. معادله y 0 = f (x, y) را در نظر بگیرید و بگذارید y(x) حل آن در ha، bi و Y (x) باشد. محلول آن در hA، Bi و ha، bi در hA، Bi و Y (x) = y(x) در ha، bi موجود است. سپس Y (x) ادامه راه حل y(x) به hA, Bi و y(x) به hA, Bi گسترش داده می شود. -34- در بخش 2.2 قضیه وجود محلی را برای حل مسئله کوشی (2.1)، (2.2) اثبات کردیم. تحت چه شرایطی می توان این تصمیم را در دوره وسیع تری ادامه داد؟ این بند به این موضوع اختصاص دارد. نتیجه اصلی آن به شرح زیر است. قضیه 2.5 (در ادامه راه حل در یک حوزه بسته محدود). اجازه دهید تابع f (x, y) 2 C G شرط Lipschitz را برای y در R2 برآورده کند و (x0, y0) نقطه داخلی یک دامنه بسته محدود G G باشد. وقتی نقطه (x0, y0) از حل معادله y 0 = f (x , y)، تا ∂G مرز دامنه G، یعنی. می توان آن را به چنان پاره ای گسترش داد که نقاط a، y(a) و b، y(b) روی ∂G قرار گیرند. ∂f (x، y) در یک دامنه محدب y محدود، بسته و G پیوسته است، سپس تابع f (x، y) شرط Lipschitz در G در متغیر y را برآورده می کند. نتیجه بیانیه 2 را ببینید. 1∂f از بخش 2.1. بنابراین، این قضیه در صورتی معتبر خواهد بود که در ∂y G پیوسته باشد. Remark 2. 11. به یاد بیاورید که اگر Proof. از آنجایی که (x0، y0) یک نقطه داخلی G است، پس یک مستطیل بسته n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α، y y0 6 β وجود دارد که کاملاً در G قرار دارد. سپس با قضیه 2. 3 از p 2.2 h > 0 وجود دارد به طوری که در بازه (و علاوه بر این، یک راه حل منحصر به فرد) برای معادله y 0 = f (x، y) وجود دارد. ابتدا این راه حل را به سمت راست تا مرز منطقه G ادامه می دهیم و اثبات را به مراحل جداگانه تقسیم می کنیم. 1. مجموعه E R را در نظر بگیرید: n o E = α > 0 راه حل y = φ(x) قابل گسترش است تا وجود یک راه حل y = ϕ1 (x) برای معادله y 0 = f (x, y) که شرایط کوشی را برآورده می کند. ϕ1 ~b = ϕ ~b . بنابراین، ϕ(x) و ϕ1 (x) راه حل هایی در بازه ~b h1، ~b یک معادله هستند که در نقطه x = ~b منطبق هستند، بنابراین در کل بازه ~b h1، ~b و، بنابراین، ϕ1 (x) ادامه راه حل ϕ(x) از بازه ~b h1، ~b تا ~b h1، ~b + h1 است. تابع ψ(x) را در نظر بگیرید: ϕ(x)، x 2 x0، ψ(x) = ϕ1 (x)، x 2 ~b ~b، h1، ~b + h1 ~b h1، x0 + α0 + h1، که حل معادله y 0 = f (x, y) است و شرط کوشی ψ(x0) = y0 را برآورده می کند. سپس عدد α0 + h1 2 E، و این با تعریف α0 = sup E در تضاد است. بنابراین، مورد 2 غیرممکن است. به طور مشابه، راه حل ϕ(x) به سمت چپ، بر روی قطعه ادامه می یابد، جایی که نقطه a، ϕ(a) 2 ∂G است. قضیه کاملاً ثابت شده است. -37- فصل سوم. مسئله کوشی برای یک سیستم مرتبه nام عادی 3. 1. مفاهیم اساسی و برخی از ویژگی های کمکی توابع برداری در این فصل ما یک سیستم مرتبه n نرمال به شکل 8 > t, y , را در نظر خواهیم گرفت. . . , y y _ = f 1 n 1 1 > ,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t، y، . . . , y , n n 1 n که در آن مجهولات (جستجو) توابع y1 (t)، . . . ، yn (t) و توابع fi مشخص هستند، i = 1، n، نقطه روی تابع نشان دهنده مشتق نسبت به t است. فرض بر این است که تمام fi در دامنه G Rn+1 تعریف شده اند. نوشتن سیستم (3.1) به صورت برداری راحت است: y_ = f (t، y)، که در آن y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y) ; برای اختصار، در تعیین بردارها فلش نمی نویسیم. ما همچنین چنین نمادی را با (3.1) نشان خواهیم داد. نقطه t0، y10، را بگذارید. . . ، yn0 در G نهفته است. مشکل کوشی برای (3.1) یافتن یک راه حل ϕ(t) از سیستم (3.1) است که شرط را برآورده کند: ϕ1 (t0) = y10، ϕ2 (t0) = y20، ...، ϕn (t0) = yn0، (3.2) یا به صورت برداری ϕ(t0) = y 0. همانطور که در فصل 1 اشاره شد، با حل سیستم (3.1) در بازه ha، bi به معنای تابع برداری ϕ(t) = φ1 (t)، . . . ، ϕn (t) ، شرایط را برآورده می کند: 1) 8 t 2 ha، bi نقطه t، ϕ(t) در G قرار دارد. 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt φ(t); 38 3) 8 t 2 ha، bi φ(t) (3.1) را برآورده می کند. اگر چنین راه حلی علاوه بر این، (3.2) را برآورده کند، جایی که t0 2 ha, bi، آنگاه راه حلی برای مسئله کوشی نامیده می شود. شرایط (3.2) شرایط اولیه یا شرایط کوشی و اعداد t0 , y10 , . . . ، yn0 – داده کوشی (داده های اولیه). در حالت خاصی که تابع بردار f (t, y) (n+1) یک متغیر به y1، بستگی دارد. . . ، yn به صورت خطی، i.e. دارای شکل: f (t، y) = A(t) y + g(t)، که در آن ماتریس A(t) = aij (t) – n n، سیستم (3.1) خطی نامیده می شود. در آینده به ویژگی‌های توابع برداری نیاز خواهیم داشت که برای سهولت ارجاع آن را در اینجا ارائه می‌کنیم. قوانین جمع و ضرب در یک عدد برای بردارها از درس جبر خطی شناخته شده است. n اگر حاصل ضرب اسکالر x، y = x1 y1 + را به R وارد کنیم. . . + xn yn، سپس یک فضای اقلیدسی را به دست می آوریم که آن را نیز با Rn نشان می دهیم، با طول s q n P بردار jxj = x، x = x2k (یا هنجار اقلیدسی). برای یک ضرب و طول k=1 اسکالر، دو نابرابری اصلی معتبر است: 1) 8 x، y 2 Rn 2) 8 x، y 2 Rn). x+y 6 x + y x، y 6 x (نابرابری مثلث)؛ y (نابرابری کوشی بونیاکوف - از درس تحلیل ریاضی ترم دوم مشخص شد که همگرایی دنباله ای از نقاط (بردارها) در فضای اقلیدسی (بعد محدود) معادل همگرایی دنباله های مختصات این بردارها است. آنها می گویند که معادل همگرایی مختصات است. اجازه دهید چند نابرابری برای توابع برداری ارائه کنیم که بعداً مورد استفاده قرار خواهند گرفت. 1. برای هر تابع برداری y(t) = y1 (t)، . . . ، yn (t) ، انتگرال پذیر (مثلاً پیوسته) روی ، نابرابری Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) یا به صورت مختصات 0 Zb Zb y1 (t) dt، @ y2 (t) dt، . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt . یک اثبات ابتدا توجه داشته باشید که نابرابری مورد ب را استثنا نمی کند< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y 6@ 2 2 l=1 2 x , k,i=1 откуда следует (3.5). Определение 3. 1. Áудем говорить, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет условию Липшица по векторной переменной y на мно 1 жестве G переменныõ (t, y), если 9 L > 0 به طوری که برای هر t, y , 2 t, y 2 G نابرابری f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 برقرار است. همانطور که در مورد تابعی از دو متغیر (به بیانیه 2.1 مراجعه کنید)، یک شرط کافی برای ویژگی Lipschitz در یک دامنه "y محدب" G، محدود بودن مشتقات جزئی است. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم. تعریف 3. 2. یک ناحیه G از متغیرها (t, y) محدب 1 2 در y نامیده می شود اگر برای هر دو نقطه t، y و t، y که در G قرار دارند، قطعه ای که این دو نقطه را به هم متصل می کند نیز کاملاً به آن تعلق دارد. یعنی e. مجموعه n o t، y y = y 1 + τ y 2 y 1، که در آن τ 2 . بیانیه 3. 1. اگر دامنه G متغیرهای (t، y) در y محدب باشد، و مشتقات جزئی ∂fi پیوسته و محدود به یک ثابت l در G برای ∂yj همه i، j = 1، n هستند، آنگاه تابع برداری f t، y در G شرط لیپشیتز در y با ثابت L = n l را برآورده می کند. 1 2 اثبات. نقاط دلخواه t، y و t، y از G و یک قطعه 1 2 که آنها را به هم وصل می کند، در نظر بگیرید. t، y را تنظیم کنید، جایی که y = y + τ y y1، t ثابت است و τ 2. -41- اجازه دهید یک تابع برداری از یک آرگومان اسکالر g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 و سپس g(1) g(0) = f t, y f t, y و از سوی دیگر - Z1 معرفی کنیم. g(1) g (0) = d g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = به دلیل y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ , 0 که در آن A(τ) ماتریسی با عناصر ∂fi است و ∂yj y2 y 1 ستون مربوطه است. در اینجا از قانون تمایز یک تابع مختلط استفاده کردیم، یعنی برای همه i = 1، n، t - ثابت، داریم: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t، y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi، ...، y2 y1. = ∂y1 ∂yn با نوشتن این به شکل ماتریس، دریافت می کنیم: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y با n n ماتریس A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . با استفاده از تخمین انتگرالی (3.3) و نابرابری (3.5)، پس از جایگزینی به دست می‌آییم: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ) از 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1، 2 6 n2 l2 در 8 τ2. بیانیه ثابت شده است. -42- 3. 2. منحصر به فرد بودن حل مسئله کوشی برای یک سیستم نرمال قضیه 3. 1 (در مورد تخمین اختلاف دو راه حل). فرض کنید G یک دامنه Rn+1 باشد و تابع برداری f (x,y) در G پیوسته باشد و شرط لیپشیتز را با توجه به متغیر برداری y در مجموعه G با ثابت L برآورده کند. اگر y 1 , y 2 دو راه حل از سیستم نرمال (3.1) y_ = f (x, y) در قطعه هستند، سپس تخمین y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0) برای همه t 2 معتبر است. اثبات کلمه به کلمه، با در نظر گرفتن تغییرات آشکار، اثبات قضیه 2.1 را از پاراگراف تکرار می کند. 2.1. 2 از اینجا به راحتی می توان یک قضیه برای منحصر به فرد بودن و پایداری راه حل بر اساس داده های اولیه به دست آورد. نتیجه 3.1. اجازه دهید تابع برداری f (t, y) در دامنه G پیوسته باشد و شرط لیپشیتز را برای y در G برآورده کند و اجازه دهید توابع y 1 (t) و y 2 (t) دو راه حل از سیستم نرمال باشند (3.1). ) در همان بازه، جایی که t0 2 . اگر y 1 (t0) = y 2 (t0)، سپس y 1 (t) y 2 (t) در . نتیجه 3.2. (در مورد وابستگی مداوم به داده های اولیه). اجازه دهید تابع برداری f (t, y) در حوزه G پیوسته باشد و شرط لیپشیتز را در y با ثابت L > 0 در G برآورده کند و اجازه دهید توابع برداری y 1 (t) و y 2 (t) راه حل هایی باشند سیستم معمولی (3.1)، تعریف شده در . سپس در 8 t 2 نابرابری y 1 (t) معتبر است که δ = y 1 (t0) y 2 (t0) و l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . اثبات پیامدها کلمه به کلمه، با در نظر گرفتن تغییرات آشکار، اثبات نتیجه های 2.1 و 2.2 را تکرار می کند. 2 مطالعه حل پذیری مسئله کوشی (3.1)، (3.2)، مانند حالت یک بعدی، به حل پذیری معادله انتگرال (بردار) کاهش می یابد. لم 3. 1. اجازه دهید f (t, y) 2 C G; Rn 1. سپس عبارات زیر برقرار است: 1) هر جواب ϕ(t) معادله (3.1) در بازه ha، bi، رضایت بخش (3.2) t0 2 ha، bi، یک راه حل پیوسته در ha، bi 1 از طریق CG است. H معمولاً با مجموعه ای از همه توابع پیوسته در یک دامنه G با مقادیر در فضای H نشان داده می شود. به عنوان مثال، f (t، y) 2 C G. اجزای Rn) تعریف شده در مجموعه G. - مجموعه همه توابع برداری پیوسته (با n -43- معادله انتگرال y(t) = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ ؛ (3.6) t0 2) اگر بردار تابع ϕ(t) 2 C ha، bi یک راه حل پیوسته از معادله انتگرال (3.6) در ha، bi است، که در آن t0 2 ha، bi، سپس ϕ(t) مشتق پیوسته در ha، bi و راه حل (3.1)، (3.2) است. اثبات 1. اجازه دهید 8 τ 2 ha، bi برابری dφ(τ) = f τ, φ(τ) را برآورده کند. سپس، با ادغام از t0 به t، با در نظر گرفتن (3.2)، dτ Rt 0 را بدست می آوریم که φ(t) = y + f τ، ϕ(τ) dτ، یعنی. ϕ(t) معادله (3.6) را برآورده می کند. t0 2. اجازه دهید یک تابع بردار پیوسته ϕ(t) معادله (3.6) را در ha، bi برآورده کند، سپس f t، ϕ(t) بر روی ha، bi توسط قضیه تداوم یک تابع مختلط، و بنابراین راست است. -سمت سمت چپ (3.6) (و از این رو سمت چپ) مشتق پیوسته ای نسبت به t در ha، bi دارد. در t = t0 از (3.6) φ(t0) = y 0، یعنی. ϕ(t) راه حل مسئله کوشی (3.1)، (3.2) است. توجه داشته باشید که طبق معمول، مشتق انتهای یک قطعه (اگر متعلق به آن باشد) به عنوان مشتق یک طرفه تابع درک می شود. لم ثابت شده است. نکته 3. 1. استفاده از قیاس با حالت یک بعدی (نگاه کنید به. فصل 2) و گزاره‌های اثبات شده در بالا، می‌توانیم با ساختن یک دنباله تکراری که به جواب معادله انتگرال (3.6) در یک قطعه معین t0 h همگرا می‌شود، قضیه وجود و ادامه راه‌حلی برای مسئله کوشی را اثبات کنیم. t0 + h. در اینجا ما اثبات دیگری از قضیه وجود (و منحصر به فرد بودن) یک راه حل را بر اساس اصل نگاشت انقباض ارائه می کنیم. ما این کار را انجام می دهیم تا خواننده را با روش های مدرن تر نظریه آشنا کنیم که در آینده در دوره های معادلات انتگرال و معادلات فیزیک ریاضی مورد استفاده قرار خواهند گرفت. برای اجرای طرح خود به تعدادی مفهوم جدید و عبارات کمکی نیاز داریم که اکنون آنها را بررسی خواهیم کرد. 3. 3. مفهوم فضای متریک. اصل نگاشت انقباض مهمترین مفهوم حد در ریاضیات مبتنی بر مفهوم "نزدیک" نقاط است، یعنی. تا بتوان فاصله بین آنها را پیدا کرد. در محور اعداد، فاصله مدول اختلاف بین دو عدد است، در صفحه فرمول معروف فاصله اقلیدسی و غیره است. بسیاری از واقعیت های تحلیل از ویژگی های جبری عناصر استفاده نمی کنند، بلکه تنها بر مفهوم فاصله بین آنها تکیه می کنند. توسعه این رویکرد، یعنی. جداسازی «هستی» مرتبط با مفهوم حد به مفهوم فضای متریک منجر می‌شود. -44- تعریف 3. 3. فرض کنید X مجموعه ای از طبیعت دلخواه باشد و ρ(x, y) تابعی واقعی از دو متغیر x, y 2 X باشد که سه اصل را برآورده می کند: 1) ρ(x, y) > 0 8 x، y 2 X، و ρ(x، y) = 0 فقط برای x = y; 2) ρ(x، y) = ρ(y، x) (اصول متقارن); 3) ρ(x، z) 6 ρ(x، y) + ρ(y، z) (نابرابری مثلث). در این حالت، مجموعه X با تابع معین ρ(x,y) را فضای متریک (MS) و تابع ρ(x,y) می نامند: X X 7! R، رضایت بخش 1) – 3)، – متریک یا فاصله. اجازه دهید چند مثال از فضاهای متریک ارائه دهیم. مثال 3. 1. فرض کنید X = R با فاصله ρ(x، y) = x y، MP R را به دست می آوریم. n o n xi 2 R، i = 1، n مثال 3 است. . . ، xn مجموعه ای از مجموعه های مرتب شده از n عدد واقعی s n 2 P x = x1، است. . . ، xn با فاصله ρ(x، y) = xk yk، n1 k=1 n فضای اقلیدسی بعدی R را بدست می آوریم. n مثال 3. 3. فرض کنید X = C a, b ; R مجموعه ای از تمام توابع پیوسته در a، b با مقادیر Rn است، یعنی. توابع بردار پیوسته، با فاصله ρ(f, g) = max f (t) g(t)، که در آن f = f (t) = f1 (t)، . . . ، fn (t) ، t2 s n 2 P g = g(t) g1 (t)، . . . , gn (t) , f g = fk (t) gk (t) . k=1 برای مثال 3. 1 –3. 3 بدیهیات MP مستقیماً تأیید شده است. طبق معمول، اگر هر عدد صحیح مثبت n با یک عنصر xn 2 X مرتبط باشد، می گوییم که دنباله ای از نقاط xn MP X داده می شود. 4. گفته می شود دنباله ای از نقاط xn MP X به نقطه همگرا می شوند x 2 X اگر lim ρ xn , x = 0. n! 1 تعریف 3. 5. دنباله ای xn بنیادی نامیده می شود اگر برای هر ε > 0 یک عدد طبیعی N (ε) وجود داشته باشد به طوری که برای همه n > N و m وجود داشته باشد. > N نابرابری ρ xn , xm برقرار است< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m، n > N =) حداکثر fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 عدد N (ε) وجود دارد به طوری که برای همه n > N و برای همه t 2 a، b نابرابری fn (t) f (t) برقرار است.< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. B = Am، B: X 7 را در نظر بگیرید! X، B - فشرده سازی. طبق قضیه 3.2، عملگر B یک نقطه ثابت منحصر به فرد x دارد. از آنجایی که A و B با AB = BA رفت و آمد می کنند و از آنجایی که Bx = x، B Ax = A Bx = Ax داریم، یعنی. y = Ax نیز نقطه ثابت B است و از آنجایی که چنین نقطه ای طبق قضیه 3.2 منحصر به فرد است، پس y = x یا Ax = x. از این رو x نقطه ثابت عملگر A است. اجازه دهید یکتایی بودن را ثابت کنیم. فرض کنید x~ 2 X و A~ x = x~، سپس m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~، یعنی x~ همچنین یک نقطه ثابت برای B است، از آنجا x~ = x. قضیه ثابت شده است. یک مورد خاص از یک فضای متریک یک فضای هنجار خطی است. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم. تعریف 3. 9. فرض کنید X یک فضای خطی (واقعی یا مختلط) باشد که بر روی آن یک تابع عددی x تعریف شده است که از X تا R عمل می کند و بدیهیات را برآورده می کند: 1) 8 x 2 X، x > 0، و x = 0 فقط برای x = θ; 2) 8 x 2 X و برای 8 λ 2 R (یا C) 3) 8 x، y 2 X راضی است). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (نابرابری مثلث- سپس X فضای هنجاری نامیده می شود، x: X 7! R، رضایت 1) – 3)، یک هنجار است. و تابع در فضای نرمال شده، می توانید فاصله بین عناصر را با استفاده از فرمول ρ x، y = x y وارد کنید. تحقق بدیهیات MP به راحتی تأیید می شود. اگر فضای متریک حاصل کامل باشد، فضای هنجار مربوطه را فضای Ban می نامند. اغلب در یک فضای خطی یکسان می توان یک هنجار را به طرق مختلف معرفی کرد. در این راستا چنین مفهومی مطرح می شود. تعریف 3. 10. فرض کنید X یک فضای خطی باشد و دو هنجار 1 2 روی آن معرفی شده باشد. هنجارها و هنجارهای معادل 1 2 نامیده می شوند اگر 9 C1 > 0 و C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . نکته 3. 3. اگر و دو هنجار معادل بر روی X هستند و فضای 1 2 X مطابق یکی از آنها کامل است، آنگاه طبق هنجار دیگر کامل می شود. این به راحتی از این واقعیت ناشی می شود که دنباله xn X، بنیادی در، در نیز اساسی است، و به 1 2 همان عنصر x 2 X همگرا می شود. -47- نکته 3. 4. اغلب قضیه 3. 2 (یا 3. 3) ) زمانی استفاده می شود که یک توپ بسته از این فضا o Br (a) = x 2 X ρ x، a 6 r به عنوان یک n فضای کامل در نظر گرفته می شود، جایی که r > 0 و یک X 2 ثابت هستند. توجه داشته باشید که یک توپ بسته در یک PMP خود یک PMP با همان فاصله است. اثبات این حقیقت به عنوان تمرین به خواننده واگذار می شود. نکته 3. 5. در بالا کامل بودن فضا را از مثال 3 مشخص کردیم. 3. توجه داشته باشید که در فضای خطی X = C 0, T , R می توانیم هنجار kxk = max x(t) را معرفی کنیم تا نتیجه نرمال شود. ارزش خواهد بود Banakhov. در همان مجموعه توابع برداری پیوسته در فضای 0، T، می‌توانیم یک هنجار معادل با استفاده از فرمول kxkα = max e αt x(t) برای هر α 2 R معرفی کنیم. برای α > 0، هم ارزی از نابرابری‌ها به دست می‌آید. e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) برای همه t 2 0, T، از آنجا e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. ما از این ویژگی هنجارهای معادل برای اثبات قضیه حل‌پذیری منحصربه‌فرد مسئله کوشی برای سیستم‌های خطی (عادی) استفاده خواهیم کرد. 3. 4. قضایای وجود و یکتایی برای حل مسئله کوشی برای سیستم های عادی مسئله کوشی (3.1) - (3.2) را در نظر بگیرید، که در آن داده های اولیه t0 , y 0 2 G, G Rn+1 دامنه تعریف است. تابع بردار f (t, y ). در این بخش فرض می کنیم که G دارای n شکل G = a, b o است که دامنه آن Rn است و توپ BR (y 0) = قضیه برقرار است. y 2 Rn y y0 6 R به طور کامل در است. قضیه 3. 4. تابع بردار f (t, y) 2 C G را بگذارید. Rn , و 9 M > 0 و L > 0 به طوری که شرایط 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M برآورده می شود. 2) 8 (t، y 1)، (t، y 2) 2 G f t، y 2 f t، y 1 6 L y 2 y 1. عدد δ 2 (0، 1) را ثابت می کنیم و اجازه می دهیم t0 2 (a, b). وقتی R 1 δ 9 ساعت = دقیقه ; ; t0 a; b t0 > 0 M L به طوری که یک راه حل منحصر به فرد برای مسئله کوشی (3.1)، (3.2) y(t) در بازه Jh = t0 h، t0 + h و y(t) y 0 وجود داشته باشد. 6 R برای همه t 2 Jh. -48- اثبات. با لم 3.1، مسئله کوشی (3.1)، (3.2) معادل معادله انتگرال (3.6) در بازه و در نتیجه، در Jh است، جایی که h در بالا انتخاب شد. اجازه دهید فضای Banach X = C (Jh ؛ Rn) را در نظر بگیریم - مجموعه توابع برداری x(t) پیوسته در بازه Jh با هنجار kxk = max x(t) و یک مجموعه بسته را به X وارد کنیم: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R توپ بسته در X. عملگر A با قانون تعریف شده است: Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 SR y 0 را به خود می گیرد، زیرا y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 توسط شرط 1 قضیه و تعریف h. اجازه دهید ثابت کنیم که A یک عملگر انقباضی در SR است. بیایید یک مقدار دلخواه 0 1 2 در نظر بگیریم و مقدار را تخمین بزنیم: Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1، جایی که q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 با توجه به فرمول R انتخاب می شود h = min M ; 1 لیتر δ; b a، و همه جا باید -49- Jh = t0، t0 + h = a، a + h را به عنوان قطعه Jh بگیریم. تمام شرایط دیگر قضیه تغییر نمی کند، با در نظر گرفتن نوتاژها، R حفظ می شود. برای مورد t0 = b، به طور مشابه، h = min M ; 1L δ ; b a، و Jh = b h، b. n نکته 3. 7. در قضیه 3. 4 شرط f (t, y) 2 C G; R، که در آن G = a، b D، می تواند با جایگزین کردن آن با شرط پیوستگی f (t، y) در متغیر t برای هر y 2 تضعیف شود، در حالی که شرایط 1 و 2 حفظ شود. اثبات تغییر نخواهد کرد. نکته 3. 8. کافی است که شرایط 1 و 2 قضیه 3. 4 برای همه t، y 2 a، b BR y 0 ارضا شود، در حالی که ثابت های M و L، به طور کلی، 0 به y و R بستگی دارند. برای محدودیت‌های دقیق‌تر در تابع بردار f t, y، مشابه قضیه 2.4، قضیه وجود و منحصربه‌فرد بودن یک راه‌حل برای مسئله کوشی (3.1)، (3.2) در کل بازه a، b معتبر است. n قضیه 3. 5. اجازه دهید تابع بردار f x, y 2 C G, R که در آن G = a, b Rn و L > 0 وجود داشته باشد، به طوری که شرط 8 t, y 1, t, y 2 2 G f t راضی است، y 2 f t، y 1 6 L y 2 y 1 . سپس، برای هر t0 2 و y 0 2 Rn در a, b، یک راه حل منحصر به فرد برای مسئله کوشی (3.1)، (3.2) وجود دارد. اثبات بیایید t0 2 و y 0 2 Rn دلخواه را بگیریم و آنها را برطرف کنیم. مجموعه G = a, b Rn را به این شکل نشان می دهیم: G = G [G+، که در آن Rn، و G+ = t0، b Rn، با فرض اینکه t0 2 a, b، در غیر این صورت یک G = a، t0 از مراحل مدرک از دست خواهد رفت اجازه دهید استدلال گروه G+ را انجام دهیم. در بازه t0، b، مسئله کوشی (3.1)، (3.2) معادل معادله (3.6) است. اجازه دهید عملگر انتگرال n A را معرفی کنیم: X 7! X، که در آن X = C t0، b; R، طبق فرمول Ay = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ. t0 سپس معادله انتگرال (3.6) را می توان به عنوان یک معادله عملگر Ay = y نوشت. (3.8) اگر ثابت کنیم که معادله عملگر (3.8) یک راه حل در PMP X دارد، حل پذیری مسئله کوشی را در t0، b یا a، t0 برای G به دست می آوریم. اگر این راه‌حل منحصربه‌فرد باشد، به‌دلیل هم ارزی، راه‌حل مسئله کوشی نیز منحصربه‌فرد خواهد بود. اجازه دهید دو اثبات حلال پذیری منحصر به فرد معادله (3.8) را ارائه کنیم. اثبات 1. توابع بردار دلخواه را در نظر بگیرید 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R، پس برآوردها برای هر -50- t 2 t0 , b Ay 2 معتبر هستند: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . به یاد بیاورید که هنجار در X به صورت زیر معرفی می شود: kxk = max x(τ) . از نابرابری حاصل خواهیم داشت: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt h f τ, Ay 2 (τ) = 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 ( τ ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1 . در ادامه این روند، می توانیم با استقرا ثابت کنیم که 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1 . از اینجا، در نهایت، برآورد Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k را به دست می آوریم! k y2 y1 . k از آنجایی که α(k) = ! 0 در k! 1، سپس k0 وجود دارد، k! که α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (به یادداشت 3.5 مراجعه کنید) طبق فرمول: x α = max e αt x(t) . -51- اجازه دهید نشان دهیم که می توانیم α را انتخاب کنیم تا عملگر A در فضای X با هنجار برای α > L انقباضی باشد. در واقع α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt از آنجایی که α > L، پس q = L α 1 1 αt e α e eαt0 L = α α b t0 y 2 y1 y 1 α = 1 e α b t0 .< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с شرایط آغازین y(x0) = y0. (4.5) فرمول (4.2) را می توان به شکل Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 در اینجا با جایگزینی شرط اولیه (4.5)، در می یابیم که C = 0، i.e. حل مسئله کوشی از رابطه Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx تعیین می شود. x0 -56- (4.6) بدیهی است که به طور یکتا تعیین می شود. بنابراین، جواب کلی معادله (4.1) با فرمول (4.4) و حل مسئله کوشی (4.4)، (4.5) از رابطه (4.6) به دست می‌آید. نکته 4. 1. اگر f2 (y) = 0 برای برخی y = yj , (j = 1, 2, ... s)، پس بدیهی است که جواب های معادله (4.1) نیز توابع y(x) هستند. yj، j = 1، 2، . . . ، s که با جایگزینی مستقیم این توابع در معادله (4.1) ثابت می شود. نکته 4. 2. برای معادله (4.1)، جواب کلی از رابطه F2 (y) F1 (x) = C تعیین می شود. (4.7) بنابراین، سمت چپ رابطه (4.7) روی هر جواب معادله ثابت است. (4.1). روابطی مانند (4.7) را می توان هنگام حل سایر ODE ها نیز نوشت. چنین روابطی معمولاً انتگرال (انتگرال عمومی) ODE مربوطه نامیده می شوند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم. تعریف 4. 1. معادله y 0 (x) = f (x, y) را در نظر بگیرید. (4.8) رابطه (x، y) = C، (4.9) که در آن (x، y) تابعی از کلاس C 1 است، انتگرال کلی معادله (4.8) نامیده می شود، اگر این رابطه به طور یکسان برآورده نشود، اما در هر حل معادله (4.8) ارضا می شود. برای هر مقدار خاص C 2 R یک انتگرال جزئی به دست می آوریم. جواب کلی معادله (4.8) از انتگرال عمومی (4.9) با استفاده از قضیه تابع ضمنی به دست می آید. مثال 4. 1. معادله x (4.10) y 0 (x) = y و شرط اولیه y(2) = 4 را در نظر بگیرید. (4.11) با استفاده از روش جداسازی متغیرهای توضیح داده شده در بالا برای حل معادله (4.10)، ما y dy = x dx را بدست آوریم، از آنجا انتگرال کلی معادله (4.10) y 2 x2 = C را می یابیم. مسئله (4.10)، (4.11) با فرمول p y = 12 + x2 نوشته شده است. -57- 4. 2. ODE های خطی مرتبه اول یک ODE خطی مرتبه اول معادله y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x)، اگر q(x) 6 اگر q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0، سپس معادله ناهمگن نامیده می شود. 0، سپس معادله همگن نامیده می شود: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) قضیه 4. 1. 1) اگر y1 (x)، y2 (x) راه حل هایی برای معادله همگن (4.120)، α، β اعداد دلخواه هستند، سپس تابع y (x) αy1 (x) + βy2 (x) نیز راه حلی برای معادله (4.120) است. 2) برای حل کلی معادله ناهمگن (4.12)، فرمول yоn = yоо + yчн برقرار است. (4.13) در اینجا حل کلی معادله ناهمگن است (4. 12)، یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن (4.12)، و یک راه حل کلی برای معادله همگن (4.120). اثبات اولین گزاره قضیه با تأیید مستقیم ثابت می شود: y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y داریم. بیایید جمله دوم را ثابت کنیم. فرض کنید y0 یک راه حل دلخواه برای معادله (4.120) باشد، سپس y00 = p(x)y0. از سوی دیگر، 0 ychn = p(x)ychn + q(x). در نتیجه، 0 y0 + ychn = p(x) y0 + ychn + q(x)، که به این معنی است که y y0 + ychn یک راه حل برای معادله (4.12) است. بنابراین، فرمول (4.13) یک راه حل برای معادله ناهمگن (4.12) می دهد. اجازه دهید نشان دهیم که با استفاده از این فرمول همه راه حل های معادله (4.12) را می توان به دست آورد. در واقع، اجازه دهید y^(x) راه حلی برای معادله (4.12) باشد. بگذارید y~(x) = y^(x) ychn را قرار دهیم. داریم y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 ychn (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)ychn (x) = p(x) y ^ (x) q(x) = ychn (x) = p(x)~ y (x). بنابراین، y~(x) راه حلی برای معادله همگن (4.120) است و ما y^(x) = y~(x) + ychn را داریم که با فرمول (4.13) مطابقت دارد. قضیه ثابت شده است. -58- در زیر مسائل کوشی را برای معادلات (4.12) و (4.120) با شرط اولیه y(x0) = y0, x0 2 ha, bi در نظر خواهیم گرفت. (4.14) با توجه به توابع p(x) و q(x) از (4.12)، فرض می کنیم که p(x)، q(x) 2 C (ha، bi). نکته 4. 3. فرض کنید F (x, y) = p(x)y + q(x). سپس با توجه به شرایطی که در بالا روی p(x) و q(x) تحمیل شده است، F (x، y)، ∂F (x، y) 2 C G، ∂y G = ha، bi R1 داریم، و بنابراین، برای مسئله کوشی (4.12)، (4.14) قضایای وجود و منحصر به فرد بودن راه حل، که در فصل 2 اثبات شده است، در قضایای 4.2، 4.3 که در زیر ثابت شده است، فرمول های صریح برای حل معادلات (4.120) و (4.12) معتبر هستند. ) بدست می آید و نشان داده می شود که این راه حل ها در کل بازه ha, bi وجود دارند. اجازه دهید ابتدا معادله همگن (4.120) را در نظر بگیریم. قضیه 4. 2. گزاره ها: فرض کنید p(x) 2 C (ha, bi). هنگامی که موارد زیر درست است: 1) هر راه حل معادله (4.120) در کل بازه ha، bi تعریف می شود. 2) راه حل کلی معادله همگن (4.120) با فرمول y(x) = C e داده می شود که در آن CR p(x) dx، (4.15) یک ثابت دلخواه. 3) راه حل مسئله کوشی (4.120)، (4.14) با فرمول Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ ارائه می شود. (4.16) اثبات. اجازه دهید فرمول (4.15) را مطابق با روش ارائه شده در ابتدای فصل استخراج کنیم. ابتدا توجه داشته باشید که تابع y 0 جواب معادله (4.120) است. فرض کنید y(x) جوابی برای معادله (4.120) باشد، با y 6 0 در هکتار، bi. سپس 9 x1 2 ha، bi به طوری که y(x1) = y0 6= 0. معادله (4.120) را در همسایگی نقطه x1 در نظر بگیرید. این معادله ای است با متغیرهای قابل تفکیک و y(x) 6=0 در برخی از همسایگی های نقطه x1. سپس با پیروی از نتایج پاراگراف قبل، یک فرمول صریح برای حل Z dy = p(x) dx، ln y = p(x) dx + C, y -59- به دست می آوریم که از آن R y(x) = C e p(x) dx, c 6= 0 که با فرمول (4.15) مطابقت دارد. علاوه بر این، راه حل y 0 نیز با فرمول (4.15) در C = 0 داده می شود. با جایگزینی مستقیم به معادله (4.120) متقاعد می شویم که تابع y(x) که با فرمول (4.15) برای هر C ارائه شده است، یک حل معادله (4.120) و در کل بازه در هکتار، bi. اجازه دهید نشان دهیم که فرمول (4.15) یک راه حل کلی برای معادله (4.120) را مشخص می کند. در واقع، اجازه دهید y^(x) یک راه حل دلخواه برای معادله (4.120) باشد. اگر y^(x) 6 = 0 در ha, bi، سپس با تکرار استدلال قبلی، متوجه می شویم که این تابع با فرمول (4.15) برای مقداری C داده می شود: یعنی، اگر y^(x0) = y^0، پس Rx p( ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 اگر 9x1 2 ha، bi به گونه ای است که y^(x1) = 0، پس مسئله کوشی برای معادله (4.120) با شرط اولیه y(x1) = 0 دو راه حل دارد. y ^(x) و y(x) 0. به موجب تبصره 4. 3، راه حل مسئله کوشی منحصر به فرد است، بنابراین y^(x) 0 است، و بنابراین با فرمول (4.15) برای C = 0 داده می شود. بنابراین، ثابت شده است که معادله حل کلی (4.120) بر روی تمام ha، bi تعریف شده است و با فرمول (4.15) ارائه شده است. فرمول (4.16)، بدیهی است که یک مورد خاص از فرمول (4.15) است، بنابراین تابع y(x) مشخص شده توسط آن حل معادله (4.120) است. علاوه بر این، x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0، بنابراین فرمول (4.16) واقعاً یک راه حل برای مسئله کوشی (4.120)، (4.14) را مشخص می کند. قضیه 4.2 ثابت شده است. اکنون معادله ناهمگن (4.12) را در نظر می گیریم. قضیه 4. 3. فرض کنید p(x)، q(x) 2 C (ha، bi). سپس عبارات زیر درست هستند: 1) هر جواب معادله (4.12) در کل بازه ha، bi تعریف می شود. 2) جواب کلی معادله ناهمگن (4.12) با فرمول Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e ​​p(x) dx dx، (4.17) y(x) = داده می شود. Ce +e که در آن C یک ثابت دلخواه است. 3) راه حل مسئله کوشی (4.12)، (4.14) با فرمول Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) داده می شود. ) dθ dξ. (4.18) اثبات. مطابق با قضیه 4.1 و فرمول (4.13) yон = yоо + yчн لازم است یک جواب خاص برای معادله (4.12) پیدا شود. برای یافتن آن، به اصطلاح روش تغییر یک ثابت دلخواه را اعمال می کنیم. ماهیت این روش به شرح زیر است: ما فرمول (4.15) را می گیریم، ثابت C را با یک تابع مجهول C(x) جایگزین می کنیم و به دنبال راه حل خاصی برای معادله (4.12) به شکل ychn (x) = C می گردیم. (x) e R p(x) dx. (4.19) ychn (x) را از (4.19) با معادله (4.12) جایگزین کنید و C(x) را پیدا کنید تا این معادله برآورده شود. R R 0 ychn (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) داریم. با جایگزینی (4.12)، C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) بدست می آوریم ) dx = q(x)، از آنجا R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx. با ادغام آخرین رابطه و جایگزینی C(x) یافت شده در فرمول (4.19)، به دست می آوریم که Z R R p(x) dx ychn (x) = e q(x) e p(x) dx dx. علاوه بر این، به موجب قضیه 4. 2 R yоо = C e p(x) dx. بنابراین، با استفاده از فرمول (4.13) از قضیه 4.1، به دست می آوریم که Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e‏p(x) dx dx، که با فرمول (4.17) منطبق است. بدیهی است که فرمول (4.17) یک راه حل را در کل بازه ha، bi تعریف می کند. در نهایت، حل مسئله کوشی (4.12)، (4.14) با فرمول Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q( ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 در واقع، فرمول (4.20) یک مورد خاص از فرمول (4.17) برای C = y0 است، بنابراین یک راه حل برای معادله (4.12) تعریف می کند. علاوه بر این، x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0، بنابراین راضی است داده های اولیه (4.14). اجازه دهید فرمول (4.20) را به شکل (4.18) کاهش دهیم. در واقع، از (4.20) Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q (ξ)e p(θ) dθ dξ، ξ x0 که با فرمول (4.18) منطبق است. قضیه 4.3 ثابت شده است. نتیجه (در مورد تخمین راه حل مسئله کوشی برای یک سیستم خطی). x0 2 ha، bi، p(x)، q(x) 2 C (ha، bi)، و p(x) 6 K، q(x) 6 M اجازه دهید 8 x 2 ha، bi. سپس برای حل مسئله کوشی (4.12)، (4.14)، تخمین M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 معتبر است. K (4.21) اثبات. ابتدا x > x0 را بگذارید. با (4.18) ما Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ) dξ = x0 M + K e K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1 . اجازه دهید اکنون x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0، پس بدیهی است که تابع y(x) 0 راه حلی برای معادله (4.24) است. برای حل معادله برنولی (4.24) α 6= 0، α 6= 1، دو طرف معادله را بر y α تقسیم می کنیم. برای α > 0، باید در نظر گرفت که به موجب تبصره 4.4، تابع y(x) 0 راه حلی برای معادله (4.24) است که با چنین تقسیمی از بین می رود. بنابراین، در آینده باید به راه حل کلی اضافه شود. پس از تقسیم، رابطه y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x) را بدست می آوریم. اجازه دهید تابع جدید مورد نظر z = y 1 α را معرفی کنیم، سپس z 0 = (1 بنابراین، به معادله z z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x می رسیم. ). α y 0 و (4.25) معادله (4.25) یک معادله خطی است. چنین معادلاتی در بخش 4.2 در نظر گرفته می شوند، جایی که یک فرمول حل کلی به دست می آید، به همین دلیل حل z(x) معادله (4.25) به شکل z(x) = Ce R (α 1) a(x) نوشته می شود. dx + + (1 α )e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) سپس تابع y(x) = z 1 α (x)، که در آن z(x) در (4.26) تعریف شده است، راه حلی برای معادله برنولی (4.24) است. -64- علاوه بر این، همانطور که در بالا نشان داده شد، برای α > 0 راه حل نیز تابع y(x) 0 است. مثال 4. 4. معادله y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) معادله (4.27) را بر y 2 تقسیم کرده و جایگزین z = معادله ناهمگن خطی 1 y را بدست می آوریم. در نتیجه z 0 + 2z = ex. (4.28) ابتدا معادله همگن را حل می کنیم: z 0 + 2z = 0، dz = 2dx، z ln jzj = 2x + c، z = Ce2x، C 2 R1. ما به دنبال حل معادله ناهمگن (4.28) با روش تغییر یک ثابت دلخواه هستیم: zchn = C(x)e2x، C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex، C 0 = e x، C(x) = e x، از آنجا zchn = ex، و جواب کلی معادله (4.28) z(x) = Ce2x + ex . در نتیجه، حل معادله برنولی (4.24) به شکل y(x) = 1 نوشته خواهد شد. ex + Ce2x علاوه بر این، جواب معادله (4.24) نیز تابع y(x) است که با تقسیم این معادله بر y 2 این جواب را از دست دادیم. 0. 4. 5. معادله در دیفرانسیل های کامل معادله را در دیفرانسیل ها در نظر بگیرید M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G یک دامنه در R2 است. . چنین معادله ای معادله دیفرانسیل کامل نامیده می شود اگر تابع F (x, y) 2 C 1 (G) به نام پتانسیل وجود داشته باشد، به طوری که dF (x, y) = M (x, y)dx + N (x) , y )dy, (x, y) 2 G. برای سادگی، فرض می کنیم که M (x, y)، N (x, y) 2 C 1 (G) و دامنه G به سادگی متصل است. تحت این مفروضات، در یک دوره تحلیل ریاضی (به عنوان مثال، نگاه کنید به) ثابت می شود که پتانسیل F (x, y) برای معادله (4.29) وجود دارد (یعنی (4.29) معادله ای در مجموع دیفرانسیل است) اگر و فقط اگر My (x، y) = Nx (x، y) -65- 8 (x، y) 2 G. در این مورد (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0 , y0) جایی که نقطه (x0, y0) مقداری ثابت است نقطه از G، (x، y) نقطه فعلی در G است، و انتگرال خط در امتداد هر منحنی که نقاط (x0, y0) و (x, y) را به هم متصل می کند و کاملاً در منطقه G قرار دارد گرفته می شود. اگر معادله ( 4.29) معادله است