Što je prva derivacija? Određivanje derivacije funkcije preko limita

Neka je funkcija definirana u nekoj okolini točke, ako postoji, derivacija funkcije u točki.

Uobičajene oznake za derivaciju funkcije u točki

Tablica izvedenica

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki.

Razmotrimo sekantu AB funkcijska grafika y=f(x) takav da bodovi A I U imaju redom koordinate i , gdje je prirast argumenta. Označimo s prirastom funkcije. Označimo sve na crtežu:

Iz pravokutnog trokuta ABC imamo . Budući da je po definiciji tangenta granični položaj sekante, onda .

Prisjetimo se definicije derivacije funkcije u točki: derivacija funkcije y=f(x) u točki naziva se granica omjera prirasta funkcije prema prirastu argumenta u , označena .

Prema tome, , gdje je nagib tangente.

Dakle, postojanje izvoda funkcije y=f(x) u točki je ekvivalentno postojanju tangente na graf funkcije y=f(x) na mjestu kontakta, i nagib tangente jednak je vrijednosti derivacije u točki, odnosno .

Zaključujemo: geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki sastoji se u postojanju tangente na graf funkcije u ovoj točki.

20 Diferencijabilnost funkcije u točki. Potreban i dovoljan uvjet diferencijabilnosti.

Prirast funkcije diferencijabilne u danoj točki može se prikazati kao linearna funkcija prirasta argumenta s točnošću vrijednosti većom od visokog reda malo. To znači da se za dovoljno male okoline dane točke funkcija može zamijeniti linearnom (brzina promjene funkcije može se smatrati nepromijenjenom). Linearni dio prirasta funkcije naziva se njezin diferencijal (u danoj točki).

Nužan, ali ne i dovoljan uvjet za diferencijabilnost je neprekidnost funkcije. U slučaju funkcije jedne realne varijable, diferencijabilnost je ekvivalentna postojanju derivacije. U slučaju funkcije više realnih varijabli nužan (ali ne i dovoljan) uvjet diferencijabilnosti je postojanje parcijalnih derivacija u odnosu na sve varijable. Da bi funkcija nekoliko varijabli bila diferencijabilna u točki, dovoljno je da parcijalne derivacije postoje u nekoj blizini promatrane točke i da su kontinuirane u toj točki.

21 Diferencijabilnost funkcije u točki. Teorem o neprekidnosti diferencijabilne funkcije.

Teorema.

Ako je funkcija diferencijabilna u danoj točki, tada je funkcija u toj točki kontinuirana.

Dokaz.

Neka je funkcija y=f(x)y=f(x) diferencijabilna u točki x0x0, tada je prirast te funkcije jednak Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α( Δx)⋅x.

Kako prirast argumenta funkcije ΔxΔx teži nuli, tako i priraštaj funkcije ΔyΔy također teži nuli, a to znači neprekidnost funkcije.

Odnosno, na kraju smo dobili da je funkcija y=f(x)y=f(x), diferencijabilna u točki x0x0, također kontinuirana funkcija u ovoj točki. Q.E.D.

Dakle, neprekidnost funkcije u danoj točki je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za diferencijabilnost funkcije.

Primjer.

Funkcija y=|x|y=|x| u točki x0x0 je kontinuirana funkcija, ali u ovoj točki funkcija nije diferencijabilna.

Doista, prirast funkcije je jednak:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

U ovom slučaju dobivamo:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Granica limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx ne postoji, što znači da funkcija y=|x|y=|x|, kontinuirana u točki x0x0, nije diferencijabilna u ovoj točki.

22 Funkcijski diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala.

Diferencijal funkcije u nekoj točki x naziva se glavni, linearni dio prirasta funkcije.

Funkcijski diferencijal y = f(x) jednak je umnošku svoje derivacije i prirasta nezavisne varijable x(argument).

Napisano je ovako:

Geometrijsko značenje diferencijala. Funkcijski diferencijal y = f(x) jednaka je prirastu ordinate tangente S povučene na graf ove funkcije u točki M( x; g), prilikom mijenjanja x(argument) prema vrijednosti (vidi sliku)..

23 Pravilo diferencijabilnosti zbroja i umnoška.

Za dokaz drugog pravila diferenciranja koristimo se definicijom derivacije i svojstvom limita kontinuirane funkcije.

Na sličan način može se dokazati da je derivacija zbroja (razlike) n funkcije jednaka zbroju (razlici) n izvedenice

Dokažimo pravilo razlikovanja umnoška dviju funkcija.

Zapišimo granicu omjera prirasta umnoška funkcija i prirasta argumenta. Uzet ćemo u obzir da i (prirast funkcije teži nuli kao što prirast argumenta teži nuli).

Q.E.D.

24 Invarijantnost oblika 1 diferencijala.

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Ako x je nezavisna varijabla, dakle dx = x - x 0 (fiksni prirast). U ovom slučaju imamo

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Ako x = φ (t) je tada diferencijabilna funkcija dx = φ" (t 0)dt. Stoga,

to jest, prvi diferencijal ima svojstvo invarijantnosti prema promjeni argumenta.

25 Rolleov teorem.

Rolleov teorem (teorem nulte derivacije) navodi da

Dokaz

Ako je funkcija na intervalu konstantna, tada je izjava očita, budući da je derivacija funkcije jednaka nuli u bilo kojoj točki intervala.

Ako nije, budući da su vrijednosti funkcije na graničnim točkama segmenta jednake, tada prema Weierstrassovoj teoremi, ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost u nekoj točki intervala, odnosno ima lokalni ekstrem na ovoj točki, a prema Fermatovoj lemi, u ovoj točki derivacija je jednaka 0 .

Geometrijsko značenje

Teorem kaže da ako su ordinate oba kraja glatke krivulje jednake, tada postoji točka na krivulji u kojoj je tangenta na krivulju paralelna s x-osi.

26 Lagrangeov teorem i njegove posljedice.

Formula konačnog povećanja ili Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti navodi da ako je funkcija kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u intervalu, tada postoji točka takva da

.

Geometrijski ovo se može preformulirati na sljedeći način: na segmentu postoji točka u kojoj je tangenta paralelna s tetivom koja prolazi kroz točke grafa koje odgovaraju krajevima segmenta.

Mehanička interpretacija: Neka je udaljenost točke u trenutku od početnog položaja. Zatim postoji put prijeđen od trenutka do trenutka, omjer je prosječna brzina u tom razdoblju. To znači da ako je brzina tijela određena u bilo kojem trenutku vremena, tada će u nekom trenutku biti jednaka njegovoj prosječnoj vrijednosti u tom području.

Dokaz

Za funkciju jedne varijable:

Predstavimo funkciju. Za njega su zadovoljeni uvjeti Rolleovog teorema: na krajevima segmenta njegove su vrijednosti jednake nuli. Koristeći spomenuti teorem nalazimo da postoji točka u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli:

Q.E.D.

Korolari i generalizacije

Lagrangeov teorem o konačnom prirastu jedan je od najvažnijih nodalnih teorema u cijelom sustavu diferencijalnog računa. Ima mnoge primjene u računalnoj matematici, a najvažniji teoremi matematičke analize ujedno su i njegove posljedice.

Korolar 1. Funkcija diferencijabilna na intervalu s derivacijom jednakom nuli je konstanta.

Dokaz. Za bilo koje i postoji takva točka da .

To znači da jednakost vrijedi za sve.

Korolar 2 (Taylorova formula s ostatkom u Lagrangeovom obliku). Ako je funkcija diferencijabilna jednom u susjedstvu točke, tada za male (tj. one kojima segment leži u navedenoj okolini) vrijedi Taylorova formula:

gdje je broj iz intervala .

Korolar 3. Ako je funkcija varijabli dvaput diferencijabilna u blizini točke O i sve njene druge mješovite derivacije su neprekidne u točki O, tada u ovoj točki vrijedi jednakost:

Dokaz za . Popravimo vrijednosti i i razmotrimo operatore razlike

Prema Lagrangeovom teoremu, postoje brojevi , tako da

at zbog neprekidnosti drugih izvodnica funkcije.

Slično tome, dokazano je da .

Ali budući da je , (što je izravno provjereno), ove granice se podudaraju.

Korolar 4 (Newton-Leibnizova formula). Ako je funkcija diferencijabilna na intervalu i njezina je derivacija Riemannova integrabilna na tom intervalu, tada vrijedi formula: .

Dokaz. Dopustiti biti proizvoljna particija segmenta . Primjenjujući Lagrangeov teorem, na svakom od segmenata nalazimo točku tako da je .

Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo:

Lijevo je Riemannov integralni zbroj za integral i zadanu označenu particiju. Prelaskom na granicu promjera pregrade dobivamo Newton-Leibnizovu formulu.

Korolar 5 (Teorem o procjeni konačnih inkremenata). Neka je preslikavanje kontinuirano diferencijabilno u konveksnom kompaktnom području prostora. Zatim .

27 Kashaov teorem.

Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti.

Neka su zadane dvije funkcije i takve da su: 1. i definirane i kontinuirane na segmentu ; 2. izvodnice i konačne na intervalu;

3. izvodnice i ne nestaju istovremeno na intervalu 4. ;

onda postoji za koje vrijedi sljedeće:

.

(Ako uklonimo uvjet 4, tada je potrebno, na primjer, pojačati uvjet 3: g"(x) ne smije nestati nigdje u intervalu.)

Najčešća metoda predstavljanja i definiranja pomoću teorije granica, unatoč činjenici da se pojavila mnogo kasnije od diferencijalnog računa. Prema definiciji ove teorije, derivacija je granica u omjeru prirasta funkcija i prirasta argumenta, ako takva granica postoji i pod uvjetom da taj argument teži nuli.

Mali primjer u nastavku pomoći će vam da jasno shvatite što je derivat.

1. Da bismo pronašli derivaciju funkcije f u točki x, moramo odrediti vrijednosti ove funkcije izravno u točki x, kao iu točki x + Δx. Štoviše, Δx je prirast argumenta x.
2. Nađite priraštaj za funkciju y jednak f(x+Δx) – f(x).
3. Zapišite derivaciju pomoću granice omjera f’ = lim(f(x+Δh) – f(x))/Δh, izračunajte pri Δh → 0.

Obično se derivat označava apostrofom - “’” neposredno iznad funkcije koja se diferencira. Oznaka u obliku jednog apostrofa označava prvu izvedenicu, au obliku dva - drugu. Izvodnica najvišeg reda obično se specificira odgovarajućim brojem, na primjer f^(n) - što znači derivacija n-tog reda, gdje je slovo “n” cijeli broj, koji? 0. Derivacija nultog reda je sama diferencijabilna funkcija.

Kako bi se olakšalo razlikovanje složenih funkcija, razvijena su i usvojena određena pravila za razlikovanje funkcija:

• C’ = 0, gdje je C oznaka konstante;
• x' jednako 1;
• (f + g)’ jednako je f’ + g’;
• (C*f)’ jednako je C*f’ i tako dalje.
• Za N-struko diferenciranje prikladnije je koristiti Leibnizovu formulu u obliku: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k, u kojoj je C(n) k označavanje binomnih koeficijenata.

Derivacija i geometrija

Geometrijsko razumijevanje derivacije je da ako funkcija f ima konačnu derivaciju u točki x, tada će vrijednost ove derivacije biti jednaka tangensu nagiba tangente na funkciju f u toj točki.

Ako slijedite definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ g na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte upotrijebiti ovu formulu za izračunavanje, recimo, derivacije funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno ćete zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo izdvojiti tzv. elementarne funkcije. To su relativno jednostavni izrazi, čije su derivacije odavno izračunate i tablice. Takve je funkcije prilično lako zapamtiti - zajedno s njihovim derivatima.

Izvodnice elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve dolje navedene. Derivati ​​ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, uopće ih nije teško zapamtiti - zato su elementarne.

Dakle, izvodnice elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Izvedenica
Konstanta	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−grijeh x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ul a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu uzeti iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito, elementarne funkcije se mogu zbrajati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, ne više osobito elementarne, već također diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivacija zbroja i razlike

Neka su zadane funkcije f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo govorili gore. Zatim možete pronaći izvod zbroja i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Može biti više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2 + grijeh x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa gledišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logična znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, tada je derivacija umnoška štrajk">jednako umnošku izvedenica. Ali jebite se! Derivacija umnoška izračunava se pomoću potpuno drugačije formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, nego i studenti. Rezultat su netočno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−grijeh x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi faktor je malo kompliciraniji, ali opća shema ovo se ne mijenja. Očito, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegova derivacija je derivacija zbroja. imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da se u zadnjem koraku izvod faktorizira. Formalno, to nije potrebno učiniti, ali većina izvedenica se ne izračunava sama za sebe, već radi ispitivanja funkcije. To znači da će se nadalje derivacija izjednačiti s nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je faktorizirati izraz.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima možemo definirati nova značajka h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju također možete pronaći izvod:

Nije slabo, ha? Otkud minus? Zašto g 2? I tako! Ovo je jedan od naj složene formule- Ne možete to shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučavati na konkretni primjeri.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, pa sve što nam treba je formula za derivaciju kvocijenta:

Prema tradiciji, faktorizirajmo brojnik - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. Sredit će se f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Također ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći korištenjem gore navedenih pravila.

Što da radim? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x zamjenjuje se sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom kvocijenta. Stoga je također bolje objasniti to konkretnim primjerima, s detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 bit će lako x, tada dobivamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Derivaciju složene funkcije tražimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pozor! Izvodimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sada pogledajmo funkciju g(x). Očito ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. Zatim:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je to! Kao što se vidi iz zadnjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje izvoda zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) jer ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama, umjesto izraza "derivacija", koristim riječ "prim". Na primjer, udarac zbroja jednak je zbroju udaraca. Jel to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata svodi se na uklanjanje tih istih poteza prema gore razmotrenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivaciju potencije s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5. Što ako ispod korijena postoji nešto otmjeno? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije testovi i ispiti.

Zadatak. Pronađite izvod funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao potenciju s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Derivaciju nalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Napravimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na kraju, povratak korijenima:

Izračun derivacija- jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tablica za pronalaženje izvedenica jednostavnih funkcija. Za složenija pravila razlikovanja pogledajte druge lekcije:

• Tablica derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije

Koristite navedene formule kao referentne vrijednosti. Oni će vam pomoći da odlučite diferencijalne jednadžbe i zadaci. Na slici, u tablici izvedenica jednostavnih funkcija, nalazi se “cheat sheet” glavnih slučajeva pronalaženja derivata u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored njega su objašnjenja za svaki slučaj.

Izvodi jednostavnih funkcija

1. Izvodnica broja je nula
s´ = 0
Primjer:
5´ = 0

Obrazloženje:
Derivacija pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se mijenja njen argument. Budući da se broj ne mijenja ni na koji način ni pod kojim uvjetima, stopa njegove promjene uvijek je nula.

2. Derivacija varijable jednako jedan
x´ = 1

Obrazloženje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat izračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x točno je jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Derivacija varijable i faktora jednaka je ovom faktoru
sx´ = s
Primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Obrazloženje:
U ovom slučaju, svaki put kada se promijeni argument funkcije ( X) njegova vrijednost (y) raste u S jednom. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta točno je jednaka vrijednosti S.

Odakle slijedi da
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu pravca (k).

4. Modulo derivacija varijable jednaka kvocijentu ove varijable i njenog modula
|x|"= x / |x| uz uvjet da je x ≠ 0
Obrazloženje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedinici, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno kada se pređe ishodište (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se sami koju vrijednost vraća izraz x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, za negativne vrijednosti varijable x, sa svakim povećanjem argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za točno istu vrijednost, a za pozitivne vrijednosti, naprotiv, povećava se, ali za točno istu vrijednost .

5. Derivacija varijable na potenciju jednak umnošku broja ove potencije i varijable na potenciju umanjenu za jedan
(x c)"= cx c-1, uz uvjet da su x c i cx c-1 definirani i c ≠ 0
Primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Pomaknite stupanj varijable prema dolje kao faktor, a zatim smanjite sam stupanj za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) jednostavno dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - trojku “pomaknemo prema dolje”, smanjimo je za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2. Malo "neznanstveno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat razlomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primjer:
Budući da se razlomak može prikazati kao podizanje na negativnu potenciju
(1/x)" = (x -1)", tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tablice izvedenica
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat razlomka s varijablom proizvoljnog stupnja u nazivniku
(1 / x c)" = - c / x c+1
Primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Izvedenica korijena(derivacija varijable pod kvadratnim korijenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
Primjer:
(√x)" = (x 1/2)" znači da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivacija varijable ispod korijena proizvoljnog stupnja
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno.

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam jedinstveno su jednostavne funkcije iz derivacijske perspektive. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi termin, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

to je sve Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Diferencijal matematičara je isti prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, budući da je ovo linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Nađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Je li uspjelo?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritam težak, pročitajte temu "Logaritmi" i bit će vam sve u redu), ali s matematičke točke gledišta, riječ "kompleksno" ne znači "teško".

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je složeni objekt: čokoladna pločica omotana i zavezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(samo ga ne pokušavajte rezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

1. Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njezinu derivaciju.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.